4.2　幂函数课件-2026届年甘肃省职教高考数学一轮复习

4．2　幂　函　数 第1页，共43页 第4章　指数函数与对数函数 1．幂函数的定义 一般地，形如____________的函数叫作幂函数．其中指数α为_______，底数x为__________. y＝xα(α∈R) 常数 自变量 第页，共43页 4．2　幂　函　数 知识要点 知识要点 典例解析 同步精练 2．五种常见的幂函数(如图4－1所示) 图4－1 第页，共43页 4．2　幂　函　数 知识要点 知识要点 典例解析 同步精练 3．幂函数的性质 当α>0时，函数图像经过点________与________，函数在(0，＋∞)上为__________；当α<0时，函数图像不经过点_______，只经过点_______，函数在(0，＋∞)上为________. (0，0) (1，1) 增函数 (0，0) (1，1) 减函数 第页，共43页 4．2　幂　函　数 知识要点 知识要点 典例解析 同步精练 【例1】　下列函数中，是幂函数的是(　　) A．y＝x－1 B．y＝ C．y＝2 D．y＝ 例1 例2 例3 例4 例5 变1 变2 变3 变4 变5 D 【点拨】　A是一次函数，不是幂函数；B可以化为y＝ 是指数函数，故不是幂函数；C不是幂函数． 第页，共43页 4．2　幂　函　数 典例解析 知识要点 典例解析 同步精练 【变式训练1】　下列函数中不是幂函数的是(　　) A．y＝x2 B．y＝ C．y＝3x D．y＝ 例1 例2 例3 例4 例5 变1 变2 变3 变4 变5 C 第页，共43页 4．2　幂　函　数 典例解析 知识要点 典例解析 同步精练 【例2】　求下列函数的定义域： (1)y＝ ； (2)y＝ ； (3)y＝ ； (4)y＝x－2. 例1 例2 例3 例4 例5 变1 变2 变3 变4 变5 【点拨】　求含有分数指数幂形式的函数的定义域，要将分数指数幂化成根式的形式．偶次根式要满足被开方数大于或等于零，奇次根式的被开方数为任意实数，分式还要注意分母不能等于零． 第页，共43页 4．2　幂　函　数 典例解析 知识要点 典例解析 同步精练 【解】　(1)函数y＝ 可化成y＝ . 要使函数有意义，则须满足x3≥0，解得x≥0. 故函数的定义域为[0，＋∞). (2)函数y＝ 可化成y＝ . 要使函数有意义，则须满足x3>0，即x>0. 故函数的定义域为(0，＋∞). 例1 例2 例3 例4 例5 变1 变2 变3 变4 变5 第页，共43页 4．2　幂　函　数 典例解析 知识要点 典例解析 同步精练 (3)函数y＝ 可化成y＝ ，则x∈R. 故函数的定义域为(－∞，＋∞). (4)函数y＝x－2可化成y＝ . 要使函数有意义，则须满足x2≠0，即x≠0. 故函数的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞). 例1 例2 例3 例4 例5 变1 变2 变3 变4 变5 第页，共43页 4．2　幂　函　数 典例解析 知识要点 典例解析 同步精练 【变式训练2】　求下列函数的定义域： (1)y＝ ； (2)y＝x－3; 例1 例2 例3 例4 例5 变1 变2 变3 变4 变5 解：(1)y＝ ，则x∈R. 故函数的定义域为(－∞，＋∞). (2)y＝x－3＝ ， 要使函数有意义，则须满足x3≠0，即x≠0. 故函数的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞). 第页，共43页 4．2　幂　函　数 典例解析 知识要点 典例解析 同步精练 (3)y＝ ， 要使函数有意义，则须满足x>0， 故函数的定义域为(0，＋∞). (3)y＝ . 例1 例2 例3 例4 例5 变1 变2 变3 变4 变5 第页，共43页 4．2　幂　函　数 典例解析 知识要点 典例解析 同步精练 【例3】　讨论下列函数的奇偶性和单调性． (1)y＝ ； (2)y＝x－2; (3)y＝x－3. 例1 例2 例3 例4 例5 变1 变2 变3 变4 变5 【点拨】　幂函数的单调性与幂指数有关，奇偶性要根据解析式来判定． 第页，共43页 4．2　幂　函　数 典例解析 知识要点 典例解析 同步精练 例1 例2 例3 例4 例5 变1 变2 变3 变4 变5 【解】　(1)函数y＝ 可化成y＝ ， 所以函数的定义域为[0，＋∞)，函数为非奇非偶函数． 又∵幂指数α＝ >0， ∴函数y＝ 在定义域上为增函数． 第页，共43页 4．2　幂　函　数 典例解析 知识要点 典例解析 同步精练 (2)函数y＝x－2可化成y＝ ， 所以函数的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞). 