湖北省孝感高级中学2024-2025学年高二上学期12月测试数学试题（12.25）

孝感高中2023级高二年级 数学试题 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．若直线与直线平行，则的值为（    ） A． B．或 C． D． 【答案】A 解：因为直线与直线平行， 所以，解得. 2．记为等差数列的前项和．若，则（    ） A．25 B．22 C．20 D．15 【答案】C 解：方法一：设等差数列的公差为，首项为，依题意可得， ，即， 又，解得：， 所以． 方法二：，，所以，， 从而，于是， 所以． 3．如图，在平行六面体中，，，，，E为中点，则AE的长为（    ）    A． B． C． D． 【答案】A 解：由题知，两边平方得： . 所以. 4．已知圆和两点，，若圆上存在点，使得，则的最大值为（    ） A．7 B．6 C．5 D．4 【答案】B 解：由题知，点在以（0，0）为圆心， 为半径的圆上，所以以为直径的圆与圆有公共点，所以，所以. 5．已知点为椭圆上任意一点，则点到直线的距离的最小值为（    ） A． B．4 C． D． 【答案】D 解：由题可设， 则点到直线的距离为，其中， 所以当时，. 6．已知椭圆和点，直线与椭圆交于两点，若四边形为平行四边形，则直线的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 解：由于，所以点在椭圆上， 设的中点为，则，则直线过点，且是的中点， 设，则：， 两式相减并化简得， 所以，即直线的斜率为， 所以直线的方程为. 7．已知在数列中，，，，数列的前项和为，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 解：由，得，即， 又，所以，所以是以为首项，为公差的等差数列， 所以，所以，所以， 所以， 所以 . 8．已知点、是椭圆的左、右焦点，点M为椭圆B上一点，点关于的角平分线的对称点N也在椭圆B上，若，则椭圆B的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 解：如图，连接设为的角平分线，交于点. 由题意可知，， 且，， 所以， 因为，所以， 所以即，又，所以， 所以由余弦定理得 ，整理得，所以即. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9．已知直线和圆相交于M，N两点，则下列说法正确的是（    ） A．直线过定点 B．的最小值为3 C．的最小值为 D．圆上到直线的距离为的点恰好有三个，则 【答案】AC 解：对于A，直线，即， 由解得，所以定点坐标为，所以A正确； 对于B，圆的圆心为，半径为， 点与圆心的距离为，所以的最小值为，B错误； 对于C，设，则， 当，即直线方程为时，取得最小值为，所以C正确； 对于D，若圆上到直线的距离为的点恰好有三个，则圆心到直线的距离为， 所以，整理得，所以D错误. 10．关于曲线，下列说法正确的是（    ） A．曲线关于直线对称 B．曲线围成的区域面积小于2 C．曲线上的点到轴、轴的距离之积的最大值是 D．曲线上的点到轴、轴的距离之和的最大值是 【答案】ABC 解：对于方程，以代替，同时以代替方程不变，所以曲线关于对称，所以A正确； 对于B，设分别为，的图象上第一象限内的点，则 ，所以 ，所以在的下方，所以曲线围成的面积小于围成的面积，又围成的面积为，所以曲线围成的区域面积小于2，所以B正确； 对于C，因为 ，当且仅当时等号成立， 所以曲线上的点到轴、轴的距离之积，所以C正确； 对于D，因为，所以 ， 当且仅当时等号成立，所以曲线上的点到轴、轴的距离之和的最小值为，所以D错误. 11．已知双曲线的左、右焦点分别为、.过的直线交双曲线的右支于A、B两点，其中点A在第一象限.的内心为，直线与x轴的交点为P，的内切圆的半径为，的内切圆的半径为，则下列说法正确的是（    ） A．若双曲线的渐近线的夹角为，则双曲线的离心率为2或 B．若，且，则双曲线的离心率为 C．若，，则的取值范围是 D．若直线的斜率为，，则双曲线的离心率为 【答案】ABD 解：对于A，双曲线的渐近线的夹角为，则或， 所以或， 所以A正确； 对于B，设，则，. 所以，解得. 又，，所以，所以B正确； 对于C，设圆切，，分别为点D，Q，T， 则，，， ， 设点，又，，所以，解得， 又，则点的横坐标为，同理点的横坐标为，所以直线的方程为， 设直线AB的倾斜角为，则， 在中，. 在中，， 因为A、B均在右支上，渐近线的斜率为，所以，，所以，所以， 所以C不正确； 对于D，，所以，而. ，，由， 所以，所以，所以，所以D正确. 三、填空题:本题共3小题，每小题5分，共15分. 12．已知两个等差数列将这两个等差数列的公共项按从小到大的顺序组成一个新数列，则这个新数列的各项之和为 . 