精品解析：江西省赣州市南康区十中片区2020-2021学年九年级上学期 第三次月考数学试题

南康区第十中学2020-2021学年度第一学期 九年级数学第三次月考试卷 一、选择题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 1. 下列方程中，是关于x的一元二次方程的是（　　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题根据一元二次方程的定义解答．一元二次方程必须满足四个条件： （1）未知数的最高次数是2； （2）二次项系数不为0； （3）是整式方程； （4）含有一个未知数． 由这四个条件对四个选项进行验证，满足这四个条件者为正确答案． 【详解】A、a=0，故本选项错误； B、有两个未知数，故本选项错误； C、本选项正确； D、含有分式，不是整式方程，故本选项错误； 故选：C． 【点睛】本题考查了一元二次方程的概念，判断一个方程是否是一元二次方程，首先要看是否是整式方程，然后看化简后是否是只含有一个未知数且未知数的最高次数是2． 2. 下列标志中是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查中心对称图形的识别，熟知中心对称的定义是解题的关键． 把一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，据此求解即可． 【详解】解：A、不是中心对称图形，故此选项不合题意； B、是中心对称图形，故此选项符合题意； C、不是中心对称图形，故此选项不合题意； D、不是中心对称图形，故此选项不合题意； 故选：B． 3. 关于的函数的二次函数，则的值是（ ） A. 2 B. 4 C. -2或2 D. -4或4 【答案】A 【解析】 【分析】由题意根据二次函数的定义得出m+2≠0且m2-2=2，进行计算求出即可， 【详解】解：∵关于x的函数是二次函数， ∴m+2≠0且m2-2=2， 解得：m=2． 故选：A． 【点睛】本题考查解不等式以及解一元二次方程和二次函数的定义，能根据二次函数的定义得出m+2≠0且m2-2=2是解答此题的关键． 4. 如图所示，一个游戏转盘中，红、黄、蓝三个扇形的圆心角度数分别为40°，120°，200°，让转盘自由转动，指针停止后落在黄色区域的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】求出黄区域圆心角在整个圆中所占的比例，这个比例即为所求的概率． 【详解】∵黄扇形区域的圆心角为120°， 所以黄区域所占的面积比例为＝， 即转动圆盘一次，指针停在黄区域的概率是， 故选：B． 【点睛】此题考查几何概率的求法，事件（A）所表示的区域的面积与总面积的值，就是事件（A）发生的概率． 5. 《九章算术》是我国古代著名数学著作，书中记载：“今有圆材，埋在壁中，不知大小以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问径几何？”用数学语言可表述为：“如图，为的直径，弦于，寸，寸，求直径的长.”则 A. 寸 B. 寸 C. 寸 D. 寸 【答案】C 【解析】 【分析】连接AO，根据垂径定理及勾股定理即可求出半径，即可求出CD的长. 【详解】如图，连接AO，设AO=OD=r， 故OE=r-1， ∵AB=10，∴AE=5， 由AO2=AE2+OE2，即r2=52+( r-1)2， 解得r=13，故CD=2r=26 故选C 【点睛】此题主要考查垂径定理，解题的关键是根据勾股定理进行求解. 6. 二次函数的图像如图所示，对称轴是直线，有下列结论：①；②；③；④（m为实数）．其中正确结论的个数为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数图象与系数的关系、二次函数图象上点的坐标特征、抛物线与x轴的交点，解题时要熟练掌握并能灵活运用二次函数的性质是关键．由函数的图象开口向上，与y轴交于负半轴，对称轴是直线，且抛物线与x轴的一个交点在与0之间，再结合二次函数的性质逐个判断可以得解． 【详解】解：由题意，根据函数的图象开口向上，与y轴交于负半轴，对称轴是直线， ∴． ∴． ∴，故①正确． ∵抛物线与x轴的一个交点在与0之间， ∴当时，，故②正确． 当时，， ∴，故③正确． 根据函数的图象开口向上，对称轴是直线， ∴当时，函数有最小值，为， （m为实数）， （m为实数），故④正确， 则其中正确结论的个数为4． 故选：D． 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 7. 设，是方程的两个根，则=_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查一元二次方程根与系数的关系，解题的关键是掌握如果一元二次方程的两根为，，则． 根据即可求解． 【详解】解：由题意得， 故答案为：． 8. 袋子中有10个除颜色外完全相同的小球在看不到球的条件下，随机地从袋中摸出一个球，记录颜色后放回，将球摇匀重复上述过程1500次后，共到红球300次，由此可以估计袋子中的红球个数是_____． 【答案】2 【解析】 【分析】设袋子中红球有x个，求出摸到红球的频率，用频率去估计概率即可求出袋中红球约有多少个． 【详解】设袋子中红球有x个， 根据题意，得：， 解得：x＝2， 所以袋中红球有2个， 故答案为2 【点睛】此题考查概率公式的应用，解题关键在于求出摸到红球的频率 9. 如图是一个圆锥的展开图，如果扇形的圆心角等于90°，扇形的半径为6cm，则圆锥底面圆的半径是______cm． 【答案】 【解析】 【分析】把的扇形的弧长等于圆锥底面周长作为相等关系，列方程求解． 【详解】设此圆锥的底面半径为r， 根据圆锥的侧面展开图扇形的弧长等于圆锥底面周长可得， 2πr＝， 解得：r＝cm， 故答案为． 【点睛】本题考查了圆锥侧面展开扇形与底面圆之间的关系，圆锥的侧面展开图是一个扇形，此扇形的弧长等于圆锥底面周长，扇形的半径等于圆锥的母线长． 10. 如图，设点P在函数y＝的图象上，PC⊥x轴于点C，交函数y＝的图象于点A，PD⊥y轴于点D，交函数y＝的图象于点B，若四边形PAOB的面积为8，则m﹣n＝_____． 【答案】8 【解析】 【分析】根据反比例函数系数k的几何意义求出四边形PCOD的面积为m，△OBD和△OAC的面积为n，根据四边形PAOB的面积＝S四边形PCOD﹣S△OBD﹣S△OAC＝8求解即可． 【详解】解：根据题意，S四边形PCOD＝m，S△BOD＝n，S△AOC＝n， ∴四边形PAOB的面积＝S四边形PCOD﹣S△OBD﹣S△OAC＝m﹣n﹣n＝8， ∴m﹣n＝8． 故答案为：8． 【点睛】本题考查反比例函数系数k的几何意义，熟知过双曲线上任意一点分别向两条坐标轴作垂线，围成的矩形面积为∣k∣是解答的关键． 11. 如图，在平面直角坐标系中，Rt△ABO的直角顶点O在原点，AO在y轴上，BO在x轴上，且AO=4，BO=3，△ABO绕着各顶点向x轴正方向连续翻滚（始终保持一条边在x轴上）得到多个三角形，请问第2020个三角形的直角顶点坐标为_________________． 【答案】（8076，0） 【解析】 【分析】利用勾股定理求出AB的长，先根据图形求出第3个三角形的直角顶点的坐标．观察图形不难发现，每3个三角形为一个循环组依次循环，用2020除以3，根据商和余数的情况确定出第2020个三角形的直角顶点到原点O的距离，然后写出坐标即可． 【详解】解：∵AO=4，BO=3， ∴AB==5， ∴第3个三角形的直角顶点坐标为：（12，0）． ∵2020÷3=673…1， ∴第2020个三角形是第674组的第一个直角三角形，其直角顶点与第673组的最后一个直角三角形顶点重合， ∵673×12=8076， ∴第2020个三角形的直角顶点的坐标是（8076，0）． 故答案为：（8076，0）． 【点睛】本题考查了坐标与图形变化-旋转，勾股定理，观察图形，发现每3个三角形为一个循环组依次循环是解题的关键． 12. 