记y＝f(x)，满足f(－x)＝ ＝f(x)， 故函数y＝x－2为偶函数． 又∵幂指数α＝－2<0， ∴函数y＝x－2在(0，＋∞)上为减函数，在(－∞，0)上为增函数． 例1 例2 例3 例4 例5 变1 变2 变3 变4 变5 第页，共43页 4．2　幂　函　数 典例解析 知识要点 典例解析 同步精练 (3)函数y＝x－3可化成y＝ ， 所以函数的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞). 记y＝f(x)，满足f(－x)＝ ＝－f(x)， 故函数y＝x－3为奇函数． 又∵幂指数α＝－3<0， ∴函数y＝x－3在(－∞，0)和(0，＋∞)上都为减函数． 例1 例2 例3 例4 例5 变1 变2 变3 变4 变5 第页，共43页 4．2　幂　函　数 典例解析 知识要点 典例解析 同步精练 【变式训练3】　求下列函数的定义域并判断其奇偶性和单调性： (1)y＝ ； 例1 例2 例3 例4 例5 变1 变2 变3 变4 变5 解：(1)∵y＝ ，∴函数的定义域是R， 记y＝f(x)，满足f(－x)＝ ＝－f(x)， ∴该函数是奇函数． 第页，共43页 4．2　幂　函　数 典例解析 知识要点 典例解析 同步精练 ∵α＝ >0，∴函数y＝ 在(0，＋∞)上是增函数， 又∵该函数是奇函数，其图像关于原点对称， ∴函数y＝ 在(－∞，0]上也是增函数． 故函数y＝ 在R上是增函数． 例1 例2 例3 例4 例5 变1 变2 变3 变4 变5 第页，共43页 4．2　幂　函　数 典例解析 知识要点 典例解析 同步精练 (2)y＝ . 例1 例2 例3 例4 例5 变1 变2 变3 变4 变5 (2)∵y＝ ， ∴x3>0，∴x>0，∴函数的定义域是(0，＋∞). ∵函数的定义域不关于原点对称， ∴该函数是非奇非偶函数． ∵α＝ <0，∴函数y＝ 在(0，＋∞)上是减函数． 第页，共43页 4．2　幂　函　数 典例解析 知识要点 典例解析 同步精练 【例4】　试比较下列各组值的大小： (1) ； (2) . 【点拨】　利用幂函数在(0，＋∞)上的单调性来进行比较大小． 例1 例2 例3 例4 例5 变1 变2 变3 变4 变5 第页，共43页 4．2　幂　函　数 典例解析 知识要点 典例解析 同步精练 【解】　(1)∵幂指数α＝ >0， ∴y＝ 在(0，＋∞)上为增函数． 又∵ ，∴ . 例1 例2 例3 例4 例5 变1 变2 变3 变4 变5 第页，共43页 4．2　幂　函　数 典例解析 知识要点 典例解析 同步精练 (2)∵幂指数α＝ <0， ∴y＝ 在(0，＋∞)上为减函数． 又∵3<5，∴ . 例1 例2 例3 例4 例5 变1 变2 变3 变4 变5 第页，共43页 4．2　幂　函　数 典例解析 知识要点 典例解析 同步精练 【变式训练4】　比较大小： (1) ； 解：(1)∵幂指数α＝ >0， ∴y＝ 在(0，＋∞)上为增函数． 又∵2.5<3.4，∴ . 例1 例2 例3 例4 例5 变1 变2 变3 变4 变5 第页，共43页 4．2　幂　函　数 典例解析 知识要点 典例解析 同步精练 (2) . 例1 例2 例3 例4 例5 变1 变2 变3 变4 变5 (2)∵幂指数α＝ <0， ∴y＝ 在(0，＋∞)上为减函数． 又∵ ，∴ . 第页，共43页 4．2　幂　函　数 典例解析 知识要点 典例解析 同步精练 【例5】　已知幂函数的图像经过点(3，27)，求函数的解析式及f(－2)的值． 例1 例2 例3 例4 例5 变1 变2 变3 变4 变5 【点拨】　求函数解析式用待定系数法． 【解】　设幂函数的解析式为y＝xα， 则由函数的图像经过点(3，27)，得3α＝27，∴α＝3， 故函数解析式为y＝x3， ∴f(－2)＝(－2)3＝－8. 第页，共43页 4．2　幂　函　数 典例解析 知识要点 典例解析 同步精练 【变式训练5】　已知幂函数的图像经过点 ，求函数 的解析式及f(27)的值． 例1 例2 例3 例4 例5 变1 变2 变3 变4 变5 解：设幂函数的解析式为y＝xα，则 由函数的图像经过点 ，得8α＝ ，∴α＝ ， 故函数解析式为y＝ ， ∴f(27)＝ . 第页，共43页 4．2　幂　函　数 典例解析 知识要点 典例解析 同步精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 一、单项选择题 1．下列函数不是幂函数的是(　　)     A．y＝x2 B．y＝     C．y＝x－3     D．y＝2x D 第页，共43页 4．2　幂　函　数 同步精练 知识要点 典例解析 同步精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 2．