【答案】1472 解：第一个数列的通项公式为， 第二个数列的通项公式为，由得. 所以第一个数列的第项与第二个数列的第项是相同的.这些相同的项为，共有项，所以它们的和等于1472. 13．已知P是直线上的动点，是圆的两条切线，A，B是切点，C是圆心，那么四边形面积的最小值为 ． 【答案】 解：由得，所以圆心为，半径， ，最小时，四边形的面积最小. 又，所以四边形面积的最小值为. 14．在三棱锥，，且.记直线，与平面所成角分别为，，已知，当三棱锥的体积最小时，三棱锥外接球的表面积为 . 【答案】 解：设点在平面内的投影为， 则，， 所以，取的中点为坐标原点，线段的中垂线为y轴，如图建系   设，由，，得，，， 则，化简得， 所以点在以为圆心，为半径的圆上，所以时，， 所以，此时三棱锥的体积最小，且点在底面上的射影在上， 此时由勾股定理可证， 又，则的中点到点的距离相等， 此时三棱锥的外接球的球心为的中点，外接球的半径， 所以三棱锥外接球的表面积为. 四、解答题:本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15．（本小题满分13分） 已知圆心为的圆经过点，且圆心在直线上. (1)求圆的方程． (2)已知直线过点且直线截圆所得的弦长为2，求直线的方程． 【答案】(1) (2)或 解：(1)由题知的中点为， 所以的垂直平分线所在直线方程为，即， 联立可得，即圆的圆心坐标为. 圆的半径为， 所以圆的标准方程为. (2)设圆心到直线的距离为，由弦长公式得，所以. 若直线的斜率不存在，则，此时圆心到直线的距离为3，符合题意. 若直线的斜率存在，设直线的方程为，即， 所以，解得， 则直线的方程为即. 综上，直线的方程为或. 16．（本小题满分15分） 甲、乙两人组成“星队”参加猜成语活动，每轮活动由甲、乙各猜一个成语，已知甲每轮猜对的概率为，乙每轮猜对的概率为．在每轮活动中，甲和乙猜对与否互不影响，各轮结果也互不影响．“星队”在两轮活动中猜对所有成语的概率为． (1)求的值． (2)求“星队”在两轮活动中猜对3个成语的概率． (3)若某人在两轮活动中至少猜对1个成语，则该人可获得“优秀队员”称号，求“星队”的甲、乙两人中恰有一人获得“优秀队员”称号的概率． 【答案】(1) (2) (3) 解：(1)设分别表示甲两轮猜对0个，1个，2个成语的事件，分别表示乙两轮猜对0个，1个，2个成语的事件， 则 设“两轮活动‘星队’猜对了所有成语”， 则，解得 (2)设“两轮活动‘星队’猜对3个成语”，则，且与互斥，与与分别相互独立，所以 所以两轮活动“星队”猜对3个成语的概率为. (3)设“两轮活动‘星队’的甲、乙两人中恰有一人获得‘优秀队员’称号”， 则 所以“星队”的甲、乙两人中恰有一人获得“优秀队员”称号的概率为. 17．（本小题满分15分） 已知数列是首项为的等比数列，各项均为正数，且． (1)求数列的通项公式． (2)设，为数列的前项和．若对任意的恒成立，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2) 解：(1)等比数列各项均为正数，可设公比为， ，解得：（舍）或， . (2)由(1)得：， ， ， 两式作差得： ， ，由得：， 为递减数列，，，即实数的取值范围为. 18．（本小题满分17分） 如图，在四棱锥中，， ，，平面平面． (1)求证：平面． (2)点Q在棱上，与平面所成角的正弦值为，求平面与平面夹角的余弦值． 【答案】(1)证明见解析 (2) 解：(1)分别取的中点为，连接， 由，得四边形为直角梯形，且为其中位线， 所以，且． 因为，所以，又，所以． 因为，平面，， 所以，因为，所以，所以， 因为，所以， 又，，平面，平面 所以，，所以，所以， 所以，所以． 由得，又， 所以平面. (2)如图，建立空间直角坐标系， 则， 设且，则， 则， 设是平面的法向量，又，， 则， 令，则， 由题意， 整理得，所以，所以， 设是平面的法向量，则， 令，则平面的一个法向量为， 所以平面与平面夹角的余弦值为. 19．（本小题满分17分） 已知抛物线，顶点为O，过焦点F的直线l交抛物线于A，B两点． (1)若，求线段中点到y轴的距离． (2)设点G是线段上且不包括端点的动点，顶点O关于点G的对称点为点C，求四边形面积的最小值． (3)设D为抛物线上的一点，过点D作直线，分别交抛物线于M，N两点，作直线，分别交抛物线于P，Q两点，且，，设线段与线段的交点为T，求直线斜率的取值范围． 【答案】(1)3 (2)4 (3) 解：(1)由题知，设，则， 所以，所以，所以线段中点到轴的距离为. (2)因为顶点O关于点G的对称点为C，所以O和C到直线l的距离相等， 所以， 由题意可知直线l斜率存在时不为0，焦点，所以可设直线l方程为， 联立，则， 所以，所以当时，四边形面积的最小值为4. (3)由题可设，，且直线的斜率存在且不为0， 所以可设直线的方程为， 联立，所以，所以， 设直线的方程为， 联立，所以， 所以， 若，不成立，所以即， 所以直线斜率存在时不为0. 