21.1 一元二次方程（同步课堂）　2025-2026学年人教版数学九年级上册

本讲义聚焦初中数学“一元二次方程”核心知识点，系统梳理概念（整式方程、一个未知数、最高次数2）、一般形式（ax²+bx+c=0及项与系数）、解的定义及相关结论（如x=1时a+b+c=0等），构建从概念辨析到形式转化再到应用的学习支架。 资料以“建体系-新知廊-求甚解-练题型”结构呈现，含表格梳理一般形式、典型例题配变式练，通过概念辨析培养抽象能力，根的结论推导强化推理意识，助力课中教师系统教学，课后学生针对性练习查漏补缺。

21.1 一元二次方程 目录 题型01 判断是否为一元二次方程的定义 4 题型02 利用一元二次方程的定义求字母的值或范围 6 题型03 将一元二次方程化为一般形式 7 题型04 求一元二次方程的二次项（系数）、一次项（系数）、常数项 9 题型05 根据一元二次方程的解（根）求字母的值 10 建体系 新知廊 知识点1：一元二次方程的概念 1．一元二次方程的概念：等号两边都是整式，只含有一个未知数（一元），并且未知数的最高次数是2（二次）的方程，叫做一元二次方程． 2．一元二次方程必须同时满足三个条件： （1）是整式方程，即等号两边都是整式． 【注意】整式方程识别关键点：原方程若含有分母或根号，则分母或根号中不含未知数． （2）整理后的方程只含有一个未知数． （3）整理后的方程未知数的最高次数是2． 知识点2：一元二次方程的一般形式 1．一元二次方程的一般形式 一般形式 项及项的系数 叫作二次项，是二次项系数 叫作一次项，是一次项系数 叫作常数项 特点 方程左边是关于未知数的二次整式，一般按未知数降幂的顺序排列，方程右边为0 2．一元二次方程的特殊形式 特殊形式 二次项系数 一次项系数 常数项 +=0（a≠0，b≠0） a b 0 +=0（a≠0，c≠0） a 0 c =0（a≠0） a 0 0 知识点3：一元二次方程的解（根） 1．概念：使一元二次方程左右两边相等的未知数的值叫做一元二次方程的解，也叫做一元二次方程的根． 2．判断一个数值是不是一元二次方程的解的方法：将该数值代入一元二次方程，看是否能使等式成立． 【注意】已知一元二次方程的一个根，求字母或代数式的值时，可以先将这个根代入原方程，得到一个关于所求字母的新方程，然后解这个新方程求出字母的值或整理该方程巧求代数式的值即可（求代数式的值时，经常用到整体代入法）． 求甚解 1．中的a≠0．因当a=0时，不含有二次项，即不是一元二次方程．反过来，若明确是关于的一元二次方程，则隐含． 2．确定一元二次方程各项及项的系数的一般步骤 （1）转化为一般形式：对原方程进行去分母、去括号、移项、合并同类项，使其转化为一元二次方程的一般形式； （2）将二次项系数化为正数； （3）确定一元二次方程各项及项的系数，注意不要漏掉符号． 3．关于一元二次方程的根的三个重要结论： （1）若a+b+c=0，则一元二次方程必有一根为x=1；若x=1是一元二次方程的一个根，则a+b+c=0． （2）若a-b+c=0，则一元二次方程必有一根为x=﹣1； 若x=﹣1是一元二次方程的一个根，则a﹣b+c=0． （3）若一元二次方程有一个根为0，则c=0；若c=0，则一元二次方程有一个根为0． 4．根据实际情景列一元二次方程的具体步骤 审：阅读题干，弄清问题中已知量是什么，未知量是什么． 找：找出题中包含已知量和未知量的等量关系． 设：设未知数，包括直接设未知数和间接设未知数两种情况． 表：用含未知数的代数式表示相关的量． 列：根据等量关系，列出一元二次方程． 练题型 题型01 判断是否为一元二次方程的定义 典型例题 典例 01 （2024秋•葫芦岛期末）下列方程是关于x的一元二次方程的是（　　） A．﹣x2+2x＝3 B． C．x3+2x﹣1＝0 D．x2+2y＝2 【答案】A 【分析】根据一元二次方程的定义逐项判断即可． 【解答】解：根据一元二次方程的定义：方程的两边都是整式，只含有一个未知数，并且整理后未知数的最高次数是2，像这样的方程叫做一元二次方程． A．﹣x2+2x＝3是关于x的一元二次方程，故A符合题意； B．是分式方程，故B不符合题意； C．x3+2x﹣1＝0的最高次数是3，故C不符合题意； D．x2+2y＝2含有2个未知数x，y，故D不符合题意． 故选：A． 即学即练 【变式练1】　（2025春•山东校级期末）下列方程是一元二次方程的是（　　） A．