21.2 解一元二次方程（同步课堂）2025-2026学年人教版数学九年级上册

本讲义聚焦“解一元二次方程”核心知识点，系统梳理直接开平方法、配方法、公式法、因式分解法及根与系数的关系，通过概念定义、步骤分解、条件分析构建学习支架，形成从基础解法到综合应用的递进脉络。 资料特色在于兼顾知识体系与实践能力，新知廊系统梳理培养抽象能力，求甚解对比解法发展推理意识，练题型通过典型例题与变式训练提升应用意识。课中辅助教师分层教学，课后帮助学生查漏补缺，强化解题技能。

21.2 解一元二次方程 目录 题型01 配方 7 题型02 用配方法解一元二次方程 9 题型03 根据求根公式求原方程 10 题型04 用公式法解一元二次方程 12 题型05 用因式分解法解一元二次方程 13 题型06 根据判别式判断一元二次方程根的情况 15 题型07 根据一元二次方程根的个数求字母的范围 17 题型08 一元二次方程根与系数的关系 19 建体系 新知廊 知识点1：直接开平方法解一元二次方程 1．直接开平方法：利用平方根的意义直接开平方，求一元二次方程解． 2．方程如的解： （1）当时，根据平方根的意义，方程有两个不相等的实数根，即，； （2）当时，方程有两个相等的实数根，即； （3）当时，方程没有实数根． 知识点2：配方法解一元二次方程 1．概念：把方程ax2＋bx+c=0（a≠0）的左边配成一个含有未知数的完全平方式、右边是一个常数形式，进而用直接开平方求解，这种通过配成完全平方形式来解一元二次方程的方法，叫做配方法． 【注意】配方是为了利用直接开平方法，把一个一元二次方程转化为一元一次方程，实现降次．使用配方法时，一次项系数决定了完全平方式是两数差的平方还是两数和的平方 2．可化为的形式的一元二次方程的根： （1）当时，方程有两个不相等的实数根：，． （2）当时，方程有两个相等的实数根：． （3）当时，方程没有实数根． 3．用配方法解一元二次方程“ax2＋bx+c=0（a≠0）”的一般步骤是： （1）将方程化为一般形式ax2＋bx+c=0； （2）移项，将常数项移到方程的右边ax2＋bx=﹣c； （3）化二次项系数为1，即方程两边同除以二次项系数a； （4）配方，即方程两边都加上一次项系数的一半的平方；化原方程为的形式； （5）如果n≥0就可以用两边开平方来求出方程的解；如果n≤0，则原方程无解． 知识点3：一元二次方程根的判别式 1．一元二次方程根的判别式： 将（）配方成后，可以看出，只有时，方程才有实数根，这样的值就决定着一元二次方程的根． 一般，式子叫作一元二次方程（）根的判别式，通常用希腊字母“”表示它，即． 2．一元二次方程根的情况与根的判别式之间的关系： （1）方程有两个不相等的实数根． （2）方程有两个相等的实数根．（不能说成方程只有一个实数根） （3）方程没有实数根． 知识点4：公式法解一元二次方程 1．一元二次方程的求根公式：解一元二次方程时，可以先将方程化为一般形式（）．当时，方程（）的实数根可以写成的形式．这个式子叫做一元二次方程（）的求根公式． 2．公式法：利用求根公式解一元二次方程的方法叫做公式法． 3．用公式法解一元二次方程的步骤： （1）化：把一元二次方程化为一般形式． （2）定：确定a，b，c的值． （3）算：计算判别式的值． （4）求：在的前提下，将a，b，c的值代入求根公式求解． （若，则方程无实数根） 知识点5：因式分解法解一元二次方程 1．因式分解法的概念：利用因式分解求解一元二次方程的方法叫做因式分解法． 2．因式分解法的基本原理： 左边为整式的乘积的形式，右边等于0，则让左边的整式分别等于0即可求解． 即：，则0或0． 