解答题02 导数及其应用（五大题型）（上海专用）2026年高考数学一轮复习讲练测

解答题02 导数及其应用 1.导数的几何意义：切线方程的求解是常见考点，如 2023 年考查了求在曲线上一点处的切线方程。 2.利用导数研究函数的性质：包括利用导数判断或证明函数的单调性、求函数的极值和最值等。例如 2025 年高考考查了函数在上存在极大值时参数的取值范围；2024 年考查了用导数判断函数的单调性、由导数求函数的最值。 3.导数的综合应用：常涉及不等式的证明、方程根的问题等，如 2023 年考查了利用导数证明不等式、研究方程的根。 4.导数新定义问题：近年来上海高考出现了导数新定义题型，如 2024 年的导数新定义问题，2025 年的多个二模题也涉及新定义，如 “超导函数”“等差函数” 等新定义，考查学生对新概念的理解和运用导数解决问题的能力。 题型一：导数的几何意义 【典例1-1】已知函数，其中b，d为常数，函数是其导函数，且满足 (1)求函数的解析式； (2)若函数在某点处的切线过点，求切线的一般式方程． 【变式1-2】设． (1)求函数图象上以点为切点的切线方程； (2)经过点是否还存在函数图象的另一条切线？如果存在，求出该切线与（1）中切线的夹角大小（用反三角函数值表示），如果不存在，请说明理由． 【典例1-3】（24-25高三下·上海·阶段练习）对于定义域为的函数，存在导函数．设，定义． (1)设，求； (2)设，若函数在处的切线经过（），求的值并求出集合； (3)若且，求． 1.巧记两个常用结论 (1)奇函数的导数是偶函数，偶函数的导数是奇函数.周期函数的导数还是周期函数. (2)函数y＝f(x)的导数f'(x)反映了函数f(x)的瞬时变化趋势，其正负号反映了变化的方向，其大小|f'(x)|反映了变化的快慢，|f'(x)|越大，曲线在这点处的切线越“陡峭”. 2.明确两点不同 区分在点处的切线与过点处的切线：在点处的切线，该点一定是切点，切线有且仅有一条.过点处的切线，该点不一定是切点，切线至少有一条. 3.谨防两个易误点 (1)在复合函数求导中，每一步求导分不清哪个变量对哪个变量的求导而致误. (2)牢记导数公式和导数的四则运算法则，切忌记错记混. 【变式1-1】已知，． (1)求曲线在处的切线； (2)设R，试根据的不同取值，讨论关于的方程解的个数； (3)与曲线均相切的直线是否存在？若存在，有几条？请说明理由． 【变式1-2】（24-25高三下·上海·阶段练习）已知，若对于给定的及平面上一点，函数的图像上存在与不同的一点，使得直线为函数在点的切线，则称点具有“性质”. (1)判断点是否具有“性质”，并说明理由； (2)证明：“点具有‘性质’”的充分必要条件是“”； (3)若对于任意的非零实数，直线上的所有点均具有“性质”，求实数的值. 【变式1-3】（24-25高三下·上海·阶段练习）已知函数，若点P是函数的图像的两条互相垂直的切线的交点：则点P是函数的“特征点”，记的所有“特征点”的集合为； (1)若，，求； (2)若，求证：函数的所有“特征点”在一条定直线上，并求出这条直线的方程； (3)若，记函数的所有点组成的集合为N，且，求实数a的取值范围. 题型二：利用导数研究函数的单调性 【典例2-1】（24-25高三上·上海·期中）设，，（常数）. (1)为上的严格增函数，求实数的取值范围； (2)设，若对于任意，，都有成立，求实数的取值范围. 【典例2-2】（24-25高三上·上海·期中）设是定义在上的奇函数.若是严格减函数，则称为“D函数”. (1)分别判断和是否为D函数，并说明理由； (2)若是D函数，求正数a的取值范围； (3)已知奇函数及其导函数定义域均为.证明：“在上严格减”不是“为D函数”的必要条件. 谨防四个易误点 (1)讨论函数的单调性或求函数的单调区间时，要坚持“定义域优先”原则. (2)不能随意将函数的2个独立的单调递增(或递减)区间写成并集形式. (3)函数f(x)在区间(a，b)内单调递增(或递减)，可得f'(x)≥0(或f'(x)≤0)在该区间恒成立，而不是f'(x)>0(或f'(x)<0)恒成立，“＝”不能少.必要时还需对“＝”进行检验. (4)若函数f(x)在(a，b)内存在单调递增区间，则当x∈(a，b)时，f'(x)>0有解；若函数f(x)在(a，b)内存在单调递减区间，则当x∈(a，b)时，f'(x)<0有解. 【变式2-1】（24-25高三上·上海·期中）设. (1)当时，求曲线在点(2,3)处切线的方程； (2)当时，求函数的单调区间； (3)设函数的定义域为，若对任意的成立，求 的取值范围. 【变式2-2】（24-25高三上·上海·期中）设. (1)若函数是实数集R上的严格增函数，求实数m的取值范围； (2)已知数列是等差数列（公差），设，若存在数列使得数列也是等差数列，试求满足条件的一个数列； (3)若，是否存在直线满足：①对任意的都有成立，②存在使得？若存在，请求出满足条件的直线方程；若不存在，请说明理由. 【变式2-3】（24-25高三下·上海·阶段练习）已知函数． (1)当时，求的单调区间； (2)当时，函数存在零点，且，求符合条件的所有整数的值； (3)当时，记函数的零点为，若对任意且，都有成立，求实数的最大值． 题型三：利用导数研究函数的极值、最值 【典例3-1】已知函数 ． (1)当时，判断在定义域上的单调性； (2)若函数在上的最小值为，求实数的值． 【典例3-2】已知函数． (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)若，存在极小值且极小值小于，求的取值范围． 【典例3-3】设函数（）． (1)当时，求的极值； (2)当时，讨论的单调性； (3)若只有一个零点，求实数的取值范围． 解题时灵活应用转化以下几个关键点 (1)极值点不是点，若函数f(x)在x1处取得极大值，则x1为极大值点，极大值为f(x1). (2)极值是个“局部”概念，最值是个“整体”概念. (3)有极值的函数一定不是单调函数. (4)“f'(x0)＝0”是“x0为可导函数f(x)的极值点”的必要不充分条件.例如f(x)＝x3，f'(0)＝0，但0不是极值点. (5)对于一般函数而言，函数的最值必在下列各点中取得：导数为零的点、导数不存在的点、端点. 【变式3-1】设函数． (1)若，求曲线在点处的切线方程； (2)令，求的单调区间； (3)已知在处取得极大值，求实数的取值范围． 【变式3-2】设函数． (1)判断函数的奇偶性，并说明理由； (2)设为的一个极值点，证明； (3)设在内的全部极值点按从小到大的顺序排列，证明 题型四：导数的综合应用 【典例4-1】已知函数，其中． (1)若函数是偶函数，求； (2)当时，讨论函数在上的零点个数： (3)若对任意，求的取值范围． 【典例4-2】已知函数. (1)求的导函数； (2)求在上的单调区间； (3)存在，使得成立，求实数的取值范围； 【典例4-3】已知A，B，C是函数图象上不同的三点，若它们的横坐标成等差数列，且该函数在点B处切线的斜率恒小于直线AC的斜率，则称该函数是其定义域上的“等差偏移”函数．设． (1)当时，求函数在处的切线方程 (2)若是定义域上的“中值偏移”函数，求实数的取值范围； (3)当时，数列满足，，记前n项和为，试证明：． 【变式4-1】已知函数 (1)若函数在处的切线斜率是2，求的值； (2)若函数在处有极值，且关于的方程有3个不同的实根，求实数的取值范围； (3)记(是自然对数的底数).若对任意、且时，均有成立，求实数的取值范围． 