x2＝2 B． C．x2+2y＝1 D．mx2+2x＝3 【答案】A 【分析】只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程，据此进行判断即可． 【解答】解：x2＝2符合一元二次方程的定义，则A符合题意， 是分式方程，则B不符合题意， x2+2y＝1中含有两个未知数，则C不符合题意， mx2+2x＝3，当m＝0时，方程不是一元二次方程，则D不符合题意， 故选：A． 【变式练2】　（2025春•阜阳校级期末）下列方程中是一元二次方程的是（　　） A．x+6＝0 B．x3﹣x＝0 C．x2﹣x﹣2＝0 D．xy＝3 【答案】C 【分析】根据一元二次方程的定义判断即可． 【解答】解：A、未知数的次数是1，不是一元二次方程，故此选项不符合题意； B、未知数的最高次数是3，不是一元二次方程，故此选项不符合题意； C、是一元二次方程，故此选项符合题意； D、含未知数的项的次数是2，是二元一次方程，故此选项不符合题意； 故选：C． 【变式练3】　（2025春•舒城县期末）下列方程是一元二次方程的是（　　） A．x2＝1 B．x2+y＝1 C．x2＝x（x﹣1） D． 【答案】A 【分析】根据一元二次方程的概念逐项判断即可． 【解答】解：A．x2＝1只有一个未知数且未知数最高次数为2的整式方程，符合定义，故该选项符合题意； B．x2+y＝1 含有2个未知数，不符合定义，故该选项不符合题意； C．x2＝x（x﹣1）整理为﹣x＝0，只有一个未知数且未知数最高次数为1的整式方程，不符合定义，故该选项不符合题意； D.属于分式方程，不符合定义，故该选项不符合题意； 故选：A． 题型02 利用一元二次方程的定义求字母的值或范围 典型例题 典例 02 （2025春•福州校级期末）若方程ax2+bx+c＝0是关于x的一元二次方程，则a的取值范围为（　　） A．a≠0 B．a＝0 C．a＞0 D．a＜0 【答案】A 【分析】根据一元二次方程的定义即形如ax2+bx+c＝0（a≠0）的整式方程，解答即可． 【解答】解：∵原方程是一元二次方程， ∴a≠0， 故选：A． 即学即练 【变式练1】　（2025春•雨花区校级期末）若关于x的方程（m﹣3）x|m﹣1|﹣4＝8x是一元二次方程，则m的值是（　　） A．3 B．﹣1 C．3或﹣1 D．﹣3或1 【答案】B 【分析】根据一元二次方程的概念得|m﹣1|＝2且m﹣3≠0，即可得m的值． 【解答】解：根据题意可知，|m﹣1|＝2且m﹣3≠0， ∴m＝﹣1． 故选：B． 【变式练2】　（2025春•桥西区期末）关于x的方程ax2﹣3x＝﹣1是一元二次方程，则a的取值范围是（　　） A．a＝1 B．a＞0 C．a≠0 D．a⩾0 【答案】C 【分析】根据一元二次方程的一般形式：ax2+bx+c＝0（a，b，c为常数且a≠0），即可解答． 【解答】解：∵关于x的方程ax2﹣3x＝﹣1是一元二次方程， ∴a≠0， 故选：C． 【变式练3】　（2025春•界首市月考）已知（m﹣1）x|m+1|﹣5x﹣3＝0是一元二次方程，则m的值为（　　） A．2 B．1 C．﹣3 D．1或﹣3 【答案】C 【分析】一般地，形如ax2+bc+c＝0（其中a、b、c是常数且a≠0）的方程叫做一元二次方程，据此可得，解之即可得到答案． 【解答】解：由条件可知， ∴m＝﹣3， 故选：C． 题型03 将一元二次方程化为一般形式 典型例题 典例 03 （2024秋•苍溪县期末）将一元二次方程3x2﹣x＝2化成一般形式是（　　） A．3x2﹣x+2＝0 B．3x2+x﹣2＝0 C．﹣3x2﹣x+2＝0 D．3x2﹣x﹣2＝0 【答案】D 【分析】移项，将方程化为ax2+bx+c＝0（a≠0）的形式即可． 【解答】解：将原方程整理得3x2﹣x﹣2＝0； 故选：D． 即学即练 【变式练1】　（2025春•松北区期末）将方程（x﹣1）2＝6化成一元二次方程的一般形式，正确的是（　　） A．x2﹣2x+5＝0 B．x2﹣2x﹣5＝0 C．x2+2x﹣5＝0 D．x2+2x+5＝0 【答案】B 【分析】先去括号，再移项，最后合并同类项即可． 【解答】解：（x﹣1）2＝6， x2﹣2x+1﹣6＝0， x2﹣2x﹣5＝0， 即将方程（x﹣1）2＝6化成一般形式为x2﹣2x﹣5＝0， 故选：B． 【变式练2】　（2024秋•临高县期末）把一元二次方程（x+3）（x﹣5）＝2化成一般形式，得（　　） A．