8.6.2.3 空间距离课件-2024-2025学年高一下学期数学人教A版必修第二册

该高中数学课件聚焦空间距离（点到面、直线到面、面与面）核心知识点，课堂导入通过复习直线与平面垂直的判定定理、直线和平面所成角及三垂线定理及其逆定理，搭建新旧知识联系的学习支架，为新知探究奠定基础。 其亮点是以体积法和转化思想为核心，结合跟踪练习（如正三棱柱中点到面距离计算）、典例解析（线面距转化为点面距）等实例，培养学生的空间观念与数学思维。素养小结提炼转化方法，帮助学生系统认知，既提升学生解决问题的能力，也为教师提供结构化的教学资源。

8.6.2.3 空间距离---点到面的距离 直线到面的距离 面与面的距离 复习 直线与平面垂直的判定定理： 如果一条直线与一个平面内的两条相交直线垂直，那么该直线与此平面垂直. 垂直 内 相交 符号语言： 图形语言： 线线垂直线面垂直 直线和平面所成角 1) 斜线: 2) 斜足: 3) 斜线在平面内的射影: 和平面相交,但不垂直的直线叫做平面的斜线 斜线和平面相交的交点 过斜线上斜足以外的一点向平面引垂线,过垂足和斜足的直线称为斜线在平面内的射影. ☆平面的斜线和它在平面内的射影所成的角，叫做直线和平面所成的角. 规定:①若直线垂直平面，则直线和平面所成的角为90° ②若直线与平面平行或在平面内，则直线和平面所成的角为0 ° ☆直线和平面所成角的取值范围为 α P l A O 复习 直线与平面所成的角是直线与平面内任意一条直线所成角的最小角. 三垂线定理：在平面内的一条直线，如果它和这个平面的一条斜线的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直. O  a A P 已知 PO、PA分别是平面的垂线、斜线，AO是PO在平面上的射影。a ，a⊥AO. 求证：a⊥pA 在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线垂直，那么，它也和这条斜线的射影垂直。 P A O a α 已知：PA，PO分别是平面 的垂线和斜 线，AO是PO在平面 的射影,a   ,a ⊥PO求证：a ⊥AO 三垂线定理的逆定理 新知探究 过一点作垂直于已知平面的直线,则该点与垂足间的线段,叫做这个点到该平面的垂线段, 点到平面的距离 在锥体的体积公式中，锥体的高度就是锥体的顶点到底面的距离. P l α O 下面我们研究直线与平面垂直的判定，就是直线与平面垂直的充分条件. 垂线段的长度叫做这个点到该平面的距离. 如图，在正三棱柱 中，若 ， ，则点 到平面 的距离为_ __. <m></m> 解：∵在正三棱柱 中, , ， ∴ ， 由正三棱柱的性质可知 ， ∴在等腰三角形 中， ， ， 跟踪练习 ∴ 边上的高为 ， ∴ ， 设点 到平面 的距离为 ，则 ， 解得 . 故点 到平面 的距离为 . 证明:过直线l上任意两点,分别作平面α的垂线,,垂足分别为,。 设直线,确定的平面为β,且 由,是直线l上任意的两点，可知直线l上各点到平面α的距离相等。 α β 例 如图，直线l平行于平面α，求证：直线l上各点到平面α的距离相等。 ， 。 ， 典例解析 四边形是矩形 通过此例题可知，若一条直线与一个平面平行，那这条直线上任意一点到平面的距离相等，我们把这个距离叫做直线到这个平面的距离. 如果两个平面平行，那么其中一个平面内任意一点到另一个平面的距离都相等，我们把它叫做这两个平面间的距离. 在直三棱柱ABC-A1B1C1中,∠ABC=,AB=BC=1,BB1=2,求直线B1C1到平面A1BC的距离. 新知应用 由题意得，平面，平面 平面 ， 直线 到平面 的距离等于点 到平面 的距离， 连接 ，易知平面，且 平面 ， 又 ，，，平面 平面 平面 ， 设点 到平面 的距离为 解： 解得 即直线 到平面 的距离为 AC与平面A1BC所成角的正弦值？ 新知应用 在棱长为2的正方体 中， ， ， ， 分别是 ， ， ， 的中点， 求平面 与平面 间的距离. 先证平面 平面 （前面已证明过） 平面与平面间的距离等于点到平面的距离 设为 因为， 分别为 的中点 又 易知 得 解得 平面 与平面 间的距离为 （2）如图所示，在长方体中， ， ，，分别过和的两个平行平面（平面 和平面，其中，分别在，，， 上）将 长方体分为体积相等的三部分，求这两个平行平面之间的距离. 课 中 探 究 11 解：长方体夹在两个平行平面之间的部 分是一个棱柱，它以四边形 为底 面， 为高. 根据题意得 ， 即， . 作，为垂足， 平面， 平面 ， . 课 中 探 究 12 又， 平面 ，即 的长度是所求两个平行平 面之间的距离. 在 中， ， 即这两个平行平面之间的距离为 . 课 中 探 究 ［素养小结］ 1.利用线面、面面平行转化：利用线面距、面面距的定义，转化为直 线或平面上的一点到平面的距离. 2.利用中点转化：如果条件中具有中点条件，将一个点到平面的距离 借助中点（等分点）转化为另一点到平面的距离. 3.通过换底转化：一是直接换底，以方便求几何体的高；二是将底面 扩展（分割），以方便求底面积和高. 课 中 探 究 14 探究点二 线面垂直的综合应用 例2 如图，矩形是圆柱 的一个轴截面， 点在圆上（异于，），为 的中点. （1）证明： 平面 ； 证明：因为 平面， 平面 ， 所以 . 因为为圆的直径，所以 . 又， 平面， 平面 ， 所以 平面 . 课 中 探 究 15 （2）当直线与平面所成的角为 时，证明： 平面 . 课 中 探 究 16 证明： 因为 平面， 平面 ， 所以， 易知即为直线与平面 所成的角， 所以 ， 所以为等腰直角三角形， . 因为为的中点，所以 . 由（1）知， 平面，又 平面 ， 所以 . 又， 平面， 平面 ， 所以 平面 . 课 中 探 究 17 变式 如图，在三棱柱中， 平面，底面三角形 是边长为2的等边三角 形，为 的中点. （1）求证：平面 ； 证明：连接交于点，连接 . ，分别为，的中点， . 又 平面， 平面 ， 平面 . 课 中 探 究 18 （2）若直线与平面所成的角为 ，求三 棱锥 的体积. 课 中 探 究 19 解：在等边三角形中， ， 平面， 平面， ， 又，， 平面 ， 平面 ， 故为与平面 所成的角. 在中， ， ， ， ， 故 . 课 中 探 究 20 例1 如图所示,在三棱柱中,侧棱 底面 ,且各 棱长均相等,为 的中点. （1）证明: 平面 ; 证明:因为底面是正三角形,为 的中点, 所以 . 因为侧棱 底面, 平面 , 所以 , 又,所以 平面 . 备 课 素 材 21 （2）求直线与平面 所成角的正弦值. 法1：等体积法 备 课 素 材 22 解:在平面内,过点作 ，交 的延长线于点,连接 . 因为 平面,所以 , 又,所以 平面 ,所以 为直线与平面 所成的角. 设三棱柱的各棱长均为,可得,由 ,易得 . 在中,可得 ， 所以直线与平面所成角的正弦值为 . 备 课 素 材 23 $$