【变式4-2】已知函数和 (1)若函数是定义域上的严格减函数，求的取值范围. (2)若函数和有相同的最小值，求的值 (3)若，是否存在直线，其与两条曲线和共有三个不同的交点，并且从左到右的三个交点的横坐标成等差数列 【变式4-3】已知，函数. (1)若，求曲线在处的切线方程； (2)若有零点，求实数的取值范围； (3)若有两个相异零点，求证：. 题型五：导数新定义 【典例5-1】（24-25高三上·上海·阶段练习）记，分别为函数，的导函数.若存在，满足且，则称为函数与的一个“点”；若仅满足则称为函数与的一个“点”. (1)证明：函数与不存在“点”，但存在“点”； (2)若函数与存在“点”，求实数的值； (3)已知，其中实数且．若使函数与区间内存在三个“点”，求实数的取值范围． 【典例5-2】（24-25高三上·上海嘉定·期中）已知定义域为的函数，其导数为，若对任意的都有，则称函数为“导可控函数”. (1)请说明是否为“导可控函数”； (2)若函数为“导可控函数”，且存在正数，使在上恒成立，试判断函数的零点个数，并说明理由； (3)若函数为“导可控函数”，且存在、，使得，证明：对任意的实数、，都有. 【变式5-1】（24-25高三上·上海·期中）若定义在上的函数和分别存在导函数和. 且对任意实数，都存在常数，使成立，则称函数是函数的“控制函数”，称为控制系数. (1)求证: 函数是函数的“控制函数”; (2)若函数是函数的“控制函数”，求控制系数k的取值范围； (3)若函数为偶函数，函数是函数的“控制函数”， 求证:“”的充要条件是“存在常数， 使得恒成立”. 【变式5-2】（24-25高三上·上海·期中）已知函数的定义域为，直线：与曲线相切，若对一切恒成立，称直线是函数的“下切线”；若对一切恒成立，称直线是函数的“上切线”. (1)若，求其“上切线”的方程； (2)若存在直线，既是函数的“下切线”，也是函数的“上切线”，试求的取值范围； (3)证明：对任意的，函数，既有“上切线”，也有“下切线”. 【变式5-3】若函数的图像上有两个不同点处的切线重合，则称该切线为函数的图像的“自公切线”. (1)试判断函数与的图像是否存在“自公切线”（不需要说明理由）； (2)若，求函数的图像的“自公切线”方程； (3)设，求证：函数的图像不存在“自公切线” 1．（2025·上海·三模）已知定义在上的函数的图像上存在，两点，记直线的方程为，若直线恰为曲线的一条切线（，为切点），且对上的任意的，均有，则称函数为“切线支撑”函数. (1)试判断函数是否为“切线支撑”函数.若是，写出一组点，；否则，请说明理由； (2)证明：函数为“切线支撑”函数； (3)已知为“切线支撑”函数，求实数的取值范围 2．（2025·上海青浦·模拟预测）函数的导函数有很多有趣的性质，例如：函数（实数c为常数）的导函数为；反之，若函数的导函数为，则（实数为常数）.已知函数与定义域都是，导函数分别为和.若，则称是“自导函数”；落且，则称与是“共轭互导函数”. (1)请判断函数是否是“自导函数”，并说明理由； (2)若函数是“自导函数”，且满足，求证：； (3)若函数与是“共轭互导函数”，满足，求证：.进而证明且. 3．（2025·上海黄浦·三模）已知函数是定义在D上的连续函数，其导函数为，函数的导函数为，定义函数运算：． (1)若，求出函数的极值点，并判断的符号； (2)若，，讨论方程解的个数； (3)若，当，，记与中较大者为．证明：． 4．（2025·上海静安·模拟预测）定义函数，对于数列，若，则称 为函数的“生成数列”，为函数的一个“源数列”． (1)已知，为函数的“生成数列”，求数列的前n项和； (2)已知，为函数的“源数列”，求证：对任意正整数n，均有； (3)已知，为函数的“生成数列”，为函数的“源数列”，与的公共项按从小到大的顺序构成数列，试问在数列中是否存在连续三项构成等比数列？请说明理由． 5．（2025·上海宝山·三模）把一列函数按一定次序排列称为函数列，记为（是正整数），为的导函数.记，. (1)若，求证：是等比数列； (2)若，是否存在正数，使得； (3)已知在上有最小值，求证“是偶函数”的充要条件是“对于任意正实数，均有”. 6．（2025·上海长宁·二模）已知函数的定义域，对任意实数a，定义集合． (1)已知，求． (2)已知，若集合只有一个元素，求a的值； (3)已知，其中且，求证：集合是一个区间． 7．（2025·上海徐汇·二模）对于函数，记.如果是满足的最小正整数，则称是函数的“最小导周期”. (1)已知函数，其中，求证：对任意实数，都有； (2)设，，若函数的最小导周期为，记，当实数变化时，求的最小值； (3)设，，若函数满足对恒成立，且存在使得，试用表示，并证明. 8．（2025·上海·模拟预测）设定义域为的函数，对于，定义. (1)设，求； (2)设，是否存在，使得是一段闭区间？若存在，求的取值范围；若不存在，请说明理由； (3)函数的定义域是，函数值恒正，其导函数为；当时，.若对任意，均有，求证：“函数是上的严格增函数”的充要条件是“”. 9．（2025·上海·模拟预测）记.已知函数和的定义域都为，若存在，使得，当且仅当时等号成立，则称是在上“次缠绕函数”.若，则称是上的“次自倒缠绕函数”. (1)判断是在上“几次缠绕函数”，并说明理由； (2)设，若在上.“3次自倒缠绕函数”，求的取值范围; (3)记所有定义在区间上的函数组成集合，给定，对任意，是否存在，使得，且是在上“次缠绕函数”. 10．（2025·上海黄浦·三模）若对于函数和，对任意实数，都存在常数，使成立，则称函数是函数的“函数”.（已知和定义域均为）. (1)证明：函数是函数的“1函数”； (2)若函数是函数的“函数”，求的取值范围； (3)若函数，函数为偶函数，函数是函数的“1函数”，求证：“”的充要条件是“存在常数，使得恒成立”. 11．（2025·上海浦东新·三模）已知是定义在上的函数，集合对任意，都有．当时，若函数存在最小值，则称为直线的“距离”． (1)若，直接写出相应的集合； (2)设，且存在实数，使得直线的一距离不小于，求的取值范围； (3)设的导函数在上严格增．若对任意，都有且直线与的距离相等．证明：是偶函数． 12．（2025·上海浦东新·模拟预测）记.已知函数和的定义域都为，若存在，使得 ，当且仅当时等号成立，则称和在上“次缠绕”. (1)判断和在上“几次缠绕”，并说明理由； (2)设，若和在上“2次缠绕”，求的取值范围； (3)设，若和在上“3次缠绕”，求的取值范围； (4)记所有定义在区间上的函数组成集合，证明：给定，对任意，都存在，使得，且和在上“次缠绕”. 1．（2025·上海·高考真题）已知． (1)若，求不等式的解集； (2)若函数满足在上存在极大值，求m的取值范围； 2．（2023·上海·高考真题）令，取点过其曲线作切线交y轴于，取点过其作切线交y轴于，若则停止，以此类推，得到数列． (1)若正整数，证明； (2)若正整数，试比较与大小； (3)若正整数，是否存在k使得依次成等差数列？若存在，求出k的所有取值，若不存在，试说明理由． 3．（2024·上海·高考真题）对于一个函数和一个点，令，若是取到最小值的点，则称是在的“最近点”． (1)对于，求证：对于点，存在点，使得点是在的“最近点”； (2)对于，请判断是否存在一个点，它是在的“最近点”，且直线与在点处的切线垂直； (3)已知在定义域R上存在导函数，且函数 在定义域R上恒正，设点，．若对任意的，存在点同时是在的“最近点”，试判断的单调性． 