26.2.1 二次函数y=ax2的图象与性质-【绿卡初中创新题】2025-2026学年九年级全册数学习题课件(华东师大版)
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教辅
内容正文：
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第26章 二次函数
26.2 二次函数的图象与性质
1.二次函数y=ax2的图象与性质
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1. （河南洛阳栾川期中）二次函数y=-3x2的图象是（ ）
A. 直线 B. 双曲线
C. 抛物线 D. 无法确定
C
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基
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知识点1 二次函数y=ax2的图象
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2. （教材P7T2改编）抛物线y=6x2的顶点坐标为 （ ）
A. （6，0） B. （0，6） C. （-6，0） D. （0，0）
D
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3. 下列各点，不在二次函数y=-x2的图象上的是 （ ）
A. （0，0） B. （-3，-9）
C. （-5，25） D. （1，-1）
C
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4. （湖北恩施州巴东期中）二次函数y=2x2的图象大致是（ ）
A
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5. （甘肃平凉校级阶段练习）若二次函数y=的图象开口向上，则a的值为（ ）
A. 3 B. -3 C. D. -
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6. （教材P7T3改编）对于二次函数y=-x2，下列说法正确的为 （ ）
A. 函数的图象开口向上
B. y随x的增大而增大
C. y随x的增大而减小
D. 函数的最大值为0
D
知识点2 二次函数的性质
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7. （山东德州乐陵校级阶段练习）抛物线y=3x2，y=-4x2，y=x2的共同性质是（ ）
A. 开口向上 B. 都有最大值
C. 对称轴都是x轴 D. 顶点都是原点
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8. （河北唐山校级阶段练习）若y=（1-m）是二次函数，最大值为0，则m的值为（ ）
A. m=±2 B. m=±
C. m=2 D. m=
C
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9. （一题多解）若点（1，y1）、在抛物线y=-9x2上，则y1 y2. （填“>”“<”或“=”）
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10. 【新趋势 开放性问题】若在一条抛物线y=ax2对称轴的右侧，y随x的增大而减小，则这条抛物线可以是 .
y=-x2（答案不唯一）
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11. 已知二次函数y=ax2的图象经过点A.
（1）求这个二次函数的表达式，并画出其图象；
（2）请写出这个二次函数图象的顶点坐标、对称轴及
函数的最值.
解：（1）将x=-1，y=-代入y=ax2，得a=-.
所以二次函数的表达式为y=-x2，其图象如图所示.
（2）观察图象可知，该二次函数图象的顶点坐标是
（0，0），对称轴是y轴，函数有最大值0.
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12. （河南开封龙亭阶段练习）函数y=ax2与y=-ax+b的图象可能是（ ）
【解析】当a>0时，-a<0，二次函数的图象开口向上，一次函数的图象从左到右下降，故选项A不符合题意；当a<0时，-a>0，二次函数的图象开口向下，一次函数的图象从左到右上升，故选项C、D不符合题意. 故选B.
B
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13. （河南三门峡模拟）如图，正方形OABC的顶点B位于二次函数y=x2在第一象限的图象上，若点B的横坐标与纵坐标之和等于6，则对角线AC的长为（ ）
A. 2 B. 2
C. 2 D.
【解析】如图，连结OB.
设点B的横坐标为a.
∵点B的横坐标与纵坐标之和等于6，
∴点B的纵坐标为6-a.
∵点B位于二次函数y=x2在第一象限的图象上，
∴6-a=a2，解得a=-3（不符合题意，舍去）或a=2.
∴6-a=4，∴点B的坐标为（2，4），∴OB==2.
∵四边形OABC是正方形，∴AC=OB=2. 故选C.
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14. 已知点A（-2，y1），B（3，y2），C（，y3）均在二次函数y=（k2+1）x2（k为常数）的图象上，则y1、y2、y3的大小关系为 . （用“>”连接）
【解析】∵二次函数y=（k2+1）x2（k为常数），k2+1≥1，∴图象开口向上，对称轴为y轴，∴A（-2，y1）与（2，y1）关于y轴对称. ∵当x>0时，y随x的增大而增大，且3>>2，∴y2>y3>y1.
y2>y3>y1
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15. （福建福州鼓楼校级期末）已知四个二次函数的图象如图所示，那么a1、a2、a3、a4的大小关系是 . （用“>”连接）
【解析】∵y=a1x2的图象的开口比y=a2x2的小，
∴a1>a2>0.∵y=a3x2的图象的开口比y=a4x2的大，
∴a4<a3<0，∴a1>a2>a3>a4.
a1>a2>a3>a4
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16. （河南开封鼓楼校级期末）如图，正方形的边长为4，以正方形中心为原点建立平面直角坐标系，作出函数y=2x2与y=-2x2的图象，则阴影部分的面积是 .
【解析】∵函数y=2x2与y=-2x2的图象关于原点中心对称，
∴阴影部分的面积是正方形面积的一半，
∴阴影部分的面积为×42=8.
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17. 【新趋势 探究性问题】在平面直角坐标系中，过点（0，2）且平行于x轴的直线，与直线y=x-2交于点A，点A关于直线x=2的对称点为B.
（1）求点A与点B的坐标；
（2）若函数y=ax2（a≠0）的图象与线段AB恰有一个公共点，结合函数的图象，求a的取值范围.
解：（1）由题意，得点A的纵坐标为2，将y=2代入y=x-2，解得x=4，
∴点A的坐标为（4，2）.
∵点B与点A关于直线x=2对称，∴点B的坐标为（0，2）.
（2）把点A（4，2）代入y=ax2，得16a=2，解得a=，
结合如图所示的函数图象，函数y=ax2（a≠0）的图象与线段AB
恰有一个公共点，需满足a≥，∴a的取值范围是a≥.
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18. 【新定义 新概念问题】已知，抛物线的顶点为M与原点重合，平行于x轴的直线与该抛物线交于点A、B（点A在点B的左侧），根据对称性，得△AMB恒为等腰三角形. 我们规定：当△AMB为直角三角形时，就称△AMB为该抛物线的“完美三角形”. 如图，求抛物线y=x2的“完美三角形”斜边AB的长.
解：如图，过点B作BN⊥x轴于点N.
根据题意，得△AOB为等腰直角三角形，∴∠ABO=45°.
∵AB⫽x轴，∴∠BON=45°，
∴△BON是等腰直角三角形.
设点B的坐标为（n，n），∵点B在抛物线y=x2上，∴n2=n，
∴n=1或n=0（不符合题意，舍去），
∴点B坐标为（1，1），
∴点A坐标为（-1，1），∴AB=2.
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