第二章 平面向量（A卷·考点梳理卷）-《同步单元AB卷》（《数学 拓展模块一上册》高教版2023修订版）（原卷版+解析版）

编写说明：本套【河南专用】《同步单元AB卷》紧扣《数学 拓展模块一 （上册）》（高教版2023修订版）教材，以教材单元为基准精准覆盖河南省对口高考真题核心考点。A卷为考点梳理卷，侧重考点分层突破；B卷为单元测试卷，强化综合能力检测，助力师生高效把握区域教学重点，提升应试能力与知识应用水平。 本卷是第二章平面向量的考点梳理卷，主要梳理和考查了向量的概念、向量的线性运算、向量的内积、向量的坐标表示等常见考点。 第二章 平面向量 目录 考点一 向量的概念 1 考点二 向量的加减法 2 考点三 向量的数乘运算 2 考点四 平行向量基本定理 2 考点五 向量的直角坐标表示 2 考点六 向量平行的充要条件 3 考点七 向量的坐标表示 3 考点八 向量数量积求模 3 考点九 向量数量积求角 3 考点十 向量内积的坐标运算 4 考点一 向量的概念 1．下列命题正确的是（   ） A．单位向量均相等 B．任一向量与它的相反向量不相等 C．模为零的向量与任一向量平行 D．模相等的两个共线向量是相同的向量 【答案】C 【分析】根据题意，结合单位向量、相等向量、零向量、共线向量、相反向量的概念，即可判断求解. 【详解】因为单位向量的长度都为1，但是方向可能不同，故不一定相等，故选项A错误； 因为任一非零向量与它的相反向量长度相等、方向相反，故不相等， 但零向量的相反向量仍是零向量，故零向量与它的相反向量相等，故选项B错误； 因为模为零的向量是零向量，零向量与任一向量平行，故选项C正确； 因为模相等的两个共线向量的方向可能相同或相反，故不一定是相同的向量，故选项D错误； 故选：C. 2．下列说法正确的是（   ） ①两个单位向量一定是相等向量     ②零向量与任一向量共线 ③若向量，，则     ④两个平行向量的模可以不同 A．①② B．②④ C．③④ D．①④ 【答案】B 【分析】根据单位向量的概念，向量模的定义，以及向量共线的性质，即可求解. 【详解】①错误：单位向量模长均为 1，但方向可不同，而相等向量需方向相同且模长相等，故两个单位向量不一定是相等向量， ②正确：零向量与任一向量共线， ③错误：若为零向量，与可以是任意不共线的向量，此时且，但与不一定共线， ④正确：平行向量只要求方向相同或相反，与模长无关，因此模长可以不同， 故正确的说法为②④. 故选：B. 考点二 向量的加减法 3．化简： . 【答案】 【分析】根据向量的加法法则与减法法则计算即可. 【详解】 ， 故答案为：. 4．下列等式成立的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据向量的运算法则，对每个选项逐一进行分析. 【详解】选项A， ，错误， 选项B，，错误， 选项C，，错误， 选项D，，正确. 故选：D. 考点三 向量的数乘运算 5．如图所示，，，是的三等分点，则用向量和线性表示为（   ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据向量的加法和减法法则化简即可. 【详解】如图所示，，，是的三等分点， 则， 又， 所以， 故选：B. 6． . 【答案】 【分析】根据向量的基本运算法则，即可求解. 【详解】， 故答案为： 考点四 平行向量基本定理 7．如果非零向量，那么下列说法错误的是（     ） A． B． C．向量与平行 D．向量与共线 【答案】A 【分析】根据向量的模的概念和向量共线定理即可求解. 【详解】因为非零向量，所以，故A项错误；B项正确； 又由，所以向量与平行、共线，故C、D项正确. 故选：A. 8．已知非零向量和不共线． (1)如果，，，求证：三点共线； (2)欲使向量与平行，试确定实数的值． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）利用向量线性运算可得，知，由此可得三点共线； （2）由向量平行可得，由此可构造方程求得的值. 【详解】（1），， 共线且有公共点，三点共线. （2）与平行，， 与不共线，，解得：或，. 考点五 向量的直角坐标表示 9．已知向量，满足，且，则 ． 【答案】 【分析】利用向量内积的定义进行运算. 【详解】已知，并且， 所以， 故答案为：. 10．若向量，且，则（    ） A． B． C．1 D．2 【答案】C 【分析】利用对数函数的运算性质，结合向量垂直的向量表示，列出式子解得答案. 【详解】因为，所以向量， 又， 所以，解得， 故选：C. 考点六 向量平行的充要条件 11．已知，，且与的夹角为，求： (1)； (2)若向量与平行，求实数的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据向量内积的运算律和向量模长的计算公式，即可得解； （2）根据向量平行的条件列式即可得解. 【详解】（1）因为，，且与的夹角为， 所以， 所以 （2）因为向量与平行， 所以存在实数，使得， 所以，解得. 12．设为平面内任意三个非零向量，下列结论正确的是（    ） A．的充要条件是 B．的充要条件是 C．若，则 D．若，则 【答案】BC 【分析】根据向量三角不等式、垂直、共线的判定性质判断A、B、C；由数量积相等的几何意义有判断D. 【详解】A：的充要条件为同向共线，而是的必要不充分条件，错误； B：为三个非零向量，的充要条件是，正确； C：为三个非零向量，，则，正确； D：说明，但不一定有，错误. 