9 / 17 学科网（北京）股份有限公司 $$ 解答题02 导数及其应用 1.导数的几何意义：切线方程的求解是常见考点，如 2023 年考查了求在曲线上一点处的切线方程。 2.利用导数研究函数的性质：包括利用导数判断或证明函数的单调性、求函数的极值和最值等。例如 2025 年高考考查了函数在上存在极大值时参数的取值范围；2024 年考查了用导数判断函数的单调性、由导数求函数的最值。 3.导数的综合应用：常涉及不等式的证明、方程根的问题等，如 2023 年考查了利用导数证明不等式、研究方程的根。 4.导数新定义问题：近年来上海高考出现了导数新定义题型，如 2024 年的导数新定义问题，2025 年的多个二模题也涉及新定义，如 “超导函数”“等差函数” 等新定义，考查学生对新概念的理解和运用导数解决问题的能力。 题型一：导数的几何意义 【典例1-1】已知函数，其中b，d为常数，函数是其导函数，且满足 (1)求函数的解析式； (2)若函数在某点处的切线过点，求切线的一般式方程． 【详解】（1）由，则， 所以，解得， 所以， 函数的解析式为． （2）由， 则点不在函数上，即其不是切点， 则设切点为， 结合（1）有， 则切线的斜率为， 又切线过点， 则，解得或， 当时，，此时切线方程为； 当时，，此时切线方程为，即， 综上所述，所求的切线的一般式方程为或． 【变式1-2】设． (1)求函数图象上以点为切点的切线方程； (2)经过点是否还存在函数图象的另一条切线？如果存在，求出该切线与（1）中切线的夹角大小（用反三角函数值表示），如果不存在，请说明理由． 【详解】（1）由，可得，且， 故， 故以点为切点的切线方程为，即. （2）设经过点与函数图象切于另一点的切线存在， 则切线方程为：， 将代入直线方程得， 化简得：， 解得，即存在另一条切线，其斜率为． 设两条切线夹角为，则，或， 则夹角.(或) 【典例1-3】（24-25高三下·上海·阶段练习）对于定义域为的函数，存在导函数．设，定义． (1)设，求； (2)设，若函数在处的切线经过（），求的值并求出集合； (3)若且，求． 【详解】（1）对求导有， 所以，， 因此， 求解不等式有， 由于该式对于任意均成立，所以. （2）对求导有， 则在处的切线方程为， 将点代入方程可得， 解得或， 由于，所以. 所以，. 因此. 将不等式化简得：，化简得. 解得，所以. （3）先证明： 设， 则， 所以在上的最大值为， 进而，因此. 再证明： 根据和，分别推出和， 由不等式性质可得，，即. 由于在和处的切线为和， 所以在和处的切线重合. 因此，. 1.巧记两个常用结论 (1)奇函数的导数是偶函数，偶函数的导数是奇函数.周期函数的导数还是周期函数. (2)函数y＝f(x)的导数f'(x)反映了函数f(x)的瞬时变化趋势，其正负号反映了变化的方向，其大小|f'(x)|反映了变化的快慢，|f'(x)|越大，曲线在这点处的切线越“陡峭”. 2.明确两点不同 区分在点处的切线与过点处的切线：在点处的切线，该点一定是切点，切线有且仅有一条.过点处的切线，该点不一定是切点，切线至少有一条. 3.谨防两个易误点 (1)在复合函数求导中，每一步求导分不清哪个变量对哪个变量的求导而致误. (2)牢记导数公式和导数的四则运算法则，切忌记错记混. 【变式1-1】已知，． (1)求曲线在处的切线； (2)设R，试根据的不同取值，讨论关于的方程解的个数； (3)与曲线均相切的直线是否存在？若存在，有几条？请说明理由． 【详解】（1）依题意，，求导得，则，而当时，， 所以所求切线方程为，即. （2）方程，令函数， 则关于的方程解的个数，即为直线与函数图象交点个数， 求导得，当时，；当时，， 函数在上单调递增，函数值集合为， 在上单调递减，函数值集合为，， 当时，直线与函数图象有2个交点，原方程有2个解； 当时，直线与函数图象有1个交点，原方程有1个解； 当时，直线与函数图象无交点，原方程有0个解. （3）假设直线与曲线、均相切，对应的切点分别为，， 而，，则，消去得， 令，求导得， 当时，；当时，， 函数在上单调递减，在上单调递增， ，， 因此函数在及各存在一个零点， 所以存在2条与曲线均相切的直线. 【变式1-2】（24-25高三下·上海·阶段练习）已知，若对于给定的及平面上一点，函数的图像上存在与不同的一点，使得直线为函数在点的切线，则称点具有“性质”. (1)判断点是否具有“性质”，并说明理由； (2)证明：“点具有‘性质’”的充分必要条件是“”； (3)若对于任意的非零实数，直线上的所有点均具有“性质”，求实数的值. 【详解】（1）当时，函数，故， 于是过点的切线方程为：， 把点坐标代入上面切线方程，化简得：， 因为恒大于0，故， 所以存在点，故点具有“性质”； （2）当时，，故， 必要性：，整理得：， 故，整理得：， 特别地，当时，点与点重合，不合题意，故； 充分性：若时，则有解， 即存在点使得直线为函数在点的切线， 即点具有“性质”， 综上，“点具有‘性质’”的充分必要条件是“”； （3）设，， 故，， 由题意可得：，整理得：， 由于的任意性，不妨取，带入上式， 整理得：， 令， 则函数，除了之外，至少还要有1个根， ， 故，由的任意性，则， 下面对进行检验， ， 故， 故，，故此时存在点满足题意， 若，由三次函数性质，方程对必有解， 综上，，对于任意的非零实数，直线上的所有点均具有“性质”. 【变式1-3】（24-25高三下·上海·阶段练习）已知函数，若点P是函数的图像的两条互相垂直的切线的交点：则点P是函数的“特征点”，记的所有“特征点”的集合为； (1)若，，求； (2)若，求证：函数的所有“特征点”在一条定直线上，并求出这条直线的方程； (3)若，记函数的所有点组成的集合为N，且，求实数a的取值范围. 【详解】（1）假设，存在“特征点”， 则存在两条互相垂直的切线，设为和处的切线， ，， 由于的值域为，只能在和 或者和的情况下成立， 即或. 当时，，所以切线方程为. 当时，， 所以切线方程为，. 由解得，所以“特征点”为. 当结果同上. 因此. （2）证明：设“特征点”是在和处的切线的交点， ，， 在和处的切线方程为，， 联立，解得，即， 两条切线相互垂直， ，， 的所有“特征点”在一条定直线上. （3），由题意可知不存在图象上的点，使得该点是“特征点”， 先证明：对任意的实数a，若图象上的点是“特征点”，则该点本身一定是切点， 反证法：假设该点不是切点， 则存在切线，它与函数图象交于点Q， ， 化简得，，， 同理可得，，两条切线重合，矛盾， 该点本身一定是切点，假设，处切线互相垂直， 不妨令B是两条切线的交点，则由上可知，， ， ， ， 即， 设，则，即， 由题意可知图象上的点都不是“特征点”，即不存在这样的点B， 方程对无解， 设，其对称轴为， 当时，取最小值，要使得无解，只需， 解得，实数a的取值范围为. 题型二：利用导数研究函数的单调性 【典例2-1】（24-25高三上·上海·期中）设，，（常数）. (1)为上的严格增函数，求实数的取值范围； (2)设，若对于任意，，都有成立，求实数的取值范围. 【详解】（1）因为为上的严格增函数， 故在上恒成立， 所以在上恒成立， 所以等号不同时取到，解得， 故实数的取值范围是； （2）不妨设，由（1）可知函数在上严格递增，故， 此时，不等式等价于， 令，， 所以函数在上是严格增函数， 故在上恒成立，只需， 求导可得 因为，， 所以， 解得，当且仅当，即时等号成立， 所以实数的取值范围为. 【典例2-2】（24-25高三上·上海·期中）设是定义在上的奇函数.若是严格减函数，则称为“D函数”. (1)分别判断和是否为D函数，并说明理由； (2)若是D函数，求正数a的取值范围； (3)已知奇函数及其导函数定义域均为.证明：“在上严格减”不是“为D函数”的必要条件. 【详解】（1）函数的定义域为，， 则函数和均为定义在上的奇函数， 当时，函数严格减，因此函数是函数； 当和时，，即函数在上不单调，因此函数不是函数. （2）函数的定义域为， ， 则函数是定义在上的奇函数， 当时，不是函数，则且， 当时，令， 求导得， 令函数， 求导得. 令，当时，，当时，， 函数在上单调递减，在上单调递增，则，即恒成立， 则当时，， 若，则，，函数在上单调递增，， ，则函数在上严格单调递增，不是D函数； 若，则，函数在上单调递减，， ，则函数在上严格单调递减，是D函数， 所以正数的取值范围是. （3）令函数，其是定义域为，，上的奇函数， 函数在上严格单调递减，因此函数为函数， ，而，则函数在上不单调， 所以“在上严格减”不是“为函数”的必要条件. 谨防四个易误点 (1)讨论函数的单调性或求函数的单调区间时，要坚持“定义域优先”原则. (2)不能随意将函数的2个独立的单调递增(或递减)区间写成并集形式. (3)函数f(x)在区间(a，b)内单调递增(或递减)，可得f'(x)≥0(或f'(x)≤0)在该区间恒成立，而不是f'(x)>0(或f'(x)<0)恒成立，“＝”不能少.必要时还需对“＝”进行检验. (4)若函数f(x)在(a，b)内存在单调递增区间，则当x∈(a，b)时，f'(x)>0有解；若函数f(x)在(a，b)内存在单调递减区间，则当x∈(a，b)时，f'(x)<0有解. 【变式2-1】（24-25高三上·上海·期中）设. (1)当时，求曲线在点(2,3)处切线的方程； (2)当时，求函数的单调区间； (3)设函数的定义域为，若对任意的成立，求 的取值范围. 【详解】（1）当时，，求导 ，则， 所以切线方程为，即. （2）当时，函数的定义域为， 求导得， 当时，；当时，， 所以函数在上严格增函数，在上严格减函数. （3）函数定义域为， 不等式恒成立，即恒成立， 当时，必成立，则， 令，求导得 ， 而，则当时，当时，， 函数在上单调递减，在上单调递增，，则， 所以的取值范围是. 【变式2-2】（24-25高三上·上海·期中）设. (1)若函数是实数集R上的严格增函数，求实数m的取值范围； (2)已知数列是等差数列（公差），设，若存在数列使得数列也是等差数列，试求满足条件的一个数列； (3)若，是否存在直线满足：①对任意的都有成立，②存在使得？若存在，请求出满足条件的直线方程；若不存在，请说明理由. 【详解】（1）因为函数是实数集R上的严格增函数， 所以对任意的R都成立 因为函数的最小值为，所以 （2）， 由于数列是等差数列（公差）， 若存在数列使得数列也是等差数列， 则对一切正整数成立， 即， 将代入化简得， 即， 展开化简得对一切正整数成立，所以， 故； 此时 ，所以为常数， 故是等差数列， 则满足条件的一个数列为； （3）令， 则当时，， 时，存在使得， 即存在使得，与题意不符； 当时，存在使得， 即存在使得，与题意不符； 时，， 当时，显然存在使得，即存在使得， 当时，对任意的都有， 当时，存在，使得，且对任意的都有， 即对任意的都有， 综上，存在直线满足题意，直线方程为. 【变式2-3】（24-25高三下·上海·阶段练习）已知函数． (1)当时，求的单调区间； (2)当时，函数存在零点，且，求符合条件的所有整数的值； (3)当时，记函数的零点为，若对任意且，都有成立，求实数的最大值． 【详解】（1）当时，函数的定义域为， ，令，则或， 当或时，，，， 所以函数在上严格减，在上严格增， 故函数的减区间为，增区间为； （2）证明：函数的定义域为， ，令，则或， 当时，因为， 所以当或时，，，， 所以函数在上递减，在上递增， 所以的极小值为，极大值为， 因为，， 且在上是减函数，所以至多有一个零点． 又因为，所以， 所以，函数只有一个零点，且；； （3）因为， 所以任意且， 由（2）可知且， 因为函数在上是增函数，在上是减函数， 所以，，所以， 当时，， ， 的最小值为， 所以使得恒成立的的最大值为． 题型三：利用导数研究函数的极值、最值 【典例3-1】已知函数 ． (1)当时，判断在定义域上的单调性； (2)若函数在上的最小值为，求实数的值． 【详解】（1）由题意得函数的定义域为， 因为，所以， 当时，令，，令，， 则在上单调递减，在上单调递增. （2）由（1）知，，， 若，则，，当且仅当时取等号， 函数在上单调递增，，解得，不符合题意； 若，则，，当且仅当时取等号， 函数在上单调递减，，解得，不符合题意； 若，当时，；当时，， 函数在上单调递减，在上单调递增，，解得， 所以. 【典例3-2】已知函数． (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)若，存在极小值且极小值小于，求的取值范围． 【详解】（1）当时，，则，所以，， 故当时，曲线在点处的切线方程为，即. （2）当时，，令可得，列表如下： 单调递增 极大值 单调递减 极小值 单调递增 所以，函数既有极大值，也有极小值，且极小值为，解得. 因此，实数的取值范围是. 【典例3-3】设函数（）． (1)当时，求的极值； (2)当时，讨论的单调性； (3)若只有一个零点，求实数的取值范围． 【详解】（1）当时，，令，解得， 当时，，时，， 所以在上为增函数，在上为减函数，， 所以当时，的极大值为，没有极小值． （2）， ， ①当时，，则在上为增函数； ②当时，在区间及上有，在区间上有， 故当时，在及上为增函数，在上为减函数； ③当时，在区间及上有，在区间上有， 故当时，在及上为增函数，在上为减函数． （3）由（2）知： ①当时，在上为增函数，且， 则在上只有一个零点； ②当时，在及上为增函数，在上为减函数， 故的极大值为， 且， 令， 则， 在上为减函数，， 所以时，，即， ，则只有一个零点， ③当时，在及上为增函数，在上为减函数， 故的极大值为， 且， 令，且， 则，则在上为增函数， 故时有， 即，则只有一个零点； ④当时，在上为增函数，在上为减函数； ， 因为只有一个零点，所以，； 综上所述，当或时，只有一个零点． 解题时灵活应用转化以下几个关键点 (1)极值点不是点，若函数f(x)在x1处取得极大值，则x1为极大值点，极大值为f(x1). (2)极值是个“局部”概念，最值是个“整体”概念. (3)有极值的函数一定不是单调函数. (4)“f'(x0)＝0”是“x0为可导函数f(x)的极值点”的必要不充分条件.例如f(x)＝x3，f'(0)＝0，但0不是极值点. (5)对于一般函数而言，函数的最值必在下列各点中取得：导数为零的点、导数不存在的点、端点. 【变式3-1】设函数． (1)若，求曲线在点处的切线方程； (2)令，求的单调区间； (3)已知在处取得极大值，求实数的取值范围． 【详解】（1）若，则，从而， 故，从而曲线在点处的切线斜率为，故所求切线为直线. 又，故所求切线方程为. （2）由，知. 当时，，故在上单调递增； 当时，； 从而的解集是，的解集是. 这表明在上单调递增，在上单调递减. 综上，当时，在上单调递增；当时，在上单调递增，在上单调递减. （3）首先我们有. 当时，由上一问结论，知在上单调递增，在上单调递减. 这意味着当时，；当时，. 故在和上均单调递减，从而不是的极值点，不满足条件； 当时，由上一问结论，知在上单调递增， 而，故在上单调递增. 这表明当时，有，从而在上单调递增， 故不可能是的极大值点，不满足条件； 当时，由上一问结论，知在上单调递增， 故在上单调递增. 这表明当时，有，从而在上单调递增， 故不可能是的极大值点，不满足条件； 当时，由上一问结论，知在上单调递减. 注意到此时，故当时，； 当时，. 从而在上单调递增，在上单调递减， 这说明是的极大值点，满足条件. 综上，的取值范围是. 【变式3-2】设函数． (1)判断函数的奇偶性，并说明理由； (2)设为的一个极值点，证明； (3)设在内的全部极值点按从小到大的顺序排列，证明 【详解】（1）函数定义域为，对任意，有， 且恒成立，故函数为偶函数. （2）因为函数， 所以， 令，则，对满足方程的有， 所以， 由函数与函数的图象可知此方程一定有解， 故的一个极值点满足， 所以； （3）设是的任意正实根，则， 则存在一个非负整数，使，即为第二或第四象限角， 因为， 所以在第二或第四象限变化时，变化如下， (为奇数) 0 + (为偶数) + 0 所以满足的正根都为函数的极值点， 由题可知为方程的全部正实根且满足， 所以， 因为，， 则， 由，可得， 所以. 题型四：导数的综合应用 【典例4-1】已知函数，其中． (1)若函数是偶函数，求； (2)当时，讨论函数在上的零点个数： (3)若对任意，求的取值范围． 【详解】（1）因为函数是偶函数，所以． 即， 即， 所以， 所以恒成立，即， 因为，得． （2）当时，， 又恒成立，故在上单调递增， 又，故存在，使得， 故在上单调递减，在上单调递增， 所以，又时，， 故在上有2个零点． （3）原命题等价于， 当时，， 当时，则的图象需在的图象上方， ，， 考虑临界情况，两者刚好相切时，设切点为，则有 ， 所以， 又，所以，故． 【典例4-2】已知函数. (1)求的导函数； (2)求在上的单调区间； (3)存在，使得成立，求实数的取值范围； 【详解】（1）求导得： （2）当时，，当时，， 所以的减区间是，增区间是； （3）由，可得， 题意等价于在上有解. 设，求导得， 当时，递增，， 所以存在，即，使得成立； 当时，时，在在递增，时，在递减， 所以， 由得， 所以存在，即，使得成立， 综上，. 【典例4-3】已知A，B，C是函数图象上不同的三点，若它们的横坐标成等差数列，且该函数在点B处切线的斜率恒小于直线AC的斜率，则称该函数是其定义域上的“等差偏移”函数．设． (1)当时，求函数在处的切线方程 (2)若是定义域上的“中值偏移”函数，求实数的取值范围； (3)当时，数列满足，，记前n项和为，试证明：． 【详解】（1），，则切线方程为； （2）设A，C两点的横坐标分别为，，则B点横坐标为， 由“等差偏移”函数定义知：，化简得： ， 即：，即， 令，函数，， 故，又因为，所以； （3），则， 设，， 因为，当时在单调递增，，故． 构造函数， 即在单调递增，则，故当时， 所以有，故 即． 所以，即； 故 【变式4-1】已知函数 (1)若函数在处的切线斜率是2，求的值； (2)若函数在处有极值，且关于的方程有3个不同的实根，求实数的取值范围； (3)记(是自然对数的底数).若对任意、且时，均有成立，求实数的取值范围． 【详解】（1）， ， 所以， （2）在处有极值，因为，则，故，得； ，此时，， 当或时，,当, 故和上，单调递增，上，单调递减， 因此是极值点，故符合要求， 因为关于x的方程有3个不同的实根，根据函数的图象，当时，满足题意，得，故 （3），单调递减，对任意、且时， ，， 则对任意、且时，均有成立， 转化为，对任意、且时，均有成立，即 ， 所以，函数在上单调递减，函数在上单调递增， ①函数在上单调递减，即在上恒成立， 又因为，，，故， 得在上恒成立，令，，令，得，当所以，在上单调递增，在上单调递减，故，故； ②函数在上单调递增，即在上恒成立， 又因为，，，故，得 在上恒成立，因为函数在上为单调递增函数，故，此时，； 综上所述，实数的取值范围为：. 【变式4-2】已知函数和 (1)若函数是定义域上的严格减函数，求的取值范围. (2)若函数和有相同的最小值，求的值 (3)若，是否存在直线，其与两条曲线和共有三个不同的交点，并且从左到右的三个交点的横坐标成等差数列 【详解】（1）恒成立， 因为， 所以， 则的取值范围为； （2）定义域为， ，， 若，则，单调递增，无最小值， 故， 当时，， 当时，，函数在上单调递减， 当时，，函数在上单调递增， 故， 的定义域为， ，， 令，解得， 当时，，函数在上单调递减， 当时，，函数在上单调递增， 故， 函数和有相同的最小值 ， ， 化为， 令，， 则， ， 恒成立， 在上单调递增， 又，仅有此一解， ； （3）（2）知，函数在上单调递减，在上单调递增， 函数在上单调递减，在上单调递增， 设， 则，当时，， 所以函数在上单调递增，因为， 所以当时，恒成立，即在时恒成立， 所以时，， 因为，函数在上单调递增，，函数在上单调递减， 所以函数与函数的图象在上存在唯一交点，设该交点为,， 此时可作出函数和的大致图象， 由图象知当直线与两条曲线和共有三个不同的交点时， 直线必经过点,，即， 因为，所以，即， 令得， 解得或，由，得， 令得，解得或，由，得， 所以当直线与两条曲线和共有三个不同的交点时， 从左到右的三个交点的横坐标依次为，，， 因为，所以， 所以，，成等差数列． 存在直线，其与两条曲线和共有三个不同的交点，并且从左到右的三个交点的横坐标成等差数列． 【变式4-3】已知，函数. (1)若，求曲线在处的切线方程； (2)若有零点，求实数的取值范围； (3)若有两个相异零点，求证：. 【答案】(1) (2) (3)证明见解析 【分析】（1）根据导数几何意义得切线斜率为，再根据点斜式求切线方程； （2）对分三种情况讨论得解； （3）利用分析法证不等式，要证，只要证，根据零点解得，化简欲证不等式，再令，构造关于t的函数，利用导数法求得范围证不等式. 【详解】（1）函数的定义域为，， 当时，，则切线方程为， 即切线方程为. （2）①若时，则，是区间上的增函数， 因为，， 所以，则函数在区间有唯一零点； ②若，有唯一零点； ③若，令，得， 在区间上，，函数是增函数； 在区间上，，函数是减函数； 故在区间上，的极大值为， 由于有零点，须使，解得， 故所求实数的取值范围是. 综上，所求实数的取值范围是. （3）要证，两边同时取自然对数得. 由得，得. 所以原命题等价于证明. 不妨取，故只需证，即. 令，则，设（），只需证. 而，故在单调递增，所以. 综上得. 题型五：导数新定义 【典例5-1】（24-25高三上·上海·阶段练习）记，分别为函数，的导函数.若存在，满足且，则称为函数与的一个“点”；若仅满足则称为函数与的一个“点”. (1)证明：函数与不存在“点”，但存在“点”； (2)若函数与存在“点”，求实数的值； (3)已知，其中实数且．若使函数与区间内存在三个“点”，求实数的取值范围． 