3．因式分解法解一元二次方程的一般步骤如下： （1）移项：将方程的右边化为0； （2）分解：将方程的左边转化为两个一元一次多项式的乘积； （3）转化：令每个因式分别为0； （4）求解：两个因式分别为零的解就都是原方程的解． 4．常见的可以用因式分解法求解的方程的类型： 常见类型 因式分解 方程的解 x2＋bx=0 x2－a2=0 x2±2ax+a2=0 x2＋（a＋b）x+ab=0 【注意】切记不能在方程两边同时除以含有未知数的式子，以免丢根． 知识点6：一元二次方程的根与系数的关系 数学语言 若关于的一元二次方程．有两个根分别为，则． 文字语言 一元二次方程的两个根的和等于一次项系数与二次项系数的比的相反数，两个根的积等于常数项与二次项系数的比 使用条件 （1）方程是一元二次方程，即二次项系数不为0； （2）方程有实数根，即Δ≥0 重要结论 （1）方程是一元二次方程x2＋px+q=0的两个根为，则； （2）以实数为根的二次项系数为1的一元二次方程是 求甚解 1．一元二次方程解法的比较 方法 理论依据 适用方程 关键步骤 主要特点 直接开平方法 平方根的意义 或 开平方 求解迅速，但只适用于一些特殊结构的方程 配方法 完全平方公式 所有一元二次方程 配方 步骤繁琐，当二次项系数为1时，用此法比较简单 公式法 配方 所有一元二次方程 代入求根公式 计算量很大，容易出现符号错误 因式分解法 若，则或 能化为一边为0，另一边为两个因式积的形式的方程 分解因式 求解迅速，准确，但适用范围较小 2．用合适的方法解一元二次方程 （1）方程没有一次项时用直接开平方法较为简单． 二次项系数为1，一次项系数为偶数时，用配方法较为简单． 当各项系数均为整数，且较小时，首选公式法． 一边为0，另一边易于分解成两个一次因式的乘积的形式时，用因式分解法较为简单． （2）配方法要先配方，再降次；通过配方法可以推出求根公式，公式法直接利用求根公式解方程；因式分解法要先将方程一边化为两个一次因式相乘，另一边为0，再分别使各一次因式等于0． 配方法、公式法适用于所有一元二次方程，因式分解法在解某些一元二次方程时比较简便． 总之，解一元二次方程的基本思路是：将二次方程化为一次方程，即降次． 3．根与系数的关系 （1）若关于的一元二次方程．有两个根分别为，则． 根与系数的关系又叫韦达定理． 注意：运用根与系数关系的前提条件是． （2）已知一元二次方程，求关于方程两根的代数式的值时，先把所求代数式变形为含有的式子，再运用根与系数的关系求解． 例如：，注意． 常见的公式变形： ① ② ③ ④ 练题型 题型01 配方 典型例题 典例 01 （2024秋•武汉期末）用配方法解一元二次方程x2﹣6x+6＝0时可配方得（　　） A．（x﹣3）2＝3 B．（x+3）2＝3 C．（x+3）2＝6 D．（x﹣3）2＝6 【答案】A 【分析】先将常数项移到等号右边，再等号两边同时加上一次项系数一半的平方即可解题． 【解答】解：x2﹣6x+6＝0， x2﹣6x+6﹣6＝0﹣6， x2﹣6x＝﹣6， x2﹣6x+9＝﹣6+9， （x﹣3）2＝3， 故选：A． 即学即练 【变式练1】　（2025春•海曙区期末）一元二次方程x2﹣4x﹣6＝0，经过配方可变形为（　　） A．（x﹣2）2＝10 B．（x﹣2）2＝6 C．（x﹣4）2＝6 D．（x﹣2）2＝2 【答案】A 【分析】本题要求用配方法解一元二次方程，首先将常数项移到等号的右侧，将等号左右两边同时加上一次项系数一半的平方，即可将等号左边的代数式写成完全平方形式． 【解答】解：∵x2﹣4x﹣6＝0， ∴x2﹣4x＝6， ∴x2﹣4x+4＝6+4， ∴（x﹣2）2＝10． 