精品解析：2025—2026学年九年级上学期人教版数学第一次月考全真模拟试卷

人教版2025—2026学年九年级上册数学第一次月考全真模拟试卷 考生注意：本试卷共三道大题，25道小题，满分120分，时量120分钟 第I卷 一、选择题（每题只有一个正确选项，每小题3分，满分30分） 1. 如图各交通标志中，不是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】中心对称图形：把一个图形绕着某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形．据此逐项判断即可． 【详解】解：A中图形不是中心对称图形，故符合题意； B中图形是中心对称图形，故不符合题意； C中图形是中心对称图形，故不符合题意； D中图形是中心对称图形，故不符合题意； 故选：A． 【点睛】本题考查中心对称图形的识别，理解定义，找准对称中心是解答的关键． 2. 下列方程中，属于一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查一元二次方程的定义，正确把握一元二次方程的定义是解题关键．根据一元二次方程的定义，必须同时满足三个条件：①整式方程，即等号两边都是整式；方程中如果有分母，那么分母中无未知数；②只含有一个未知数；③未知数的最高次数是2．逐一判断即可． 【详解】解：A、是一元一次方程，不合题意； B、是一元二次方程，符合题意； C、是分式方程，不符合题意； D、是二元二次方程，不合题意． 故选：B． 3. 用配方法解方程时，配方后所得的方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查用配方法解一元二次方程，解题的关键掌握用配方法解一元二次方程的一般步骤：①将方程化为一般式，然后通过移项再将常数项移至方程的右边；②将二次项系数化为，当二次项系数不是时，则在方程两边同时除以二次项系数；③在方程两边同时加上一次项系数一半的平方，使其中的三项成为完全平方式；④配方后将原方程化为的形式，再用直接开平方的方法解方程．据此解答即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴． 故选：D． 4. 点关于原点对称的点的坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据关于原点对称点的坐标特点：两个点关于原点对称时，它们的横、纵坐标分别互为相反数即可得答案． 【详解】解：点关于原点对称的点的坐标是， 故选：D． 【点睛】此题主要考查了关于原点对称点的坐标，关键是掌握点的坐标的变化规律． 5. 将函数y＝2（x+1）2﹣3的图象向上平移2个单位，再向左平移1个单位，可得到的抛物线的解析式为（　　） A. y＝2（x﹣1）2﹣5 B. y＝2x2﹣1 C. y＝2（x+2）2﹣5 D. y＝2（x+2）2﹣1 【答案】D 【解析】 【分析】根据函数图象平移法则即可得出结论． 【详解】将函数y=2（x+1）2-3的图象向上平移2个单位，再向左平移1个单位， 则平移后的抛物线的解析式：y=2（x+1+1）2-3+2，即y=2（x+2）2-1， 故选D． 【点睛】本题考查的是二次函数的图象与几何变换，熟知“上加下减，左加右减”的法则是解答此题的关键． 6. 如图，抛物线与直线相交于点和，若，则的取值范围是（ ） A. B. C. 或 D. 或 【答案】C 【解析】 【分析】根据函数图象写出抛物线在直线上方部分的x的取值范围即可． 【详解】抛物线与直线相交于点和， 则的解集为：或． 故选C． 【点睛】本题考查了二次函数与不等式，数形结合是数学中的重要思想之一，解决函数问题更是如此． 7. 函数和（为常数，且），在同一平面直角坐标系中的大致图象可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由二次函数的解析式可得二次函数的图象的顶点为即可排除A、B，由一次函数的解析式可得一次函数的图象经过点即可排除C，从而得到答案． 【详解】解：， 二次函数的图象的顶点为，故A、B不符合题意； 在中，当时，，解得， 一次函数的图象经过点，故C不符合题意； 故选：D． 【点睛】本题考查了一次函数、二次函数图象的综合判断，熟练掌握一次函数和二次函数的图象与性质是解题的关键． 