如图，等边△ABO的边长为2，点B在x轴上，反比例函数图象经过点A，将△ABO绕点O顺时针旋转a（0°＜a＜360°），使点A仍落在双曲线上，则a=_____． 【答案】30°或180°或210° 【解析】 【分析】根据等边三角形的性质，双曲线的轴对称性和中心对称性即可求解． 【详解】根据反比例函数的轴对称性，A点关于直线y=x对称， ∵△OAB是等边三角形， ∴∠AOB=60°， ∴AO与直线y=x的夹角是15°， ∴a=2×15°=30°时点A落在双曲线上， 根据反比例函数的中心对称性， ∴点A旋转到直线OA上时，点A落在双曲线上， ∴此时a=180°， 根据反比例函数的轴对称性，继续旋转30°时，点A落在双曲线上， ∴此时a=210°； 故答案为：30°或180°或210°． 考点：(1)、反比例函数图象上点的坐标特征；(2)、等边三角形的性质；(3)、坐标与图形变化-旋转． 三、（本大题共5小题，每小题6分，共30分） 13. （1）解方程： （2）已知点与点关于原点对称，求a，b的值． 【答案】（1）；（2） 【解析】 【分析】本题考查的是解一元二次方程及关于原点对称的点的坐标特征、二元一次方程组的应用， （1）用因式分解法解出方程即可； （2）根据原点对称的点的坐标特征列方程组解决即可． 【详解】解：（1）， ， ， 或， ； （2）∵点与点关于原点对称， ， 解得：． 14. 已知关于x的方程x2﹣2x+m=0有两个不相等的实数根x1、x2 （1）求实数m的取值范围； （2）若x1﹣x2=2，求实数m的值． 【答案】（1）m＜1；（2）0 【解析】 【分析】（1）根据根的判别式得出不等式，求出不等式的解集即可； （2）根据根与系数的关系得出x1+x2=2，和已知组成方程组，求出方程组的解，再根据根与系数的关系求出m即可． 【详解】解：（1）由题意得：△=（﹣2）2﹣4×1×m=4﹣4m＞0， 解得：m＜1， 即实数m的取值范围是m＜1； （2）由根与系数的关系得：x1+x2=2， 即， 解得：x1=2，x2=0， 由根与系数的关系得：m=2×0=0． 【点睛】本题考查了根与系数的关系和根的判别式、一元二次方程的解，能熟记根与系数的关系的内容和根的判别式的内容是解此题的关键． 15. 阅读下面的例题： 解方程 解： （1）当时，原方程化为，解得：（不合题意，舍去） （2）当时，原方程化为，解得：（不合题意，舍去）， ∴原方程的根是 请参照例题解方程 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了解一元二次方程-因式分解法：先把方程右边变形为0，然后把方程左边进行因式分解，这样把一元二次方程转化为两个一元一次方程，再解一次方程可得到一元二次方程的解．分类讨论：当时，去绝对值得到，再求解；当时，原方程化为，利用因式分解法求解． 【详解】解：当时，原方程化为，即， 解得：（不合题意，舍去）， 当时，原方程化为， 解得：（不合题意，舍去），， ∴原方程的根是． 16. 已知BC是⊙O的直径，△ABC为等腰三角形，请仅用无刻度的直尺完成下列作图． 图1　　　　 图2 （1）在图1中画出菱形ABDC； （2）在图2中画出菱形ABDC. 【答案】（1）见详解； （2）见详解； 【解析】 【分析】（1）过点A作圆的直径与圆的交点即为点D； （2）过AB、AC与圆的交点E、F作圆的直径，与圆相交于两点G、H，射线BG、CH交点即为D点； 【小问1详解】 解：如图，AD为圆的直径，四边形ABDC为菱形； ∵△ABC是等腰三角形，AB=AC，O为BC中点， ∴AD垂直BC， ∴AD，BC互相垂直平分， 由垂直平分线的性质AB=BD=DC=AC， ∴四边形ABDC为菱形； 【小问2详解】 