x2+2x﹣17＝0 B．x2﹣8x﹣17＝0 C．x2﹣2x＝17 D．x2﹣2x﹣17＝0 【答案】D 【分析】根据一元二次方程的一般形式：ax2+bx+c＝0，把原方程经过去括号，移项，合并同类项等步骤整理后，即可得到答案． 【解答】解：（x+3）（x﹣5）＝2， 去括号得：x2﹣5x+3x﹣15＝2， 移项得：x2﹣5x+3x﹣15﹣2＝0， 合并同类项得：x2﹣2x﹣17＝0， 故选：D． 【变式练3】　（2024秋•丹徒区期末）将一元二次方程x（x﹣1）＝2化为一般形式为（　　） A．x2﹣x＝2 B．x2﹣x﹣2＝0 C．x2﹣x+2＝0 D．x2+x+2＝0 【答案】B 【分析】根据一元二次方程的一般式：ax2+bx+c＝0（a≠0），再求解即可． 【解答】解：∵x（x﹣1）＝2， ∴x2﹣x﹣2＝0， 故选：B． 题型04 求一元二次方程的二次项（系数）、一次项（系数）、常数项 典型例题 典例 04 （2024秋•贵州期末）一元二次方程5x2﹣4x﹣1＝0的二次项系数、一次项系数、常数项分别是（　　） A．5，4，1 B．5，4，﹣1 C．5，﹣4，﹣1 D．5，﹣4，1 【答案】C 【分析】根据一元二次方程的一般形式即可得二次项系数，一次项，常数项． 【解答】解：一元二次方程5x2﹣4x﹣1＝0的二次项系数、一次项系数、常数项分别是5、﹣4、﹣1． 故选：C． 即学即练 【变式练1】　（2024秋•洪洞县期末）关于x的一元二次方程x2﹣6x＝7的二次项系数、一次项系数、常数项分别为（　　） A．1，﹣6，7 B．1，6，﹣7 C．1，6，7 D．1，﹣6，﹣7 【答案】D 【分析】方程整理为一般形式，找出二次项系数，一次项系数，和常数项即可． 【解答】解：方程整理得：x2﹣6x﹣7＝0， 则二次项系数、一次项系数、常数项分别为1，﹣6，﹣7． 故选：D． 【变式练2】　（2025春•岳西县期末）一元二次方程3x2﹣5﹣4x＝0的二次项系数、一次项系数、常数项分别是（　　） A．3，﹣5，﹣4 B．3，﹣4，5 C．3，﹣4，﹣5 D．3，﹣5，4 【答案】C 【分析】根据一元二次方程二次项系数、一次项系数、常数项的定义，即可进行解答． 【解答】解：一元二次方程方程3x2﹣5﹣4x＝0的二次项系数是3，一次项系数﹣4、常数项﹣5， 故选：C． 【变式练3】　（2024秋•邻水县期末）方程2x2﹣3x﹣1＝0中的一次项系数与常数项的和是（　　） A．﹣4 B．﹣2 C．1 D．3 【答案】A 【分析】由定义得一次项系数为﹣3，常数项为﹣1，即可求解． 【解答】解：方程2x2﹣3x﹣1＝0中，一次项系数为﹣3，常数项为﹣1， ∴﹣3+（﹣1）＝﹣4， 故选：A． 题型05 根据一元二次方程的解（根）求字母的值 典型例题 典例 05 （2025春•吉林期末）若x＝1是一元二次方程x2+mx﹣1＝0的一个解，则m的值为（　　） A．1 B．﹣1 C．0 D．2 【答案】C 【分析】把解x＝1代入方程中，即可求解． 【解答】解：由条件可知12+m×1﹣1＝0， 解得m＝0， 故选：C． 即学即练 【变式练1】　（2025•顺义区二模）若x＝2是方程x2+x﹣m＝0的一个根，则m的值为（　　） A．﹣6 B．﹣2 C．2 D．6 【答案】D 【分析】把x＝2代入一元二次方程得到4+2﹣m＝0，然后解一次方程即可． 【解答】解：把x＝2代入方程x2+x﹣m＝0得4+2﹣m＝0， 解得m＝6， 即m的值为6． 故选：D． 【变式练2】　（2025春•雨花区校级期末）若一元二次方程（k﹣5）x2+3x+k2﹣25＝0的一个根为0，则k的值为（　　） A．0 B．5 C．﹣5 D．5或﹣5 【答案】C 【分析】将根x＝0代入方程，求出k的可能值，并结合一元二次方程的定义排除不符合条件的解，即可． 【解答】解：由条件可知k2﹣25＝0， 解得：k＝5或k＝﹣5， ∵k﹣5≠0， ∴k≠5， ∴k＝﹣5． 故选：C． 【变式练3】　（2025春•合肥校级期末）已知关于x的方程：3x2+5x+m﹣1＝0的一个根是x＝﹣2，则m的值为（　　） A．﹣1 B．0 C．1 D．2 【答案】A 【分析】将已知根代入方程，解关于m的方程即可． 【解答】解：将x＝﹣2代入方程得：3×（﹣2）2+5×（﹣2）+m﹣1＝0， 解得m＝﹣1， 故选：A． 学科网（北京）股份有限公司 $$