故选：A． 【变式练2】　（2025春•罗湖区校级期末）用配方法解一元二次方程x2﹣4x﹣3＝0，下列配方正确的是（　　） A．（x+2）2＝2 B．（x﹣2）2＝7 C．（x+2）2＝7 D．（x﹣2）2＝1 【答案】B 【分析】先配方，再根据完全平方公式进行变形，即可得出选项． 【解答】解：x2﹣4x﹣3＝0， x2﹣4x＝3， x2﹣4x+4＝3+4，即（x﹣2）2＝7， 故选：B． 【变式练3】　（2024秋•雅安校级月考）用配方法解一元二次方程x2﹣8x+12＝0，配方后得到的方程是 　　 ． 【答案】（x﹣4）2＝4． 【分析】先把12移项，再两边都加16，然后把左边写成完全平方的形式即可． 【解答】解：移项得，x2﹣8x＝﹣12， 两边都加16得，x2﹣8x+16＝﹣12+16， ∴（x﹣4）2＝4， 故答案为：（x﹣4）2＝4． 题型02 用配方法解一元二次方程 典型例题 典例 02 （2025春•安宁区校级期末）用配方法解方程：x2﹣6x+4＝0． 【答案】． 【分析】利用配方法逐步进行计算即可． 【解答】解：原方程移项得x2﹣6x＝﹣4， 配方得（x﹣3）2＝5， ， ． 即学即练 【变式练1】　（2024•南沙区二模）用配方法解方程：x2﹣2x﹣35＝0． 【答案】见试题解答内容 【分析】方程移项变形后，配方即可得到结果． 【解答】解：方程变形得：x2﹣2x＝35， 配方得：x2﹣2x+1＝36，即（x﹣1）2＝36， 开方得：x﹣1＝6或x﹣1＝﹣6， 解得：x1＝7，x2＝﹣5． 【变式练2】　（2024秋•长宁区校级期中）用配方法解方程：2x2﹣8x﹣1＝0 【答案】见试题解答内容 【分析】根据配方法即可求出答案． 【解答】解：∵2x2﹣8x﹣1＝0， ∴x2﹣4x ∴（x﹣2）2， ∴x﹣2＝±， ∴x＝2± 【变式练3】　（2024秋•潮南区期中）用配方法解一元二次方程：2x2+1＝3x． 【答案】见试题解答内容 【分析】利用配方法即可求出答案． 【解答】解：2x2﹣3x＝﹣1， x2x， x2x， （x）2， x， ∴x1＝1，x2. 题型03 根据求根公式求原方程 典型例题 典例 03 （2025•河南校级三模）在用求根公式求一元二次方程的根时，小珺正确地代入了a，b，c得到，则她求解的一元二次方程是（　　） A．2x2﹣3x﹣1＝0 B．2x2+4x﹣1＝0 C．﹣x2﹣3x+2＝0 D．3x2﹣2x+1＝0 【答案】A 【分析】判断出a＝2，b＝﹣3，c＝﹣1，可得结论． 【解答】解：由题意a＝2，b＝﹣3，c＝﹣1． 故选：A． 即学即练 【变式练1】　（2025春•霍邱县月考）用公式法解一元二次方程的根为，该方程为（　　） A．3x2+2x﹣1＝0 B．2x2+4x﹣1＝0 C．x2﹣2x+3＝0 D．3x2﹣2x﹣1＝0 【答案】D 【分析】根据求根公式解答即可． 【解答】解：由题意可得：a＝3，b＝﹣2，c＝﹣1． ∴该一元二次方程为：3x2﹣2x﹣1＝0． 故选：D． 【变式练2】　（2025春•桥西区期末）若是某个一元二次方程的一个根，则这个一元二次方程可以是（　　） A．x2﹣2x﹣1＝0 B．x2+2x﹣1＝0 C．x2+2x+1＝0 D．x2﹣2x+1＝0 【答案】A 【分析】根据解一元二次方程﹣公式法进行计算，即可解答． 【解答】解：若是某个一元二次方程的一个根，则这个一元二次方程可以是x2﹣2x﹣1＝0， 故选：A． 【变式练3】　（2025春•招远市期中）以为根的一元二次方程可能是（　　） A．x2﹣bx+10＝0 B．x2﹣bx﹣10＝0 C．