解：如图，线段AB、AC与圆的交点为E、F，线段EH、FG为圆的直径，射线BG、CH交于D点，四边形ABDC为菱形； ∵△ABC是等腰三角形，AB=AC；O为BC中点，连接AO， ∴AO⊥BC，∠ABC=∠ACB， OB=OE，则∠OBE=∠OEB=∠ACB，即∠BOE=180°－2∠ACB， OC=OF，则∠OCF=∠OFC=∠ACB，即∠COF=180°－2∠ACB， ∴∠BOE=∠COF， OE=OF，则∠OEF=∠OFE， ∠EOF＋∠BOE＋∠COF=180°，即∠EOF＋2∠BOE=180°， ∠EOF＋∠OEF＋∠OFE=180°，即∠EOF＋2∠OEF=180°， ∴∠BOE=∠OEF， ∴EF∥BC， 连接EF，EG，HF，HG，由圆周角定理可知四边形EGHF是矩形， ∴EF⊥FH，EF⊥EG， ∴BC⊥HF，BC⊥EG， BC为圆的直径，则BC垂直平分弦FH和EG， ∴∠OCF=∠OCH，∠OBE=∠OBG， BC=BC， ∴△ABC≌△DBC（ASA）， ∴AC=DC，AB=DB， ∴AB=BD=DC=AC， ∴四边形ABDC为菱形； 【点睛】本题主要考查作图——复杂作图，熟练掌握圆周角定理，垂径定理，等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质，菱形的判定和性质是解题的关键． 17. 如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点A、点C两点，其中点，与x轴交于点． （1）求一次函数和反比例函数的表达式； （2）根据图象，直接写出不等式的解集． 【答案】（1）一次函数的表达式为；反比例函数的表达式为 （2）不等式的解集为或 【解析】 【分析】本题考查了待定系数法求函数解析式及反比例函数与一次函数图象交点的问题，求得交点的坐标是解题的关键． （1）运用待定系数法求出一次函数的表达式，从而求出点A的坐标，再运用待定系数法即可求出反比例函数的表达式； （2）先求出点C坐标，再根据图象即可求得． 【小问1详解】 解：由点在一次函数上， ， 解得， ∴一次函数的表达式为； 由点在直线上， ， 解得， ， 把代入，得， ∴反比例函数的表达式为； 【小问2详解】 解：由题意得， 解得：， ∴； 结合图象，则不等式的解集为或． 四、（本大题共3小题，每小题8分，共24分） 18. 手机微信中的抢红包游戏有一种玩法为“拼手气红包”：用户设定好总金额以及红包个数之后，可以生成不等金额的红包．现有四个人组成的微信群中，其中一人发了三个“拼手气红包”，其他三人（甲、乙、丙）随机抢红包． （1）若甲的速度最快，求甲抢到最多金额的红包的概率； （2）若三个人同时点开红包，记金额最多、居中、最少的红包分别为、、，请用画树状图或列表的方法求甲抢到红包的概率． 【答案】（1）；（2）树状图见解析， 【解析】 【分析】（1）直接利用概率公式求解即可． （2）将所有情况全部列举出来，利用概率公式求解即可． 【详解】解：（1）甲抢到最多金额的红包的概率是； （2）根据题意，可画如下树状图： 由树状图可知，共有6种等可能的结果，其中甲抢到红包的结果有2种，所以（甲抢到红包）． 【点睛】考查了概率公式，解题的关键是正确的将所有情况全部列举出来． 19. 一商店销售某种商品，平均每天可售出20件，每件盈利40元.为了扩大销售、增加盈利，该店采取了降价措施，在每件盈利不少于25元的前提下，经过一段时间销售，发现销售单价每降低1元，平均每天可多售出2件. （1）若降价3元，则平均每天销售数量为________件； （2）当每件商品降价多少元时，该商店每天销售利润为1200元？ 【答案】（1）26；（2）每件商品降价10元时，该商店每天销售利润为1200元. 【解析】 【分析】（1）根据销售单价每降低1元，平均每天可多售出2件，可得若降价3元，则平均每天可多售出2×3=6件，即平均每天销售数量为20+6=26件； （2）利用商品平均每天售出的件数×每件盈利=每天销售这种商品利润列出方程解答即可． 【详解】（1）若降价3元，则平均每天销售数量为20+2×3=26件． （2）设每件商品应降价x元时，该商店每天销售利润为1200元． 根据题意，得（40-x）（20+2x）=1200， 整理，得x2-30x+200=0， 解得：x1=10，x2=20． ∵要求每件盈利不少于25元， ∴x2=20应舍去， ∴x=10． 