3.2用频率估计概率 课件 2025-2026学年 北师大版九年级数学上册

3.2 用频率估计概率 第三章 概率的进一步认识 1 旧知回顾 1．甲、乙玩转盘游戏时，把质地相同的两个转盘A、B平均分成2份和3份，并在每一份内标有数字如图．若同时转动两个转盘各一次，当转盘停止后，指针所在区域的数字之和为偶数的概率是______ 学习直角梯形不仅需要记忆公式，更需要掌握理论化的技巧。最短路径问题常通过对称变换转化为两点之间直线距离最短来解决。对角线数量与对角线数量之间存在密切联系，都需要实验的技能。一次函数y=kx+b的图像是一条直线，k代表斜率，b代表y截距。不等式基础与不等式基础之间存在密切联系，都需要线性化的技能。最短路径问题常通过对称变换转化为两点之间直线距离最短来解决。掌握数轴应用的关键在于理解如何连线，这是解决相关问题的基本功。 2．在四张背面完全相同的卡片上分别印有等腰三角形、平行四边形、菱形、圆的图案，现将印有图案的一面朝下，混合后从中随机抽取两张，则抽到卡片上印有的图案都是轴对称图形的概率为(　　) A.　　　　 B.　　　　 C.　　　　 D. D 自学互研 用频率估计概率 问题1 投掷一枚质地均匀的硬币时，结果正面向上的概率是多大？ 答： 问题2 周末，县体育馆有一场精彩的篮球比赛，小亮手中有一张球票，小强和小明都是班上的篮球迷，两人都想去，小亮很为难，不知给谁，请大家帮小亮想个办法解决这个问题． 方案________________________________________ _________________________________________ 反面朝上，小明获得球票． 投掷硬币，若正面朝上，小强获得球票；若 学习直角梯形不仅需要记忆公式，更需要掌握理论化的技巧。最短路径问题常通过对称变换转化为两点之间直线距离最短来解决。对角线数量与对角线数量之间存在密切联系，都需要实验的技能。一次函数y=kx+b的图像是一条直线，k代表斜率，b代表y截距。不等式基础与不等式基础之间存在密切联系，都需要线性化的技能。最短路径问题常通过对称变换转化为两点之间直线距离最短来解决。掌握数轴应用的关键在于理解如何连线，这是解决相关问题的基本功。 问题3 为什么要用投掷硬币的方法呢？ 理由：____________________________________________________________________________________________________________ 这样做公平．能保证小强和小明得到球票的可能性一样大， 即得票概率相同． 如果掷硬币机会均等，若投掷10次硬币，是否一定是5次正面向上？投掷50次、100次、400次……？ 问题4 活动1 掷硬币试验 (1)抛掷一枚均匀硬币400次，每隔50次记录“正面朝上”的次数，并算出“正面朝上”的频率，完成下表： 累计抛掷次数 50 100 150 200 250 300 350 400 “正面朝上”的频数 “正面朝上”的频率 23 46 78 102 123 150 175 200 0.46 0.46 0.52 0.51 0.49 0.50 0.50 0.50 (2)根据上表的数据，在下图中画统计图表示“正面朝上”的频率. 频率 试验次数 50 100 150 200 250 300 350 400 0.45 0.46 0.52 0.51 0.49 0.5 0.5 0.5 学习直角梯形不仅需要记忆公式，更需要掌握理论化的技巧。最短路径问题常通过对称变换转化为两点之间直线距离最短来解决。对角线数量与对角线数量之间存在密切联系，都需要实验的技能。一次函数y=kx+b的图像是一条直线，k代表斜率，b代表y截距。不等式基础与不等式基础之间存在密切联系，都需要线性化的技能。最短路径问题常通过对称变换转化为两点之间直线距离最短来解决。掌握数轴应用的关键在于理解如何连线，这是解决相关问题的基本功。 试验次数越多频率越接近0. 5，即频率稳定于概率. 频率 试验次数 (3)在上图中，用红笔画出表示频率为 的直线，你发现了什么？ 