8. 设方程的两个根为α，β， 那么的值等于（ ） A. B. C. 1 D. 3 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程根与系数的关系．若一元二次方程两根为，则，，代值求解即可得到答案． 【详解】解：方程的两个根为， ∴，， ∴， 故选：A． 9. 如图，绕点顺时针旋转到的位置，已知，则等于（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】此题主要考查了旋转的性质，由旋转性质可知，然后由即可求解，掌握旋转的性质是解题的关键． 【详解】解：∵绕点顺时针旋转到的位置， ∴， ∴， 故选：． 10. 对于二次函数，规定函数是它的相关函数．已知点M，N的坐标分别为，，连接，若线段与二次函数的相关函数的图象有两个公共点，则n的取值范围为（ ） A. 或 B. 或 C. 或 D. 或 【答案】A 【解析】 【分析】首先确定出二次函数的相关函数与线段恰好有个交点、个交点、个交点时的值，然后结合函数图象可确定出的取值范围． 【详解】解：如图所示：线段与二次函数的相关函数的图象恰有个公共点时，则线段恰好经过二次函数的顶点， ∴当时，，即，解得． 如图所示：线段与二次函数的相关函数的图象恰有个公共点． 抛物线与轴交点纵坐标为， ，解得：． 当时，线段与二次函数的相关函数的图象恰有个公共点． 如图所示：线段与二次函数的相关函数的图象恰有个公共点． 抛物线经过点， ． 如图所示：线段与二次函数的相关函数的图象恰有个公共点． 抛物线经过点， ，解得：． 时，线段与二次函数的相关函数的图象恰有个公共点． 综上所述，的取值范围是或， 故选：A． 【点睛】本题主要考查的是二次函数的综合应用，解答本题主要应用了二次函数的图象和性质、函数图象上点的坐标与函数解析式的关系，求得二次函数的相关函数与线段恰好有个交点、个交点、个交点时的值是解题的关键． 二、填空题（6小题，每题3分，共18分） 11. 若关于的方程一个根是1，则另一根为_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查根与系数的关系，熟练掌握根与系数的关系是解题的关键．根据根与系数的关系，即可得到答案． 【详解】解：由题意得：， 关于的方程一个根是1， ， 故答案为：． 12. 如图，在△ABC中，∠BAC＝33°，将△ABC绕点A按顺时针方向旋转50°，对应得到△AB′C′，则∠B′AC的度数为____． 【答案】17° 【解析】 【详解】解：∵∠BAC=33°，将△ABC绕点A按顺时针方向旋转50°，对应得到△AB′C′， ∴∠B′AC′=33°，∠BAB′=50°， ∴∠B′AC的度数=50°−33°=17°. 故答案为17°. 13. 要修一个圆形喷水池，在池中心竖直安装一根水管，水管的顶端安一个喷水头，使喷出的抛物线形水柱在与池中心的水平距离为处达到最高，高度为，水柱落地处离池中心，水管高度应为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次函数在实际问题中的应用．设抛物线的解析式为，用待定系数法求得抛物线的解析式，再令，求得的值，即可得出答案． 【详解】解：设抛物线的解析式为， 由题意可知抛物线的顶点坐标为，与轴的一个交点为， ， 解得：， 抛物线的解析式为：， 当时，， 水管的高度为， 故答案为：． 14. 已知一个直角三角形的两条直角边长恰好是方程的两根，那么这个直角三角形斜边的长为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查解一元二次方程，先解方程得到，再用勾股定理计算即可． 【详解】∵， ∴， ∴， ∴直角三角形的两条直角边长分别为、， ∴这个直角三角形斜边的长为， 故答案为：． 15. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线的对称轴为直线，与轴的一个交点为，则关于的方程的两根为___． 【答案】， 【解析】 【分析】根据抛物线的对称性得到抛物线与轴的另一个交点坐标，即可求得关于的方程的两根． 【详解】解：∵抛物线的对称轴为直线，与轴的一个交点为， ∴抛物线与轴的另一个交点坐标为， ∴关于的方程的解为，， 故答案为：，． 16. 在平面直角坐标系中，抛物线与轴的一个交点坐标，对称轴为直线，其部分图象如图所示，下列结论：①抛物线过原点；②；③；④抛物线的顶点坐标为；⑤当时，随的增大而增大．其中结论正确的是 __． 【答案】①③④ 【解析】 【分析】本题考查了抛物线与x轴的交点、二次函数图象与系数的关系以及二次函数图象上点的坐标特征，逐一分析五条结论的正误是解题的关键． 利用二次函数的性质可以判断各个小题即可完成解答． 【详解】解：抛物线与轴的一个交点坐标为，对称轴是直线， 抛物线与轴的另一个交点坐标为，因此①正确； 当时，， 由图象可知此时，即，因此②不正确； 对称轴是直线，即， ∴，而， ∴，故③正确； 对称轴是直线，即， ∴，而， ∴当时，， ∴顶点为，因此④正确； 在对称轴的左侧，随的增大而减小， 即：当时，随的增大而减小，因此⑤不正确； 综上所述，正确的结论有①③④， 故答案为：①③④． 第II卷 三、解答题解答题（17、18、19题每题6分，20、21每题8分，22、23每题9分，24、25每题10分，共计72分，解答题要有必要的文字说明） 17. 如图，是等边三角形内一点，将线段绕点顺时针旋转，得到线段，连接，． （1）求证：； （2）连接，若，求的度数． 【答案】（1）见解析； （2）． 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，旋转的性质，掌握相关知识是解题的关键． （1）根据等边三角形的性质可得，，由旋转可得，，推出，证明，根据全等三角形的性质即可证明； （2）连接，根据旋转可得为等边三角形，推出，由，可得，最后根据角的和差即可求解． 小问1详解】 证明：是等边三角形， ，， 将线段绕点顺时针旋转，得到线段， ，， ， ， 在和中， ， ， ； 【小问2详解】 如图，连接， ，， 为等边三角形， ， 又， ， ． 18. 解方程： （1） （2） 【答案】（1）， （2）， 【解析】 【分析】本题主要考查一元二次方程的解法，解题方法多样，关键在于熟练掌握解一元二次方程的步骤，第（1）题要特别注意先进行移项使方程右边为零． （1）先移项，使方程右边为零，然后将方程左边进行因式分解，使分解后两个一次因式分别为零，即可解答； （2）根据因式分解法即可求解． 【小问1详解】 解：， ， ， ， 令或， 解得：，； 【小问2详解】 解：， ， 令或， 解得：，． 19. 如图，三个顶点的坐标分别为 （1）请画出绕点O旋转的图形； （2）在x轴上找一点P，使的值最小，请直接写出点P的坐标． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了画中心对称图形，轴对称最短路径问题： （1）根据题意可知与关于点O中心对称，根据关于原点对称的点横纵坐标都互为相反数找到A、B、C对应点的位置，然后顺次连接即可； （2）作A点关于x轴的对称点，连接交x轴于点P，点P即为所求，再根据网格的特点写出点P的坐标即可． 【小问1详解】 解： 如图所示，即为所求； 【小问2详解】 解：作A点关于x轴的对称点，连接交x轴于点P，点P即为所求， ∴P点坐标为． 20. 如图，在等腰直角中，是边上任意一点（不与重合），将线段绕点逆时针旋转得到线段，连接． （1）求的度数； （2）若，求的长． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了旋转的性质、勾股定理、等腰直角三角形的性质、三角形全等的判定与性质，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）由等腰直角三角形的性质可得，由旋转的性质可得：，，从而得到，证明得出，从而得到； （2）由（1）可知，，得到，由勾股定理可得，从而得出，最后由勾股定理进行计算即可． 【小问1详解】 解：是等腰直角三角形， ， 由旋转的性质可得：，， ，即， ， ， ， ； 【小问2详解】 解：由（1）可知，， ， ， ， ， 在中，根据勾股定理． 21. 2024年是农历甲辰龙年，含有“龙”元素的饰品深受大众喜爱．商场购进一批单价为70元的“吉祥龙”公仔，并以每个80元售出．由于销售火爆，公仔的销售单价经过两次调整后，上涨到每个125元，此时每天可售出75个． （1）若销售单价每次上涨的百分率相同，求该百分率； （2）市场调查发现：销售单价每降低1元，其销售量相应增加5个．