6.3.2 角的比较与运算 （预习讲义）2025-2026学年人教版七年级数学上册

本讲义聚焦角的比较与运算核心知识点，前承角的基本概念，后续角的分类等内容。通过梳理度量法（规范测量步骤）、叠合法（操作流程），角的加减运算（共顶点相邻角条件），角平分线定义与性质，结合作图技能（作等角、角平分线步骤）及实际应用模型，构建递进式学习支架。 资料特色鲜明，易错点提醒针对性强（如测量对齐、运算共顶点条件），巩固练习覆盖选择填空解答题。通过生活实例（台灯角度、导航方向）培养数学眼光，作图步骤与推理示例发展运算能力和推理意识，助力课中教师突出重点，课后学生查漏补缺。

2025-2026学年人教版七年级数学上册 6.3.2 角的比较与运算 （预习讲义） 学习目标 1. 比较能力 · 掌握用量角器测量角度的规范方法（中心对齐顶点，零刻度线与边重合） · 理解角的大小比较方法（叠合法与度量法） 2. 运算能力 · 能进行角度的加减运算（如∠AOB+∠BOC=∠AOC） · 掌握角平分线的定义与性质（若OC平分∠AOB，则∠AOC=∠BOC=½∠AOB） 3. 作图技能 · 会用三角板和量角器作一个角等于已知角 · 能根据条件作角的和、差及角平分线 4. 实际应用 · 解释“角度调整”在生活中的应用（如台灯照射角度的改变） · 理解角度计算在工程图纸中的作用（如机械零件的夹角设计） 知识点梳理 1. 角的比较方法 · 度量法：用量角器直接测量角度后比较数值 · 示例：∠A=30°，∠B=45° → ∠B > ∠A · 叠合法：将两个角的顶点和一边重合，观察另一边的位置 · 操作步骤： ① 使∠AOB与∠COD的顶点O重合，边OA与边OC重合 ② 若边OB落在∠COD内部，则∠AOB < ∠COD ③ 若边OB与边OD重合，则∠AOB = ∠COD 2. 角的运算 · 加法：共顶点的相邻角相加（∠AOB+∠BOC=∠AOC） · 示例：∠AOB=40°，∠BOC=50° → ∠AOC=90° · 减法：从大角中减去小角（∠AOC-∠AOB=∠BOC） · 注意：被减角必须包含减角 3. 角平分线 · 定义：将一个角分成两个相等角的射线 · 性质：若OC平分∠AOB，则： · ∠AOC = ∠BOC = ½∠AOB · ∠AOB = 2∠AOC = 2∠BOC · 示例：若∠AOB=60°，则角平分线OC分出的两个角均为30° 4. 作图方法 · 作等角： ① 画射线OP ② 用量角器量取已知角度，在OP上标记点Q ③ 连接OQ，得到∠POQ等于已知角 · 作角平分线： ① 以顶点O为圆心画弧，交两边于A、B ② 分别以A、B为圆心画等半径弧，两弧交于点C ③ 连接OC即为角平分线 5. 实际应用模型 · 角度调整：调整风扇叶片角度改变风向 · 导航方向：北偏东45°表示从正北向东旋转45° 易错点提醒 1. 测量误差 · 错误案例：量角时未对齐零刻度线导致读数错误 · 纠正：量角器中心必须与顶点重合，零刻度线与角的一边重合 2. 运算方向混淆 · 错误案例：认为∠AOB+∠COD=∠AOD（需共顶点且相邻） · 规则：角的加减必须满足共顶点和有一条公共边 3. 角平分线条件遗漏 · 错误案例：认为“经过顶点的射线就是角平分线” · 验证：必须通过测量或作图确认分出的两个角相等 4. 单位遗漏 · 错误案例：写“∠AOB=30”而未标注“°” · 规范：角度值必须带单位“°” 5. 叠合操作不当 · 错误案例：比较角时未对齐顶点或边 · 技巧：用透明纸描摹角辅助叠合 6. 作图不精确 · 错误案例：作角平分线时两弧半径不等 · 要求：画弧时圆规半径需保持一致 7. 动态与静态混淆 · 错误案例：认为“角的两边越长角度越大” · 本质：角的大小仅与两边张开程度有关，与边长无关 8. 特殊角忽略 · 错误案例：忽略平角（180°）和周角（360°）的运算 · 示例：两个直角相加为平角，四个直角相加为周角 巩固练习 一、选择题 1．如图，已知 ， ，OC平分 ，则 的度数为（　　） A．60° B．65° C．70° D．80° 2．已知∠α=18°18′，∠β=18.18°，∠γ=18.3°，下列结论正确的是（　　） A．∠α=∠β B．∠α＜∠β C．∠α=∠γ D．∠β＞∠γ 3．如图，已知点在点的北偏东方向上，点在点的正南方向，平分，则点相对于点的方位可表示为（　　） A．南偏东方向 B．南偏东方向 C．南偏东方向 D．南偏东方向 4．如图，只用一副三角板可以直接画出的角．则下列度数的角只用一副三角板不能直接画出的是（　　） A． B． C． D． 5．下列说法中正确的是（　　） A．若，则一定是负数 B．是最大的负整数 C． D．若，则射线是的平分线 6．将矩形ABCD沿AE折叠，得到如图图形．若∠CED′=56°，则∠AED的大小是（　　） A．56° B．60° C．62° D．65° 7．如图，如果∠CAE＞∠BAD，那么下列说法中一定正确的是（　　） A．∠BAC＞∠CAD B．∠DAE＞∠CAD C．∠CAE＜∠BAC+∠DAE D．∠BAC＜∠DAE 二、填空题 8．计算：　 　． 9．如图所示，其中最大的角是　 　 ，∠DOC，∠DOB，∠DOA的大小关系是　 　 ． 10．已知∠AOB=3∠BOC，射线OD平分∠AOC，若∠BOD=30°，则∠BOC的度数为　 　. 11．如图，两块三角板的直角顶点O重叠在一起，且，则的度数为　 　． 12．已知∠AOB＝80°，射线OC在∠AOB内部，且∠AOC＝20°，∠COD＝50°，射线OE、OF分别平分∠BOC、∠COD，则∠EOF的度数是　 　． 三、解答题 13．如图，已知 是直线 上一点， 是一条射线， 平分 ， 在 内， ， ，求 的度数． 14．如图，OB是∠AOC的平分线，OD是∠COE的平分线. （1）如果∠AOB=40°，∠DOE=30° ，那么∠BOD是多少度？ （2）如果∠AOE=160°，∠COD=30°，∠AOB那么是多少度？ 15．如图，∠AOB=90°，∠AOC=30°，且OM平分∠BOC，ON平分∠AOC， （1）求∠MON的度数； （2）若∠AOB=α其他条件不变，求∠MON的度数； （3）若∠AOC=β（β为锐角）其他条件不变，求∠MON的度数； （4）从上面结果中看出有什么规律？ 16．如图1，已知线段AB＝44cm，CD＝4cm，线段CD在线段AB上运动（点C不与点A重合），点E、F分别是AC、BD的中点． （1）若AC＝10cm，则EF＝　 　cm； （2）当线段CD在线段AB上运动时，试判断线段EF的长度是否会发生变化，如果不变，请求出线段EF的长度；如果变化，请说明理由； （3）我们发现角的很多规律和线段一样，如图2，已知∠COD在∠AOB内部转动，OE，OF分别平分∠AOC和∠BOD．类比以上发现的线段的规律，若∠EOF＝75°，∠COD＝35°则∠AOB＝　 　． 参考答案 1．C 2．C 3．A 4．D 5．B 6．C 7．D 8． 9．∠AOD；∠DOA＞∠DOB＞∠DOC 10．15°或30° 11． 12．或 13．解：如图，设 ∵OD平分∠AOB ∴∠AOD=∠DOB= ∵∠AOD+∠DOB+∠BOE+∠EOC= ∴ + + = ∴ ∴∠EOC= 14．（1）解：因为OB是∠AOC的平分线，OD是∠COE的平分线. 所以 ∠AOB=∠BOC=40°，∠COD=∠DOE=30°. ∠BOD=∠BOC＋∠COD=40°＋30°=70° （2）解：因为∠AOB=∠BOC，∠COD=∠DOE=30°，∠AOE=160° ∠AOE=∠AOB＋∠BOC＋∠COD＋∠DOE 160°=2∠AOB＋30°＋30°，所以∠AOB=50° 15．解：（1）∵∠AOB=90°，∠AOC=30°，∴∠BOC=120°∵OM平分∠BOC，ON平分∠AOC∴∠COM=60°，∠CON=15°∴∠MON=∠COM﹣∠CON=45°．（2）∵∠AOB=α，∠AOC=30°，∴∠BOC=α+30°∵OM平分∠BOC，ON平分∠AOC∴∠COM=+15°，∠CON=15°∴∠MON=∠COM﹣∠CON=．（3）∵∠AOB=90°，∠AOC=β，∴∠BOC=90°+β∵OM平分∠BOC，ON平分∠AOC∴∠COM=45°+，∠CON=​．∴∠MON=∠COM﹣∠CON=45°．（4）从上面的结果中，发现：∠MON的大小只和∠AOB得大小有关，与∠A0C的大小无关． 16．（1）24 （2）解：不变化，，理由如下： 点点分别是的中点， 的长度不变化， （3） 学科网（北京）股份有限公司 $$