第二十五章 概率初步 精选易错题 2025-2026学年人教版数学九年级上册

……○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○………… ※※请※※不※※要※※在※※装※※订※※线※※内※※答※※题※※ ……○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○………… ……○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○………… 学校：___________ 姓名：___________ 班级：___________ 考号：___________ ……○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○………… 第二十五章 概率初步 精选易错题 2025-2026学年人教版数学九年级上册 考试时间：100分钟 满分：100分 姓名：__________ 班级：__________考号：__________ 题号 一 二 三 总分 评分 一、选择题(共8题；共24分) 1．下列事件中，属于随机事件的是（ ） A．奥运射击冠军杨倩射击一次，命中靶心 B．从装有 6 个白球的袋中摸出一个红球 C．掷一次骰子，朝上一面的点数大于 0 D．明天太阳从西方升起 2．一个不透明的袋子里装有 3 个红球和 4 个黑球，它们除颜色外其余均相同。从袋子里任意摸出一个球是红球的概率为（ ） A． B． C． D． 3．小明在一次用频率估计概率的试验中统计了某一结果出现的频率，绘制统计图如图所示，则符合这一结果的实验可能是（　　） A．掷一枚正六面体的骰子，出现4点的概率 B．抛一枚硬币，出现反面的概率 C．任意写一个正整数，它能被3整除的概率 D．从一副扑克牌中任抽一张牌，取到“大王”的概率 4．人类的性别是由一对性染色体X，Y决定，当性染色体为XX时，是女性；当性染色体为XY时，是男性．如图所示为一对夫妻的性染色体遗传图谱，如果这位女士怀上了一个小孩，该小孩为女孩的概率是（　　）。 A． B． C． D． 5．已知不透明的袋中只装有黑、白两种球，这些球除颜色外都相同，其中白球有4个，黑球有x个，若随机从袋子中摸出一个球，记录下颜色后，放回袋子中并摇匀，经过大量重复试验发现摸出黑球的频率稳定在附近，则x的值为（　　） A．5 B．6 C．7 D．8 6．小颖从一定高度随机掷一枚质地均匀的硬币，她已经掷了三次硬币，结果都是“反面朝上”．那么，小颖第四次掷硬币时，“正面朝上”与“反面朝上”的可能性的大小为（　　） A．“正面朝上”的可能性大 B．“反面朝上”的可能性大 C．两者的可能性相同 D．无法确定 7．七巧板是一种拼图玩具，体现了我国古代劳动人民的智慧．如图，是一个由“七巧板”地砖铺成的地板，一个小球在该地板上自由地滚动，并随机停留在某块地砖上，已知小球停在任意一点的可能性都相同，那么小球停在4号地砖上的概率是（　　） A． B． C． D． 8．如图1所示，是地理学科实践课上第一小组同学在一张面积为的长方形卡纸上绘制的山东省政区图（图中阴影部分），他们想了解该图案的面积是多少，经研究采取了以下办法：将长方形卡纸水平放置在地面上，在适当位置随机地朝长方形区域扔小球，并记录小球落在不规则图案上的次数（球扔在界线上或长方形区域外不计试验结果）．他们将若干次有效试验的结果绘制成了如图2所示的统计图，由此估计不规则图案的面积大约为（　　） A． B． C． D． 二、填空题(共6题；共24分) 9．有数学4，5，6的三张卡片，将这三张卡片任意摆成一个三位数，摆出的三位数是5的倍数的概率是　 　． 10．在不透明袋子里装有颜色不同的8个球，这些球除颜色外完全相同．每次从袋子里摸出1个球记录下颜色后再放回，经过多次重复试验，发现摸到白球的频率稳定在0.25，估计袋中白球有　 　个． 11． 