3.4二次函数和分段函数课件-2026届年甘肃省职教高考数学一轮复习

3．4　二次函数和分段函数 第3章　函　　数 第1页，共50页 1．二次函数 二次函数 解析式 y＝ax2＋bx＋c(a≠0) 定义域 R 顶点坐标 对称轴方程 第页，共50页 3．4　二次函数和分段函数 知识要点 知识要点 典例解析 同步精练 最值 当x＝ 时，函数y有最值＝ 图像 a>0 a<0 续表 第页，共50页 3．4　二次函数和分段函数 知识要点 知识要点 典例解析 同步精练 单调性 在区间 上是减函数． 在区间 上是增函数． 在区间 上是增函数． 在区间 上是减函数． 奇偶性 当b≠0时是非奇非偶函数， 当b＝0时是偶函数． 续表 第页，共50页 3．4　二次函数和分段函数 知识要点 知识要点 典例解析 同步精练 解析式的设法 (1)已知二次函数图像上任意三点，设为y＝ax2＋bx＋c(a≠0)； (2)已知二次函数图像的顶点(h，k)，设为y＝a(x－h)2＋k(a≠0)； (3)已知二次函数图像与x轴交点的横坐标x1，x2，设为y＝a(x－x1)(x－x2)(a≠0) 续表 第页，共50页 3．4　二次函数和分段函数 知识要点 知识要点 典例解析 同步精练 2．分段函数 (1)在自变量的不同取值范围内，需要用__________的解析式来表示，这样的函数叫作分段函数． (2)分段函数的定义域是自变量的各个不同取值范围的________. (3)求分段函数的函数值f(x0)时，首先判断x0所属的取值范围，然后再把x0代入相应的解析式进行计算． 不同 并集 第页，共50页 3．4　二次函数和分段函数 知识要点 知识要点 典例解析 同步精练 【例1】　已知函数f(x)＝x2，则下列说法中，不正确的是 (　　)     A．函数f(x)＝x2是奇函数     B．函数f(x)＝x2的定义域是R，值域是[0，＋∞)     C．函数f(x)＝x2的图像关于y轴对称     D．函数f(x)＝x2的图像是抛物线 A 例1 例2 例3 例4 例5 变1 变2 变3 变4 变5 例6 变6 例7 变7 第页，共50页 3．4　二次函数和分段函数 典例解析 知识要点 典例解析 同步精练 【点拨】　二次函数f(x)＝x2的图像是顶点在原点、对称轴是y轴的抛物线，其定义域是R，值域是[0，＋∞)，故是偶函数，因此A不正确． 例1 例2 例3 例4 例5 变1 变2 变3 变4 变5 例6 变6 例7 变7 第页，共50页 3．4　二次函数和分段函数 典例解析 知识要点 典例解析 同步精练 【变式训练1】　已知函数f(x)＝x2－2x－3，则下列说法中正确的是(　　)     A．函数f(x)＝x2－2x－3是奇函数     B．函数f(x)＝x2－2x－3的定义域是R，值域是[0，＋∞)     C．函数f(x)＝x2－2x－3的图像关于y轴对称     D．函数f(x)＝x2－2x－3的顶点坐标为(1，－4) D 例1 例2 例3 例4 例5 变1 变2 变3 变4 变5 例6 变6 例7 变7 第页，共50页 3．4　二次函数和分段函数 典例解析 知识要点 典例解析 同步精练 【例2】　利用简单初等函数的特征，确定下列函数的定义域、单调性及奇偶性： (1)f(x)＝3x－3； (2)f(x)＝3x； (3)f(x)＝ ； (4)f(x)＝x2＋2x－3； (5)f(x)＝－x2－3. 【点拨】　判断简单基本函数的基本性质，需要注意函数的表达式及特性，并要牢记函数的基本性质及变化要求． 例1 例2 例3 例4 例5 变1 变2 变3 变4 变5 例6 变6 例7 变7 第页，共50页 3．4　二次函数和分段函数 典例解析 知识要点 典例解析 同步精练 【解】　(1)在f(x)＝3x－3中，k＝3，b＝－3， ∴f(x)中，定义域为R； k＞0，为增函数；b≠0，为非奇非偶函数． (2)在f(x)＝3x中，k＝3，b＝0， ∴f(x)中，定义域为R； k＞0，为增函数；b＝0，是奇函数． 例1 例2 例3 例4 例5 变1 变2 变3 变4 变5 例6 变6 例7 变7 第页，共50页 3．4　二次函数和分段函数 典例解析 知识要点 典例解析 同步精练 (3)在f(x)＝ 中，k＝2， ∴f(x)中，定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)； k＞0，在(－∞，0)和(0，＋∞)上为减函数；是奇函数． (4)在f(x)＝x2＋2x－3中，a＝1，b＝2，c＝－3， ∴f(x)中，定义域为R； 在(－∞，－1)上单调递减，在(－1，＋∞)上单调递增；是非奇非偶函数． 例1 例2 例3 例4 例5 变1 变2 变3 变4 变5 例6 变6 例7 变7 第页，共50页 3．4　二次函数和分段函数 典例解析 知识要点 典例解析 同步精练 (5)在f(x)＝－x2－3中，a＝－1，b＝0，c＝－3， ∴f(x)中，定义域为R； 在(－∞，0)上单调递增，在(0，＋∞)上单调递减；b＝0，是偶函数． 例1 例2 例3 例4 例5 变1 变2 变3 变4 变5 例6 变6 例7 变7 第页，共50页 3．4　二次函数和分段函数 典例解析 知识要点 典例解析 同步精练 【变式训练2】　(1)已知二次函数f(x)＝x2－2x－3，求该函数的定义域、值域、顶点坐标、最值和单调区间； (2)已知二次函数f(x)＝x2－2x－3，x∈[0，8]，求函数f(x)的值域、顶点坐标、最值和单调区间． 例1 例2 例3 例4 例5 变1 变2 变3 变4 变5 例6 变6 例7 变7 第页，共50页 3．4　二次函数和分段函数 典例解析 知识要点 典例解析 同步精练 解：(1)f(x)＝x2－2x－3＝(x－1)2－4， 所以函数f(x)的定义域为R； 值域为[－4，＋∞)； 顶点坐标为(1，－4)； 当x＝1时，f(x)有最小值等于－4； 单调减区间为(－∞，1)，增区间为[1，＋∞). 例1 例2 例3 例4 例5 变1 变2 变3 变4 变5 例6 变6 例7 变7 第页，共50页 3．4　二次函数和分段函数 典例解析 知识要点 典例解析 同步精练 (2)f(x)＝x2－2x－3＝(x－1)2－4， 由于函数f(x)＝x2－2x－3的定义域为[0，8]， 所以函数的顶点坐标为(1，－4)； 当x＝1时，f(x)有最小值等于－4， 当x＝8时，有最大值等于45，所以值域为[－4，45]； 单调减区间为(0，1)，增区间为[1，8]. 例1 例2 例3 例4 例5 变1 变2 变3 变4 变5 例6 变6 例7 变7 第页，共50页 3．4　二次函数和分段函数 典例解析 知识要点 典例解析 同步精练 【例3】　按照给定的条件，确定下列函数的解析式： (1)一次函数f(x)中，f(－1)＝0，f(1)＝－4； (2)反比例函数f(x)中，图像过点(2，－1)； (3)二次函数f(x)的顶点是(1，16)，与x轴的一个交点是(－3，0). 【点拨】　对于确定函数的解析式，一般情况下要根据函数的条件设出给定的函数表达式，再使用待定系数法确定系数，最后确定解析式． 例1 例2 例3 例4 例5 变1 变2 变3 变4 变5 例6 变6 例7 变7 第页，共50页 3．4　二次函数和分段函数 典例解析 知识要点 典例解析 同步精练 【解】　(1)设一次函数为f(x)＝ax＋b， 且f(－1)＝0，f(1)＝－4， 则 解得 ∴f(x)＝－2x－2. 同理可得(2)f(x)＝ ，(3)f(x)＝－x2＋2x＋15. 例1 例2 例3 例4 例5 变1 变2 变3 变4 变5 例6 变6 例7 变7 第页，共50页 3．4　二次函数和分段函数 典例解析 知识要点 典例解析 同步精练 【变式训练3】　已知二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)的顶点(3，1)，与y轴的一个交点(0，10)，求f(x)的解析式． 解：依题意设函数的解析式为f(x)＝a(x－3)2＋1(a≠0)， 将(0，10)代入解析式，即10＝a(0－3)2＋1，解得a＝1， 故f(x)＝(x－3)2＋1＝x2－6x＋10. 例1 例2 例3 例4 例5 变1 变2 变3 变4 变5 例6 变6 例7 变7 第页，共50页 3．4　二次函数和分段函数 典例解析 知识要点 典例解析 同步精练 【例4】　已知二次函数f(x)＝x2－ax＋b的图像关于y轴对称，且f(－1)＝3. (1)求函数解析式； (2)判断函数f(x)在其定义域上的单调性． 【点拨】　根据对称轴和f(－1)的值求出a，b的值．结合二次函数图像的开口方向和对称轴判断其在定义域上的单调性． 例1 例2 例3 例4 例5 变1 变2 变3 变4 变5 例6 变6 例7 变7 第页，共50页 3．4　二次函数和分段函数 典例解析 知识要点 典例解析 同步精练 【解】　(1)∵二次函数f(x)＝x2－ax＋b的图像关于y轴对称， ∴函数是偶函数，即a＝0， 又∵f(－1)＝3， ∴1＋b＝3，得b＝2， 函数解析式为f(x)＝x2＋2. (2)由二次函数f(x)＝x2＋2的图像，得函数在区间(－∞，0)上单调递减，在区间(0，＋∞)上单调递增． 例1 例2 例3 例4 例5 变1 变2 变3 变4 变5 例6 变6 例7 变7 第页，共50页 3．4　二次函数和分段函数 典例解析 知识要点 典例解析 同步精练 【变式训练4】　(2024年甘肃省分类考试)已知二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)的顶点(1，3)，与x轴的一个交点是(0，2)，求f(x)的解析式． 解：依题意，设函数的解析式为f(x)＝a(x－1)2＋3(a≠0)， 将(0，2)代入解析式，即2＝a(0－1)2＋3，解得a＝－1， 故f(x)＝－(x－1)2＋3＝－x2＋2x＋2. 例1 例2 例3 例4 例5 变1 变2 变3 变4 变5 例6 变6 例7 变7 第页，共50页 3．4　二次函数和分段函数 典例解析 知识要点 典例解析 同步精练 【例5】　(2020年甘肃省分类考试)一元二次方程x2－mx＋m－1＝0有实数解，求m的取值范围． 【点拨】　根据一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的解的情况确定一元二次不等式ax2＋bx＋c≥0(a≠0)的解集是解决本题的关键． 例1 例2 例3 例4 例5 变1 变2 变3 变4 变5 例6 变6 例7 变7 第页，共50页 3．4　二次函数和分段函数 典例解析 知识要点 典例解析 同步精练 【解】　∵一元二次方程x2－mx＋m－1＝0有实数解， ∴Δ≥0，即(－m)2－4(m－1)≥0，也就是m2－4m＋4≥0， 解得m∈R. 因此，m的取值范围是(－∞，＋∞). 例1 例2 例3 例4 例5 变1 变2 变3 变4 变5 例6 变6 例7 变7 第页，共50页 3．4　二次函数和分段函数 典例解析 知识要点 典例解析 同步精练 【变式训练5】　已知一元二次方程x2－mx＋m＋1＝0有两个不相等的实数解，求m的取值范围． 解：∵一元二次方程x2－mx＋m＋1＝0有两个不相等实数解， ∴Δ>0，即(－m)2－4(m＋1)>0，也就是m2－4m－4>0， 解得m<2－ 或m>2＋ . ∴m的取值范围是(－∞，2－ )∪(2＋ ，＋∞). 例1 例2 例3 例4 例5 变1 变2 变3 变4 变5 例6 变6 例7 变7 第页，共50页 3．4　二次函数和分段函数 典例解析 知识要点 典例解析 同步精练 【例6】　(2022年甘肃省分类考试)设一元二次函数f(x)满足f(1)＝0，f(0)＝－6，f(－3)＝0，求函数f(x)的最值． 【点拨】　利用待定系数法求二次函数的解析式时，根据已知条件恰当地设函数解析式的形式，将会为求解带来极大的方便． 例1 例2 例3 例4 例5 变1 变2 变3 变4 变5 例6 变6 例7 变7 第页，共50页 3．4　二次函数和分段函数 典例解析 知识要点 典例解析 同步精练 【解】　设一元二次函数的解析式为y＝ax2＋bx＋c(a≠0)， 由题意，得 解得 ∴二次函数的解析式为y＝2x2＋4x－6. 即函数f(x)的最小值为 ＝－8. 例1 例2 例3 例4 例5 变1 变2 变3 变4 变5 例6 变6 例7 变7 第页，共50页 3．4　二次函数和分段函数 典例解析 知识要点 典例解析 同步精练 【变式训练6】　(2023年甘肃省分类考试)求二次函数f(x)＝x2－1在区间[－2，3]上的取值范围． 例1 例2 例3 例4 例5 变1 变2 变3 变4 变5 例6 变6 解：二次函数f(x)＝x2－1的对称轴方程为x＝0， 所以函数的最小值为－1； 当x＝3时，函数的最大值为8. 故函数的值域为[－1，8]. 例7 变7 第页，共50页 3．4　二次函数和分段函数 典例解析 知识要点 典例解析 同步精练 【例7】　设函数f(x)＝ 求： (1)函数的定义域； (2)f(2)，f(0)，f[f(－1)]的值． 【点拨】　求分段函数的函数值f(x0)时，应先判断x0所在的自变量的取值范围，然后代入相应解析式进行计算． 例1 例2 例3 例4 例5 变1 变2 变3 变4 变5 例6 变6 例7 变7 第页，共50页 3．4　二次函数和分段函数 典例解析 知识要点 典例解析 同步精练 【解】　(1)依题意得函数的定义域为(－∞，0)∪[0，＋∞)＝R. (2)f(2)＝2×2－3＝1， f(0)＝2×0－3＝－3， f(－1)＝1－(－1)2＝0， f[f(－1)]＝f(0)＝－3. 例1 例2 例3 例4 例5 变1 变2 变3 变4 变5 例6 变6 例7 变7 第页，共50页 3．4　二次函数和分段函数 典例解析 知识要点 典例解析 同步精练 【变式训练7】　已知函数f(x)＝ 求： (1)函数的定义域； (2)f(0)，f(2)，f[f(2)]的值． 例1 例2 例3 例4 例5 变1 变2 变3 变4 变5 例6 变6 例7 变7 第页，共50页 3．4　二次函数和分段函数 典例解析 知识要点 典例解析 同步精练 解：(1)分段函数的定义域是各段取值范围的并集， 所以函数f(x)＝ 的定义域为R. (2)f(0)＝20＝1， f(2)＝－2×2＋1＝－3， f[f(2)]＝f(－3)＝－(－3)2－1＝－10. 例1 例2 例3 例4 例5 变1 变2 变3 变4 变5 例6 变6 例7 变7 第页，共50页 3．4　二次函数和分段函数 典例解析 知识要点 典例解析 同步精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 一、单项选择题 1．函数f(x)＝x2－2x＋3(　　) A．在(－∞，1)内是减函数 B．在(－∞，2)内是减函数 C．在(－∞，－1)内是减函数 D．在(－∞，－2)内是减函数 A 第页，共50页 3．4　二次函数和分段函数 同步精练 知识要点 典例解析 同步精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 2．若函数f(x)＝ 则f(x)的值域为(　　) A．(－∞，＋∞) B．[－3，3] C．[－8，－3] D．[－11，1] D 第页，共50页 3．4　二次函数和分段函数 同步精练 知识要点 典例解析 同步精练 3．如果函数f(x)＝x2－2bx＋c的对称轴方程为x＝2，那么下列各式正确的是(　　)     A．f(2)<f(1)<f(4)     B．f(2)<f(4)<f(1)     C．f(1)<f(2)<f(4)     D．f(4)<f(2)<f(1) A 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 第页，共50页 3．4　二次函数和分段函数 同步精练 知识要点 典例解析 同步精练 4．下列函数中，既是奇函数又在(0，＋∞)上是减函数的是 (　　)     A．f(x)＝3x     B．f(x)＝     C．f(x)＝－2x2     D．f(x)＝ x3－x B 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 第页，共50页 3．4　二次函数和分段函数 同步精练 知识要点 典例解析 同步精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 5．已知二次函数f(x)的图像经过点(－1，0)，(3，0)，其图像的顶点为(1，－4)，则f(x)的解析式为(　　)     A．f(x)＝－x2－2x－3     B．f(x)＝x2＋2x－3     C．f(x)＝－x2＋2x＋3     D．f(x)＝x2－2x－3 D 第页，共50页 3．4　二次函数和分段函数 同步精练 知识要点 典例解析 同步精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 6．设f(x)＝ 则f[f(－2)]等于(　　) A．0 B．1 C．2 D．－1 D 第页，共50页 3．4　二次函数和分段函数 同步精练 知识要点 典例解析 同步精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 二、填空题 7．若二次函数y＝ax2－(a－1)x＋a＋1的图像过原点，则函数的单调增区间为___________． (－∞，1) 第页，共50页 3．4　二次函数和分段函数 同步精练 知识要点 典例解析 同步精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 8．函数f(x)＝x2－2x＋4的减区间是____________，增区间是____________． [1，＋∞) (－∞，1] 第页，共50页 3．4　二次函数和分段函数 同步精练 知识要点 典例解析 同步精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 9．已知f(x)＝x2＋2(a－1)x＋3在(2，＋∞)上是增函数，则实数a的取值范围是_____________． [－1，＋∞) 第页，共50页 3．4　二次函数和分段函数 同步精练 知识要点 典例解析 同步精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 10．设函数f(x)＝ 则f(－4)＝________．若f(x0)＝ 8，则x0＝________． 18 第页，共50页 3．4　二次函数和分段函数 同步精练 知识要点 典例解析 同步精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 三、解答题 11．已知二次函数y＝x2－(m＋2)x＋4的图像与x轴有交点，求实数m的取值范围． 解：Δ＝(m＋2)2－16≥0， 解得m≤－6或m≥2. 故实数m的取值范围是(－∞，－6]∪[2，＋∞). 第页，共50页 3．4　二次函数和分段函数 同步精练 知识要点 典例解析 同步精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 12．已知二次函数f(x)＝ax2－(3a－1)x＋1在区间[－1，＋∞)上是增函数，求实数a的取值范围． 解：∵函数f(x)＝ax2－(3a－1)x＋1在区间[－1，＋∞)上是增函数， ∴a>0. ∵函数的对称轴方程为x＝ ， 由题意可知 ≤－1，解得0<a≤ ， 故实数a的取值范围为 . 第页，共50页 3．4　二次函数和分段函数 同步精练 知识要点 典例解析 同步精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 13．已知二次函数的图像经过(1，－3)，(0，－8)，(2，6)三点，求此二次函数的解析式． 解：设二次函数的解析式为y＝ax2＋bx＋c(a≠0)， 将三点(1，－3)，(0，－8)，(2，6)代入得 解得 故此二次函数的解析式为y＝2x2＋3x－8. 第页，共50页 3．4　二次函数和分段函数 同步精练 知识要点 典例解析 同步精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 14．已知二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)，当x＝－1时，ymax＝3，且图像过点(2，－15)，求此二次函数的解析式． 解：设y＝a(x＋1)2＋3(a≠0)， 将点(2，－15)代入，解得a＝－2， 故此二次函数的解析式为y＝－2x2－4x＋1. 第页，共50页 3．4　二次函数和分段函数 同步精练 知识要点 典例解析 同步精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 15．已知函数f(x)＝ 求： (1)函数f(x)的定义域； (2)f(－3)，f(3)，f[f(－2)]的值． 解：(1)∵(－∞，1]∪(1，7]＝(－∞，7]， ∴函数的定义域为(－∞，7]. (2)f(－3)＝17，f(3)＝0，f[f(－2)]＝－4. 第页，共50页 3．4　二次函数和分段函数 同步精练 知识要点 典例解析 同步精练 谢谢观看 $$