答：每件商品应降价10元时，该商店每天销售利润为1200元． 【点睛】此题主要考查了一元二次方程的应用，利用基本数量关系：平均每天售出的件数×每件盈利=每天销售的利润是解题关键． 20. 如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°．∠ABC的平分线交AC于点O，以点O为圆心，OC为半径．在△ABC同侧作半圆O． （1）求证：AB与⊙O相切； （2）若AB＝5，AC＝4，求⊙O的半径． 【答案】 （1）证明：如图，过O作OH⊥AB于H，∠ACB＝90° ∴∠BHO＝∠BCO＝90°， ∵BO平分∠ABC， ∴∠CBO＝∠HBO， ∵BO＝BO， ∴△CBO≌△HBO（AAS）， ∴OH＝OC， ∴AB与⊙O相切； （2）⊙O的半径长是． 【解析】 【分析】（1）过O作OH⊥AB于H，得到∠BHO=∠BCO=90°，根据角平分线的定义得到∠CBO=∠HBO，根据全等三角形的性质得到OH=OC，于是得到AB与⊙O相切； （2）求得BC的长，然后证明BC是切线，利用切线长定理求得BH的长，证明△OAH∽△BAC，利用相似三角形的性质求解． 【详解】（1）略 （2）解：∵在直角△ABC中，AB＝5，AC＝4， ∴BC＝ ∵∠ACB＝90°，即BC⊥AC， ∴BC是半圆的切线， 又∵AB与半圆相切， ∴BH＝BC＝3，AH＝AB﹣BH＝5﹣3＝2． ∵AB是切线， ∴OH⊥AB， ∴∠OHA＝∠BCA， 又∵∠A＝∠A， ∴△OAH∽△BAC， ∴即 解得OH＝．即⊙O的半径长是． 【点睛】本题考查了切线的判定，勾股定理，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，掌握以上知识是解题的关键． 五、（本大题共2小题，每小题9分，共18分） 21. 我市某工艺厂为配合北京奥运，设计了一款成本为20元∕件的工艺品投放市场进行试销．经过调查，得到如下数据： 销售单价x（元/件） … 30 40 50 60 … 每天销售量y（件） … 500 400 300 200 … （1）把上表中x、y的各组对应值作为点的坐标，在下面的平面直角坐标系中描出相应的点，猜想y与x的函数关系，并求出函数关系式； （2）当销售单价定为多少时，工艺厂试销该工艺品每天获得的利润最大？最大利润是多少？（利润=销售总价﹣成本总价） （3）当地物价部门规定，该工艺品销售单价最高不能超过45元/件，那么销售单价定为多少时，工艺厂试销该工艺品每天获得的利润最大？ 【答案】（1）图见解析，y＝－10x＋800；（2）单价定为50元∕件时，工艺厂试销该工艺品每天获得的利润最大，最大利润是9000元；（3）单价定为45元∕件时，工艺厂试销该工艺品每天获得的利润最大． 【解析】 【分析】(1)从表格中的数据我们可以看出当x增加10时，对应y的值减小100，所以y与x之间可能是一次函数的关系，我们可以根据图象发现这些点在一条直线上，所以y与x之间是一次函数的关系，然后设出一次函数关系式，求出其关系式； (2)利用二次函数的知识求最大值； （3）根据函数的增减性，即可求得销售单价最高不能超过45元/件时的最大值． 【详解】解：(1)画图如图； 由图可猜想y与x是一次函数关系， 设这个一次函数为y＝kx＋b(k≠0) ∵这个一次函数的图象经过(30，500)、(40，400)这两点， ∴，解得 ∴函数关系式是：y＝－10x＋800． (2)设工艺厂试销该工艺品每天获得的利润是W元，依题意得 W＝(x－20)(－10x＋800) ＝－10x2＋1000x－16000 ＝－10(x－50)2＋9000 ∴当x＝50时，W有最大值9000. 所以，当销售单价定为50元∕件时，工艺厂试销该工艺品每天获得的利润最大，最大利润是9000元. (3)对于函数W＝－10(x－50)2＋9000， 当x≤45时，W的值随着x值的增大而增大，销售单价定为45元∕件时，工艺厂试销该工艺品每天获得的利润最大． 22. 阅读下面材料： 小伟遇到这样一个问题：如图1，在正三角形内有一点，且，，，求的度数． 