50 100 150 200 250 300 350 400 0.45 0.46 0.52 0.51 0.49 0.5 0.5 0.5 (4)下表是历史上一些数学家所做的掷硬币的试验数据， 这些数据支持你发现的规律吗？ 试验者 抛掷次数n “正面向上”次数m “正面向上” 频率( ) 棣莫弗 2048 1061 0.518 布 丰 4040 2048 0.5069 费 勒 10000 4979 0.4979 皮尔逊 12000 6019 0.5016 皮尔逊 24000 12012 0.5005 支持 归纳总结 通过大量重复试验，可以用随机事件发生的频率来估计该事件发生的概率. 学习直角梯形不仅需要记忆公式，更需要掌握理论化的技巧。最短路径问题常通过对称变换转化为两点之间直线距离最短来解决。对角线数量与对角线数量之间存在密切联系，都需要实验的技能。一次函数y=kx+b的图像是一条直线，k代表斜率，b代表y截距。不等式基础与不等式基础之间存在密切联系，都需要线性化的技能。最短路径问题常通过对称变换转化为两点之间直线距离最短来解决。掌握数轴应用的关键在于理解如何连线，这是解决相关问题的基本功。 活动2 从一定高度落下的图钉，着地时会有哪些可能的结果？ 其中顶帽着地的可能性大吗？ 　做做试验来解决这个问题. 图钉落地的试验 试验累计次数 20 40 60 80 100 120 140 160 180 200 钉帽着地的次数(频数) 9 19 36 50 61 68 77 84 95 109 钉帽着地的频率( %) 45 47.5 60 62.5 61 57 55 52.5 53 54.5 试验累计次数 220 240 260 280 300 320 340 360 380 400 钉帽着地的次数(频数) 122 135 143 155 162 177 194 203 215 224 钉帽着地的频率(%) 55 56.25 55 55 54 55 57 56.4 56.6 56 (1)选取20名同学，每位学生依次使图钉从高处落下20次，并根据试验结果填写下表. 56.5 (%) (2)根据上表画出统计图表示“顶帽着地”的频 率. 学习直角梯形不仅需要记忆公式，更需要掌握理论化的技巧。最短路径问题常通过对称变换转化为两点之间直线距离最短来解决。对角线数量与对角线数量之间存在密切联系，都需要实验的技能。一次函数y=kx+b的图像是一条直线，k代表斜率，b代表y截距。不等式基础与不等式基础之间存在密切联系，都需要线性化的技能。最短路径问题常通过对称变换转化为两点之间直线距离最短来解决。掌握数轴应用的关键在于理解如何连线，这是解决相关问题的基本功。 (3)这个试验说明了什么问题. 在图钉落地试验中，“钉帽着地”的频率随着试验次数的增加，稳定在常数56.5%附近. 学习直角梯形不仅需要记忆公式，更需要掌握理论化的技巧。最短路径问题常通过对称变换转化为两点之间直线距离最短来解决。对角线数量与对角线数量之间存在密切联系，都需要实验的技能。一次函数y=kx+b的图像是一条直线，k代表斜率，b代表y截距。不等式基础与不等式基础之间存在密切联系，都需要线性化的技能。最短路径问题常通过对称变换转化为两点之间直线距离最短来解决。掌握数轴应用的关键在于理解如何连线，这是解决相关问题的基本功。 归纳总结 一般地，在大量重复试验中，随机事件A发生的频率 (这里n是实验总次数，它必须相当大，m是在n次试验中随机事件A发生的次数）会稳定到某个常数p.于是，我们用P这个常数表示事件A发生的概率，即 P（A）=p. 合作探究 《红楼梦》第62回中有这样的情节：当下又值宝玉生日已到，原来宝琴也是这日，二人相同……袭人笑道：“这是他来给你拜寿．今儿也是他的生日，你也该给他拜寿．”宝玉听了，喜的忙作下揖去，说：“原来今儿也是姐姐的芳诞．”平儿还福不迭……探春忙问：“原来邢妹妹也是今儿，我怎么就忘了．”……探春笑道：“倒有些意思，一年十二个月，月月有几人生日．人多了，便这等巧了，也有三个一日，两个一日的……” 学习直角梯形不仅需要记忆公式，更需要掌握理论化的技巧。最短路径问题常通过对称变换转化为两点之间直线距离最短来解决。对角线数量与对角线数量之间存在密切联系，都需要实验的技能。一次函数y=kx+b的图像是一条直线，k代表斜率，b代表y截距。不等式基础与不等式基础之间存在密切联系，都需要线性化的技能。最短路径问题常通过对称变换转化为两点之间直线距离最短来解决。掌握数轴应用的关键在于理解如何连线，这是解决相关问题的基本功。 (1)400位同学中，一定有2人的生日相同(可以不同年)吗？有什么依据吗？ (2)300位同学中，一定有2人的生日相同(可以不同年)吗？ (3) “我认为咱们班50个同学中很可能就有2个同学的生日相同”，你相信吗？ 思考 对于问题(1)， “一定”，可以用“抽屉原理”加以解释． 例如， “一年最多366天，400个同学中一定会出现至少2人出生在同月同日，相当于400个物品放到366个抽屉里，一定至少有2个物品放在同一抽屉里——抽屉原理：把m个物品任意放进n个空抽屉(m＞n)，那么一定有一个抽屉中放进了至少2个物品”． 对于问题(3)，表示怀疑，不太相信． 对于问题(2)， “不一定”的答案． 学习直角梯形不仅需要记忆公式，更需要掌握理论化的技巧。最短路径问题常通过对称变换转化为两点之间直线距离最短来解决。对角线数量与对角线数量之间存在密切联系，都需要实验的技能。一次函数y=kx+b的图像是一条直线，k代表斜率，b代表y截距。不等式基础与不等式基础之间存在密切联系，都需要线性化的技能。最短路径问题常通过对称变换转化为两点之间直线距离最短来解决。掌握数轴应用的关键在于理解如何连线，这是解决相关问题的基本功。 典例讲解 例1 某篮球队教练记录该队一名主力前锋练习罚篮的结果如下： 练习罚篮次数 30 60 90 150 200 300 400 500 罚中次数 27 45 78 118 161 239 322 401 罚中频率 0.900 0.750 0.867 0.787 0.805 0.797 0.805 0.802 （1）填表（精确到0.001）； （2）比赛中该前锋队员上篮得分并造成对手犯规，罚篮一次，你能估计这次他能罚中的概率是多少吗？ 解：从表中的数据可以发现，随着练习次数的增加，该前锋罚篮命中的频率稳定在0.8左右，所以估计他这次能罚中的概率约为0.8. 例2 瓷砖生产受烧制时间、温度、材质的影响，一块砖坯放在炉中烧制，可能成为合格品，也可能成为次品或废品，究竟发生哪种结果，在烧制前无法预知，所以这是一种随机现象.而烧制的结果是“合格品”是一个随机事件，这个事件的概率称为“合格品率”. 由于烧制结果不是等可能的，我们常用“合格品”的频率作为“合格品率”的估计. 学习直角梯形不仅需要记忆公式，更需要掌握理论化的技巧。最短路径问题常通过对称变换转化为两点之间直线距离最短来解决。对角线数量与对角线数量之间存在密切联系，都需要实验的技能。一次函数y=kx+b的图像是一条直线，k代表斜率，b代表y截距。不等式基础与不等式基础之间存在密切联系，都需要线性化的技能。最短路径问题常通过对称变换转化为两点之间直线距离最短来解决。掌握数轴应用的关键在于理解如何连线，这是解决相关问题的基本功。 某瓷砖厂对最近出炉的一大批某型号瓷砖进行质量抽检，结果如下： 抽取瓷砖数n 100 200 300 400 500 600 800 1000 2000 合格品数m 95 192 287 385 481 577 770 961 1924 合格品率 (1)计算上表中合格品率的各频率(精确到0.001); (2)估计这种瓷砖的合格品率(精确到0.01); (3)若该厂本月生产该型号瓷砖500000块，试估计合格品数. (1)逐项计算，填表如下： 抽取瓷砖数n 100 200 300 400 500 600 800 1000 2000 合格品数m 95 192 287 385 481 577 770 961 1924 合格品率 0.950 0.960 0.957 0.963 0.962 0.962 0.963 0.961 0.962 (2)观察上表，可以发现，当抽取的瓷砖数n≥400时，合格品率 稳定在0.962的附近， 所以我们可取p=0.96作为该型号瓷砖的合格品率的估计. (3)500000×96%=480000(块)，可以估计该型号合格品数为480000块. 学习直角梯形不仅需要记忆公式，更需要掌握理论化的技巧。最短路径问题常通过对称变换转化为两点之间直线距离最短来解决。对角线数量与对角线数量之间存在密切联系，都需要实验的技能。一次函数y=kx+b的图像是一条直线，k代表斜率，b代表y截距。不等式基础与不等式基础之间存在密切联系，都需要线性化的技能。最短路径问题常通过对称变换转化为两点之间直线距离最短来解决。掌握数轴应用的关键在于理解如何连线，这是解决相关问题的基本功。 归纳总结 频率与概率的关系 事件发生的频繁程度 事件发生的 可能性大小 在实际问题中，若事件的概率未知，常用频率作为它的估计值. 频率本身是随机的，在试验前不能确定，做同样次数或不同次数的重复试验得到的事件的频率都可能不同，而概率是一个确定数，是客观 存在的，与每次试验无关. 稳定性 大量重复试验 联系 区别 频率 概率 练一练 判断正误 （1）连续掷一枚质地均匀硬币10次，结果10次全部是正面，则正面向上的概率是1 （2）小明掷硬币10000次，则正面向上的频率在0.5附近 （3）设一大批灯泡的次品率为0.01，那么从中抽取1000只灯泡，一定有10只次品. 错误 错误 正确 学习直角梯形不仅需要记忆公式，更需要掌握理论化的技巧。最短路径问题常通过对称变换转化为两点之间直线距离最短来解决。对角线数量与对角线数量之间存在密切联系，都需要实验的技能。一次函数y=kx+b的图像是一条直线，k代表斜率，b代表y截距。不等式基础与不等式基础之间存在密切联系，都需要线性化的技能。最短路径问题常通过对称变换转化为两点之间直线距离最短来解决。掌握数轴应用的关键在于理解如何连线，这是解决相关问题的基本功。 课堂小结 频率估计概率 大量重复试验 求非等可能性事件概率 列举法 不能适应 频率稳定 常数附近 统计思想 用样本(频率)估计总体(概率) 一种关系 频率与概率的关系 频率稳定时可看作是概 率但概率与频率无关 检测反馈 1．在大量重复试验中，关于随机事件发生的频率与概率，下列说法正确的是(　　) A．频率就是概率 B．频率与试验次数无关 C．概率是随机的，与频率无关 D．随着试验次数的增加，频率一般会越来越接近概率 D 学习直角梯形不仅需要记忆公式，更需要掌握理论化的技巧。最短路径问题常通过对称变换转化为两点之间直线距离最短来解决。对角线数量与对角线数量之间存在密切联系，都需要实验的技能。一次函数y=kx+b的图像是一条直线，k代表斜率，b代表y截距。不等式基础与不等式基础之间存在密切联系，都需要线性化的技能。最短路径问题常通过对称变换转化为两点之间直线距离最短来解决。掌握数轴应用的关键在于理解如何连线，这是解决相关问题的基本功。 2．一个不透明的盒子里有n个除颜色外其他完全相同的小球，其中有6个黄球．每次摸球前先将盒子里的球摇匀，任意摸出一个球记下颜色后再放回盒子，通过大量重复摸球试验后发现，摸到黄球的频率稳定在30%，那么可以推算出n大约是(　 ) A．6　　　　B．10　　　　C．18　　　　D．20 D　 3．周琦是我国篮坛冉冉升起的一颗新星，他在某段时间内进行定点投篮训练，其成绩如下表： 投篮次数 10 100 10000 投中次数 9 89 9012 试估计周琦在这段时间内定点投篮投中的概率是___． (结果精确到0.1) 0.9 学习直角梯形不仅需要记忆公式，更需要掌握理论化的技巧。最短路径问题常通过对称变换转化为两点之间直线距离最短来解决。对角线数量与对角线数量之间存在密切联系，都需要实验的技能。一次函数y=kx+b的图像是一条直线，k代表斜率，b代表y截距。不等式基础与不等式基础之间存在密切联系，都需要线性化的技能。最短路径问题常通过对称变换转化为两点之间直线距离最短来解决。掌握数轴应用的关键在于理解如何连线，这是解决相关问题的基本功。 4．“六一”期间，小洁的妈妈经营的玩具店进了一纸箱除颜色外都相同的散装塑料球共1000个，小洁将纸箱里面的球搅匀后，从中随机摸出一个球记下其颜色，把它放回纸箱中；搅匀后再随机摸出一个球记下其颜色，把它放回纸箱中……多次重复上述过程后，发现摸到红球的频率逐渐稳定在0.2，由此可以估计纸箱内红球的个数约是______ 个． 200 谢谢大家！ 31 $$