玉米是山西省主要农作物之一.某种业公司在选育玉米种子时，在同一条件下对某个品种的玉米种子进行了发芽试验，统计数据如下表： 试验种子粒数 100 200 500 1000 2000 5000 发芽种子粒数 92 188 476 951 1900 4752 据此估计该品种的玉米种子发芽的概率为　 　.（结果精确到0.01） 12．一个盒子中装有颗蓝色幸运星和若干颗红色幸运星，小明通过多次摸取幸运星试验后发现，摸取到红色幸运星的频率稳定在左右，则红色星运星的颗数约为　 　 颗 13．在一个不透明的箱子里装有m个球，其中红球4个，这些球除颜色外都相同，每次将球搅拌均匀后，任意摸出一个球记下颜色后再放回，大量重复试验后发现，摸到红球的频率在0.2，那么可以估算出m的值为　 　． 14．某学校在4月23日世界读书日举行“书香校园，全员阅读”活动．小明和小颖去学校图书室借阅书籍，小明准备从《西游记》、《骆驼祥子》、《水浒传》中随机选择一本，小颍准备从《西游记》、《骆驼祥子》、《朝花夕拾》中随机选择一本，小明和小颖恰好选中书名相同的书的概率是　 　． 三、解答题(共6题；共52分) 15．有一个转盘如图，转盘可以自由转动． （1）让转盘自由转动一次，求指针落在红色区域的概率． （2）让转盘自由转动二次，求两次指针都落在黄色区域的概率． 16．王老师将1个黑球和若干个白球放入一个不透明的口袋并搅匀，让若干学生进行摸球试验，每次摸出一个球（有放回），下表是活动进行中的一组统计数据． 摸球的次数n 100 150 200 500 800 1000 摸到黑球的次数m 23 31 60 130 203 251 摸到黑球的频率 0.230 0.231 0.300 0.260 0.254 （1）补全表中的有关数据，根据上表数据估计从袋中摸出一个球是黑球的概率是 ； （2）估计袋中白球的个数； （3）在（2）的条件下，若小强同学有放回地连续两次摸球，用画树状图或列表的方法计算他两次都摸出白球的概率． 17．小明和小亮用如图所示的两个转盘（每个转盘被分成三个面积相等的扇形）做游戏，转动两个转盘各一次，若两次数字之和为奇数，则小明胜；若两次数字之和为偶数，则小亮胜． （1）小明赢的事件是　 　事件．（选填：必然，随机或不可能．） （2）这个游戏对双方公平吗？通过画树状图或列表的方式说说你的理由． 18．将形状、大小完全相同，分别标有数字，0，1，2的四张卡片反面朝上，摆放在桌面上．先随机不放回地抽取一张，记下数字为x；然后在剩下的三张卡片中随机抽取一张，记下数字为y． （1）计算的结果为0的概率； （2）甲、乙两同学做一个游戏，其规则是：若x，y满足，则甲胜；若x，y满足，则乙胜．这个游戏规则公平吗？若公平，请说明理由；若不公平，请设计一个公平的游戏规则． 19．在定西这块深沉的土地上，处处彰显着文化的韵味.如石器时代的马家窑文化、齐家文化，青铜时代的辛店文化，寺洼文化，现有四张不透明的卡片，它们的背面完全一样，正面分别写有马家窑文化、齐家文化、辛店文化、寺洼文化，将四张卡片背面朝上，洗匀后放在桌子上. （1）从中随机抽取一张，抽到“辛店文化”的概率为　 　； （2）从中随机抽取一张（不放回），接着再随机抽取一张，请通过画树状图或列表法，求抽到的两张卡片所写的都属于石器时代文化的概率。 20．某校在九年级随机抽取了 20 名学生分成甲、乙两组，每组各 10 人，进行“网络安全”知识竞 赛．把甲、乙两组的成绩进行整理分析（满分 100 分，竞赛得分用 x 表示：90≤ x ≤100 为网络安全 意识非常强，80≤ x ＜90 为网络安全意识比较强，x＜80 为网络安全意识一般）．收集整理的数据 制成了如下统计图表： 根据以上信息回答下列问题： （1）填空：a＝　 　 ，b＝　 　 ，c＝　 　 ； （2）已知该校九年级有 500 人，估计九年级网络安全意识非常强的人数一共是多少？ （3）现在准备从甲乙两组满分人数中抽取两名同学参加全区比赛，用树状图或者列表法求抽取的两 名同学恰好一人来自甲组，另一人来自乙组的概率． 学科网（北京）股份有限公司 $$……○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○………… ※※请※※不※※要※※在※※装※※订※※线※※内※※答※※题※※ ……○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○………… ……○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○………… 学校：___________ 姓名：___________ 班级：___________ 考号：___________ ……○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○………… 第二十五章 概率初步 精选易错题 2025-2026学年人教版数学九年级上册 考试时间：100分钟 满分：100分 姓名：__________ 班级：__________考号：__________ 题号 一 二 三 总分 评分 一、选择题(共8题；共24分) 1．下列事件中，属于随机事件的是（ ） A．奥运射击冠军杨倩射击一次，命中靶心 B．从装有 6 个白球的袋中摸出一个红球 C．掷一次骰子，朝上一面的点数大于 0 D．明天太阳从西方升起 【答案】A 【解析】【解答】解：A选项，奥运射击冠军杨倩射击一次，命中靶心，随机事件； B选项， 从装有 6 个白球的袋中摸出一个红球，不可能事件； C选项， 掷一次骰子，朝上一面的点数大于 0，必然事件； D选项， 明天太阳从西方升起 ，不可能事件。 故答案为：A。 【分析】 随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件。必然事件是指在一定条件下，一定会发生的事件。不可能事件是指在一定条件下，一定不会发生的事件。我们需要根据事件的性质来判断每个选项是属于随机事件、必然事件还是不可能事件。 选项中，A选项奥运射击冠军杨倩射击一次，命中靶心，这件事可能发生，也可能不发生，因此是随机事件；选项BD中的事件不可能发生，因此是不可能事件；选项C的事件一定会发生，因此是必然事件。 2．一个不透明的袋子里装有 3 个红球和 4 个黑球，它们除颜色外其余均相同。从袋子里任意摸出一个球是红球的概率为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】【解答】解：∵一个不透明的袋子里装有3个红球和4个黑球，共有7个球， ∴从袋子里任意摸出一个球是红球的概率为. 故答案选：C. 【分析】根据题意，先求出球的总数，再根据概率公式，求出摸出红球的概率. 3．小明在一次用频率估计概率的试验中统计了某一结果出现的频率，绘制统计图如图所示，则符合这一结果的实验可能是（　　） A．掷一枚正六面体的骰子，出现4点的概率 B．抛一枚硬币，出现反面的概率 C．任意写一个正整数，它能被3整除的概率 D．从一副扑克牌中任抽一张牌，取到“大王”的概率 【答案】C 【解析】【解答】解：由折线统计图可知：试验结果在0.33附近波动，即其概率； A、掷一枚正六面体的骰子，出现4点的概率； ∴此选项不符合题意； B、掷一枚硬币，出现正面朝上的概率为； ∴此选项不符合题意； C、任意写出一个正整数，能被3整除的概率为； ∴此选项符合题意； D、从一副扑克中任取一张，取到“大王”的概率， ∴​​​​​​​此选项不符合题意． 故答案为：C． 【分析】根据统计图可知，试验结果在0.33附近波动，即其概率，计算四个选项的概率即可判断求解． 4．人类的性别是由一对性染色体X，Y决定，当性染色体为XX时，是女性；当性染色体为XY时，是男性．如图所示为一对夫妻的性染色体遗传图谱，如果这位女士怀上了一个小孩，该小孩为女孩的概率是（　　）。 