3.2函数的单调性课件-2026届年甘肃省职教高考数学一轮复习

3．2　函数的单调性 第3章　函　　数 第1页，共52页 1．增函数 设函数y＝f(x)在区间(a，b)内有意义，如果对于任意的x1，x2∈(a，b)，当x1<x2时，都有_____________成立，则称函数f(x)在区间(a，b)上是增函数，区间(a，b)叫作函数f(x)的____区间(如图3－2所示).增函数的图像从左至右呈______趋势． f(x1)<f(x2) 增 上升 图3－2 第页，共52页 3．2　函数的单调性 知识要点 知识要点 典例解析 同步精练 2．减函数 设函数y＝f(x)在区间(a，b)内有意义，如果对于任意的x1，x2∈(a，b)，当x1<x2时，都有__________成立，则称函数f(x)在区间(a，b)上是减函数，区间(a，b)叫作函数f(x)的______区间(如图3－3所示).减函数的图像从左至右呈______趋势． f(x1)>f(x2) 减 下降 图3－3 第页，共52页 3．2　函数的单调性 知识要点 知识要点 典例解析 同步精练 3．判定函数单调性的方法 (1)图像法：根据__________的变化趋势判断函数的单调性． (2)定义法． 函数图像 第页，共52页 3．2　函数的单调性 知识要点 知识要点 典例解析 同步精练 4．常见函数的单调性 名称 定义 图像 单调性 正比例函数 y＝kx(k≠0) 当k>0时，在R上是____函数 当k<0时，在R上是____函数 增 减 第页，共52页 3．2　函数的单调性 知识要点 知识要点 典例解析 同步精练 续表 名称 定义 图像 单调性 反比例函数 y＝ (k≠0) 当k>0时，在区间 __________和__________上都是____函数 当k<0时，在区间 __________和__________上都是____函数 增 减 (－∞，0) (0，＋∞) (－∞，0) (0，＋∞) 第页，共52页 3．2　函数的单调性 知识要点 知识要点 典例解析 同步精练 续表 名称 定义 图像 单调性 一次 函数 y＝kx＋b (k≠0) 当k>0时，在R上是____函数 当k<0时，在R上是____函数 增 减 第页，共52页 3．2　函数的单调性 知识要点 知识要点 典例解析 同步精练 续表 名称 定义 图像 单调性 二次 函数 y＝ax2＋bx＋c (a≠0) 二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0) 的单调性只与____和对称轴有关．当a>0时，抛物线开 口向上，在 上为 ____函数，在 上 为____函数 增 减 a 第页，共52页 3．2　函数的单调性 知识要点 知识要点 典例解析 同步精练 续表 名称 定义 图像 单调性 二次函数 y＝ax2＋bx＋c (a≠0) 当a<0时，抛物线开口向下， 在 上为____函数， 在 上为____函数 增 减 第页，共52页 3．2　函数的单调性 知识要点 知识要点 典例解析 同步精练 续表 名称 定义 图像 单调性 幂函数 y＝xα 当α>0时，在(0，＋∞)上为____函数 当α<0时，在(0，＋∞)上为____函数 增 减 第页，共52页 3．2　函数的单调性 知识要点 知识要点 典例解析 同步精练 续表 名称 定义 图像 单调性 指数 函数 y＝ax(a>0，a≠1) 当a>1时，在R上为____函数 当0<a<1时，在R上为____函数 增 减 第页，共52页 3．2　函数的单调性 知识要点 知识要点 典例解析 同步精练 续表 名称 定义 图像 单调性 对数函数 y＝logax (a>0，a≠1) 当a>1时，在__________上为____函数 当0<a<1时，在__________上为____函数 增 减 (0，＋∞) (0，＋∞) 第页，共52页 3．2　函数的单调性 知识要点 知识要点 典例解析 同步精练 续表 名称 定义 图像 单调性 三角函数 y＝sin x y＝cos x y＝tan x 略 详见三角函数部分 第页，共52页 3．