x2+bx﹣5＝0 D．x2﹣bx﹣5＝0 【答案】D 【分析】根据公式法解一元二次方程即可求解． 【解答】解：A、，故该选项不正确，不符合题意； B、，故该选项不正确，不符合题意； C、，故该选项不正确，不符合题意； D、，故该选项正确，符合题意； 故选：D． 题型04 用公式法解一元二次方程 典型例题 典例 04 （2025春•凤阳县期末）解方程：2x（x+2）﹣1＝0． 【答案】x1，x2． 【分析】根据公式法即可求出答案． 【解答】解：∵2x（x+2）﹣1＝0， ∴2x2+4x﹣1＝0， ∴a＝2，b＝4，c＝﹣1， ∴Δ＝16﹣4×2×（﹣1）＝24， ∴x， ∴x1，x2． 即学即练 【变式练1】　（2025春•莱芜区期末）解方程：2x2﹣2x﹣3＝0． 【答案】见试题解答内容 【分析】找出a，b及c的值，计算出根的判别式的值大于0，代入求根公式即可求出解． 【解答】解：这里a＝2，b＝﹣2，c＝﹣3， ∵△＝（﹣2）2﹣4×2×（﹣3）＝28＞0， ∴x， ∴x1，x2． 【变式练2】　（2025春•青阳县期末）解方程：x2﹣4x＝3﹣8x． 【答案】x1＝﹣2，x2＝﹣2． 【分析】利用公式法解一元二次方程即可． 【解答】解：原方程整理得x2+4x﹣3＝0， a＝1，b＝4，c＝﹣3， Δ＝16+12＝28， ∴x， ∴x1＝﹣2，x2＝﹣2． 【变式练3】　（2025春•金安区校级期末）解方程：﹣2x2+4x﹣1＝0． 【答案】x1，x2． 【分析】先确定系数a，b，c的值，计算出根的判别式，由根的判别式大于0得到方程有解，然后将a，b，c的值代入求根公式即可求出方程的解． 【解答】解：﹣2x2+4x﹣1＝0， a＝﹣2，b＝4，c＝﹣1， x， ∴x1，x2． 题型05 用因式分解法解一元二次方程 典型例题 典例 05 （2024秋•延长县期末）解方程：9x2﹣8x+5＝5x2+2． 【答案】，． 【分析】整理得到4x2﹣8x+3＝0，利用因式分解法解方程即可． 【解答】解：原方程整理得，4x2﹣8x+3＝0， ∴（2x﹣3）（2x﹣1）＝0， 则2x﹣3＝0或2x﹣1＝0， 解得：，． 即学即练 【变式练1】　（2025春•宣城期末）解方程：6x2+3x＝2x+1． 【答案】，． 【分析】利用因式分解法解方程即可． 【解答】解：6x2+3x＝2x+1． 可化为：3x（2x+1）﹣（2x+1）＝0， 利用因式分解法解方程可得： （2x+1）（3x﹣1）＝0， ∴2x+1＝0或3x﹣1＝0， 解得：，． 【变式练2】　（2025•蚌埠一模）解一元二次方程：x2+6x＝7． 【答案】见试题解答内容 【分析】根据因式分解法可以解答此方程． 【解答】解：x2+6x＝7， x2+6x﹣7＝0， （x﹣1）（x+7）＝0， ∴x﹣1＝0或x+7＝0， 解得x1＝1，x2＝﹣7， 即x2+6x＝7的解为x1＝1，x2＝﹣7． 【变式练3】　（2025春•吉林期末）解方程： （1）x2﹣4x﹣3＝0； （2）（x﹣3）2＝2（x﹣3）． 【答案】（1）；； （2）x1＝3，x2＝5． 【分析】（1）用公式法求解即可； （2）用因式分解法求解即可． 【解答】解：（1）∵a＝1，b＝﹣4，c＝﹣3， ∴b2﹣4ac＝（﹣4）2﹣4×1×（﹣3）＝28＞0， ∴， ∴，； （2）∵（x﹣3）2＝2（x﹣3）， ∴（x﹣3）2﹣2（x﹣3）＝0， ∴（x﹣3）（x﹣3﹣2）＝0， ∴（x﹣3）（x﹣5）＝0， ∴x﹣3＝0或x﹣5＝0， ∴x1＝3，x2＝5． 题型06 根据判别式判断一元二次方程根的情况 典型例题 典例 06 （2025•锦州二模）关于x的一元二次方程x2﹣3x+2＝0的根的情况是（　　） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．只有一个实数根 D．没有实数根 【答案】A 【分析】根据Δ＞0，即可判断根的情况． 【解答】解：由条件可得Δ＝（﹣3）2﹣4×1×2＝1＞0， ∴方程有两个不相等的实数根， 故选：A． 即学即练 【变式练1】　（2025•大东区校级二模）下列方程中，有两个相等实数根的是（　　） A．x2+5x＝0 B．x2﹣4＝0 C．x2﹣2x+1＝0 D．x2﹣x﹣12＝0 【答案】C 【分析】分别计算四个方程的判别式Δ＝b2﹣4ac，然后根据Δ的意义分别判断即可． 【解答】解：A、Δ＝52﹣4×1×0＝25＞0，方程有两个不相等的实数根，所以A选项错误； B、Δ＝02﹣4×1×（﹣4）＝16＞0，方程有两个不相等的实数根，所以B选项错误； C、Δ＝（﹣2）2﹣4×1×1＝0，方程相等的实数根，所以C选项正确； D、Δ＝（﹣1）2﹣4×1×（﹣12）＝49＞0，方程有两个不相等的实数根，所以D选项错误． 故选：C． 【变式练2】　（2025春•寿县期末）下列一元二次方程中没有实数根的是（　　） A．x2﹣x+1＝0 B．x2﹣3x+1＝0 C．x2+4x+2＝0 D．x2﹣5x﹣1＝0 【答案】A 【分析】通过计算每个方程的判别式Δ＝b2﹣4ac，若为负数，则方程没有实数根． 【解答】解：A：Δ＝b2﹣4ac＝（﹣1）2﹣4×1×1＝﹣3＜0， ∴方程没有实数根． B：Δ＝b2﹣4ac＝（﹣3）2﹣4×1×1＝5＞0， ∴方程有两个不相等的实数根． C：Δ＝b2﹣4ac＝42﹣4×1×2＝8＞0， ∴方程有两个不相等的实数根． D：Δ＝b2﹣4ac＝（﹣5）2﹣4×1×（﹣1）＝29＞0， ∴方程有两个不相等的实数根． 故选：A． 【变式练3】　（2025•凌源市三模）关于一元二次方程x2﹣4x﹣4＝0的根的情况，下列说法正确的是（　　） A．只有一个实数根 B．没有实数根 C．有两个相等的实数根 D．有两个不相等的实数根 【答案】D 【分析】计算判别式Δ＝b2﹣4ac的值，再确定根的情况即可． 【解答】解：∵一元二次方程x2﹣4x﹣4＝0判别式Δ＝b2﹣4ac＝32＞0， ∴方程有两个不相等的实数根， 故选：D． 题型07 根据一元二次方程根的个数求字母的范围 典型例题 典例 07 （2025春•舒城县期末）关于x的一元二次方程kx2﹣2x+3＝0无实数根，则k的取值范围是（　　） A． B．且k≠0 C．且k≠0 D．k＜3且k≠0 【答案】A 【分析】根据一元二次方程的定义及根的判别式即可解答． 【解答】解：∵方程为一元二次方程， ∴k≠0， ∵该一元二次方程无实数根， ∴Δ＝（﹣2）2﹣4k×3＜0， 解得， ∴， 故选：A． 即学即练 【变式练1】　（2025•济南校级模拟）关于x的方程ax2+ax﹣2＝0有两个相等实数根，则a的值为（　　） A．0 B．0或﹣8 C．﹣8 D．8 【答案】C 【分析】根据判别式的意义得到Δ＝a2﹣4a×（﹣2）＝0，且a≠0，然后求解即可． 【解答】解：根据题意得Δ＝a2﹣4a×（﹣2）＝0，且a≠0， ∴a＝﹣8． 故选：C． 【变式练2】　（2025•邯郸模拟）若关于x的一元二次方程x2﹣3x+t＝0有两个不相等的实数根，则t的值不可以是（　　） A．0 B．﹣1 C．3 D． 【答案】C 【分析】利用根的判别式的意义得到Δ＝（﹣3）2﹣4t＞0，解不等式得到t的取值范围，然后对各选项进行判断． 