第02讲 三角恒等变换（高效培优讲义）（全国通用）2026年高考数学一轮复习高效培优系列

第02讲 三角恒等变换 目录 考情探究 2 知识梳理 3 探究核心考点 4 考点一 两角和差公式的直接应用 4 考点二 两角和差公式的逆用及变形 6 考点三 辅助角公式 8 考点四 二倍角公式的直接应用 12 考点五 二倍角公式的逆用及变形 15 考点六 半角公式和万能公式 17 考点七 积化和差和差化和积 20 考点八 三角恒等变换多选题 22 考点九 三角恒等变换的应用 25 三阶突破训练 30 基础过关 30 能力提升 35 真题感知 43 一、5年真题考点分布 5年考情 考题示例 考点分析 关联考点 2025年新Ⅱ卷，第8题,5分 两角和差公式、二倍角公式 无 2025年北京卷，第8题,5分 辅助角公式 三角函数的性质 2024年新Ⅱ卷，第13题,5分 两角和差公式 无 2024年甲卷，第9题,5分 两角和差公式 同角三角函数关系 2024年甲卷，第13题,5分 辅助角公式 三角函数的性质 2024年新I卷，第4题,5分 两角和差公式 同角三角函数关系 2023年新Ⅱ卷，第7题,5分 二倍角公式 无 2023年新I卷，第8题,5分 两角和差公式、二倍角公式 无 2023年新I卷，第6题,5分 两角和差公式 同角三角函数关系 二、命题规律及备考策略 【命题规律】本节内容是新高考卷的常考内容，设题稳定，难度中等，分值为5分 【备考策略】1.理解、掌握两角和差公式，并熟练运用 2.理解、掌握二倍角公式，会处理一倍角和二倍角的转化，也能理解降幂公式 3.理解、掌握辅助角公式，会把三角函数转化为的形式 4.理解和化积、积化和、万能公式 【命题预测】本节内容是新高考卷的必考内容，一般是对公式的各种变形，难度有所上升，结合其他知识点一起考核的概率有所上升。 1 两角和差的正弦，余弦与正切公式 ① 余弦两角和差公式 ②正弦两角和差公式 ③正切两角和差公式 2 辅助角公式 其中. 3 二倍角的正弦余弦正切公式 ① ② = = ③ 4 降幂公式 半角公式 万能公式 7积化和公式 8 和化积公式 考点一 两角和差公式的直接应用 典例1．（2025•深圳模拟）已知，则（　　） A． B． C．2 D．3 【答案】C 【分析】利用正弦的和差角公式以及弦化切化简即可求解． 【解答】解：由3可得：tanα＝2tanβ， 所以． 故选：C． 典例2．（2025·福建福州·模拟预测）已知，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】首先切化弦，然后用两角和与差的正弦公式进行求解即可得到答案. 【详解】因为，所以，化简得： . 因为，所以. 所以. 所以. 故选：D. 【总结】 1 要熟记公式，，； 2 对公式中的理解，它们可表示为一个数字、一个字母，甚至一个式子，在运用公式时要灵活。 跟踪训练1．（2025·广西柳州·模拟预测）已知，则（   ） A． B． C．2 D． 【答案】D 【分析】先应用两角和正切公式计算得出，再弦化切得出齐次式的值. 【详解】因为，所以， 所以，则. 故选：D. 跟踪训练2．（2025•广东模拟）已知，，则cos（α﹣β）＝（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由已知结合和差角公式即可求解． 【解答】解：因为，cosαcosβ﹣sinαsinβ＝cosαcosβ， 所以cosαcosβ， 则cos（α﹣β）＝cosαcosβ+sinαsinβ． 故选：D． 跟踪训练3．（2025·海南三亚·一模）已知，且，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用切化弦可得，进而求得，利用同角的平方关系求得，最后利用两角差的余弦公式求得即可. 【详解】由，得，所以， 所以，又，所以， 又，所以，又因为， 所以，所以， 所以，故A正确. 故选：A. 跟踪训练4．（2025•亳州二模）已知sin（x﹣y）＝cos（x+y），tan（x﹣y）＝3，则tanxtany＝（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据两角和差的正弦、余弦和正切公式，及同角三角函数关系化简求值即可． 【解答】解：根据题意可知cosxcosy≠0， 因为sin（x﹣y）＝cos（x+y）， 所以sinxcosy﹣cosxsiny＝cosxcosy﹣sinxsiny， 所以sinxcosy+sinxsiny＝cosxsiny+cosxcosy， 整理得sinx（cosy+siny）＝cosx（siny+cosy）， 得tanx（1+tany）＝tany+1，即tanx﹣tany＝1﹣tanxtany， 又因为tan（x﹣y）＝3， 所以，解得， 故选：B． 考点二 两角和差公式的逆用及变形 典例1．（2024·新疆·二模）设，且，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据同角的商数关系以及两角差的正弦公式，利用诱导公式即可得出结果. 【详解】由题设，所以， 因为，则，又因为，则， 又， 所以，解得． 故选：B 典例2．（2025·海南·模拟预测）若，且为锐角，为钝角，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先确定的范围，再根据同角三角函数的关系求得的值，利用，可求，最后根据，运用余弦差角公式求值即可. 【详解】由题意可知，， 所以，，得， 又，且，所以， . 故选：B． 【总结】 1 对两角和差公式的逆用，你先要明确公式中的、所指，式子只有两个角或看成两个角的式子； 2 在凑角的过程中，我们要掌握已知角和未知角之间是否存在某些线性关系，常见的有，，等等。 跟踪训练1．（2025•山海关区模拟）设，，且，则（　　） A． B． C．α+2β＝π D．2α+β＝π 【答案】D 【分析】由已知结合同角基本关系，和差角公式进行化简即可求解． 【解答】解：，，且， 则， 所以sin（α+β）＝sinα， 所以α+β+α＝2α+β＝π． 故选：D． 跟踪训练2．（2025•信阳一模）的值为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由同角的商数关系，两角和的正弦公式，降幂公式，化简求值即可． 【解答】解： ． 故选：A． 跟踪训练3．（2025•东莞市模拟）若cos（α﹣β），且α，β均为锐角，α＜β，则α+β＝（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用两角和差的余弦公式进行转化求解即可． 【解答】解：∵α+β＝2α﹣（α﹣β） ∴cos（α+β）＝cos[2α﹣（α﹣β）]＝cos2αcos（α﹣β）+sin2αsin（α﹣β）， ∵α，β均为锐角，α＜β， ∴0＜2α＜π，α﹣β＜0， 则sin2α， sin（α﹣β）， 则cos（α+β）， 则α+β， 故选：C． 跟踪训练4．（2025·江苏徐州·模拟预测）已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由，展开即可求解. 【详解】， ， 两式联立可得， 故选：A 考点三 辅助角公式 典例1．（2025·江苏宿迁·模拟预测）已知，则（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用辅助角公式得，又，利用二倍角的余弦公式即可求解. 【详解】由得， 又因为， 故选：B. 典例2．（2025·河北邢台·三模）已知函数的图象过点，将的图象向右平移个单位长度后，得到函数的图象，则的图象的对称轴为（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】B 【分析】根据题意先求，再利用三角恒等变换化简，最后由图像的变换得即可求解. 【详解】因为函数的图象过点，所以， 所以， 将其图象向右平移个单位长度得到的图象， 令，，解得，. 故选：B 典例3．（多选）（2025·四川·模拟预测）已知函数，则下列说法中正确的是（   ） A．的图象关于点对称 B．的图象关于直线对称 C．若，则的最小值为 D．若，则的最小值为 【答案】BC 【分析】利用二倍角公式、辅助角公式化简，由函数的性质可逐一可验证求解. 【详解】， 易知函数对称中心不在x轴上，故A错误； ，函数最大值也是3，故B正确； ，所以分别为函数最大值和最小值， ，故C正确； ， 即， 其中一中情况， 此时，的最小值为，故D错误； 故选：BC. 【总结】 1 辅助角公式,其中. 2 熟记两个特殊角的化简过程 型，配 型，配 3 遇到求解类似三角函数的性质，往往用辅助角公式把函数化简为的形式再分析。 跟踪训练1．（2025·河北保定·二模）已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】结合已知根据辅助角公式得，然后根据辅助角公式及二倍角余弦公式求解即可. 【详解】由，得，所以， 所以． 故选：B 跟踪训练2．（2025·四川广安·模拟预测）已知函数 为偶函数，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用辅助角公式化简函数，利用偶函数性质，可得，或，结合即可求解. 【详解】函数为偶函数，需满足. 将函数化简：. 由偶函数性质得： 即 利用正弦函数的性质，可得： （舍去，因为不恒成立）， 或 解得：，即 结合，得. 故选：B. 跟踪训练3．（2025·海南·模拟预测）在中，点为边上一点，已知，则角的大小为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由三点共线、辅助角公式可得，结合的范围即可求解. 【详解】因为在中，点为边上一点，已知， 所以，即， 而，所以，解得. 故选：A. 跟踪训练4．（2025·湖北武汉·模拟预测）已知函数的一条对称轴为，且，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先根据对称轴确定函数的解析式，再利用，借助正弦函数的最值求出的值，即可求出的最小值. 【详解】（其中）， 由题意知的一条对称轴为，所以， 即 ，所以 ， 解得，所以原式. 因为，即， 不妨令， 所以 ， ， 即 ， ， 所以. 所以当时，取到最小值. 故选：C 跟踪训练5．（2025·甘肃甘南·模拟预测）函数图象的一条对称轴为直线 ，且在上有且仅有三个零点，则实数的取值范围是 ． 【答案】 【分析】由三角恒等变换化简函数表达式，由函数对称轴可求得参数的值，从而可得，由在上有且仅有三个零点即可列关于的不等式组求解. 【详解】 . 函数图象的一条对称轴为直线 ， 解得 ． 当时，， 在上有且仅有三个零点，， 解得，即实数的取值范围是． 故答案为：. 考点四 二倍角公式的直接应用 典例1．（2025•开福区模拟）已知角α的终边在射线y＝﹣2x（x≤0）上，则（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由题意利用任意角的三角函数的定义可求tanα的值，利用二倍角公式，同角三角函数基本关系式可求得sin2α，cos2α的值，进而利用两角差的正弦公式可求的值． 【解答】解：因为角α的终边在射线y＝﹣2x（x≤0）上， 所以tanα＝﹣2，可得sin2α，cos2α， 则sin2αcoscos2αsin（）（）． 故选：A． 典例2．（2025·海南海口·模拟预测）若，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由正切化弦得到①，利用和角公式展开，得到②，联立解得，，再利用差角公式和二倍角公式即可求得. 【详解】由可得，即，①． 由，可得，② 联立①，②，解得，， 则， 故. 故选：D． 【总结】 1 要熟记公式，， ； 2 对公式中的理解，它们可表示为一个数字、一个字母，甚至一个式子，在运用公式时要灵活；比如，都可用二倍角公式，，，主要看所求角和已知角之间是否存在两倍的关系. 跟踪训练1．（2025•合肥模拟）若tanα＝2，则的值为（　　） A．1 B． C． D．﹣1 【答案】B 【分析】由二倍角公式可得，根据齐次式可得． 【解答】解：因为tanα＝2， 根据二倍角公式及同角基本关系可得，cos2α＝cos2α﹣sin2α，tan， 则． 故选：B． 跟踪训练2．（2025·山东德州·三模）已知，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用差角的正弦公式化简求出，再利用二倍角公式及齐次式法求解. 【详解】由得，， 整理得，即， 所以. 故选：D 跟踪训练3．（2025·山东泰安·模拟预测）若，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用二倍角公式对已知条件进行化解，结合齐次式可求，然后根据正切的二倍角公式可求. 【详解】 . 故选：C. 跟踪训练4．（2025·河北秦皇岛·模拟预测）已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由，利用两角差的正切公式先求，利用二倍角的正弦公式有，代入即可求解. 【详解】由题意有， 所以， 故选：D. 考点五 二倍角的逆用及变形 典例1．（2025•北碚区模拟）1551年奥地利数学家、天文学家雷蒂库斯在《三角学准则》中首次用直角三角形的边长之比定义正割，余割和余切．在某直角三角形中，一个锐角θ的斜边与邻边的比，叫做θ的正割，用secθ表示；其斜边与对边的比，叫做θ的余割，用cscθ表示；其邻边与对边的比，叫做θ的余切，用cotθ表示，则（　　） A．1 B．﹣1 C．2 D．﹣2 【答案】B 【分析】根据secθ、cscθ、cotθ的定义，先将分式转化为关于正弦与余弦的表达式，然后根据诱导公式、两角差的正弦公式与二倍角公式进行求解，即可得到本题的答案． 【解答】解：由题意得，，， 所以• ． 故选：B． 典例2．（2025·湖南邵阳·模拟预测）已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由，利用二倍角的余弦公式即可求解. 【详解】由， 故选：A. 【总结】 1 对二倍角公式的逆用，你先要明确公式中的所指； 2 在凑角的过程中，我们要掌握已知角和未知角之间是否存在某些线性关系，常见的有，，等等，若觉得在凑角上有困难，也可以采取换元法； 3 降幂公式可以达到降幂的效果。 跟踪训练1．（2020•白云区模拟）计算sin6°cos6°cos18°+sin18°（cos26°）的结果是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由已知利用二倍角公式，两角和的正弦函数公式及特殊角的三角函数值即可计算得解． 【解答】解：sin6°cos6°cos18°+sin18°（cos26°） sin12°cos18°+sin18°（） sin12°cos18°sin18°cos12° sin（12°+18°） sin30° ． 故选：B． 跟踪训练2．（2025•新余校级模拟）已知，则 　　 ． 【答案】 【分析】根据同角三角函数的基本关系与二倍角的正切公式，化简求得tanθ＝2，结合诱导公式及二倍角公式化简，可得关于tanθ的分式，进而代入数据求出答案． 【解答】解：由，可得•tan（θ）， 所以•tan（θ），可得tan（θ）•， 所以，化简得tanθ＝2（1﹣tanθ）2， 整理得2tan2θ﹣5tanθ+2＝0，解得或tanθ＝2， 因为，可得tanθ＝2，所以． 故答案为：． 跟踪训练3．（2025•商丘模拟）记，若，则实数a＝ 　 　 ． 【答案】8 【分析】根据给定条件，利用二倍角的正切公式裂项变换，再求和比对即可得解． 【解答】解：由，得， 所以， 若， ，即，所以a＝8． 故答案为：8． 考点六 半角公式和万能公式 典例1．（2025·甘肃兰州·模拟预测）若 ，且 ，则 等于（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由平方关系、半角公式即可求解. 【详解】因为 ，且 ， 所以 ， 又 ， 所以 ． 故选：D. 典例2．（2023·河北·模拟预测）若，则（    ） A． B． C． D．1 【答案】C 【分析】将用替换后，解方程解出即可. 【详解】因为， 可得， 可得， 解得，因为，所以， 所以， 所以. 故选：C. 【总结】 1 熟练掌握公式 半角公式 万能公式 2 理解公式是用二倍角公式推到得到的，对公式中的要有清晰的理解。 跟踪训练1．（2025·广西·模拟预测）已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先将两表达式结合诱导公式化简，再结合万能公式即可求解 【详解】， 故选：A 跟踪训练2．（2025·浙江宁波·模拟预测）已知为锐角，且，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由诱导公式，两角和的正弦公式变形求得，再求得，然后由半角公式计算． 【详解】， 是锐角，则， ， 故选：B． 跟踪训练3．（2025·江西新余·模拟预测）已知，则（   ） A． B． C．3 D． 【答案】A 【分析】根据两角和差的余弦可得，再由同角三角函数的基本关系式得，故可求，从而求得. 【详解】因为 ， 又因为，且，, 所以，故， 又由于，所以， 由于， 故选：A． 跟踪训练4．（2023·湖北·二模）已知，则（    ） A． B．－1 C． D． 【答案】C 【分析】应用诱导公式、商数关系可得，再由和角正切公式展开求得，最后由求值即可. 【详解】由， 所以，则， 所以，则，故， 由. 故选：C 考点七 积化和差和差化和积 典例1．（2025·湖南常德·一模）已知，则（    ） A． B．7 C． D． 【答案】C 【分析】先利用条件求出，然后可得答案. 【详解】因为，所以， 由和差化积公式可得， 因为，所以， 由， 可得，所以. 故选：C 典例2．（2025·湖南邵阳·模拟预测）函数在区间的零点个数为（    ） A．6 B．7 C．8 D．9 【答案】C 【分析】由，，令，求解的值，判断选项. 