2　函数的单调性 知识要点 知识要点 典例解析 同步精练 【例1】　已知函数s＝f(t)的图像如图3－4所示，根据图像说出这个函数在哪些区间上是增函数？哪些区间上是减函数？ 例1 例2 例3 例4 例5 变1 变2 变3 变4 变5 例6 变6 图3－4 第页，共52页 3．2　函数的单调性 典例解析 知识要点 典例解析 同步精练 【点拨】　函数的单调区间，一般是指保持函数单调性的最大区间．对于用图像法表示的函数，可以通过对函数图像的观察来判断函数的单调性，从而得到单调区间． 例1 例2 例3 例4 例5 变1 变2 变3 变4 变5 例6 变6 【解】　由图像可以看出，函数的增区间为[0，40]，减区间为[40，60]. 第页，共52页 3．2　函数的单调性 典例解析 知识要点 典例解析 同步精练 【变式训练1】　如图3－5所示为函数f(x)＝ 的图像，写出函数的单调区间． 例1 例2 例3 例4 例5 变1 变2 变3 变4 变5 例6 变6 图3－5 解：依题意，函数f(x)＝ 的定义域为(－∞，1)∪(1，＋∞)， 函数的减区间是(－∞，1)和(1，＋∞). 第页，共52页 3．2　函数的单调性 典例解析 知识要点 典例解析 同步精练 【例2】　若反比例函数y＝－(k＋1)x－1在(－∞，0)和 (0，＋∞)上是减函数，则k的取值范围是____________． (－∞，－1) 例1 例2 例3 例4 例5 变1 变2 变3 变4 变5 例6 变6 【点拨】　解决此类问题时，首先应联想到相应的函数及其图像，再考察函数的单调性．本题考查反比例函数的概念和单调性． 第页，共52页 3．2　函数的单调性 典例解析 知识要点 典例解析 同步精练 【变式训练2】　若函数f(x)＝x2－ax＋3在(2，＋∞)上单调递增，求a的取值范围． 例1 例2 例3 例4 例5 变1 变2 变3 变4 变5 解：依题意，二次函数f(x)＝x2－ax＋3的对称轴方程为x＝ ， 要使函数在(2，∞)上单调递增，须满足2≥ ，解得a≤4. 故a的取值范围是(－∞，4]. 例6 变6 第页，共52页 3．2　函数的单调性 典例解析 知识要点 典例解析 同步精练 【例3】　试判断函数y＝3x－2的单调性． 例1 例2 例3 例4 例5 变1 变2 变3 变4 变5 例6 变6 【点拨】　用解析式表示的函数可以通过观察图像来判断其单调性，也可以通过定义来判断．用定义法判断函数的单调性分三个步骤：(1)任取两个自变量x1，x2∈I，且x1<x2；(2)利用作差法比较函数值f(x1)与f(x2)的大小；(3)写出结论． 第页，共52页 3．2　函数的单调性 典例解析 知识要点 典例解析 同步精练 例1 例2 例3 例4 例5 变1 变2 变3 变4 变5 【解】　(图像法)函数y＝3x－2为一次函数，定义域为(－∞，＋∞). 在直角坐标系中，描出(0，－2)，(1，1)两点，经过这两个点的直线即为函数图像(如图3－6所示). 观察图像知函数y＝3x－2在(－∞，＋∞)上为增函数． 例6 变6 图3－6 第页，共52页 3．2　函数的单调性 典例解析 知识要点 典例解析 同步精练 例1 例2 例3 例4 例5 变1 变2 变3 变4 变5 (定义法)函数y＝3x－2的定义域为(－∞，＋∞)， 任取x1，x2∈(－∞，＋∞)， 当x1<x2时，f(x1)－f(x2)＝3x1－2－(3x2－2)＝3(x1－x2). ∵x1<x2⇔x1－x2<0， ∴f(x1)－f(x2)＝3(x1－x2)<0， 即f(x1)－f(x2)<0，也就是f(x1)<f(x2). ∴函数y＝3x－2在(－∞，＋∞)上为增函数． 例6 变6 第页，共52页 3．2　函数的单调性 典例解析 知识要点 典例解析 同步精练 【变式训练3】　判断函数f(x)＝1＋ 在(0，＋∞)上的单调性． 例1 例2 例3 例4 例5 变1 变2 变3 变4 变5 解：任取0<x1<x2，则f(x1)－f(x2)＝ ∵x2－x1>0，x1x2>0，∴f(x1)－f(x2)>0. ∴f(x)在(0，＋∞)上为减函数． 例6 变6 第页，共52页 3．2　函数的单调性 典例解析 知识要点 典例解析 同步精练 【例4】　试讨论函数f(x)＝－x2＋1在(0，＋∞)上的单调性． 【点拨】　在区间上任取x1和x2，并比较f(x1)和f(x2)的大小，这是判断函数单调性的一种方法．另外，我们也可以利用图像法判定函数的单调性． 例1 例2 例3 例4 例5 变1 变2 变3 变4 变5 例6 变6 第页，共52页 3．2　函数的单调性 典例解析 知识要点 典例解析 同步精练 【解】　任取x1，x2∈(0，＋∞)，且x1<x2， f(x1)－f(x2)＝(－x12＋1)－(－x22＋1)＝－x12＋x22＝(x2－x1)(x2＋x1). ∵x1<x2⇔x2－x1>0，x1，x2∈(0，＋∞)⇒x2＋x1>0， ∴f(x1)－f(x2)＝(x2－x1)(x2＋x1)>0， 即f(x1)－f(x2)>0，也就是f(x1)>f(x2)， 故函数f(x)＝x2＋1在(0，＋∞)上是减函数． 例1 例2 例3 例4 例5 变1 变2 变3 变4 变5 例6 变6 第页，共52页 3．2　函数的单调性 典例解析 知识要点 典例解析 同步精练 【变式训练4】　判断函数f(x)＝x2－1在(－∞，＋∞)上的单调性． 解：先研究函数f(x)＝x2－1在[0，＋∞)上的单调性． 任取x1，x2∈[0，＋∞)，且x1<x2， f(x1)－f(x2)＝(x12－1)－(x22－1)＝x12－x22＝(x1－x2)(x1＋x2). ∵x1<x2⇒x1－x2<0，x1，x2∈(0，＋∞)⇒x1＋x2>0， ∴f(x1)－f(x2)＝(x1－x2)(x1＋x2)<0， 例1 例2 例3 例4 例5 变1 变2 变3 变4 变5 例6 变6 第页，共52页 3．2　函数的单调性 典例解析 知识要点 典例解析 同步精练 即f(x1)<f(x2)， 故函数f(x)＝x2－1在(0，＋∞)上单调递增． 类似的，可以得到函数f(x)＝x2－1在(－∞，0)上单调递减． 例1 例2 例3 例4 例5 变1 变2 变3 变4 变5 例6 变6 第页，共52页 3．2　函数的单调性 典例解析 知识要点 典例解析 同步精练 【例5】　(2019年甘肃省分类考试)下列函数中，在区间(0，＋∞)内为减函数的是(　　)     A．y＝x2     B．y＝2x     C．      D．y＝log2x 例1 例2 例3 例4 例5 变1 变2 变3 变4 变5 例6 变6 C 第页，共52页 3．2　函数的单调性 典例解析 知识要点 典例解析 同步精练 【点拨】　A项中函数y＝x2是二次函数，在(0，＋∞)内为增函数，故不正确．B项中函数y＝2x是指数函数，在(－∞，＋∞)内为增函数，故不正确．C项和D项均为对数函数，其中D项函数y＝log2x在(0，＋∞)内为增函数，故不正确． 例1 例2 例3 例4 例5 变1 变2 变3 变4 变5 例6 变6 第页，共52页 3．2　函数的单调性 典例解析 知识要点 典例解析 同步精练 【变式训练5】　(2023年甘肃省分类考试)下列函数既是奇函数，又是增函数的是(　　)     A．f(x)＝x＋1     B．f(x)＝5x     C．f(x)＝      D．f(x)＝x2 例1 例2 例3 例4 例5 变1 变2 变3 变4 变5 例6 变6 B 【提示】 f(x)＝x＋1是非奇非偶函数；f(x)＝x2是偶函数；f(x)＝ 不是增函数；只有f(x)＝5x既是奇函数又在定义域上为增函数． 第页，共52页 3．2　函数的单调性 典例解析 知识要点 典例解析 同步精练 【例6】　已知函数f(x)＝x2＋2(a－1)x＋2在区间(－∞，2]上是减函数，求实数a的取值范围． 例1 例2 例3 例4 例5 变1 变2 变3 变4 变5 例6 变6 【点拨】　二次函数在对称轴两侧的单调性不同． 【解】　函数f(x)＝x2＋2(a－1)x＋2的图像开口向上，对称轴方程为x＝1－a. 由题意知1－a≥2，即a≤－1. 故实数a的取值范围是(－∞，－1]. 第页，共52页 3．2　函数的单调性 典例解析 知识要点 典例解析 同步精练 【变式训练6】　若函数f(x)＝log(a－2)(x＋1)在(－1，＋∞)上单调递增，求a的取值范围． 例1 例2 例3 例4 例5 变1 变2 变3 变4 变5 例6 变6 解：依题意， 函数f(x)＝log(a－2)(x＋1)的定义域为(－1，＋∞)， 要使函数f(x)＝log(a－2)(x＋1)在(－1，＋∞)上单调递增，须满足底数a－2>1，故a>3. 即a的取值范围是(3，＋∞). 第页，共52页 3．2　函数的单调性 典例解析 知识要点 典例解析 同步精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 一、单项选择题 1．下列函数中，在(3，＋∞)内为减函数的是(　　)     A．y＝x－3     B．y＝     C．y＝log3x     D．y＝x2－6x＋1 B 第页，共52页 3．2　函数的单调性 同步精练 知识要点 典例解析 同步精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 2．已知函数：①y＝2(x－2)2＋4；②y＝2(x＋2)2－3；③y＝x2－4x；④y＝x2＋4x.其中在区间[－2，＋∞)上是增函数的是 (　　)     A．①和②    B．③和④    C．①和③    D．②和④ D 第页，共52页 3．2　函数的单调性 同步精练 知识要点 典例解析 同步精练 3．设函数y＝ 在(1，＋∞)上为减函数，则k的取值范围是(　　) A．(－∞，1) B．(1，＋∞) C．(－∞，1)∪(1，＋∞) D．(－∞，0) B 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 第页，共52页 3．2　函数的单调性 同步精练 知识要点 典例解析 同步精练 4．已知函数y＝f(x)在区间D上有意义，若任意的x1，x2∈D，当x1>x2时都有－f(x1)<－f(x2)，则函数在D上是(　　)     A．减函数 B．增函数 C．奇函数 D．偶函数 B 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 第页，共52页 3．2　函数的单调性 同步精练 知识要点 典例解析 同步精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 5．已知函数y＝f(x)在区间[－1，2]上是减函数，则有(　　)     A．f(－1)<f(0)<f(2)     B．f(0)<f(－1)<f(2)     C．f(2)<f(0)<f(－1)     D．f(－1)<f(2)<f(0) C 第页，共52页 3．2　函数的单调性 同步精练 知识要点 典例解析 同步精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 6．已知函数y＝x2＋nx＋1在(－∞，－2)上是减函数，在(－2，＋∞)上是增函数，则n的值是(　　) A．－4 B．4 C．2 D．－2 B 第页，共52页 3．2　函数的单调性 同步精练 知识要点 典例解析 同步精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 二、填空题 7．函数y＝x－3在R上是_____函数；y＝x－3在R上是_____函数．(填“增”或“减”) 增 减 第页，共52页 3．2　函数的单调性 同步精练 知识要点 典例解析 同步精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 8．若函数y＝－(x－a)2＋1在区间(－∞，0)上为增函数，则a的取值范围是__________． [0，＋∞) 第页，共52页 3．2　函数的单调性 同步精练 知识要点 典例解析 同步精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 9．函数f(x)＝ 的单调增区间为___________________． (－∞，0)和(0，＋∞) 第页，共52页 3．2　函数的单调性 同步精练 知识要点 典例解析 同步精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 10．函数f(x)＝－x2＋2的定义域是______，值域是_________，该函数在________上是增函数，在_________上是减函数． R (－∞，2] (－∞，0) [0，＋∞) 第页，共52页 3．2　函数的单调性 同步精练 知识要点 典例解析 同步精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 11．函数y＝f(x)在(－∞，＋∞)是增函数，且f(x1)<f(x2)，则x1______x2；若函数y＝f(x)在(－∞，＋∞)上是减函数，且f(x1) <f(x2)，则x1______x2. < > 第页，共52页 3．2　函数的单调性 同步精练 知识要点 典例解析 同步精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 12．若y＝f(x)在[1，＋∞)上是增函数，则f(1)________f(2)；若y＝f(x)在[1，＋∞)上是减函数，则f(1)________f(2).(填“>”或“<”) < > 第页，共52页 3．2　函数的单调性 同步精练 知识要点 典例解析 同步精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 三、解答题 13．讨论函数y＝ 和y＝kx－1在(0，＋∞)上的单调性． 解：对于函数y＝ ， 任取x1，x2∈(0，＋∞)，且x1<x2. 则有x1－x2<0，x1x2>0， 故f(x1)－f(x2)＝ ， 第页，共52页 3．2　函数的单调性 同步精练 知识要点 典例解析 同步精练 即f(x1)<f(x2)， 故函数y＝ 在(0，＋∞)上是增函数． 对于函数y＝kx－1， 当k>0时，函数在(0，＋∞)上是增函数； 当k<0时，函数在(0，＋∞)上是减函数． 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 第页，共52页 3．2　函数的单调性 同步精练 知识要点 典例解析 同步精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 14．一次函数在y＝(k＋1)x＋b在R上为减函数，其图像与反比例函数y＝ 的图像交于点(－1，9)，求一次函数和反比例函数的解析式． 第页，共52页 3．2　函数的单调性 同步精练 知识要点 典例解析 同步精练 解：由一次函数y＝(k＋1)x＋b在R上为减函数，可得k＋1<0，所以k<－1. 因为两个函数图像交于点(－1，9)， 所以，将该点代入反比例函数，得k＝±3. 由于k<－1，所以k＝－3. 一次函数为y＝－2x＋b，将点(－1，9)代入得b＝7. 所以一次函数为y＝－2x＋7，反比例函数为y＝ . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 第页，共52页 3．2　函数的单调性 同步精练 知识要点 典例解析 同步精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 15．已知二次函数y＝－2x2＋4x＋1. (1)将二次函数的一般式化为顶点式； (2)写出二次函数的对称轴方程和顶点坐标； (3)判断函数的单调性； (4)求函数值y的取值范围． 第页，共52页 3．2　函数的单调性 同步精练 知识要点 典例解析 同步精练 解：(1)y＝－2(x－1)2＋3. (2)因为a＝－2<0，b＝4，c＝1， 所以此二次函数的对称轴x＝ ＝1； 当x＝1时，y＝－2×12＋4×1＋1＝3，故顶点坐标为(1，3). (3)由(2)知函数在(－∞，1]是增函数， 在[1，＋∞)上是减函数． (4)由(2)得函数值的取值范围是(－∞，3]. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 第页，共52页 3．2　函数的单调性 同步精练 知识要点 典例解析 同步精练 谢谢观看 $$