小伟是这样思考的：如图2，利用旋转和全等的知识构造，连接，得到两个特殊的三角形，从而将问题解决． 请你回答：图1中的度数等于　　． 参考小伟同学思考问题的方法，解决下列问题： （1）如图3，在正方形内有一点P，且，，，则的度数等于　　，正方形的边长为　　； （2）如图4，在正六边形内有一点，且，，，则的度数等于　　，正六边形的边长为　　． 【答案】阅读材料：；（1），；（2）， 【解析】 【分析】阅读材料：把绕点逆时针旋转得到，根据旋转的性质可得，然后求出是等边三角形，根据等边三角形的性质求出，再利用勾股定理逆定理求出，然后求出，即为的度数； （1）把绕点逆时针旋转得到，根据旋转的性质可得，然后判断出是等腰直角三角形，根据等腰直角三角形的性质求出，再利用勾股定理逆定理求出，然后求出，即为的度数；再求出点三点共线，过点作于，根据等腰直角三角形的性质求出，然后求出，在中，利用勾股定理列式求出即可； （2）把绕点逆时针旋转得到，根据旋转的性质可得，然后求出是底角为的等腰三角形，过点作于，设与相交于，求出，再求出，再利用勾股定理逆定理求出，然后求出，即为的度数；根据的长度得到，利用“角角边”证明和全等，根据全等三角形对应边相等可得，然后求出，在中，利用勾股定理列式求出，然后求出即可． 【详解】解：阅读材料：∵是等边三角形， ∴， 把绕点逆时针旋转得到， 由旋转的性质，， ∴是等边三角形， ， ， ， ， ， 故； （1）如图3，∵四边形是正方形， ∴， 把绕点逆时针旋转得到， 由旋转的性质，， ∴是等腰直角三角形， ， ， ， ， ， 故； ， ∴点三点共线， 过点作于， 则， ， 在中，， 故答案为：，； （2）如图，正六边形的内角为， ∴把绕点逆时针旋转得到， 由旋转的性质，， ， 过点作于，设与相交于， 则，， ， ， ， ， ， 故， ， 在和中， ， ∴， ∴， 在中，， ， 故答案为：． 【点睛】本题考查了旋转的性质，等边三角形的性质，正方形的性质，勾股定理以及勾股定理逆定理的应用，全等三角形的判定与性质，（1）（2）两问求多边形的边长有一定的难度，作辅助线构造出直角三角形与全等三角形是解题的关键． 六、（本大题共1个小题，共12分） 23. 如图，抛物线y=﹣x2+bx+c的图象与x轴交于A(﹣4，0)和点B两点，与y轴交于点C，抛物线的对称轴是x=﹣1与x轴交于点D． （1）求拋物线的函数表达式； （2）若点P(m，n)为抛物线上一点，且﹣4＜m＜﹣1，过点P作PE∥x轴，交抛物线的对称轴x=﹣1于点E，作PF⊥x轴于点F，得到矩形PEDF，求矩形PEDF周长的最大值； （3）点Q为抛物线对称轴x=﹣1上一点，是否存在点Q，使以点Q，B，C为顶点的三角形是直角三角形？若存在，请直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）y=﹣x2﹣2x+8；（2）当m=﹣时，矩形PEDF的周长有最大值是；（3）存在，点Q (﹣1，)或(﹣1，﹣)或(﹣1，4+)或(﹣1，4﹣)． 【解析】 【分析】（1）根据抛物线对称轴公式求b的值，然后将A点坐标代入解析式求c的值，从而求解； （2）设P点坐标为(m，n)，由题意n═﹣m2﹣2m+8，从而表示出矩形周长的函数关系式，然后利用二次函数的性质求最值； （3）设Q(﹣1，y)，结合图形用勾股定理分别表示出QB2 =9+y2，QC2=1+(y﹣8)2，BC2=68，然后分∠QCB=90°，∠QBC=90°，∠BQC=90°三种情况列方程求解，从而确定点Q坐标． 