A． B． C． D． 【答案】C 【解析】【解答】解：由图可知：共有4种结果，其中是女孩得结果为2种，则： . 故答案为：C. 【分析】由图可知：共有4种结果，其中是女孩得结果为2种，代入概率公式 即可得答案. 5．已知不透明的袋中只装有黑、白两种球，这些球除颜色外都相同，其中白球有4个，黑球有x个，若随机从袋子中摸出一个球，记录下颜色后，放回袋子中并摇匀，经过大量重复试验发现摸出黑球的频率稳定在附近，则x的值为（　　） A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】B 【解析】【解答】解：∵经过大量重复试验发现摸出黑球的频率稳定在附近， ∴摸出黑球的概率为， ∴， 解得， 经检验，是原方程的解，且符合题意， 故选：B． 【分析】由经过大量重复试验发现摸出黑球的频率稳定在附近，确定摸出黑球的概率为，再由概率计算公式建立方程求解即可． 6．小颖从一定高度随机掷一枚质地均匀的硬币，她已经掷了三次硬币，结果都是“反面朝上”．那么，小颖第四次掷硬币时，“正面朝上”与“反面朝上”的可能性的大小为（　　） A．“正面朝上”的可能性大 B．“反面朝上”的可能性大 C．两者的可能性相同 D．无法确定 【答案】C 【解析】【解答】解：小颖第四次掷硬币时，“正面朝上”与“反面朝上”的可能性的大小均为. 故答案为：C. 【分析】根据可能性大小求解即可. 7．七巧板是一种拼图玩具，体现了我国古代劳动人民的智慧．如图，是一个由“七巧板”地砖铺成的地板，一个小球在该地板上自由地滚动，并随机停留在某块地砖上，已知小球停在任意一点的可能性都相同，那么小球停在4号地砖上的概率是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】【解答】解：如图， 由“七巧板”地砖的特点设，，， ∴4号地砖的面积为，整个正方形的面积为， ∴小球停在4号地砖上的概率是， 故答案为：D. 【分析】 根据题意将代数关系用面积表示出来，一般用阴影区域表示所求事件（A）；然后计算阴影区域的面积在总面积中占的比例，这个比例即事件（A）发生的概率，计算即可解答． 8．如图1所示，是地理学科实践课上第一小组同学在一张面积为的长方形卡纸上绘制的山东省政区图（图中阴影部分），他们想了解该图案的面积是多少，经研究采取了以下办法：将长方形卡纸水平放置在地面上，在适当位置随机地朝长方形区域扔小球，并记录小球落在不规则图案上的次数（球扔在界线上或长方形区域外不计试验结果）．他们将若干次有效试验的结果绘制成了如图2所示的统计图，由此估计不规则图案的面积大约为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】【解答】解：由图可知，随着试验次数的增加，频率稳定在左右， ∴， ∴不规则图案的面积为； 故答案为：B． 【分析】首先观察折线图，可以看出随着试验次数的增加，频率稳定在左右， 利用频率估算出概率可得出小球落在不规则图案上的概率为0.65，再根据 长方形卡纸 的面积为24cm2，利用几何概率的计算公式，即可求解 ． 二、填空题(共6题；共24分) 9．有数学4，5，6的三张卡片，将这三张卡片任意摆成一个三位数，摆出的三位数是5的倍数的概率是　 　． 【答案】 【解析】【解答】解： ， 三位数有6个，是5的倍数的三位数是：465，645； 三位数是5的倍数的概率为：； 故答案为：． 【分析】画出树状图，求出所有等可能的结果，再求出是5的倍数的结果，再根据概率公式即可求出答案. 10．在不透明袋子里装有颜色不同的8个球，这些球除颜色外完全相同．每次从袋子里摸出1个球记录下颜色后再放回，经过多次重复试验，发现摸到白球的频率稳定在0.25，估计袋中白球有　 　个． 【答案】2 【解析】【解答】解：设袋中白球有个， 根据题意得：＝0.25， 解得：＝2， 故袋中白球有2个， 故答案为：2. 