同学们好，今天咱们继续来讲解高中数学必修第一册同步企鹅班视频系列专栏课的专题。四基本不等式。基本不等式这一个板块相当重要，所以说这节内容较多，我们分的这个视频小专题也比较多。首先今天咱们来讲题型一，利用基本不等式求最值方法的第一个解法配数法。后面课我们会讲一些消元法、常数代数法，包括利用多次进不等式来求值域。好，下面我们来看一下第一个例题，已知X小于2，求FX等于X减2分之9加上X的最大值。大家注意这是一个基本题型，这个题型可以说是咱们初学者做基本不等式最基础的一类题型，所以这类题型必须要会。那么根据利用基本不等式的三个条件，一正二定三相等。首先咱们来看一下这个第一小题里面它是否满足正。很明显这里面X减2它是一个负值，它不满足正，不满足正正的话，我们就想方设法通过配凑的手段把它画成正的。好，下面我们来看一下第一小题，具体的解法如下。我们可以将原式配凑成X减2分之9，加上一个X减2。如果我要减个20，后面我们就再加个2，保证它是一个恒等变形。这个时候大家可以看一下这个X减2它是一个负值，它不满足是正值，那怎么办呢？我们就提一个负一出来，就是把X减2分之9加上这个X减2，这个整体提高负号出来。所以我们把式子的结构变成2，减去括号下的X2减X分之9，加上一个X减2，提个负号出来就变成也变成一个L2减X，这个时候它就满足一正二定三用的。我们知道这个括号里面肯定有最小值，那么加个负号之后，就有最大值，所以说它一定是小于等于二减去二倍的根号下2减X分之9，再乘上一个这个2减X好，这个时候我们计算的这个结果里面就是二减去开根号出来就是323346，算出来就是2减6，就是-4。好，我们再探究一下这个相等的条件，当且仅当。2减X分之九等于2减X的时候等号成立。那么G2减X平方值等于92减X就等于3。所以说此算出来这个X值是等于负一的时候取等号。等号成立。好，此时我们可以完美的把这个题给解决掉。那么下面咱们来看一下基本不等式的两个最基本的变形，我们做一个简单的回忆。因为基本不等式是对于二分之A加B大于等于根号AB对于两个均值，一个是算术平均数，一个是几何均数。所以第一个叫算术频数，这是算术平数。第二个叫叫几何频数，它实际上有一定的几何意义的。你比如说以前的2004年的数学家大会上。就是有一个他们探究的是这样的，假如说有这样两个线段，一个是AC一个是BCAC的长为ABC的长为B以AB为直径做一个半圆，然后过C做一个垂线段，交这个半圆弧于D点，然后我们再连接这个AD和BD这个O是AB的中点。那么根据初中阶段的知识，我们知道这个OD的长就是2分之1加B这个CD可以用初中阶段我们学的射影定理，可以得出这个CD方就等于AB乘CB就是A乘B所以说可以推出这个是根号AB就是CD2分之A加B就是ADAOD所以说在RT3角形ODC中，只要C和O不重合，那么一定能构成直角扇形。那么OD是斜边始终大于直角边。当协警到AB相等，C和O重合的时候，会有这样一个或者是那个就可以取得等号。你像以前的老湖北高考题，他还考过C向它做垂线就是M他还专门考了个调和平均数，也就是A分之一加B分之1分之2。这个我们专门也有个名字叫调和平，它也有几何意义。那么这个几何意义就是DM比较有意思。好，这个第一小题我们就解决了。我们来看第二小题，已知AB为正数，好，已经明显告诉我们是正数，那么4A加3B等于6，则A乘上一个A加3B的最值。这里面我们也配送，你这里面没有4A我们想方设法构造一个4A所以这个基本模式有两个变形。第一个把2乘过去，就是A加B大于等于二倍根号1B也即当根A乘B为定值的时候，可以求两个数之和的最小值。那么反过来，两边同时平方会有AB小于等于二分之A加B整体的平方。这个时候只要和为定值就可以求乘积的最大值。这里面我们既然求乘积最大值，我们就构造。我们知道A加上A加3B是2，A加3B那么它并不是一个定值。那这个时候我们要配置成定值，我们就只有变成3A才可以。现在变成三一，我们将原式配出一个三一出来，所以说原式A乘以A加上一个3B那么就等于你既然你配出一个三，我外面再乘个3分之1，那么写成3A乘以A加上一个3B好，这两项我们就可以用进步等式了。它的变形就小于等于3分之1乘以2分之3A加上一个A加上一个3B这个整体的平方。对，3A相当于AA加3B整体相当于我们第二个式子中的B那这就是两个数的乘积，这两个数就相当于3A是一个数，这个A加3B是一个数。