第12章 全等三角形 练习题 2025-2026学年华东师大版（2024）数学八年级上册

第12章 全等三角形 一、单选题 1．若a、b、c表示的三条边长，且满足，则一定是（   ）三角形． A．直角 B．三条边都不相等的 C．等腰 D．等边 2．如图，在中，，，是边上的中线，延长使得，连接，则长的取值范围是（   ） A． B． C． D．无法确定 3．如图，，，．当时，的度数为（   ） A． B． C． D． 4．下列所给条件中，能画出唯一的的是（   ） A． B． C． D． 5．如图，，，，点在同一条直线上，则的度数为（   ） A． B． C． D． 6．如图，在中，，、分别是、的垂直平分线，，则（   ） A． B． C． D． 7．如图，中，是角平分线，交于E，交于D，若，，则等于（    ） A．10 B．12 C．14 D．16 8．如图，是的角平分线，，垂足为．若，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 二、填空题 9．写出命题“全等三角形的面积相等”的逆命题 ． 10．等腰三角形的边长分别为a，b，且满足．则的周长为 ． 11．如图，在中，，则的度数为 ． 12．如图，平分，于点，点是射线上一个动点，若，则的最小值为 ． 13．如图所示，在中，平分，点E在的延长线上，且，且交延长线于点F，H为上的一点，且，，，若．则 ． 三、解答题 14．如图，在中，是角平分线，，垂足为，求证：． 15．如图，在中，，为边上的中线．以点为圆心，长为半径画弧，与交于点，连接． (1)求证：； (2)若，求的度数． 16．如图，交于点是上一点，且． (1)试说明． (2)若，求的度数． 17．在中，，点D在延长线上，以为边，在上方作任意，连接交于点G． (1)如图1，若G为中点，，求的长； (2)如图2，点F在的延长线上，连接，若，试猜想线段和之间存在的数量关系，并说明理由． 18．如图，在中，，点是线段上的一动点（不与点、重合），以为一边在的右侧作，使，，连接． (1)求证：； (2)设，．当点在线段上，时，请你探究写出与之间的数量关系是多少？ 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 1．C 【分析】本题考查了利用平方差公式进行因式分解，等腰三角形的判定，三角形三边关系的应用．熟练掌握利用平方差公式进行因式分解，等腰三角形的判定，三角形三边关系的应用是解题的关键．由题意知，，由，可得，则一定是等腰三角形，然后判断作答即可． 【详解】解∶∵， ∴， ∴， ∴， ∵a、b、c表示的三条边长， ∴， ∴， ∴， ∴一定是等腰三角形， 故选：C． 2．C 【分析】延长至，使得，连接．则，先根据定理证出，根据全等三角形的性质可得，再利用三角形的三边关系求解即可得． 【详解】解：如图，延长至，使得，连接．则， 为边上的中线， ， 在和中， ， ， ∴ 在中，，即， 解得， 故选：C． 【点睛】本题考查了三角形全等的判定与性质、三角形的三边关系，通过作辅助线，构造全等三角形是解题关键． 3．C 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质，等腰三角形的性质，平行线的性质．根据全等三角形的性质得出，则，根据直角三角形两锐角互余，求得，根据平行线的性质得出，据此计算即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故选：C． 4．C 【分析】本题考查全等三角形的判定，根据全等三角形的判定方法，逐一进行判断即可． 【详解】解：A、只有两条边，不能画出唯一的，不符合题意； B、只有一边一角，不能画出唯一的，不符合题意； C、能画出唯一的，符合题意； D、不能画出唯一的，不符合题意； 故选C． 5．C 【分析】本题考查全等三角形的性质，根据全等三角形的对应角相等，可得，，再根据平角的定义求解． 【详解】解：，，， ，， 点在同一条直线上， ， 故选C． 6．D 【分析】本题考查垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，等边三角形的判定与性质，熟练掌握垂直平分线的性质和等边三角形的判定是解题的关键，连接，，易证得为等边三角形，即可得到，进而得到答案． 【详解】解：连接，，如图所示， ∵，， ∴， ∵，分别是，的垂直平分线， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∴， 故选：D． 7．B 【分析】本题考查了等腰三角形的判定和性质，平行线的性质，熟练掌握等腰三角形的判定和性质是解题的关键． 根据角平分线的定义得到，根据平行线的性质得到，等量代换得到，求得，即可得到结论． 【详解】解：是的平分线， ， ， ， ∴， ∴， ， ． 故选：B． 8．