【详解】（1）令，可得，解得或， 对函数有，对函数，有， 令，解得， 故、是函数与的“点”， 但函数与不存在“点”，即得证； （2）对函数，有，对函数，有， 由函数函数与存在“点”， 则方程组有解，即有，即， 则； （3），， 则有题意可得满足，且的有三个， 令，则， 当，则，当，则， 令，， 令，则，即， 当时，， 则当时，，单调递增， 当时，，单调递减， 故， 不妨令，则，令， 则，则，即，故， 则，故，，则； 故当时， ，则在上有两个零点， 设这两个零点为，且， 当时，，则，故单调递增； 当时，，则，故单调递减； 当时，，则，故单调递增； 则，即，即， 则， 令，则， 当时，，故单调递减 当时，，故单调递增， 由且，故，则， 故，故， 又时，单调递减，故， 即的极大值， 令，则为减函数，又，， 故存在，，由，关于直线对称， 故必有一个交点落在上，使得， ，又，则， ， 故，又为减函数，故， 又时，单调递减，故，即的极小值， 且时，，时，， 故在上有三个零点，即方程有三个解； 当时，，则在上单调递增， 在上只有一个零点， 则在上最多只有两个零点，不符合题意； 当时，，， 又有两个零点，是的两个极值点， 由极值均不为，故无解； 综上：当时，函数与区间内存在三个“点”. 【典例5-2】（24-25高三上·上海嘉定·期中）已知定义域为的函数，其导数为，若对任意的都有，则称函数为“导可控函数”. (1)请说明是否为“导可控函数”； (2)若函数为“导可控函数”，且存在正数，使在上恒成立，试判断函数的零点个数，并说明理由； (3)若函数为“导可控函数”，且存在、，使得，证明：对任意的实数、，都有. 【详解】（1）若，则， 当时，， 故不是 “导可控函数” . （2）依题意，， 所以，在上为减函数，所以至多一个零点； ，， 当时，， 当时，， 所以存在零点，综上存在1个零点； （3）因为，由导数的定义得 ， 即， 不妨设 若，则 若， 则 . 命题得证. 【变式5-1】（24-25高三上·上海·期中）若定义在上的函数和分别存在导函数和. 且对任意实数，都存在常数，使成立，则称函数是函数的“控制函数”，称为控制系数. (1)求证: 函数是函数的“控制函数”; (2)若函数是函数的“控制函数”，求控制系数k的取值范围； (3)若函数为偶函数，函数是函数的“控制函数”， 求证:“”的充要条件是“存在常数， 使得恒成立”. 【详解】（1），，则，故， 即恒成立，故函数是函数的“控制函数”； （2）有， ， 则，， 令， 则 ， 由， 故当时，，当时，， 即在上单调递减，在上单调递增， 故，即有， 则当时，函数是函数的“控制函数”， 即； （3）充分性：若存在常数使得恒成立， 则为偶函数， 因为函数为偶函数，所以， 则，即， 所以恒成立，所以； 必要性：若，则，所以函数为偶函数， 函数是函数的“控制函数”， 因此，又， 因此函数是函数的“控制函数”， 所以，即恒成立， 用代换有， 综上可知，记， 则， 因此存在常数使得恒成立， 综上可得，“”的充要条件是“存在常数使得恒成立”． 【变式5-2】（24-25高三上·上海·期中）已知函数的定义域为，直线：与曲线相切，若对一切恒成立，称直线是函数的“下切线”；若对一切恒成立，称直线是函数的“上切线”. (1)若，求其“上切线”的方程； (2)若存在直线，既是函数的“下切线”，也是函数的“上切线”，试求的取值范围； (3)证明：对任意的，函数，既有“上切线”，也有“下切线”. 【详解】（1）设直线：是的“上切线”， 则有恒成立，令， 则，即， 若，则对任一确定的，都存在， 使， 若，则对任一确定的，都存在， 使， 故，令，解得， 有，即此时的切线为，又，故， 即的“上切线”的方程为； （2）设该直线的方程为，其在上的切点为， 在上的切点为， 对，有，对，有， 则， 即， 令，， 则当时，，当时，， 故在上单调递减，在上单调递增， 故， 故是函数的“下切线”； 令 ，则当时，，当时，， 故在上单调递增，在上单调递减， 故， 故是函数的“上切线”； 则有，即有， 则， 整理得， 令， 则， 令，则， 故在上单调递增，又， 故当时，，当时，， 即在上单调递增，在上单调递减， 即，又时，， 即，即； （3）， 则， 令，， 设分别为的两根，则， 有，故， 则，在点处的切线为， 即， 同理可得，在点处的切线为， ， 由，则恒成立，即为其“下切线”； 同理可得， 由，则恒成立，即为其“上切线”； 综上所述，对任意的，函数，既有“上切线”，也有“下切线”. 【变式5-3】若函数的图像上有两个不同点处的切线重合，则称该切线为函数的图像的“自公切线”. (1)试判断函数与的图像是否存在“自公切线”（不需要说明理由）； (2)若，求函数的图像的“自公切线”方程； (3)设，求证：函数的图像不存在“自公切线” 【详解】（1）对于函数： 由函数的图象可知：和为函数的“自公切线”， 所以函数的图像存在“自公切线”； 对于函数：则，可知在上单调递增， 可知，可知，即任意不同两点的切线斜率不相等， 所以函数的图像不存在“自公切线”. （2）函数，求导得， 显然函数在上单调递增，函数在上单调递减， 设切点，则存在，使得， 则在点处的切线方程为，在点处的切线方程为， 因此，消去可得， 令，求导得， 则函数在上单调递增，又，函数的零点为，因此， 所以曲线的“双重切线”的方程为. （3）假设函数的图像存在“自公切线”，设为， 因为，则， 则，， 可知在处的切线方程为， 整理得， 则，即， 可知方程有两个不相等的根，则， 且也为方程的根， 则， 整理得， 且，即， 可得，即， 可得，整理得， 则，整理得，解得， 即此时方程只有一个解， 这与题意相矛盾，即假设不成立， 所以函数的图像不存在“自公切线”. 1．（2025·上海·三模）已知定义在上的函数的图像上存在，两点，记直线的方程为，若直线恰为曲线的一条切线（，为切点），且对上的任意的，均有，则称函数为“切线支撑”函数. (1)试判断函数是否为“切线支撑”函数.若是，写出一组点，；否则，请说明理由； (2)证明：函数为“切线支撑”函数； (3)已知为“切线支撑”函数，求实数的取值范围 【详解】（1）， 显然， 令，得，，即， 所以，是的极小值点，且为曲线的一条切线， 所以函数是“切线支撑”函数， 可取，． （2）证明：因为，设，， 所以，点处的切线方程为和， 所以， 所以，， 不妨取，，则，即，， 所以，不妨取．则切线的方程为， 又，所以函数为“切线支撑”函数． （3）当时，，所以在上为增函数，所以切点，不可能都在轴的右侧； 当时，，所以在上为增函数，所以切点，不可能都在轴的左侧； 所以切点，必在轴的两侧． 不妨设，，， 当时，，所以点处的切线方程为， 即； 当时，，所以点处的切线方程为， 即， 因为，两点处的切线重合，所以， 设，，则， 所以在上单调递增， 又当时，，所以，即， 设点处的切线方程为， 设， 则， 所以当时，，在上单调递减； 当时，，在上单调递增， 所以，所以， 设点处的切线方程为， 则，即， 所以为“切线支撑”函数， 综上可得，实数的取值范围为． 2．（2025·上海青浦·模拟预测）函数的导函数有很多有趣的性质，例如：函数（实数c为常数）的导函数为；反之，若函数的导函数为，则（实数为常数）.已知函数与定义域都是，导函数分别为和.若，则称是“自导函数”；落且，则称与是“共轭互导函数”. (1)请判断函数是否是“自导函数”，并说明理由； (2)若函数是“自导函数”，且满足，求证：； (3)若函数与是“共轭互导函数”，满足，求证：.进而证明且. 【详解】（1）对求导，根据复合函数求导公式， 令，则. 若是“自导函数”，则，即， 因为，所以. 故当时，是“自导函数”；当时，不是“自导函数”. （2）因为函数是“自导函数”，所以，同时， 记，求导得， 由题干条件可知（实数为常数），又， 所以，故，于是. （3）设， 由复合函数求导公式可得， 因为函数与是“共轭互导函数”，所以且， 于是，故（实数为常数）， 而，所以. 