【解答】解：根据题意得Δ＝（﹣3）2﹣4t＞0， 解得t， 所以k可以取0、﹣1、，不可以取3， 故选：C． 【变式练3】　（2025•官渡区校级模拟）关于x的方程kx2+2x﹣1＝0有实数根，则k的取值范围是（　　） A．k＞﹣1 B．k≥﹣1 C．k≠0 D．k≥﹣1且k≠0 【答案】B 【分析】讨论：当k＝0时，方程为一元一次方程，有一个实数解；当k≠0时，根据判别式的意义得到Δ＝22﹣4k×（﹣1）≥0，解不等式得k的范围为k≥﹣1且k≠0，然后综合两种情况得到k的取值范围． 【解答】解：当k＝0时，2x﹣1＝0，解得x， 当k≠0时，Δ＝22﹣4k×（﹣1）≥0，解得k≥﹣1，则k的范围为k≥﹣1且k≠0， 综上所述，k的取值范围是k≥﹣1． 故选：B． 题型08 一元二次方程根与系数的关系 典型例题 典例 08 （2025春•济宁期末）若a，b是方程x2+x﹣2024＝0的两个不相等的实数根，则a2+2a+b的值为（　　） A．2022 B．2023 C．2024 D．2025 【答案】B 【分析】先利用一元二次方程解的定义得到a2+a＝2024，再根据根与系数的关系得到a+b＝﹣1，然后利用整体代入的方法计算． 【解答】解：由条件可知a2+a﹣2024＝0， ∴a2+a＝2024，a+b＝﹣1， ∴a2+2a+b＝a2+a+a+b＝2024+（﹣1）＝2023． 故选：B． 即学即练 【变式练1】　（2025春•寿县期末）若关于x的一元二次方程x2﹣3x+k＝0的一个根是x＝﹣2，则它的另一个根是（　　） A．x＝1 B．x＝﹣1 C．x＝5 D．x＝﹣5 【答案】C 【分析】已知方程的一个根为x＝﹣2，利用根的和等于即可求出另一个根即可． 【解答】解：根据一元二次方程根与系数的关系可设该方程的另一个根为t，由题意得：﹣2+t＝3， ∴另一个根为：x＝t＝5； 故选：C． 【变式练2】　（2025春•雨花区校级期末）若关于x的一元二次方程x2﹣2mx+m2﹣4m﹣1＝0有两个实数根x1，x2，且（x1+2）（x2+2）﹣2x1x2＝20，则m＝（　　） A．2或6 B．3或5 C．4 D．6 【答案】B 【分析】根据一元二次方程有实数根先确定m的取值范围，再根据一元二次方程根与系数的关系得出x1+x2＝2m，x1•x2＝m2﹣4m﹣1，把（x1+2）（x2+2）﹣2x1x2＝20变形为2（x1+x2）﹣x1x2﹣16＝0，再代入得方程m2﹣8m+15＝0，求出m的值即可． 【解答】解：∵关于x的一元二次方程x2﹣2mx+m2﹣4m﹣1＝0有两个实数根， ∴Δ＝（﹣2m）2﹣4（m2﹣4m﹣1）≥0， ∴， ∵x1+x2＝2m，，（x1+2）（x2+2）﹣2x1x2＝20， ∴2（x1+x2）﹣x1x2﹣16＝0， ∴4m﹣（m2﹣4m﹣1）﹣16＝0， ∴m2﹣8m+15＝0， 解得，m1＝3，m2＝5． 故选：B． 【变式练3】　（2025春•江北区校级期末）已知m，n是方程x2+x﹣4＝0的两个实数根，则m（1+n）﹣n2的值是（　　） A．﹣7 B．7 C．﹣9 D．9 【答案】C 【分析】依据题意，由m，n是方程x2+x﹣4＝0的两个实数根，可得m+n＝﹣1，mn＝﹣4，n2+n﹣4＝0，进而代入m（1+n）﹣n2进行计算即可得解． 【解答】解：由题意，∵m，n是方程x2+x﹣4＝0的两个实数根， ∴m+n＝﹣1，mn＝﹣4，n2+n﹣4＝0． ∵n2+n﹣4＝0， ∴n2＝﹣n+4． ∴m（1+n）﹣n2＝m+mn﹣n2＝m+n+mn﹣4． ∵m+n＝﹣1，mn＝﹣4， ∴m（1+n）﹣n2＝﹣1﹣4﹣4＝﹣9． 故选：C． 学科网（北京）股份有限公司 $$