7.1　平面向量的概念及线性运算课件-2026届年甘肃省职教高考数学一轮复习

《甘肃职教高考 数学 总复习》 电子教案 7．1　平面向量的概念及线性运算 第7章　平 面 向 量 第2页，共69页 考试内容 平面向量的有关概念；平面向量的坐标；平面向量的线性运算(加法、减法和数乘)及坐标表示；平面向量的内积及坐标表示；两个非零向量平行的条件；两个非零向量垂直的条件． 第页，共69页 第7章　平 面 向 量 考纲解读 考纲解读 思维导图 知识要点 典例解析 同步精练 考试要求 1．了解平面向量、有向线段及有关概念，了解单位向量、零向量、相等向量和共线向量的含义． 2．理解平面向量的加法、减法和数乘运算及其几何意义． 3．了解平面向量内积的概念、运算和性质，了解平面向量内积的几何应用． 第页，共69页 第7章　平 面 向 量 考纲解读 考纲解读 思维导图 知识要点 典例解析 同步精练 考试要求 4．理解向量的坐标表示，了解向量的加法、减法、数乘和内积运算． 5．掌握向量运算的几何应用． 第页，共69页 第7章　平 面 向 量 考纲解读 考纲解读 思维导图 知识要点 典例解析 同步精练 第页，共69页 第7章　平 面 向 量 思维导图 考纲解读 思维导图 知识要点 典例解析 同步精练 1．平面向量、有向线段的概念 既有 又有 的量叫作向量． 带有 的线段叫作有向线段．通常用 线段表示向量，其箭头指向就是向量的 ，长度表示向量的 .向量的 叫作向量的模， 的模记作 ______. 大小 方向 方向 有向 方向 大小 大小 第页，共69页 7．1　平面向量的概念及线性运算 知识要点 考纲解读 思维导图 知识要点 典例解析 同步精练 2．常见向量 (1)零向量：模为 的向量叫作零向量，记作0.零向量的方向 . (2)单位向量：模为 的向量叫作单位向量． (3)平行向量：方向 或 的两个非零向量，称为平行向量或 向量．任意一组 向量都可以平移到同一条直线上． 零 不确定 1 相同 相反 共线 平行 第页，共69页 7．1　平面向量的概念及线性运算 知识要点 考纲解读 思维导图 知识要点 典例解析 同步精练 规定： 与任何一个向量平行． (4)相等向量：向量a与b的模 并且方向 时，称向量a与向量b相等，记作 . (5)负向量：与非零向量a的模 并且方向 的向量叫作向量a的负向量，记作－a.规定：零向量的负向量仍为 . 零向量 相等 相同 a=b 相等 相反 零向量 第页，共69页 7．1　平面向量的概念及线性运算 知识要点 考纲解读 思维导图 知识要点 典例解析 同步精练 3．平面向量的线性运算 (1)向量的加法：求向量的 的运算叫作向量的加法，其结果仍然是向量． 和 第页，共69页 7．1　平面向量的概念及线性运算 知识要点 考纲解读 思维导图 知识要点 典例解析 同步精练 ①向量加法的三角形法则：一般地，设向量a与向量b不共线，在平面上任取一点A，依次作 ＝a， ＝b(如图7－1所示)，则向量____叫作向量a与向量b的和，记作a＋b，即a＋b＝ ＋ ＝_____. 图7－1 第页，共69页 7．1　平面向量的概念及线性运算 知识要点 考纲解读 思维导图 知识要点 典例解析 同步精练 其特点是：两个加向量的“首尾相接”，和向量是“首”指向“尾”． 第页，共69页 7．1　平面向量的概念及线性运算 知识要点 考纲解读 思维导图 知识要点 典例解析 同步精练 ②向量加法的平行四边形法则：以起点为A的两个向量a，b为邻边作平行四边形ABCD(如图7－2所示)，向量_____就是向量a与向量b的和． 图7－2 即a＋b＝ ＋ ＝ ＋ ＝____. 第页，共69页 7．1　平面向量的概念及线性运算 知识要点 考纲解读 思维导图 知识要点 典例解析 同步精练 ③向量的加法具有的性质如下： a＋0＝0＋a＝ ；a＋(－a)＝ ； a＋b＝b＋a；a＋b＋c＝a＋( ＋c). 注：①向量加法的三角形法则对于共线的两个向量求和仍然适用． a 0 b 第页，共69页 7．1　平面向量的概念及线性运算 知识要点 考纲解读 思维导图 知识要点 典例解析 同步精练 ②可以推广到多个向量求和．如 ＋ ＋ ＋ ＝______.特点是：几个加向量只要满足“ ”，和向量就是从第一个加向量的 指向最后一个加向量的 的向量． 首尾顺次相接 起点 终点 第页，共69页 7．1　平面向量的概念及线性运算 知识要点 考纲解读 思维导图 知识要点 典例解析 同步精练 (2)向量的减法：将向量a与向量b的 的和定义为向量a与向量b的差． 向量减法的三角形法则：以平面上任一点O为起点， 作 ＝a， ＝b，连接AB(如图7－3所示)，则向量_____为所求的差向量，即a－b＝ － ＝______． 图7－3 负向量 第页，共69页 7．1　平面向量的概念及线性运算 知识要点 考纲解读 思维导图 知识要点 典例解析 同步精练 其特点是：被减向量和减向量的起点 ，差向量是从 的终点指向 的终点的向量． 注：向量减法的三角形法则对于共线的两个向量求差仍然适用． 相同 减向量 被减向量 第页，共69页 7．1　平面向量的概念及线性运算 知识要点 考纲解读 思维导图 知识要点 典例解析 同步精练 (3)向量的数乘运算． ①一般地，实数λ与向量a的积是一个向量，记作λa.λa的模为|λa|＝ .λa的方向：当λ>0时，λa的方向与a的方向 ；当λ<0时，λa的方向与a的方向 ；当λ＝0或 a＝0时，λa＝ . 数乘向量就是把向量a沿着a的方向(或反方向)放大(或缩小). |λ||a| 相同 相反 0 第页，共69页 7．1　平面向量的概念及线性运算 知识要点 考纲解读 思维导图 知识要点 典例解析 同步精练 ②数乘向量的运算法则： 1a＝a；(－1)a＝－a； (λμ)a＝λ(μa)＝μ(λa)；(λ＋μ)a＝λa＋μa；λ(a＋b)＝λa＋λb. 第页，共69页 7．1　平面向量的概念及线性运算 知识要点 考纲解读 思维导图 知识要点 典例解析 同步精练 4．向量平行的条件 对于非零向量a，b，a∥b⇔存在唯一非零实数λ， 使 . a＝λb 第页，共69页 7．1　平面向量的概念及线性运算 知识要点 考纲解读 思维导图 知识要点 典例解析 同步精练 5．向量的线性组合 λa＋μb叫作向量a与向量b的一个线性组合(其中λ，μ均为系数).如果l＝λa＋μb，则称l可以用a，b . 线性表示 第页，共69页 7．1　平面向量的概念及线性运算 知识要点 考纲解读 思维导图 知识要点 典例解析 同步精练 【例1】如图7－4所示，已知D，E，F分别是△ABC的边AB，BC，AC的中点． (1)写出与 ， 相等的向量； (2)写出 的负向量； (3)写出与 平行的向量． 图7－4 例1 例2 例3 例4 例5 变1 变2 变4 变5 例6 变6 例7 变7 变3 第页，共69页 7．1　平面向量的概念及线性运算 典例解析 考纲解读 思维导图 知识要点 典例解析 同步精练 【点拨】根据相等向量、负向量、平行向量的定义去判断，同时不要忽视同一直线上的两向量的关系． 【解】(1) ＝ ＝ ， ＝ ＝ . (2)－ ＝ ＝ ＝ . (3)与 平行的向量： ， ， ， ， ， ， . 例1 例2 例3 例4 例5 变1 变2 变4 变5 例6 变6 例7 变7 变3 第页，共69页 7．1　平面向量的概念及线性运算 典例解析 考纲解读 思维导图 知识要点 典例解析 同步精练 【变式训练1】如图7－5所示，D，E，F分别是△ABC各边的中点，则下列结论错误的是(　　) 图7－5 A． ＝ B． 与 共线 例1 例2 例3 例4 例5 变1 变2 变4 变5 例6 变6 例7 变7 变3 第页，共69页 7．1　平面向量的概念及线性运算 典例解析 考纲解读 思维导图 知识要点 典例解析 同步精练 【变式训练1】如图7－5所示，D，E，F分别是△ABC各边的中点，则下列结论错误的是(　　) 图7－5 C． 与 是相反向量 D． ＝ D 例1 例2 例3 例4 例5 变1 变2 变4 变5 例6 变6 例7 变7 变3 第页，共69页 7．1　平面向量的概念及线性运算 典例解析 考纲解读 思维导图 知识要点 典例解析 同步精练 【点拨】根据相等向量、负向量、平行向量的定义去判断， D选项正确的表述应是 ＝ . 例1 例2 例3 例4 例5 变1 变2 变4 变5 例6 变6 例7 变7 变3 第页，共69页 7．1　平面向量的概念及线性运算 典例解析 考纲解读 思维导图 知识要点 典例解析 同步精练 【例2】下列说法中，正确的是(　　) A．大小相等的两个向量一定相等 B．互为负向量的两个向量不是平行向量 C．零向量的方向不确定 D．单位向量的方向不确定 C 例1 例2 例3 例4 例5 变1 变2 变4 变5 例6 变6 例7 变7 变3 第页，共69页 7．1　平面向量的概念及线性运算 典例解析 考纲解读 思维导图 知识要点 典例解析 同步精练 【点拨】A不正确．大小相等的两个向量方向不一定相同，它们可能相等，可能互为负向量，也可能不是共线的向量． B不正确．互为负向量的两个向量的方向相反，是平行向量． C正确． D不正确．方向不同的单位向量是不同的向量． 例1 例2 例3 例4 例5 变1 变2 变4 变5 例6 变6 例7 变7 变3 第页，共69页 7．1　平面向量的概念及线性运算 典例解析 考纲解读 思维导图 知识要点 典例解析 同步精练 【变式训练2】下列命题中，正确的是(　　) ①若|a|＝|b|，则a＝b；②若A，B，C，D是不共线的四点，则“ ＝ ”是“四边形ABCD为平行四边形”的充分必要条件；③若a＝b，b＝c，则a＝c；④“a＝b”的充分必要条件是“|a|＝|b|且a∥b”；⑤若a∥b，b∥c，则a∥c. A．①④ B．③⑤ C．②③ D．②⑤ C 例1 例2 例3 例4 例5 变1 变2 变4 变5 例6 变6 例7 变7 变3 第页，共69页 7．1　平面向量的概念及线性运算 典例解析 考纲解读 思维导图 知识要点 典例解析 同步精练 【点拨】①不正确．大小相等的两个向量方向不一定相同，它们可能相等，可能互为负向量，也可能不是共线的向量．②正确．平行向量大小相等，互相平行，有一组对边平行且相等的四边形为平行四边形．③正确．④不正确．|a|＝|b|且a∥b有可能a与b方向相反．⑤不正确．若a∥b，b∥c，b不为0，则a∥c. 例1 例2 例3 例4 例5 变1 变2 变4 变5 例6 变6 例7 变7 变3 第页，共69页 7．1　平面向量的概念及线性运算 典例解析 考纲解读 思维导图 知识要点 典例解析 同步精练 【例3】化简： . 【点拨】多个向量相加减常用到交换律和结合律．在进行向量的加法和减法的混合运算时，一般统一为加法．互为负向量的两个向量的和是零向量． 例1 例2 例3 例4 例5 变1 变2 变4 变5 例6 变6 例7 变7 变3 第页，共69页 7．1　平面向量的概念及线性运算 典例解析 考纲解读 思维导图 知识要点 典例解析 同步精练 【解】　(方法一) . (方法二) . 例1 例2 例3 例4 例5 变1 变2 变4 变5 例6 变6 例7 变7 变3 第页，共69页 7．1　平面向量的概念及线性运算 典例解析 考纲解读 思维导图 知识要点 典例解析 同步精练 【变式训练3】化简下列各式： (1) ； 　(2) ； 　　　　　　　　 (3) . 解：(1) . (2) . (3) . 例1 例2 例3 例4 例5 变1 变2 变4 变5 例6 变6 例7 变7 变3 第页，共69页 7．1　平面向量的概念及线性运算 典例解析 考纲解读 思维导图 知识要点 典例解析 同步精练 【例4】如图7－6所示，在△OPQ中，M是PQ的中点，求证： . 图7－6 例1 例2 例3 例4 例5 变1 变2 变4 变5 例6 变6 例7 变7 变3 第页，共69页 7．1　平面向量的概念及线性运算 典例解析 考纲解读 思维导图 知识要点 典例解析 同步精练 【点拨】　在图形中进行向量的加法和减法运算时，首先要观察各个向量的位置，然后在相应的三角形或平行四边形中利用法则计算． 例1 例2 例3 例4 例5 变1 变2 变4 变5 例6 变6 例7 变7 变3 第页，共69页 7．1　平面向量的概念及线性运算 典例解析 考纲解读 思维导图 知识要点 典例解析 同步精练 【证明】　 例1 例2 例3 例4 例5 变1 变2 变4 变5 例6 变6 例7 变7 变3 第页，共69页 7．1　平面向量的概念及线性运算 典例解析 考纲解读 思维导图 知识要点 典例解析 同步精练 【变式训练4】如图7－7所示，在四边形ABCD中， ＝ ，AC与BD相交于点O，点E是线段OD的中点，AE的延长线与CD相交于点F，试用 ， 表示 . 图7－7 例1 例2 例3 例4 例5 变1 变2 变4 变5 例6 变6 例7 变7 变3 第页，共69页 7．1　平面向量的概念及线性运算 典例解析 考纲解读 思维导图 知识要点 典例解析 同步精练 解：在四边形ABCD中，因为 ＝ ，所以四边形ABCD为平行四边形． 由已知，得 ＝ ，△DEF∽△BEA，则 ＝ ， 所以 ， 所以 . 例1 例2 例3 例4 例5 变1 变2 变4 变5 例6 变6 例7 变7 变3 第页，共69页 7．1　平面向量的概念及线性运算 典例解析 考纲解读 思维导图 知识要点 典例解析 同步精练 【例5】四边形ABCD满足 ＋ ＝0，且 ⊥ ，则该四边形一定是(　　) A．梯形 B．矩形 C．菱形 D．正方形 C 例1 例2 例3 例4 例5 变1 变2 变4 变5 例6 变6 例7 变7 变3 第页，共69页 7．1　平面向量的概念及线性运算 典例解析 考纲解读 思维导图 知识要点 典例解析 同步精练 【点拨】由 ＋ ＝0得 ＝－ ，知 ∥ 且 ＝ ，即四边形ABCD是平行四边形．又由 ⊥ 得 ⊥ ，所以四边形ABCD是菱形．本题主要考查互为负向量的向量的性质、向量的加法法则及特殊四边形的判断方法． 例1 例2 例3 例4 例5 变1 变2 变4 变5 例6 变6 例7 变7 变3 第页，共69页 7．1　平面向量的概念及线性运算 典例解析 考纲解读 思维导图 知识要点 典例解析 同步精练 【变式训练5】若四边形ABCD中， ＝ ，且 ＝ ，则这个四边形是(　　) A．等腰梯形 B．矩形 C．菱形 D．平行四边形 A 【点拨】∵ ＝ ，∴ ∥ ，又∵ ＝ ， ∴这个四边形中有一组边平行，另一组边相等，说明四边形ABCD为等腰梯形． 例1 例2 例3 例4 例5 变1 变2 变4 变5 例6 变6 例7 变7 变3 第页，共69页 7．1　平面向量的概念及线性运算 典例解析 考纲解读 思维导图 知识要点 典例解析 同步精练 【例6】化简： (a＋2b)－ (5a－2b)＋ b. 【点拨】向量线性运算的运算律与实数的运算律类似． 例1 例2 例3 例4 例5 变1 变2 变4 变5 例6 变6 例7 变7 变3 第页，共69页 7．1　平面向量的概念及线性运算 典例解析 考纲解读 思维导图 知识要点 典例解析 同步精练 【解】原式= 例1 例2 例3 例4 例5 变1 变2 变4 变5 例6 变6 例7 变7 变3 第页，共69页 7．1　平面向量的概念及线性运算 典例解析 考纲解读 思维导图 知识要点 典例解析 同步精练 【变式训练6】化简： (1)2(a＋b)－2(a－b)－a; (2)3a－2(3a－4b)＋3(a－b). 解：(1)2(a＋b)－2(a－b)－a＝4b－a. (2)3a－2(3a－4b)＋3(a－b)＝5b. 例1 例2 例3 例4 例5 变1 变2 变4 变5 例6 变6 例7 变7 变3 第页，共69页 7．1　平面向量的概念及线性运算 典例解析 考纲解读 思维导图 知识要点 典例解析 同步精练 【例7】已知a＝－2c，b＝3c(c为非零向量)，a与b平行吗？ 【解】由b＝3c得c＝ b， 代入a＝－2c得a＝－ b， 故a与b平行． 【点拨】对于两个非零向量a，b，若存在实数λ，使a＝λb，则a∥b.由已知条件消去c即可． 例1 例2 例3 例4 例5 变1 变2 变4 变5 例6 变6 例7 变7 变3 第页，共69页 7．1　平面向量的概念及线性运算 典例解析 考纲解读 思维导图 知识要点 典例解析 同步精练 【变式训练7】已知向量a，b不共线，λa＋b与a＋2b共线，则 实数λ为________． 【点拨】因为λa＋b与a＋2b共线，所以 ＝ ，即λ＝ . 例1 例2 例3 例4 例5 变1 变2 变4 变5 例6 变6 例7 变7 变3 第页，共69页 7．1　平面向量的概念及线性运算 典例解析 考纲解读 思维导图 知识要点 典例解析 同步精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 16 17 一、单项选择题 1．如图所示，在平行四边形ABCD中，正确的结论是(　　) 第1题图 A.　 ＝ B.　 ＝ C.　 ＝ D.　 ＝ B 15 第页，共69页 7．1　平面向量的概念及线性运算 同步精练 考纲解读 思维导图 知识要点 典例解析 同步精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 16 17 2．在平行四边形ABCD中， ＝a， ＝b，则 ＝(　　) A．a＋b B．a－b C．－a＋b D．－a－b A 15 第页，共69页 7．1　平面向量的概念及线性运算 同步精练 考纲解读 思维导图 知识要点 典例解析 同步精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 16 17 3．有五个命题： ①零向量没有方向； ②相等向量一定是共线向量； ③单位向量一定相等； ④共线向量一定相等； ⑤互为负向量的两向量的模相等． 其中，正确命题的个数是(　　) A．1 B．2 C．3 D．4 B 15 第页，共69页 7．1　平面向量的概念及线性运算 同步精练 考纲解读 思维导图 知识要点 典例解析 同步精练 4．已知点C是线段AB的中点，则 ＋ ＝(　　) A．0 B．0 C．2 D． B 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 16 17 15 第页，共69页 7．1　平面向量的概念及线性运算 同步精练 考纲解读 思维导图 知识要点 典例解析 同步精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 16 17 5．已知向量 ＝3m＋2n， ＝2m－n，则 等于(　　) A．5m＋n B．－5m－n C．m＋3n D．－m－3n B 15 第页，共69页 7．1　平面向量的概念及线性运算 同步精练 考纲解读 思维导图 知识要点 典例解析 同步精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 16 17 6．“ ＝ ”是“ ＝ ”的(　　) A．必要不充分条件 B．充分不必要条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 A 15 第页，共69页 7．1　平面向量的概念及线性运算 同步精练 考纲解读 思维导图 知识要点 典例解析 同步精练 7．下列命题中，正确的是(　　) A． － ＝ B． ＋ ＝0 C．0· ＝0 D． ＋ ＋ ＝ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 16 17 D 15 第页，共69页 7．1　平面向量的概念及线性运算 同步精练 考纲解读 思维导图 知识要点 典例解析 同步精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 16 17 8．已知有边长为1的正方形ABCD，则 ＋ ＋ 的模为(　　) A． B．2 C．2 D．3 C 15 第页，共69页 7．1　平面向量的概念及线性运算 同步精练 考纲解读 思维导图 知识要点 典例解析 同步精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 16 17 二、填空题 9．化简： ＝________． 0 15 第页，共69页 7．1　平面向量的概念及线性运算 同步精练 考纲解读 思维导图 知识要点 典例解析 同步精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 16 17 10．已知 向量 和的夹角是60°，且 ＝ ＝1，则 ＝________． 1 15 第页，共69页 7．1　平面向量的概念及线性运算 同步精练 考纲解读 思维导图 知识要点 典例解析 同步精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 16 17 11．化简：2(3a＋5b－c)－3(2a－2b＋3c)＝________． 16b－11c 15 第页，共69页 7．1　平面向量的概念及线性运算 同步精练 考纲解读 思维导图 知识要点 典例解析 同步精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 16 17 12．若向量 ＝1， ＝2，且 与 的方向相反，则 ＝________． 3 15 第页，共69页 7．1　平面向量的概念及线性运算 同步精练 考纲解读 思维导图 知识要点 典例解析 同步精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 16 17 13．化简： ＝________， ＝________． 0 15 第页，共69页 7．1　平面向量的概念及线性运算 同步精练 考纲解读 思维导图 知识要点 典例解析 同步精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 16 17 14．已知点R在线段PQ上，且 ＝ ，设 ＝λ ， 则λ＝________． －4 15 第页，共69页 7．1　平面向量的概念及线性运算 同步精练 考纲解读 思维导图 知识要点 典例解析 同步精练 三、解答题 15．如图所示，点O是正六边形ABCDEF的中心，试写出： 第15题图 (1)与 相等的向量； 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 16 17 15 第页，共69页 7．1　平面向量的概念及线性运算 同步精练 考纲解读 思维导图 知识要点 典例解析 同步精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 16 17 三、解答题 15．如图所示，点O是正六边形ABCDEF的中心，试写出： 第15题图 (2) 的负向量； (3)与 平行的向量． 15 第页，共69页 7．1　平面向量的概念及线性运算 同步精练 考纲解读 思维导图 知识要点 典例解析 同步精练 解：(1) . (2) . (3)与 平行的向量： . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 16 17 15 第页，共69页 7．1　平面向量的概念及线性运算 同步精练 考纲解读 思维导图 知识要点 典例解析 同步精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 16 17 16．如图所示，平行四边形ABCD的对角线AC和BD交于点O， 且 ＝a， ＝b，试用a和b表示向量 ， . 第16题图 15 第页，共69页 7．1　平面向量的概念及线性运算 同步精练 考纲解读 思维导图 知识要点 典例解析 同步精练 解：根据向量减法的三角形法则，可得 . 根据向量加法的三角形法则，可得 . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 16 17 15 第页，共69页 7．1　平面向量的概念及线性运算 同步精练 考纲解读 思维导图 知识要点 典例解析 同步精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 16 17 17．在等腰梯形ABCD中，点P为腰BC上的一点，若 ＝ ， ＝m ＋n ，求m，n的值． 解：∵ ， ∴ ， 15 第页，共69页 7．1　平面向量的概念及线性运算 同步精练 考纲解读 思维导图 知识要点 典例解析 同步精练 ∴ ， ∴m＝ ，n＝ . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 16 17 15 第页，共69页 7．1　平面向量的概念及线性运算 同步精练 考纲解读 思维导图 知识要点 典例解析 同步精练 谢谢观看 $$