下证且： 首先容易验证和是一对满足条件的“共轭互导函数”， 接着证明满足条件的函数只有和，采用反证法， 假设除了和外，还存在满足条件的一对“共轭互导函数”和， 即且，同时满足， 令， 则， 于是（实数为常数），又，所以，即①， 同理可令，则， 于是于是（实数为常数），又，所以，即②， 由①②可得，由此，满足条件的“共轭互导函数”只有一对， 所以且. 3．（2025·上海黄浦·三模）已知函数是定义在D上的连续函数，其导函数为，函数的导函数为，定义函数运算：． (1)若，求出函数的极值点，并判断的符号； (2)若，，讨论方程解的个数； (3)若，当，，记与中较大者为．证明：． 【详解】（1），令，解得或， 由或；由. 所以函数在和上单调递增，在上单调递减. 所以是函数的极大值点；是函数的极小值点. 又，当时，； 当 时，. （2）因为 ，所以 ，， 则 ， 令 ，，， 令 ，即 ，因为 ，所以 ， 当 时，，所以 在上严格递增， 当 时，，所以 在上严格递减， 所以函数在 处取得最大值 ； 当 时，；当 时，， 时， 的图象无交点；当 时，的图象有 1 个交点；当 时，的图象有 2 个交点， 所以当 时，方程 无解；当 时，方程 有 1 个解；当 时，方程 有 2 个解； （3）假设 在 上的最大值在某个内点 处取得， 即时 ， 由最大值的定义且 可导，且，， 因为当，，所以 ， 所以 ，由于 ，所以 ，所以 ， 但 ，而 ，这与 矛盾， 因此，函数 在 上的最大值只能在端点 或 处取得， 即 4．（2025·上海静安·模拟预测）定义函数，对于数列，若，则称 为函数的“生成数列”，为函数的一个“源数列”． (1)已知，为函数的“生成数列”，求数列的前n项和； (2)已知，为函数的“源数列”，求证：对任意正整数n，均有； (3)已知，为函数的“生成数列”，为函数的“源数列”，与的公共项按从小到大的顺序构成数列，试问在数列中是否存在连续三项构成等比数列？请说明理由． 【详解】（1），，. （2），，故， 构造函数，，则， 函数在上单调递增，， 故在恒成立，单调递增， 故，即，， 当时，， 综上所述：恒成立，即. （3），则，， 设，即，则， 设函数，函数单调递增，对于任意，有唯一的与之对应， 即数列中每一项，都有中的项与之相等，单调递增， 故， 假设数列中存在连续三项构成等比数列，，，， 故，整理得到，无正整数解. 故假设不成立，即不存在连续三项构成等比数列. 5．（2025·上海宝山·三模）把一列函数按一定次序排列称为函数列，记为（是正整数），为的导函数.记，. (1)若，求证：是等比数列； (2)若，是否存在正数，使得； (3)已知在上有最小值，求证“是偶函数”的充要条件是“对于任意正实数，均有”. 【详解】（1），因为， 所以是以为公比的等比数列； （2），所以 且 令 则得：在严格增，在严格减 ①当时，，所以与矛盾； ②当时，，所以] 令 则，所以在上严格减，所以， 而当时，,从而矛盾，综上，不存在正数，使得. （3）必要性：若为偶函数，则 ， 当，因为，故； 同理可证，故. 充分性：若对于任意正实数，均有，其中， 因为有最小值，不妨设， 由于任意，令，则， 故最小元素为中最小元素为， 又，则对任意成立， 则， 若，则对任意成立是偶函数， 若，此后取， 最小元素是，且最小元素是， 则 综上，任意，即是偶函数. 故“是偶函数”的充要条件是“对于任意正实数，均有”. 6．（2025·上海长宁·二模）已知函数的定义域，对任意实数a，定义集合． (1)已知，求． (2)已知，若集合只有一个元素，求a的值； (3)已知，其中且，求证：集合是一个区间． 【详解】（1）函数的定义域为， 由题意可知即不等式的解集， 可化为，整理可得， 即，解得或， 所以. （2）函数的定义域为， 由题意可知即不等式的解集， 令，所以即的解集， 若集合只有一个元素，即方程有唯一解， 且函数在该点处与轴相切. 因为， （i）当时，恒成立，在上单调递增， 所以，无解，故不成立； （ii）当时，令，解得， 当时，，单调递增， 当时，，单调递减， 所以，即， 即，解得. 经检验，当时， ， 所以只有一个解，且， 符合题意，故a的值为1； （3）函数的定义域为， 由题意可知即不等式（且）的解集， 即（且）的解集 令， 则， ①当时，恒成立，单调递增，当 所以的解集，即集合必是一个区间； ②当时，令，解得 所以在上单调递增，在和单调递减， 且，所以的解集，即集合必是一个区间； ③当时，令，解得 所以在上单调递增，在和单调递减， 且，所以的解集，即集合必是一个区间； 7．（2025·上海徐汇·二模）对于函数，记.如果是满足的最小正整数，则称是函数的“最小导周期”. (1)已知函数，其中，求证：对任意实数，都有； (2)设，，若函数的最小导周期为，记，当实数变化时，求的最小值； (3)设，，若函数满足对恒成立，且存在使得，试用表示，并证明. 【详解】（1）证明：因为， ， ， ， 所以，对任意实数，都有. （2），， 由题意知，对任意实数恒成立， 令，则，即， 令，则，则， 所以或. 若，则，，最小导周期不是，矛盾； 若，则，，，最小导周期为，符合要求，所以. 可视为点与点 之间的距离，当实数变化时，点在直线上运动，点在曲线上运动， 因此所求最小值可转化为曲线上的点到直线距离的最小值， 而曲线在直线上方，平移直线使其与曲线相切， 则切点到直线的距离即为所求. 设切点，，切线斜率，得，切点为， 点到直线距离. 即的最小值为. （3），， 记，即. 由在上恒成立及存在使， 可知是函数的极大值点，于是， 则①， 又，则②， 由①②得，则. 又因为， 所以，由得， 又因为， 所以， 有，于是， 所以. 8．（2025·上海·模拟预测）设定义域为的函数，对于，定义. (1)设，求； (2)设，是否存在，使得是一段闭区间？若存在，求的取值范围；若不存在，请说明理由； (3)函数的定义域是，函数值恒正，其导函数为；当时，.若对任意，均有，求证：“函数是上的严格增函数”的充要条件是“”. 【详解】（1）由题设，将化简得， 解得，故； （2）存在满足条件的，且，理由如下： 因为，代入定义整理得：， 设，则， 令，得，或， 当时，必存在，（设）； 根据的关系，列表如下： 单调递减 极小值 单调递增 极大值 单调递减 极小值 单调递增 由此是函数的极大值点，故当时，是一段闭区间， 即，解得， 因此， 特别地，当时，， 故仍是一段闭区间，故. 当时，当且仅当时，， 列表可得： 单调递减 极小值 单调递增 所以是函数的极小值点，且取得最小值， 当时，是一段闭区间，即，解得， 由此得. 综上所述，存在满足条件的，且； （3）假设，若，则，因此矛盾，故， 先证必要性：因为函数是上的严格增函数且， 当时，；当时，， 因此， 因此必要性得证； 再证充分性： 引理：对任意，当满足时，，已知， 假设，设，任取，则， 因为函数是严格增函数，所以，即， 所以，由此，因此考虑构造， 当，则，而， 函数是严格减函数，，故矛盾，即， 下面证明函数在上为严格增函数： 任取，若，联立上式可得 ， 而，又因为是严格减函数， 则.由于， 所以，故. 同理，可证函数在上为严格增函数， 且，故函数在上为严格增函数，因此充分性得证. 9．（2025·上海·模拟预测）记.已知函数和的定义域都为，若存在，使得，当且仅当时等号成立，则称是在上“次缠绕函数”.若，则称是上的“次自倒缠绕函数”. (1)判断是在上“几次缠绕函数”，并说明理由； (2)设，若在上.“3次自倒缠绕函数”，求的取值范围; (3)记所有定义在区间上的函数组成集合，给定，对任意，是否存在，使得，且是在上“次缠绕函数”. 