B 【分析】本题主要考查了角平分线、全等三角形的判定和性质、三角形的内角和等知识点，根据三角形的知识求出相应各个角的度数是解题的关键． 根据三角形的内角和求出，再求出，然后通过证明、并利用全等三角形的性质，再利用外角的性质求解即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∵是的角平分线， ∴， 又∵， ∴, ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵, ∴， ∴. 故选：B． 9．面积相等的三角形全等 【分析】本题考查了命题的逆命题，对于两个命题，如果一个命题的题设和结论分别是另外一个命题的结论和条件，那么这两个命题叫做互逆命题，据此解答即可求解，找出命题的题设和结论是解题的关键． 【详解】解：“全等三角形的面积相等”的逆命题是面积相等的三角形全等， 故答案为：面积相等的三角形全等． 10． 【分析】本题考查了因式分解，三角形三边关系，非负数性质，求得的值是解题的关键． 根据完全平方公式因式分解，根据平方的非负性，求得的值，根据等腰的性质，即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴，， 解得，， ∵等腰三角形的边长分别为a，b， ∴当是腰时，,不能构成三角形； 当是腰时，三边长为、、，能构成三角形， ∴的周长为； 综上，的周长为． 故答案为：． 11．/度 【分析】本题考查等边对等角，三角形的外角，根据等边对等角，得到，再根据三角形的外角进行求解即可． 【详解】解：， ∴， ∴， ∴； 故答案为：． 12．3 【分析】本题主要考查角平分线的性质；垂线段最短，掌握以上知识是解题的关键．作于，根据角平分线的性质求出的长即可． 【详解】解：作于， ∵平分， ， 又 ∵点是射线上一个动点， ， ∴，最小值为3， 故答案为：3． 13． 【分析】此题主要考查了全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质．先证得，根据得，则，设，，则，，，，根据得①，进而得，再根据得②，然后得，据此可得n的值． 【详解】解：∵，， ∴和均为直角三角形，， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 设，， ∵， ∵平分， ∴， ∴， ∵是的一个外角， ∴， 在中，， ∴， ∴①， 在中，， 将①代入，得：， ∵， ∴②， ，得：， ∵， ∴， ∴． 故答案为：． 14．见解析 【分析】本题涉及三角形内角和定理、角平分线的定义以及三角形的外角性质．通过构造全等三角形，将转化为与和有关的角，从而证明结论． 【详解】证明：如图，延长交于点． ， ． ∵是角平分线， ， 在和中， ， ， ． 又， ． 15．(1)见解析 (2) 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，三角形的内角和等知识点，熟练掌握全等三角形的判定和性质定理是解题的关键． （1）根据中点的性质得到，根据全等三角形的判定定理得到结论； （2）根据等腰三角形的性质和三角形的内角和得到，得到，求得，进而即可得解． 【详解】（1）证明：为边上的中线 ， 在与中， ， ； （2）解：根据题意得， ， ，为边上的中线， ， ， ． 16．(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，三角形内角和定理以及三角形的外角的性质． （1）先证明，进而证明，根据全等三角形的性质，即可得证； （2）根据三角形的外角的性质可得，进而根据三角形内角和定理，即可求解． 【详解】（1）证明：， ， 即：， 在和中， ， ， ； （2）解：是和的外角， ，， ， ， ， ， ， ． 17．(1)8 (2)；理由见解析 【分析】该题考查了全等三角形的性质和判定，等腰三角形的性质和判定． （1）证明，根据全等三角形的性质即可求解． （2）在上截取，如图，证明，再证明，得出，即可证明． 【详解】（1）解：， ， ， ∵G为中点， ， ， ． 在和中， ， ， ． （2）解：线段和之间存在的数量关系为． 理由如下： 在上截取，如图， ， ， ， ， 在和中，， ， ， ， ， ， ， ． 在和中，， ， ， ． 18．(1)见解析 (2)，理由见解析． 【分析】本题考查全等三角形的判定与性质、三角形的内角和定理，熟练掌握全等三角形的性质是解答的关键． （1）证明，利用全等三角形的对应边相等可得结论； （2）证明，利用全等三角形的对应角相等得到，进而利用三角形的内角和定理和等量代换进行角度运算可得结论． 【详解】（1）证明：， ， 即， 在和中， ， ； （2）解：，理由如下： ，， ， 在和中， ， ， ， ， ． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $$