8.1.2 样本相关系数 课件-2024-2025学年高二下学期数学人教A版选择性必修第三册

课前准备： 课本、笔记本、草稿纸、笔 天道酬勤，勤能补拙! 1 8.1.2样本相关系数 2 形 数 活动：月考过后，有同学说自己以前基础差，所以这次考差了是可以理解的，大家怎么理解这位同学的话？ 问题1：能否引入一个适当的类似期望与方差的数字特征，来度量样本数据的相关关系强弱？ 即分析基础与现在成绩的关系 3 某班级英语学科中考与高二上平均分的散点图 高一上平均 111.5 113.5 108.5 115 109 102.5 98 115 103 108.5 111 103.5 107.5 102 111.5 105.5 90 114 107.5 107.5 109 80.5 98 107 61 94.5 101 111.5 104.5 106 96.5 81.5 93.5 96.5 96.5 75.5 107 99.75 97.5 85.75 91.25 88.5 58 67 99 62.5 83.75 92.25 76 99.25 69.75 80.25 78.25 46 88.75 80.5 92 78.25 61.75 73.25 81.75 42.5 45 86 85.25 76.75 86.25 60.75 61.5 44.5 67 71.5 47.5 73 中考分数 高二上平均分 追问1：数据的中心在哪里？ 追问2：数据中心化是否会影响数据的相关性 为什么乘？解决同号问题 4 某班级英语学科中考与高二上平均分的散点图 高一上平均 111.5 113.5 108.5 115 109 102.5 98 115 103 108.5 111 103.5 107.5 102 111.5 105.5 90 114 107.5 107.5 109 80.5 98 107 61 94.5 101 111.5 104.5 106 96.5 81.5 93.5 96.5 96.5 75.5 107 99.75 97.5 85.75 91.25 88.5 58 67 99 62.5 83.75 92.25 76 99.25 69.75 80.25 78.25 46 88.75 80.5 92 78.25 61.75 73.25 81.75 42.5 45 86 85.25 76.75 86.25 60.75 61.5 44.5 67 71.5 47.5 73 中考分数 高二上平均分 追问3：中心化的数据有什么特征？（形和数的角度） 追问4：基于我们的目标和中心化的前提，我们“创造”的数字特征该如何表达？ 形的角度： 变量正相关时，中心化后的数据大多数在一、三象限 变量负相关时，中心化后的数据大多数在二、四象限 数的角度： 正相关，横纵坐标同号； 负相关，横纵坐标异号 大多数？ 同异号？ 为什么乘？解决同号问题 5 某班级英语学科中考与高二上平均分的散点图 高一上平均 111.5 113.5 108.5 115 109 102.5 98 115 103 108.5 111 103.5 107.5 102 111.5 105.5 90 114 107.5 107.5 109 80.5 98 107 61 94.5 101 111.5 104.5 106 96.5 81.5 93.5 96.5 96.5 75.5 107 99.75 97.5 85.75 91.25 88.5 58 67 99 62.5 83.75 92.25 76 99.25 69.75 80.25 78.25 46 88.75 80.5 92 78.25 61.75 73.25 81.75 42.5 45 86 85.25 76.75 86.25 60.75 61.5 44.5 67 71.5 47.5 73 中考分数 高二上平均分 累加 “同异号” “大多数” 为什么加和除，解决“多”与“数量”的问题 平均化，消除数据个数的影响 6 平移 形 数 问题2：从计算角度思考式子中存在的局限性 容易受样本数据的度量单位影响！ 在研究体重与身高之间的相关程度时，如果体重的单位不变，把身高的单位由米改为厘米， 则相应的将变为原来的100倍，但单位的改变并不会导致体重与身高之间相关程度的改变. 为什么加和除，解决“多”的问题 8 为了消除度量单位的影响，需要对数据作进一步的“标准化”处理. 称r为变量x和变量y的样本相关系数（Sample Correlation coefficient） “标准化” 数据的标准化，是将数据按比例缩放，去除数据的单位限制，将其转化为无量纲的纯数值 从式子计算的角度来看，标准化后的式子与原式子表达的本质没有区别，因此当样本相关系数大于0时，成对数据正相关；反之，负相关。 9 形 数 Bug：Lxy的大小受数据的度量单位的影响，但单位的改变并不会导致两个变量之间相关程度的改变. 中心化和标准化也是统计中常用的处理数据的方法 均值为0，标准差为1 10 r的正负：反映成对样本数据的变化趋势 变量x和变量y的样本相关系数： 问题3：r的取值范围是什么？ 强 强 弱 弱 思考：若所有样本点(xi，yi)(i＝1,2,…,n)都在直线y＝-2x＋1上，问这组样本数据的样本相关系数？ 观察r的结构，联想到二维(平面)向量、三维(空间)向量数量积的坐标表示， 12 故|r|越接近1时，线性相关程度越强； |r|越接近0时，线性相关程度越弱； 思考：若所有样本点(xi，yi)(i＝1,2,…,n)都在直线y＝-2x＋1上，问这组样本数据的样本相关系数？ 卡尔·皮尔逊，是英国数学家，生物统计学家，数理统计学的创立者，自由思想者，对生物统计学、气象学、社会达尔文主义理论和优生学做出了重大贡献。他被公认是旧派理学派和描述统计学派的代表人物，并被誉为现代统计科学的创立者。是20世纪科学革命和哲学革命的先驱，“批判学派”代表人物之一。 “统计是科学的语法” 追问：r=0是否反映成对数据没有关系？ “统计是科学的语法” 皮尔逊样本（线性）相关系数 13 活动：月考过后，有听到同学说自己以前基础差，所以这次考差了是可以理解的，大家认同这句话吗？ 各科不同阶段与中考成绩的样本相关系数 高一上 高二上 语文 0.56 0.71 数学 0.66 0.46 英语 0.81 0.47 活动：月考过后，有听到同学说自己以前基础差，所以这次考差了是可以理解的，大家认同这句话吗？ 1.学科上来看，初中的英语对高中学习有较大影响，即初中英语好的同学，大概率高中入学英语也不错。 2.从不同年段角度分析，数学与英语学科随着高中学习时间的增加，高中成绩的好坏与初中基础的相关程度降低。 天道酬勤，勤能补拙 = 作业： 1.完成分层作业 2.思考本节课你感到最难的内容是什么？我们是怎么突破的? 3.尝试证明下式： 4.周末尝试借助EXCEL分析其他学科的成绩数据，并总结收获 16 思考:本节课你感到最难的内容是什么？我们是怎么突破的? = 作业： 1.完成分层作业 2.尝试证明下式： 3.周末尝试借助EXCEL分析其他学科的成绩数据，并总结收获 18 回顾：期望与方差的反映了数据怎样的数字特征 均值反映了随机变量取值的平均水平. 即反映随机变量变量分布的中心趋势 方差与标准差反映随机变量取值的离散程度 注：方差与标准差的单位不同，后者与数据单位一致 $$