那么销售单价应降低多少，才能使每天所获销售利润最大？最大利润是多少？ 【答案】（1） （2）销售单价降低元，所获销售利润最大，最大为元 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用、二次函数的应用，解题时要能找准等量关系，正确列出一元二次方程及二次函数关系式是解题的关键． （1）依据题意，设每次上涨的百分率为x，再由题意列出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论； （2）依据题意，设每个降价为a元，可列出关于a的二次函数，再由二次函数的性质进行判断计算可以得解． 【小问1详解】 解：设每次上涨的百分率为，列方程为： ， 解得：，（舍去）， 答：每次上涨的百分率为； 【小问2详解】 解：设销售单价降低元，销售利润为元， ， ∴当销售单价降低元，所获销售利润最大，最大为元． 22. 已知关于的一元二次方程． （1）求证：无论取何值，方程都有两个不相等的实数根； （2）如果方程的两个实数根为，且，求的值． 【答案】（1）证明见解析； （2）或． 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，根与系数的关系，解一元二次方程，掌握一元二次方程根的判别式是解题的关键． （1）根据根的判别式证明恒成立即可； （2）由题意可得，，，进行变形后代入即可求解． 【小问1详解】 证明：， ∵无论取何值，，恒成立， ∴无论取何值，方程都有两个不相等的实数根． 【小问2详解】 解：∵是方程的两个实数根， ∴，， ∴， 解得：或． 23. 已知是抛物（b为常数）上的两点，当时，总有 （1）求b的值； （2）将抛物线平移后得到抛物线． 探究下列问题： ①若抛物线与抛物线有一个交点，求m的取值范围； ②设抛物线与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，抛物线的顶点为点E，外接圆的圆心为点F，如果对抛物线上的任意一点P，在抛物线上总存在一点Q，使得点P、Q的纵坐标相等．求长的取值范围． 【答案】（1）0 （2）①② 【解析】 【分析】（1）根据，且时，总有，变形后即可得到结论； （2）按照临界情形，画出图象分情况讨论求解即可． 【小问1详解】 解：由题可知： 时，总有， ． 则， ∴， ∴总成立，且， ； 【小问2详解】 ①注意到抛物线最大值和开口大小不变，m只影响图象左右平移下面考虑满足题意的两种临界情形： （i）当抛物线过点时，如图所示， 此时，，解得或（舍）． （ii）当抛物线过点时，如图所示， 此时，， 解得或（舍）， 综上，， ②同①考虑满足题意两种临界情形： （i）当抛物线过点时，如图所示， 此时，，解得或（舍）． （ii）当抛物线过点时，如图所示， 此时，，解得或0（舍）． 综上， 如图，由圆的性质可知，点E、F在线段的垂直平分线上． 令，解得， ， ， ， 设， ， ， ， ， ，即， ． ，即， ， 【点睛】此题考查了二次函数的图象和性质、垂径定理、解一元二次方程等知识，数形结合和分类讨论是解题的关键． 24. 定义：如果抛物线的顶点在抛物线上，抛物线的顶点也在抛物线上，且抛物线与的顶点不重合，我们称抛物线与互为“伴随抛物线”． （1）判断下列抛物线是否为抛物线的“伴随抛物线”，是的打“ √”，不是的打“ ”： ① ___；② ___；③ ___ （2）若抛物线（为实数且）与互为“伴随抛物线”，请问抛物线的图象是否经过定点？若经过，求出定点的坐标，否则，请说明理由； （3）已知抛物线（为实数且）与轴交于点，抛物线：与轴交于点，若抛物线与互为“伴随抛物线”，且，请问是否为定值，若是，求出这个值； 若不是，请说明理由． 【答案】（1）①√；②×；③√ （2）经过定点 （3）是定值，4 【解析】 【分析】本题主要考查二次函数的图象与性质，一元二次方程根和系数的关系，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键； （1）根据题中所给新定义结合二次函数的图象与性质可进行求解； （2）由题意易得的顶点坐标为，则有，然后抛物线化简为：，进而问题可求解； （3）由题意易得抛物线的顶点为，则有，然后可得，进而可得，推出，同理可得，最后问题可求解． 【小问1详解】 解：二次函数的顶点坐标为，则有： ①把点代入明显成立，而二次函数的顶点坐标为，代入明显成立；故与是“伴随抛物线”； ②把点代入明显不成立，故与不是“伴随抛物线”； ③把点代入明显成立，而二次函数的顶点坐标为，代入明显成立；故与是“伴随抛物线”； 故答案为√，×，√； 【小问2详解】 解：∵， 的顶点坐标为， ∵抛物线与互为“伴随抛物线”, 点在抛物线上， ∴，化简得， 抛物线化简为：， 令， 解得或， 抛物线过定点，坐标为、； 【小问3详解】 解：抛物线， ∴抛物线的顶点为， 抛物线与互为“伴随抛物线”， 点在抛物线上， ∴， 化简得①， ∵， ∴， 代入①得：②， 抛物线与轴交于点， ∴是关于的一元二次方程的两根， ∴， ∵ ， 同理可得， ， 为定值，定值为4． 25. 如图， 抛物线交x轴于点A、B两点，与y轴交于点，其顶点为点D． （1）求a的值和顶点 D 的坐标； （2）在x轴上有一动点，若点C、D以M为中心对称的对称点分别是、，请判断以C、D、、为顶点的四边形可能是正方形吗？ 若存在，求出对应的点M的坐标； 若不存在，请说明理由； （3）若N是直线 上的一动点，把绕点N旋转 ，原点O的对应点为，若点 恰好落在抛物线上，请求出所有符合条件的点N的坐标． 【答案】（1）， （2）存在， （3）点N的坐标，，， 【解析】 【分析】将点代入解析式解得，进一步将解析式化为顶点式即可求得点D； 根据点、点C和点D位置关系可得四边形只能为，且对角线和相等，且关于点M对称，有 ，则 ，即，解得即可； 先求得点，，结合旋转的性质得和，则为等腰直角三角形，①当把绕点N逆时针旋转 ，连接，过点作，可证明，则，设，则点；②当把绕点N顺时针旋转 ，过点作，同理可证，则，则点，分别代入函数解析式化简求值即可． 【小问1详解】 解：将点代入解析式得，，解得， ∴ ， 则点； 【小问2详解】 解：存在，理由如下， ∵点在x轴上， ∴点只能在x轴上方，点只能在x轴下方， 则四边形只能为，即对角线和相等，且关于点M对称， ∴，， ∵四边形为正方形， ∴ ， ∴ ， 即，解得， 故存在点M使得以C、D、 为顶点的四边形是正方形，点； 【小问3详解】 解：令，则，解得或，则点，， ①当把绕点N逆时针旋转 ，原点O的对应点为， ∴，， 连接，过点作，如图， 则为等腰直角三角形，， ∵， ∴， ∴， 则， 设，则点， ∵点 恰好落在抛物线上， ∴，化简得，解得， 那么， ，； ②当把绕点N顺时针旋转 ，原点O的对应点为， ∴，， 过点作，如图， 同理可证， 则， 设，则点， ∵点 恰好落在抛物线上， ∴，化简得，解得， 那么， ，； 故所有符合条件的点N的坐标，，，． 【点睛】本题主要考查待定系数法求解析式，旋转的性质，正方形的性质，两点之间的距离，等腰直角三角形的判定和性质，以及全等三角形的判定和性质，解题的关键是熟悉二次函数的性质和正方形的性质，利用旋转求得对应的边角关系． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 人教版2025—2026学年九年级上册数学第一次月考全真模拟试卷 考生注意：本试卷共三道大题，25道小题，满分120分，时量120分钟 第I卷 一、选择题（每题只有一个正确选项，每小题3分，满分30分） 1. 如图各交通标志中，不是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列方程中，属于一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 3. 用配方法解方程时，配方后所得的方程为（ ） A B. C. D. 4. 点关于原点对称点的坐标是（ ） A. B. C. D. 5. 将函数y＝2（x+1）2﹣3的图象向上平移2个单位，再向左平移1个单位，可得到的抛物线的解析式为（　　） A. y＝2（x﹣1）2﹣5 B. y＝2x2﹣1 C. y＝2（x+2）2﹣5 D. y＝2（x+2）2﹣1 6. 如图，抛物线与直线相交于点和，若，则的取值范围是（ ） A. B. C. 或 D. 或 7. 函数和（为常数，且），在同一平面直角坐标系中的大致图象可能是（ ） A B. C. D. 8. 设方程的两个根为α，β， 那么的值等于（ ） A B. C. 1 D. 3 9. 如图，绕点顺时针旋转到的位置，已知，则等于（ ） A. B. C. D. 10. 对于二次函数，规定函数是它的相关函数．已知点M，N的坐标分别为，，连接，若线段与二次函数的相关函数的图象有两个公共点，则n的取值范围为（ ） A. 或 B. 或 C. 或 D. 或 二、填空题（6小题，每题3分，共18分） 11. 若关于的方程一个根是1，则另一根为_______． 12. 如图，在△ABC中，∠BAC＝33°，将△ABC绕点A按顺时针方向旋转50°，对应得到△AB′C′，则∠B′AC的度数为____． 13. 要修一个圆形喷水池，在池中心竖直安装一根水管，水管的顶端安一个喷水头，使喷出的抛物线形水柱在与池中心的水平距离为处达到最高，高度为，水柱落地处离池中心，水管高度应为______． 14. 已知一个直角三角形的两条直角边长恰好是方程的两根，那么这个直角三角形斜边的长为________． 15. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线的对称轴为直线，与轴的一个交点为，则关于的方程的两根为___． 16. 在平面直角坐标系中，抛物线与轴的一个交点坐标，对称轴为直线，其部分图象如图所示，下列结论：①抛物线过原点；②；③；④抛物线的顶点坐标为；⑤当时，随的增大而增大．其中结论正确的是 __． 第II卷 三、解答题解答题（17、18、19题每题6分，20、21每题8分，22、23每题9分，24、25每题10分，共计72分，解答题要有必要的文字说明） 17. 如图，是等边三角形内一点，将线段绕点顺时针旋转，得到线段，连接，． （1）求证：； （2）连接，若，求的度数． 18. 解方程： （1） （2） 19. 如图，三个顶点的坐标分别为 （1）请画出绕点O旋转的图形； （2）在x轴上找一点P，使的值最小，请直接写出点P的坐标． 20. 如图，在等腰直角中，是边上任意一点（不与重合），将线段绕点逆时针旋转得到线段，连接． （1）求度数； （2）若，求的长． 21. 2024年是农历甲辰龙年，含有“龙”元素的饰品深受大众喜爱．商场购进一批单价为70元的“吉祥龙”公仔，并以每个80元售出．由于销售火爆，公仔的销售单价经过两次调整后，上涨到每个125元，此时每天可售出75个． （1）若销售单价每次上涨的百分率相同，求该百分率； （2）市场调查发现：销售单价每降低1元，其销售量相应增加5个．那么销售单价应降低多少，才能使每天所获销售利润最大？最大利润是多少？ 22. 已知关于的一元二次方程． （1）求证：无论取何值，方程都有两个不相等的实数根； （2）如果方程的两个实数根为，且，求的值． 23. 已知是抛物（b为常数）上的两点，当时，总有 （1）求b的值； （2）将抛物线平移后得到抛物线． 探究下列问题： ①若抛物线与抛物线有一个交点，求m的取值范围； ②设抛物线与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，抛物线的顶点为点E，外接圆的圆心为点F，如果对抛物线上的任意一点P，在抛物线上总存在一点Q，使得点P、Q的纵坐标相等．求长的取值范围． 24. 定义：如果抛物线的顶点在抛物线上，抛物线的顶点也在抛物线上，且抛物线与的顶点不重合，我们称抛物线与互为“伴随抛物线”． （1）判断下列抛物线是否为抛物线的“伴随抛物线”，是的打“ √”，不是的打“ ”： ① ___；② ___；③ ___ （2）若抛物线（为实数且）与互为“伴随抛物线”，请问抛物线的图象是否经过定点？若经过，求出定点的坐标，否则，请说明理由； （3）已知抛物线（为实数且）与轴交于点，抛物线：与轴交于点，若抛物线与互为“伴随抛物线”，且，请问是否为定值，若是，求出这个值； 若不是，请说明理由． 25. 如图， 抛物线交x轴于点A、B两点，与y轴交于点，其顶点为点D． （1）求a的值和顶点 D 的坐标； （2）在x轴上有一动点，若点C、D以M为中心对称的对称点分别是、，请判断以C、D、、为顶点的四边形可能是正方形吗？ 若存在，求出对应的点M的坐标； 若不存在，请说明理由； （3）若N是直线 上的一动点，把绕点N旋转 ，原点O的对应点为，若点 恰好落在抛物线上，请求出所有符合条件的点N的坐标． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$