【详解】解：（1）∵抛物线y=﹣x2+bx+c的对称轴是x=﹣1， ∴﹣=﹣1，b=﹣2， ∴y=﹣x2﹣2x+c， 把A(﹣4，0)代入得：﹣16+8+c=0，∴c=8， ∴拋物线的函数表达式为：y=﹣x2﹣2x+8； （2）∵点P(m，n)为抛物线上一点，且﹣4＜m＜﹣1，如图1， ， ∴n═﹣m2﹣2m+8． ∵四边形PEDF是矩形， ∴矩形PEDF的周长=2PE+2PF =2(﹣1﹣m)+2(﹣m2﹣2m+8) =﹣2m2﹣6m+14 =﹣2(m+)2+． ∵﹣2＜0，∴当m=﹣时，矩形PEDF的周长有最大值是； （3）存在点Q，使以点Q，B，C为顶点的三角形是直角三角形． ∵点Q为抛物线对称轴x=﹣1上一点，∴设Q(﹣1，y)， 由对称得：B(2，0)． ∵C(0，8)， ∴QB2=(2+1)2+y2=9+y2，QC2=(﹣1)2+(y﹣8)2=1+(y﹣8)2，BC2=22+82=4+64=68， 分三种情况： ①当∠QCB=90°时，QB是斜边，∴QB2=QC2+BC2，∴9+y2=1+(y﹣8)2+68 解得：y=， ∴Q(﹣1，)； ②当∠QBC=90°时，QC是斜边． ∵QC2=BC2+QB2，∴1+(y﹣8)2=68+9+y2， 解得：y=﹣， ∴Q(﹣1，﹣)； ③当∠BQC=90°时，BC是斜边． ∵BC2=BQ2+QC2， ∴68=1+(y﹣8)2+9+y2， 解得：y=4±， ∴Q(﹣1，4+)或(﹣1，4﹣)； 综上，点Q的坐标是(﹣1，)或(﹣1，﹣)或(﹣1，4+)或(﹣1，4﹣)． 【点睛】本题考查二次函数综合题、一次函数的应用、直角三角形的判定和性质、勾股定理等知识，解题的关键是学会构建二次函数解决最值问题，学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考压轴题． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 南康区第十中学2020-2021学年度第一学期 九年级数学第三次月考试卷 一、选择题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 1. 下列方程中，是关于x的一元二次方程的是（　　　） A. B. C. D. 2. 下列标志中是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 3. 关于的函数的二次函数，则的值是（ ） A. 2 B. 4 C. -2或2 D. -4或4 4. 如图所示，一个游戏转盘中，红、黄、蓝三个扇形的圆心角度数分别为40°，120°，200°，让转盘自由转动，指针停止后落在黄色区域的概率是（ ） A. B. C. D. 5. 《九章算术》是我国古代著名数学著作，书中记载：“今有圆材，埋在壁中，不知大小以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问径几何？”用数学语言可表述为：“如图，为的直径，弦于，寸，寸，求直径的长.”则 A. 寸 B. 寸 C. 寸 D. 寸 6. 二次函数的图像如图所示，对称轴是直线，有下列结论：①；②；③；④（m为实数）．其中正确结论的个数为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 7. 设，是方程的两个根，则=_______． 8. 袋子中有10个除颜色外完全相同的小球在看不到球的条件下，随机地从袋中摸出一个球，记录颜色后放回，将球摇匀重复上述过程1500次后，共到红球300次，由此可以估计袋子中的红球个数是_____． 9. 如图是一个圆锥的展开图，如果扇形的圆心角等于90°，扇形的半径为6cm，则圆锥底面圆的半径是______cm． 10. 如图，设点P在函数y＝的图象上，PC⊥x轴于点C，交函数y＝的图象于点A，PD⊥y轴于点D，交函数y＝的图象于点B，若四边形PAOB的面积为8，则m﹣n＝_____． 11. 如图，在平面直角坐标系中，Rt△ABO的直角顶点O在原点，AO在y轴上，BO在x轴上，且AO=4，BO=3，△ABO绕着各顶点向x轴正方向连续翻滚（始终保持一条边在x轴上）得到多个三角形，请问第2020个三角形的直角顶点坐标为_________________． 12. 如图，等边△ABO的边长为2，点B在x轴上，反比例函数图象经过点A，将△ABO绕点O顺时针旋转a（0°＜a＜360°），使点A仍落在双曲线上，则a=_____． 三、（本大题共5小题，每小题6分，共30分） 13. （1）解方程： （2）已知点与点关于原点对称，求a，b的值． 