幂函数y＝ 是(　　)     A．奇函数     B．偶函数    C．非奇非偶函数     D．不能确定 B 第页，共43页 4．2　幂　函　数 同步精练 知识要点 典例解析 同步精练 3．已知幂函数的图像经过点(2，8)，则f(－2)＝(　　) A．8 B．－8 C． D． B 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 第页，共43页 4．2　幂　函　数 同步精练 知识要点 典例解析 同步精练 4．下列函数中，在(0，＋∞)上是增函数的是(　　)     A．y＝－2x＋1     B．y＝x－3     C．y＝     D．y＝ C 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 第页，共43页 4．2　幂　函　数 同步精练 知识要点 典例解析 同步精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 5．下列函数是奇函数的是(　　)     A．y＝x－2     B．y＝x3     C．y＝2x     D．y＝ B 第页，共43页 4．2　幂　函　数 同步精练 知识要点 典例解析 同步精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 6．下列函数中，定义域为(0，＋∞)的是(　　)     A．y＝      B．y＝     C．y＝      D．y＝ B 第页，共43页 4．2　幂　函　数 同步精练 知识要点 典例解析 同步精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 二、填空题 7．函数y＝x3的定义域是____________，函数y＝ 的定义域是___________． (－∞，＋∞) [0，＋∞) 第页，共43页 4．2　幂　函　数 同步精练 知识要点 典例解析 同步精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 8．幂函数y＝ 是________函数(填“奇”或“偶”)，在(－∞，0)上是________函数(填“增”或“减”). 偶 减 第页，共43页 4．2　幂　函　数 同步精练 知识要点 典例解析 同步精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 9．函数y＝ 的定义域是____________． {x|x>－1} 第页，共43页 4．2　幂　函　数 同步精练 知识要点 典例解析 同步精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 10．幂函数y＝ 与y＝ 的交点坐标为________． (1，1) 第页，共43页 4．2　幂　函　数 同步精练 知识要点 典例解析 同步精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 11．已知幂函数f(x)＝ ，则f(4)＝________． 8 第页，共43页 4．2　幂　函　数 同步精练 知识要点 典例解析 同步精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 三、解答题 12．求函数y＝ 的定义域并判断其奇偶性和单调性． 解：y＝ ， 函数的定义域为R. 对于任意的x∈R，都有－x∈R， 则f(－x)＝ ＝－f(x)， ∴该函数是奇函数． 第页，共43页 4．2　幂　函　数 同步精练 知识要点 典例解析 同步精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 ∵α＝ >0， ∴函数在区间[0，＋∞)上是增函数， 又∵该函数是奇函数，其图像关于原点对称， ∴函数在区间(－∞，0]上是增函数， ∴该函数在R上是增函数． 第页，共43页 4．2　幂　函　数 同步精练 知识要点 典例解析 同步精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 13．比较大小． (1) ； (2) ； (3) . 解：(1) . (2) . (3) ． 第页，共43页 4．2　幂　函　数 同步精练 知识要点 典例解析 同步精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 14．已知 ，求实数a的取值范围． 解：∵y＝ 在(0，＋∞)上为减函数， ∴a＋1>3－2a>0，解得 ， ∴实数a的取值范围是 . 第页，共43页 4．2　幂　函　数 同步精练 知识要点 典例解析 同步精练 谢谢观看 $$