【分析】根据概率的公式，如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种结果，那么事件A的概率P（A）＝，结合题意计算即可求解。 11． 玉米是山西省主要农作物之一.某种业公司在选育玉米种子时，在同一条件下对某个品种的玉米种子进行了发芽试验，统计数据如下表： 试验种子粒数 100 200 500 1000 2000 5000 发芽种子粒数 92 188 476 951 1900 4752 据此估计该品种的玉米种子发芽的概率为　 　.（结果精确到0.01） 【答案】0.95 【解析】【解答】解：由表格得出： 所以该品种的玉米种子发芽的频率接近于0.95，则该种子发芽的概率为0.95。 故答案为：0.95. 【分析】分别计算出发芽率，根据种子的粒数从100粒增加到5000粒时，种子发芽的频率接近于0.95，所以估计种子发芽的概率为0.95。 12．一个盒子中装有颗蓝色幸运星和若干颗红色幸运星，小明通过多次摸取幸运星试验后发现，摸取到红色幸运星的频率稳定在左右，则红色星运星的颗数约为　 　 颗 【答案】35 【解析】【解答】解：设袋中红色幸运星有x颗， 根据题意，得：＝0.5， 解得：x＝35， 经检验：x＝35是原分式方程的解. 故答案为：35. 【分析】设袋中红色幸运星有x颗，根据“摸取到红色幸运星的概率稳定在0.5左右”列出关于x的方程，解之可得袋中红色幸运星的个数． 13．在一个不透明的箱子里装有m个球，其中红球4个，这些球除颜色外都相同，每次将球搅拌均匀后，任意摸出一个球记下颜色后再放回，大量重复试验后发现，摸到红球的频率在0.2，那么可以估算出m的值为　 　． 【答案】20 【解析】【解答】解：∵大量重复试验后发现，摸到红球的频率在0.2 ∴任意摸出一个球，摸到红球的概率为0.2， ∴， ∴m=20. 故答案为：20. 【分析】在同样条件下，大量反复试验时，随机事件发生的频率逐渐稳定在概率附近，根据红球的个数除以总数等于频率，求解即可. 14．某学校在4月23日世界读书日举行“书香校园，全员阅读”活动．小明和小颖去学校图书室借阅书籍，小明准备从《西游记》、《骆驼祥子》、《水浒传》中随机选择一本，小颍准备从《西游记》、《骆驼祥子》、《朝花夕拾》中随机选择一本，小明和小颖恰好选中书名相同的书的概率是　 　． 【答案】 【解析】【解答】解：将《西游记》、《骆驼祥子》、《水浒传》、《朝花夕拾》分别记为A，B，C，D， 列表如下： A B D A （A，A） （A，B） （A，D） B （B，A） （B，B） （B，D） C （C，A） （C，B） （C，D） 共有9种等可能的结果，其中小明和小颖恰好选中书名相同的书的结果有2种， ∴小明和小颖恰好选中书名相同的书的概率为． 故答案为：． 【分析】先列表可得出所有等可能的结果数以及小明和小颖恰好选中书名相同的书的结果数，再利用概率公式计算即可． 三、解答题(共6题；共52分) 15．有一个转盘如图，转盘可以自由转动． （1）让转盘自由转动一次，求指针落在红色区域的概率． （2）让转盘自由转动二次，求两次指针都落在黄色区域的概率． 【答案】（1）解：如图，将黄色区域平分成两部分， 这样把一个圆平均分为三部分，红色区域只占一部分， 所以，指针落在红色区域的概率为 （2）解：画树状图得： ∵共有9种等可能的结果，两次指针都落在黄色区域的只有4种情况， ∴两次指针都落在黄色区域的概率为： 【解析】【分析】（1）利用转盘可得到所有等可能的结果数及指针落在红色区域的情况数，再利用概率公式进行计算. （2）根据题意画树状图，由树状图求得所有等可能的结果与两次指针都落在黄色区域的情况，再利用概率公式进行计算. （1）解：如图，将黄色区域平分成两部分， 这样把一个圆平均分为三部分，红色区域只占一部分， 所以，指针落在红色区域的概率为． （2）解：画树状图得： ∵共有9种等可能的结果，两次指针都落在黄色区域的只有4种情况， ∴两次指针都落在黄色区域的概率为：； 16．王老师将1个黑球和若干个白球放入一个不透明的口袋并搅匀，让若干学生进行摸球试验，每次摸出一个球（有放回），下表是活动进行中的一组统计数据． 摸球的次数n 100 150 200 500 800 1000 摸到黑球的次数m 23 31 60 130 203 251 摸到黑球的频率 0.230 0.231 0.300 0.260 0.254 （1）补全表中的有关数据，根据上表数据估计从袋中摸出一个球是黑球的概率是 ； （2）估计袋中白球的个数； （3）在（2）的条件下，若小强同学有放回地连续两次摸球，用画树状图或列表的方法计算他两次都摸出白球的概率． 【答案】（1）0.251，0.25； （2）解：设袋子中白球的个数为， 根据题意，得：， 解得：， 经检验是分式方程的解， ∴估算袋中白球的个数为3； （3）解：画树状图如下： ∴共有16种等可能的结果，其中两次都摸到白球的结果有9种， ∴两次都摸出白球的概率为． 【解析】【解答】解：（1）根据题意，得表中数据为：， ∴观察表格可知：通过多次摸球试验后发现其中摸到黑球的频率稳定在0.25左右， ∴估计从袋中摸出一个球是黑球的概率是0.25； 故答案为：0.251，0.25. 【分析】（1）利用频数÷总数=频率得到表格中的数据，然后用频率估计概率，随着试验次数的增大，频率逐渐稳定在0.25左右，即为摸出黑球的概率； （2）设袋子中白球的个数为，根据摸出黑球的概率列出分式方程，进一步求解方程即可得出答案； （3）先利用树状图法得出所有的等可能结果数，从而得两次都摸到白球的结果数，进而利用概率公式求解即可． （1）解：表中数据：， 观察表格得：通过多次摸球试验后发现其中摸到黑球的频率稳定在0.25左右， 估计从袋中摸出一个球是黑球的概率是0.25； 故答案为：0.25； （2）解：设袋子中白球的个数为， 根据题意，得：， 解得， 经检验是分式方程的解， 估算袋中白球的个数为3； （3）解：画树状图得： 共有16种等可能的结果，两次都摸到白球的有9种情况， 两次都摸出白球的概率为． 17．小明和小亮用如图所示的两个转盘（每个转盘被分成三个面积相等的扇形）做游戏，转动两个转盘各一次，若两次数字之和为奇数，则小明胜；若两次数字之和为偶数，则小亮胜． （1）小明赢的事件是　 　事件．（选填：必然，随机或不可能．） （2）这个游戏对双方公平吗？通过画树状图或列表的方式说说你的理由． 【答案】（1）随机 （2）这个游戏对双方不公平．理由如下：画树状图为： 共有种等可能的结果数，其中两次数字之和为奇数的结果数，两次数字之和为偶数的结果数为， ∴小明胜的概率为，小亮胜的概率为， 又∵， ∴这个游戏对双方不公平． 【解析】【解答】解：（1）解：共有种等可能的结果数：、、、、、、、、，其中两次数字之和为奇数的结果数，两次数字之和为偶数的结果数为，∴小明胜的概率为，小亮胜的概率为， ∵小明和小亮获胜是随机事件， ∴小明赢的事件是随机事件， 故答案为：随机； 【分析】（1）利用列举法，将总的事件进行列举，分别找出满足的事件，接着结合概率公式分别计算小明与小亮胜的概率，接着利用随机事件定义进行判断即可得到结果； （2）利用树状图将所有事件进行列举，结合概率公式与随机事件定义进行比较判断即可得到结果. （1）解：共有种等可能的结果数：、、、、、、、、，其中两次数字之和为奇数的结果数，两次数字之和为偶数的结果数为， ∴小明胜的概率为，小亮胜的概率为， ∵小明和小亮获胜是随机事件， ∴小明赢的事件是随机事件， 故答案为：随机； （2）这个游戏对双方不公平．理由如下： 画树状图为： 共有种等可能的结果数，其中两次数字之和为奇数的结果数，两次数字之和为偶数的结果数为， ∴小明胜的概率为，小亮胜的概率为， 又∵， ∴这个游戏对双方不公平． 18．将形状、大小完全相同，分别标有数字，0，1，2的四张卡片反面朝上，摆放在桌面上．先随机不放回地抽取一张，记下数字为x；然后在剩下的三张卡片中随机抽取一张，记下数字为y． （1）计算的结果为0的概率； （2）甲、乙两同学做一个游戏，其规则是：若x，y满足，则甲胜；若x，y满足，则乙胜．这个游戏规则公平吗？若公平，请说明理由；若不公平，请设计一个公平的游戏规则． 【答案】（1）解：画树状图如下， 由树状图得共有12种的等可能结果，其中的结果为0的共有2种等可能结果， ∴的结果为0的概率是； （2）解：由树状图得共有12种的等可能结果，其中共有2种等可能结果，所以甲胜的概率为；共有4种等可能结果，所以乙胜的概率为；∵ ∴游戏规则不公平； 公平的游戏规则为：若x，y满足，则甲胜；若x，y满足，则乙胜． 此时甲胜和乙胜的概率都是， ∴此游戏规则公平． 【解析】【分析】（1）画树状图得到所有的等可能结果数，找出符合条件的结果数，利用概率公式解题即可； （2）分别计算出甲胜和乙胜的概率，然后作比较确定据游戏公平性；然后给出使得甲胜和乙胜概率相同的游戏规则即可． 19．在定西这块深沉的土地上，处处彰显着文化的韵味.如石器时代的马家窑文化、齐家文化，青铜时代的辛店文化，寺洼文化，现有四张不透明的卡片，它们的背面完全一样，正面分别写有马家窑文化、齐家文化、辛店文化、寺洼文化，将四张卡片背面朝上，洗匀后放在桌子上. （1）从中随机抽取一张，抽到“辛店文化”的概率为　 　； （2）从中随机抽取一张（不放回），接着再随机抽取一张，请通过画树状图或列表法，求抽到的两张卡片所写的都属于石器时代文化的概率。 【答案】（1） （2）解：画树状图如图所示： 由图可得共有12种等可能的结果，数为2， 所以抽到的两张卡片所写的都属于石器时代文化的概率为= 【解析】【解答】解：（1）由题意可得： 共有四张卡片，抽到“辛店文化”的概率为 故答案为： 【分析】（1）根据简单事件的概率根式即可求出答案. （2）画出树状图，求出所有等可能结果，再求出抽到的两张卡片所写的都属于石器时代文化的结果，结合简单事件概率公式即可求出答案. 20．某校在九年级随机抽取了 20 名学生分成甲、乙两组，每组各 10 人，进行“网络安全”知识竞 赛．把甲、乙两组的成绩进行整理分析（满分 100 分，竞赛得分用 x 表示：90≤ x ≤100 为网络安全 意识非常强，80≤ x ＜90 为网络安全意识比较强，x＜80 为网络安全意识一般）．收集整理的数据 制成了如下统计图表： 根据以上信息回答下列问题： （1）填空：a＝　 　 ，b＝　 　 ，c＝　 　 ； （2）已知该校九年级有 500 人，估计九年级网络安全意识非常强的人数一共是多少？ （3）现在准备从甲乙两组满分人数中抽取两名同学参加全区比赛，用树状图或者列表法求抽取的两 名同学恰好一人来自甲组，另一人来自乙组的概率． 【答案】（1）83；85；70 （2）（人） ∴估计九年级网络安全意识非常强的人数一共约为200人. （3）由图1和图2可知，甲组满分人数为1人，记为A，乙组满分人数为2人，分别记为B，C， 画树状图如下： 共有6种等可能的结果，其中抽取的两名同学恰好一人来自甲组，另一人来自乙组的结果有：AB，AC，BA，CA，共4种， ∴抽取的两名同学恰好一人来自甲组，另一人来自乙组的概率为. 【解析】【解答】解：(1)a=(1×70+6×80+2×90+1×100)÷10=83 将乙组学生竞赛成绩按从小到大的顺序排列，排在第5和第6位的成绩分别为8(0分)和9(0分)， ∴b=(80+90)÷2=85. 由图2可知，乙组的众数为70， ∴c= 70. 故答案为：83；85；70. 【分析】(1)根据平均数的定义可求出a；根据中位数的定义可求出b；根据众数的定义可求出c； (2)根据用样本估计总体，用500乘以甲乙两组满分的人数所占的百分比，即可得出答案； (3)画树状图得出所有等可能的结果数以及抽取的两名同学恰好一人来自甲组，另一人来自乙组的结果数，再利用概率公式可得出答案. 学科网（北京）股份有限公司 $$