当直线斜率不存在时，设 ，则， 所以， 解得，所以直线的方程为. 当直线斜率存在时，， 所以 ， 所以直线恒过定点，即， 所以直线的斜率为， 所以当时； 当时，，当且仅当即时等号成立； 当时，，当且仅当即时等号成立. 综上所述，直线斜率的取值范围为. 孝感高中2023级高二年级 数学试题 第12页，共12页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 孝感高中2023级高二年级 数学试题 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．若直线与直线平行，则的值为（    ） A． B．或 C． D． 2．记为等差数列的前项和．若，则（    ） A．25 B．22 C．20 D．15 3．如图，在平行六面体中，，，，，E为中点，则AE的长为（    ）    A． B． C． D． 4．已知圆和两点，，若圆上存在点，使得，则的最大值为（    ） A．7 B．6 C．5 D．4 5．已知点为椭圆上任意一点，则点到直线的距离的最小值为（    ） A． B．4 C． D． 6．已知椭圆和点，直线与椭圆交于两点，若四边形为平行四边形，则直线的方程为（    ） A． B． C． D． 7．已知在数列中，，，，数列的前项和为，则（    ） A． B． C． D． 8．已知点、是椭圆的左、右焦点，点M为椭圆B上一点，点关于的角平分线的对称点N也在椭圆B上，若，则椭圆B的离心率为（    ） A． B． C． D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9．已知直线和圆相交于M，N两点，则下列说法正确的是（    ） A．直线过定点 B．的最小值为3 C．的最小值为 D．圆上到直线的距离为的点恰好有三个，则 10．关于曲线，下列说法正确的是（    ） A．曲线关于直线对称 B．曲线围成的区域面积小于2 C．曲线上的点到轴、轴的距离之积的最大值是 D．曲线上的点到轴、轴的距离之和的最大值是 11．已知双曲线的左、右焦点分别为、.过的直线交双曲线的右支于A、B两点，其中点A在第一象限.的内心为，直线与x轴的交点为P，的内切圆的半径为，的内切圆的半径为，则下列说法正确的是（    ） A．若双曲线的渐近线的夹角为，则双曲线的离心率为2或 B．若，且，则双曲线的离心率为 C．若，，则的取值范围是 D．若直线的斜率为，，则双曲线的离心率为 三、填空题:本题共3小题，每小题5分，共15分. 12．已知两个等差数列将这两个等差数列的公共项按从小到大的顺序组成一个新数列，则这个新数列的各项之和为 . 13．已知P是直线上的动点，是圆的两条切线，A，B是切点，C是圆心，那么四边形面积的最小值为 ． 14．在三棱锥，，且.记直线，与平面所成角分别为，，已知，当三棱锥的体积最小时，三棱锥外接球的表面积为 . 四、解答题:本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15．（本小题满分13分） 已知圆心为的圆经过点，且圆心在直线上. (1)求圆的方程． (2)已知直线过点且直线截圆所得的弦长为2，求直线的方程． 16．（本小题满分15分） 甲、乙两人组成“星队”参加猜成语活动，每轮活动由甲、乙各猜一个成语，已知甲每轮猜对的概率为，乙每轮猜对的概率为．在每轮活动中，甲和乙猜对与否互不影响，各轮结果也互不影响．“星队”在两轮活动中猜对所有成语的概率为． (1)求的值． (2)求“星队”在两轮活动中猜对3个成语的概率． (3)若某人在两轮活动中至少猜对1个成语，则该人可获得“优秀队员”称号，求“星队”的甲、乙两人中恰有一人获得“优秀队员”称号的概率． 17．（本小题满分15分） 已知数列是首项为的等比数列，各项均为正数，且． (1)求数列的通项公式． (2)设，为数列的前项和．若对任意的恒成立，求实数的取值范围． 18．（本小题满分17分） 如图，在四棱锥中，， ，，平面平面． (1)求证：平面． (2)点Q在棱上，与平面所成角的正弦值为，求平面与平面夹角的余弦值． 19．（本小题满分17分） 已知抛物线，顶点为O，过焦点F的直线l交抛物线于A，B两点． (1)若，求线段中点到y轴的距离． (2)设点G是线段上且不包括端点的动点，顶点O关于点G的对称点为点C，求四边形面积的最小值． (3)设D为抛物线上的一点，过点D作直线，分别交抛物线于M，N两点，作直线，分别交抛物线于P，Q两点，且，，设线段与线段的交点为T，求直线斜率的取值范围． 孝感高中2023级高二年级 数学试题 第12页，共12页 学科网（北京）股份有限公司 $$