故选：BC 考点七 向量的坐标表示 13． 已知向量，，，若，，则（   ） A． B． C．8 D．10 【答案】D 【分析】根据两个平面向量平行与垂直的关系求出的值，结合平面向量线性运算的坐标表示及模长公式即可得解. 【详解】向量，，， 因为，则，解得，所以； 因为，则，解得，所以， 则， 所以， 故选：. 14．已知向量，，，则（   ） A． B．8 C． D．4 【答案】A 【分析】利用平面向量的加法、数量积的坐标运算即可. 【详解】向量，，， 则， 所以. 故选：A 考点八 向量数量积求模 15．已知向量，且. (1)求m的值； (2)求的值. 【答案】(1) (2). 【分析】（1）根据向量垂直的坐标表示即可求解； （2）由向量模的计算公式及可求解. 【详解】（1）向量，且， 则，解得. （2）因为， 则， 所以. 16．已知向量，，则 . 【答案】 【分析】先计算的坐标，再根据向量模的坐标表示求解． 【详解】∵向量，，∴， ∴， 故答案为：． 考点九 向量数量积求角 17．若向量，且，求： (1)； (2)实数的值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据向量夹角的余弦值的坐标公式求值即可. （2）由得，列方程求解即可. 【详解】（1）已知，， . （2）已知， 则，   即，且，， 则，， 所以，解得. 18．向量 与 的夹角为 . 【答案】 【分析】根据题意，结合向量夹角的坐标表示，即可求解. 【详解】设向量的夹角为， 因为向量 ，， 所以， 又因为向量夹角， 所以， 故答案为：. 考点十 向量内积的坐标运算 19．已知，求： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1)4 (2) (3) 【分析】利用平面向量的坐标运算直接求解即可. 【详解】（1）解：因为 又因为 所以 （2）解： （3）解： 20．已知向量. (1)求； (2)若，求实数m的值； 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据题意，结合向量坐标的线性运算，即可求解； （2）根据题意，结合向量坐标的线性运算，及向量垂直的坐标表示，即可求解. 【详解】（1）因为向量， 所以； （2）因为向量，， 所以， 又， 所以，解得. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 编写说明：本套【河南专用】《同步单元AB卷》紧扣《数学 拓展模块一 （上册）》（高教版2023修订版）教材，以教材单元为基准精准覆盖河南省对口高考真题核心考点。A卷为考点梳理卷，侧重考点分层突破；B卷为单元测试卷，强化综合能力检测，助力师生高效把握区域教学重点，提升应试能力与知识应用水平。 本卷是第二章平面向量的考点梳理卷，主要梳理和考查了向量的概念、向量的线性运算、向量的内积、向量的坐标表示等常见考点。 第二章 平面向量 目录 考点一 向量的概念 1 考点二 向量的加减法 2 考点三 向量的数乘运算 2 考点四 平行向量基本定理 2 考点五 向量的直角坐标表示 2 考点六 向量平行的充要条件 3 考点七 向量的坐标表示 3 考点八 向量数量积求模 3 考点九 向量数量积求角 3 考点十 向量内积的坐标运算 4 考点一 向量的概念 1．下列命题正确的是（   ） A．单位向量均相等 B．任一向量与它的相反向量不相等 C．模为零的向量与任一向量平行 D．模相等的两个共线向量是相同的向量 2．下列说法正确的是（   ） ①两个单位向量一定是相等向量     ②零向量与任一向量共线 ③若向量，，则     ④两个平行向量的模可以不同 A．①② B．②④ C．③④ D．①④ 考点二 向量的加减法 3．化简： . 4．下列等式成立的是（   ） A． B． C． D． 考点三 向量的数乘运算 5．如图所示，，，是的三等分点，则用向量和线性表示为（   ）    A． B． C． D． 6． . 考点四 平行向量基本定理 7．如果非零向量，那么下列说法错误的是（     ） A． B． C．向量与平行 D．向量与共线 8．已知非零向量和不共线． (1)如果，，，求证：三点共线； (2)欲使向量与平行，试确定实数的值． 考点五 向量的直角坐标表示 9．已知向量，满足，且，则 ． 10．若向量，且，则（    ） A． B． C．1 D．2 考点六 向量平行的充要条件 11．已知，，且与的夹角为，求： (1)； (2)若向量与平行，求实数的值． 12．设为平面内任意三个非零向量，下列结论正确的是（    ） A．的充要条件是 B．的充要条件是 C．若，则 D．若，则 考点七 向量的坐标表示 13． 已知向量，，，若，，则（   ） A． B． C．8 D．10 14．已知向量，，，则（   ） A． B．8 C． D．4 考点八 向量数量积求模 15．已知向量，且. (1)求m的值； (2)求的值. 16．已知向量，，则 . 考点九 向量数量积求角 17．若向量，且，求： (1)； (2)实数的值. 18．向量 与 的夹角为 . 考点十 向量内积的坐标运算 19．已知，求： (1)； (2)； (3)． 20．已知向量. (1)求； (2)若，求实数m的值； 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$