14. 已知关于x的方程x2﹣2x+m=0有两个不相等的实数根x1、x2 （1）求实数m的取值范围； （2）若x1﹣x2=2，求实数m的值． 15. 阅读下面的例题： 解方程 解： （1）当时，原方程化为，解得：（不合题意，舍去） （2）当时，原方程化为，解得：（不合题意，舍去）， ∴原方程的根是 请参照例题解方程 16. 已知BC是⊙O的直径，△ABC为等腰三角形，请仅用无刻度的直尺完成下列作图． 图1　　　　 图2 （1）在图1中画出菱形ABDC； （2）在图2中画出菱形ABDC. 17. 如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点A、点C两点，其中点，与x轴交于点． （1）求一次函数和反比例函数的表达式； （2）根据图象，直接写出不等式的解集． 四、（本大题共3小题，每小题8分，共24分） 18. 手机微信中的抢红包游戏有一种玩法为“拼手气红包”：用户设定好总金额以及红包个数之后，可以生成不等金额的红包．现有四个人组成的微信群中，其中一人发了三个“拼手气红包”，其他三人（甲、乙、丙）随机抢红包． （1）若甲的速度最快，求甲抢到最多金额的红包的概率； （2）若三个人同时点开红包，记金额最多、居中、最少的红包分别为、、，请用画树状图或列表的方法求甲抢到红包的概率． 19. 一商店销售某种商品，平均每天可售出20件，每件盈利40元.为了扩大销售、增加盈利，该店采取了降价措施，在每件盈利不少于25元的前提下，经过一段时间销售，发现销售单价每降低1元，平均每天可多售出2件. （1）若降价3元，则平均每天销售数量为________件； （2）当每件商品降价多少元时，该商店每天销售利润为1200元？ 20. 如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°．∠ABC的平分线交AC于点O，以点O为圆心，OC为半径．在△ABC同侧作半圆O． （1）求证：AB与⊙O相切； （2）若AB＝5，AC＝4，求⊙O的半径． 五、（本大题共2小题，每小题9分，共18分） 21. 我市某工艺厂为配合北京奥运，设计了一款成本为20元∕件的工艺品投放市场进行试销．经过调查，得到如下数据： 销售单价x（元/件） … 30 40 50 60 … 每天销售量y（件） … 500 400 300 200 … （1）把上表中x、y的各组对应值作为点的坐标，在下面的平面直角坐标系中描出相应的点，猜想y与x的函数关系，并求出函数关系式； （2）当销售单价定为多少时，工艺厂试销该工艺品每天获得的利润最大？最大利润是多少？（利润=销售总价﹣成本总价） （3）当地物价部门规定，该工艺品销售单价最高不能超过45元/件，那么销售单价定为多少时，工艺厂试销该工艺品每天获得的利润最大？ 22. 阅读下面材料： 小伟遇到这样一个问题：如图1，在正三角形内有一点，且，，，求的度数． 小伟是这样思考的：如图2，利用旋转和全等的知识构造，连接，得到两个特殊的三角形，从而将问题解决． 请你回答：图1中的度数等于　　． 参考小伟同学思考问题的方法，解决下列问题： （1）如图3，在正方形内有一点P，且，，，则的度数等于　　，正方形的边长为　　； （2）如图4，在正六边形内有一点，且，，，则的度数等于　　，正六边形的边长为　　． 六、（本大题共1个小题，共12分） 23. 如图，抛物线y=﹣x2+bx+c的图象与x轴交于A(﹣4，0)和点B两点，与y轴交于点C，抛物线的对称轴是x=﹣1与x轴交于点D． （1）求拋物线的函数表达式； （2）若点P(m，n)为抛物线上一点，且﹣4＜m＜﹣1，过点P作PE∥x轴，交抛物线的对称轴x=﹣1于点E，作PF⊥x轴于点F，得到矩形PEDF，求矩形PEDF周长的最大值； （3）点Q为抛物线对称轴x=﹣1上一点，是否存在点Q，使以点Q，B，C为顶点的三角形是直角三角形？若存在，请直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $