1.2证明 第2课时教案 2025-2026学年青岛版数学八年级上册

该教案聚焦几何证明的定义、步骤及应用，课堂导入通过复习观察、实验等方法的局限性，引出证明必要性，类比代数推理搭建支架，衔接上一节知识与本节几何证明学习。 特色在于以核心素养为导向，通过“对顶角相等”等实例探究证明步骤，培养推理意识，例题涵盖图形与文字语言转化发展数学语言表达，实践作业结合木工弹墨线等生活实例提升几何直观，助力学生逻辑思维与应用能力提升，为教师提供结构化教学流程。

第一章 推理与证明 1.2证明第2课时   一、教材分析 本章是在前面对几何结论已经有了一定的直观认识的基础上编排的.证明是数学的核心内容，是构建学科知识体系的关键手段.通过证明，零散的知识点得以串联，形成严谨的逻辑结构.虽然本章只是证明的初步，但它对认识证明的必要性、引进公理的必要性，了解作为证明基础的定义、命题、定理等非常重要，同时，通过有关平行线和三角形的一些简单定理的证明，初步掌握证明的要求和格式，这对发展证明素养也十分重要.   二、教学目标 1.掌握定理的概念，加深学生对新学知识的应用和理解，培养学生的逻辑思维能力． 2.通过对几何问题的解决，熟练写出理论依据．学生积极参与数学活动，培养学生应用知识解决问题的能力． 3.体会命题推理的过程，体验数学思维的严谨性，培养学生的几何直观和创新思维．   三、教学重难点 重点：掌握定理的概念，加深学生对新学知识的应用和理解，培养学生的逻辑思维能力． 难点：通过对几何问题的解决，熟练写出理论依据．学生积极参与数学活动，培养学生应用知识解决问题的能力．   四、教学过程 · 复习回顾 观察、实验、类比和归纳是我们发现规律、获取一般结论的重要方法． 但是，用这些方法得到的结论不一定正确. 若要确定命题是真命题，还需要经过严密的逻辑推理加以证实. 在代数中，可以依据定义、运算法则、运算律、公式、等式(不等式)的基本性质等进行运算和推理． 师：如何证明几何问题？ 生：猜想与代数中的推理类似，几何中的推理也要依据定义、基本事实等． 师生活动：师生共同回忆上一节知识点为这节课学习打下基础，教师提出问题，学生先独立思考，再小组交流，最后以小组为代表汇报展示． 设计意图：通过复习回顾引入，方便学生理解也更容易接受新的知识.培养学生观察和概括的能力. 活动一：归纳证明的定义 在几何命题中，我们已学过的基本事实有哪些？ (1)两点确定一条直线; (2)两点之间线段最短; (3)同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直; (4)过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行; (5)两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行． 师生活动：学生先独立思考，再小组交流，最后以小组为代表汇报展示．教师再补充举例. 师：论证的起点和依据是什么？ 生：交流：学生先独立思考，再小组交流. 总结：基本事实通常作为论证的起点和依据．从定义、基本事实及已知条件出发，通过逻辑推理的方法证实命题的过程叫作证明． 活动二：探究几何证明 如何证明“对顶角相等”? 分析：先要分清待证命题的条件和结论.为了使推理过程更精确、简约，便于论证，还要把用文字语言叙述的条件和结论“翻译”成图形语言和符号语言． 已知:如图，直线AB，CD相交于点O，∠AOC与∠BOD是对对顶角． 求证:∠AOC=∠BOD． 证明:因为直线AB，CD相交于点O（已知）， 所以∠AOC+∠AOD=180°， ∠BOD+∠AOD=180°（平角的定义）， 所以∠AOC+∠AOD=∠BOD+∠AOD（等量代换）． 所以∠AOC=∠BOD（等式的基本性质）． 总结：我们把经过推理证实的真命题叫作定理．“对顶角相等”是定理． 归纳：定理和基本事实一样，也可以作为证明的依据． 活动三：总结几何证明的步骤 归纳：一般地，几何证明过程有以下三个步骤: ① 根据题意，画出图形; ② 结合图形，写出“已知”“求证”; ③ 写出“证明”． 师生总结：在几何中，可以依据定义、基本事实、定理等进行推理． · 应用新知 例1：推理：如图，因为∠AOC=∠BOD，所以∠AOC+∠AOB=∠BOD+∠AOB， 这个推理的依据是（ ）． A.不等式的基本性质 B.整体大于部分 C.等量加等量其和相等 D.等量减等量其差相等 分析：根据等式的基本性质：等量加等量其和相等.这里∠AOC和∠BOD是等量∠AOB是所加的等量. 师生活动：老师提问学生代表展示问题答案．加深学生对所学知识的记忆. 总结：熟练掌握利用基本事实、定理进行推理和证明． 设计意图：通过学生参与活动，激发学生参与课堂教学的热情.学以致用. 例2：已知：“如图,已知点C,O,D 在同一条直线上.若∠1=∠3． 求证：点A,O,B 在同一条直线上． 分析：根据平角的定义、等量代换证明即可. 证明:因为点C,O,D 在同一条直线上（已知）， 所以 ∠1+∠2=180° (平角的定义)． 因为 ∠1=∠3(已知)， 所以 ∠3+∠2=180°(等量代换)． 所以 点A,O,B 在同一条直线上 (平角的定义)． 师生活动：学生积极思考，教师启发学生得出证明过程. 设计意图：通过师生的共同探讨，初步感知几何证明命题的方法与形式. 总结：熟练掌握证明所需的各个基本事实和定理以及书写格式． 例3: 证明：等角的余角相等． 分析：先明确已知条件和需要求证的结论，然后根据互余的定义得到两个等式，再结合已知的等角关系，利用等量代换得出要证明的结论. 已知:如图 ∠α=∠β，∠1是∠α的余角，∠2是∠β的余角. 求证:∠1=∠2． 证明:因为∠1是∠α的余角锐角，∠2是∠β的余角（已知）， 所以∠1 +∠α=90°，∠2 +∠β=90°（余角的定义）． 所以∠1 +∠α=∠2 +∠β（等量代换）． 因为∠α=∠β（已知）， 所以∠1=∠2（等式的基本性质）． 总结：文字叙述几何问题先要写出已知求证，并进行证明． 设计意图：通过例题的解答，让学生真正掌握几何问题的证明. · 课堂练习 1.阅读证明过程，并在括号内填写推理依据. 如图，如果B，C是线段AD上的两点，且AB=CD． 求证：AC=BD． 证明：因为 AB=CD(已知)， 所以 AB+BC=CD+BC(等量加等量，和相等)． 所以 AD=BD(线段和的定义)． 2.如图，∠ABC=∠A'B'C'，BD 和B'D'分别是∠ABC 和∠A'B'C'的平分线． 求证:∠ABD=∠A'B'D'． 证明:BD 和B'D'分别是∠ABC 和∠A'B'C'的平分线（已知）， 所以∠ABD=∠ABC，∠A'B'C'=∠A'B'D'（角平分线的定义）． 因为∠ABC=∠A'B'C'（已知）． 所以∠ABC=∠A'B'D'（已知）， 即∠ABD=∠A'B'D'（等式的基本性质）． 限时训练 1.如图，AC⊥BC垂足为点C，∠BCD是∠B的余角． 试说明:∠ACD=∠B． 理由:因为AC⊥BC(已知) 所以∠ACB=90°(垂直的定义） 所以∠BCD是∠ACD的余角(余角的定义） 又因为∠BCD是∠B的余角(已知) 所以∠ACD=∠B（等量代换） 2.阅读下面命题及其说理过程，在括号内填上推理的依据． 已知：如图，如果∠ABC=∠A'B'C',∠1=∠2．求证：∠3=∠4． 证明：因为∠ABC=∠A'B'C',∠1=∠2，(已知) 所以=(等式的性质)． 又因为∠3=，∠4=(两角差的定义)． 所以 ∠3=∠4(等量代换)． 3.已知：如图∠1和∠2都是∠α的余角. 求证：∠1=∠2． 1 2 证明：因为∠1+∠α=90°(已知)， 所以∠1=90°-∠α(等式的性质)． 因为∠2+∠α=90°(已知)， 所以∠2=90°-∠α(等式的性质)． 所以∠1=∠2(等量代换)． 4. 已知：如图所示，OM为∠AOB内的任意一条射线，OE，OF分别是∠AOM和∠BOM的平分线．求证：∠AOB=2∠EOF． 证明：因为OE平分∠AOM(已知)， 所以 ∠AOM=2∠EOM (角平分线的定义)． 因为OF平分∠BOM(已知)， 所以 ∠BOM=2∠FOM (角平分线的定义)． 所以 ∠AOB=∠AOM+∠BOM=2∠EOM+2∠FOM=2∠EOF(等量代换)． 师生活动：老师提问学生举手回答问题． 设计意图：通过练习，学以致用，及时获知学生对所学知识的掌握程度，调动全体学生学习数学的积极性，使每个学生都能有所收益、有所提高. · 归纳总结 师生活动：教师和学生一起回顾本节课所讲的内容. 1.本节课你学到了什么？ 2.你知道的基本事实、定理？ 3如何证明几何问题？ 设计意图：通过小结让学生进一步熟悉巩固本节课所学的知识. · 实践作业 目标：理解基本事实，掌握证明方法，提升逻辑，还要联系生活培养学生的几何直观和创新思维． 观察思考：几何知识在生活中的实际应用？ 1.两点之间线段最短→跳远测量器． 2.两点之间线段最短→操场抄近路． 3.两点确定一条直线→木工弹墨线． 拓展延伸： 尝试找出几个生活中的实例，并解释其中的数学原理． 学科网（北京）股份有限公司 $$