这个一整理完了之后，就进行简单的计算，里面就是2分之4A加3B就是定值6，就是2分之6的平方，就是99乘3分之1就是3。所以此题的答案选择是选C，这是两个基本的题型，必须都要掌握好，那么下面我们来巩固一下，首先看第一个方程训练。1-1还是一样的，只只要你因为你这个X大于2分之3，所以这个4X减6它一定是大于零的。我要配置成一个KDU接口是必须满足一证二级三厢。等你像刚才的上一道题来看，这个取等的条件也是满足的，只不过我没有写就是当前紧张菲亚当前紧张。这个A3A等于这个A加上一个3B的时候，这个等号是成立的，这个很明显是可以的。对于这个，我们首先看他成绩并不是定值，还是要构造。所以说我们这个时候我们把原来的这个解析式，我们进行变形，变成4X减6，加上一个4X减6分之1。你现在你减个6，肯定得加个6，也就是说你减个五再加个5，后面我们再加上一个五就可以了。前面这个是正的，这个也是正的那就可以利用基不等式的第一个变形就大于等于二倍根号下4X减6，我们就乘以4X减6分之1，然后再加上一个五。这个计算之后，这个结果是等于7。我们看取等的条件就是当前简单4X减6等于4X减6分之1成立，也就4X减6要等于正一，可以解出X是等于这个我们通过口算，这个X等于四分七之七的时候，我们可以取到这个等号，所以说这个最小值就是七好。下面咱们来看一道较难的一道题，这道题的难度稍微有点大，因为它这个参数的值，就式子的结构稍微麻烦一点。大家还是一样的，先思考再听老师讲解。这道题的突破口是什么呢？你要先观察，要观察什么呢？你要观察你这里面怎么样，它会出现一个定值，出现一个定值。这里面我们看啊X加一既然大于Y说明这个是一个正值，就是X加一减Y大于0，X加一大于0，Y也是大于0，说明这两个数之和也是大于零的。这里面我们看啊，我们进行这个配凑，怎么配凑呢？这里面我们要连续利用两次进不等式，大家看你们先观察一下分母之和，因为前面没有X没有Y，但是这里面一个是加Y一个减Y我刚才画横线的就是两个分母之和，刚好是2X加2，也就是X加Y加1，加上一个X减Y加1，它们的和刚好是2X加2。这样的话我们就要将前面的这个X配出一个2X加2出来就可以了。这样的话我们可以把这两项材料分别利用进不等式来求解就可以了。所以我们看看这个原式，我们可以这样来进行原式。既然你是一个X你要出现2X加2，你外面系数肯定要乘个2分之1。所以原式我们可以写成这个2分之2X加2。那这样的话你就相当于多加一个2分之2，多加个一，然后我们再减个一，后面的照抄就加上一个X加Y减1分之4，加上一个X减Y加1分之1。好，继续整理。前面不就刚好可以写成2分之2X加Y加1，加上一个X减Y加1，加上一个我把这个负一常数写后面，然后我们写成X加Y减1分之2，减1分之4，稍等一下，我把这个改一下。好，减1分之4，然后我们再加上一个X减Y加1分之1。那后面常数不要忘记了，再减一好，继续。大家可以看一下二分之X加Y加一和，注意这个是加一和这个X加Y加1分之4这两个乘积刚好是一个定值。所以我们把这个前两项结合起来，那就是二分之X加Y加一加上一个X加Y加1分之4把这两项结合，然后把这个后两项，我打个括号，后两项就是2分之1X减Y加一和刚才这个分式的第二个分式X减Y加1分之1结合起来，后面再带一个常数减1，然后我们就可以用套进步了是吧？那么就大于等于二倍的根号下，你看前两项乘积我就不再写式了。两个乘积就是二加上一个，后面两项乘积就是2分之1，后面再减个一，所以说就等于二倍根二。再加上一个2乘以二分之根二，就是根号二再减1，所以最后这个答案就是三倍根二减1。有这个选项，你这个不就算是放心了。当然我们要考虑取等的条件，很明显这个取等的条件是成立的。为什么呢？因为这两个都是政治，政治肯定是可以取到，它没有其他的限制性条件，就直接答案选D。这是今天咱们主要讲的这样四道题。这由着因为基本不是特别重要，所以说我们额外加了一些例题和练习题。下面我们来看一下这个配凑法的实质，是这个配送法的实质是代数式的灵活变形，即将相关代数式我们进行适当的变形，通过这个天线、拆项、凑系数方法，我们凑成何为定值，有些时候需要极为定值的形式。那一般来说什么X加X分之AA分之B加B分之A这是比较常见的两种形式。然后再利用基本不等式求解，一定要注意取等的条件。是否我们有些同学算完之后配置完了不注意取整的条件，有可能会将符号算成这个相反的。好，今天的配售法我们先讲到这里，下一期我们来讲常数带饭活来求最值。好，感谢大家的收看，下期我们再见。