【详解】（1） 当且仅当和时取等号，内成立且仅在两零点处等号成立 所以缠绕次数为次； （2）设， 因为在上“3次自倒缠绕函数”， 所以存在互异的三个正数，使得， 当且仅当时取等号，所以是的三个变化零点. 注意到，所以是的一个零点.， ①当时，， 在上严格增，1是的唯一零点，不合题意， ②当时，在上严格递减，1是的唯一零点， 不合题意， ③当时，令， 由韦达定理可知，有两正根，且， 所以存在两正根，且， 当时，严格减; 当时，严格增， 当时，严格减， 所以， 因为， 设，因为， 所以在(0，1)上严格减，所以，即， 所以存在. 又， 所以存在， 所以恒成立， 即时，和在上“3次缠绕”， 综上，的取值范围是. （3）取， 设， 令， 显然，且， 当且仅当时取等号. 所以对任意， 存在， 其中， 使得，且是在上“次缠绕函数”. 10．（2025·上海黄浦·三模）若对于函数和，对任意实数，都存在常数，使成立，则称函数是函数的“函数”.（已知和定义域均为）. (1)证明：函数是函数的“1函数”； (2)若函数是函数的“函数”，求的取值范围； (3)若函数，函数为偶函数，函数是函数的“1函数”，求证：“”的充要条件是“存在常数，使得恒成立”. 【详解】（1）因为，，所以，，则， 故，即恒成立， 故函数是函数的“1函数”. （2）因为，， 则，， 因为函数是函数的“函数”， 所以对任意的，，则， 令， 则， 且， 故当时，，当时，， 即在上单调递减，在上单调递增， 所以，所以， 若函数是函数的“函数”， 则实数的取值范围是. （3）充分性：若存在常数使得恒成立， 则为偶函数，因为函数为偶函数，所以， 则，即所以恒成立，所以； 必要性：若，则，所以函数为偶函数， 函数是的1函数，因此，又，. 因此函数是函数的“1函数”， 所以，即恒成立，用代换有， 综上可知，记则， 因此存在常数使得恒成立， 综上可得，“”的充要条件是“存在常数使得恒成立”. 11．（2025·上海浦东新·三模）已知是定义在上的函数，集合对任意，都有．当时，若函数存在最小值，则称为直线的“距离”． (1)若，直接写出相应的集合； (2)设，且存在实数，使得直线的一距离不小于，求的取值范围； (3)设的导函数在上严格增．若对任意，都有且直线与的距离相等．证明：是偶函数． 【详解】（1）因为，则， 若，由可得，可知当时，，不合乎题意； 若，由可得，可知当时，，不合乎题意. 故，由可得，故. （2）要求直线的“距离”，则求的最小值，分以下两种情况讨论： ①当时，对任意的恒成立， 所以在上严格减，无最小值； ②当时，，由得，由得， 所以函数在区间上严格减，在区间上严格增， 故，所以， 令，其中，则， 由得，由得， 所以，函数在区间上严格增，在区间上严格减， 由题意知，故实数的取值范围是. （3）先说明，设点为函数图象上的一点， 因为存在，则存在，设直线， 其中为任意的正常数， 考虑的最小值， 因为，且在上为严格增函数， 故当时，，即在上严格减， 当时，，即在上严格增， 故为函数的极小值点，也是最小值点，故， 若令，， 则对恒成立，即， 所以，且直线的“距离”为， 因为对任意的，都有， 考虑直线， 考虑， 因为直线的“距离”和直线的“距离”相等， 所以对任意的恒成立，所以， 则, 即，即， 同理有，故， 由的任意性可知函数为上的偶函数. 12．（2025·上海浦东新·模拟预测）记.已知函数和的定义域都为，若存在，使得 ，当且仅当时等号成立，则称和在上“次缠绕”. (1)判断和在上“几次缠绕”，并说明理由； (2)设，若和在上“2次缠绕”，求的取值范围； (3)设，若和在上“3次缠绕”，求的取值范围； (4)记所有定义在区间上的函数组成集合，证明：给定，对任意，都存在，使得，且和在上“次缠绕”. 【详解】（1）函数和“次缠绕”， 理由如下：因为对任意， 当且仅当和时，等号成立， 所以由“次缠绕”定义可知和在上“2次缠绕”. （2）设，， 因为和在上“2次缠绕”， 所以存在互异的两个正数，使得， 当且仅当时等号成立，所以是的两个零点. 由，当时，， 则函数在上单调递增，不满足题意； 当时，令，得，令，得， 所以函数在上单调递增，在上单调递减， 又时，， 要使有两个零点，则，解得， 此时存在，使得成立， 当且仅当时等号成立. 综上所述，的取值范围为. （3）设， 因为和在上3次缠绕， 所以存在互异的三个正数，使得， 当且仅当时等号成立，所以是的三个零点. 注意到，所以1是的一个零点，， ①当时，， 在上递增，1是的唯一零点，不合题意， ②当时，在上单调递减，1是的唯一零点，不合题意， ③当时，令，存在两根， 当时，，在上单调递减； 当时，，在上单调递增， 当时，，在上单调递减， 所以，因为， 设，因为， 所以在上递减，所以，即， 所以存在. 又， 所以存在， 使得成立， 即时，和在上“3次缠绕”， 综上，的取值范围是. （4）取，设， 令， 显然，且， 当且仅当时，等号成立. 所以对任意，存在， 其中， 使得，且和在上“次缠绕”. 1．（2025·上海·高考真题）已知． (1)若，求不等式的解集； (2)若函数满足在上存在极大值，求m的取值范围； 【详解】（1）因为，故，故，故， 故即为， 设，则，故在上为增函数， 而即为，故， 故原不等式的解为. （2）在有极大值即为有极大值点. ， 若，则时，，时，， 故为的极小值点，无极大值点，故舍； 若即，则时，， 时，， 故为的极大值点，符合题设要求； 若，则时，，无极值点，舍； 若即，则时，， 时，， 故为的极大值点，符合题设要求； 综上，且. 2．（2023·上海·高考真题）令，取点过其曲线作切线交y轴于，取点过其作切线交y轴于，若则停止，以此类推，得到数列． (1)若正整数，证明； (2)若正整数，试比较与大小； (3)若正整数，是否存在k使得依次成等差数列？若存在，求出k的所有取值，若不存在，试说明理由． 【详解】（1），则在处的切线为， 当时，，即， 所以当正整数时，； （2）作差得， 令，， 当时，，当时，， 故在单调递增，在上单调递减， ，故， 所以当正整数时，； （3），令， 与单调性相同，由（2）得， 当时，，当时，， 故至多有两解， 若成等差数列，则， 故最多项成等差数列，此时，． 而，， 令，，显然时，， 故在上单调递增， 而，，，故有唯一解， 存在使得，此时，故存在最多项成等差数列， 3．（2024·上海·高考真题）对于一个函数和一个点，令，若是取到最小值的点，则称是在的“最近点”． (1)对于，求证：对于点，存在点，使得点是在的“最近点”； (2)对于，请判断是否存在一个点，它是在的“最近点”，且直线与在点处的切线垂直； (3)已知在定义域R上存在导函数，且函数 在定义域R上恒正，设点，．若对任意的，存在点同时是在的“最近点”，试判断的单调性． 【详解】（1）当时，， 当且仅当即时取等号， 故对于点，存在点，使得该点是在的“最近点”． （2）由题设可得， 则，因为均为上单调递增函数， 则在上为严格增函数， 而，故当时，，当时，， 故，此时， 而，故在点处的切线方程为. 而，故，故直线与在点处的切线垂直． （3）设， ， 而， ， 若对任意的，存在点同时是在的“最近点”， 设，则既是的最小值点，也是的最小值点， 因为两函数的定义域均为，则也是两函数的极小值点， 则存在,使得， 即① ② 由①②相等得，即， 即，又因为函数在定义域R上恒正， 则恒成立， 接下来证明， 因为既是的最小值点，也是的最小值点， 则， 即，③ ，④ ③④得 即，因为 则，解得， 则恒成立，因为的任意性，则严格单调递减. 9 / 17 学科网（北京）股份有限公司 $$