【详解】由，， 令，则，或， 故或，即或， 由，则或， 即或， 故或， 综上所述，存在个零点,即为. 故选：C. 【总结】 1 熟练掌握公式 积化和公式 和化积公式 2 理解公式是用两角和差公式推到得到的，对公式中的要有清晰的理解； 3 遇到一些多倍角时常用和化积公式和积化和公式。 跟踪训练1．（2025·吉林长春·一模）已知，是函数，的两个零点，则 ． 【答案】 【分析】利用和差化积公式得，再结合正弦函数性质即可得到答案. 【详解】根据和差化积公式得， 则令， 当时，因为，则，此时无解， 当 ，因为，则， 则或，解得或， 则. 故答案为：. 跟踪训练2．（2025·江西南昌·二模）已知、终边不重合，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由，代入已知等式，利用两角和、差的正弦、余弦公式化简得出的值，再利用二倍角的正切公式可求得的值. 【详解】因为，所以， 即 ， ， 所以，， 因为、的终边不重合，则，则， 所以，则，所以， 因此，. 故选：D. 跟踪训练3．（2025·江西·二模）已知函数，是偶函数，则的最大值为（    ） A． B． C．1 D． 【答案】B 【分析】利用偶函数定义化简解出得值，将得值代入，通过三角恒等式展开并化简，利用余弦函数的有界性求出最大值. 【详解】由是偶函数，得， 展开并整理得：， 根据二倍角公式得：， 整理得：，结合，得， 代入，，则 ， 利用积化和差公式： 化简得：， 当时，取得最大值. 故选：B 考点八 三角恒等变换多选题 典例1．（多选）（2025·浙江杭州·模拟预测）已知，则下列结论正确的是（       ） A． B． C． D． 【答案】BD 【分析】利用同角公式，两角和差公式，结合角的范围和变角思想：来求解即可. 【详解】由，，所以，即，故A错误； 由于，所以，则有， 即，故B正确； 因为，，所以， 又因为，所以，故C错误； 由 ， 因为，，所以， 则，故D正确； 故选：BD. 典例2．（多选）（2025·黑龙江辽宁·模拟预测）已知锐角满足，则（    ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【分析】根据二倍角的正余弦公式结合两角和的正弦公式化简，即可判断A；根据两角和的正切公式即可判断B；先求出，再根据两角差的正切公式求出，再根据同角三角函数的关系即可判断C；由C选项即可判断D. 【详解】对于A，由， 得，即， 所以， 所以， 所以或（舍去），故A正确； 对于B，由， 得， 即， 所以，故B正确； 对于C，由A选项得， 所以， 即，又， 所以（舍去），故C错误； 对于D，由C选项知，，故D正确. 故选：ABD. 跟踪训练1．（多选）（2025·湖南长沙·二模）已知，，则下列各式正确的有（    ） A． B． C． D． 【答案】AD 【分析】利用已知和的关系，利用二倍角公式计算逐项判断得出答案. 【详解】A项：由已知：，因此，故A项正确； B项：因为，且，所以，因此．又因为，因此，故B项错误； C项：，故C项错误； D项：由方程组，解得于是，故D项正确． 故选：AD. 跟踪训练2．（多选）（2025·山东聊城·三模）已知，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】BC 【分析】根据两角和差公式计算求解判断A，B，结合同角三角函数关系判断C，应用二倍角正弦公式计算判断D. 【详解】A选项，已知，， 则，A错误； B选项，，B正确； C选项，，所以，C正确； D选项， ，D错误； 故选：BC. 跟踪训练3．（多选）（2025·湖北宜昌·二模）已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【分析】由余弦的和差角公式可判断AB，由正切与正余弦关系可判断C，由和化积公式可判断D. 【详解】由，且， 则，故A正确； 由，故B错误； 由，故C正确； 由，故D正确. 故选：ACD. 考点九 三角恒等变换的应用 典例1．（2025•河西区校级模拟）已知函数，则（　　） A．要得到f（x）的图象，只需将y＝sin2x的图象向右平移个单位 B．f（x）的图象关于点对称 C．f（x）在区间上单调递减 D．若x1≠x2，且f（x1）＝f（x2）＝﹣2，则|x1﹣x2|的最小值为 【答案】C 【分析】利用辅助角公式计算可得，再由平移规则计算可得A错误，利用代入验证法检验可得B错误，结合整体代换并利用正弦函数性质可得C正确，由函数周期性可判断D错误． 【解答】解：f（x）＝2（sin2xcos2x）＝2sin（2x）， 对于A，将y＝sin2x的图象向右平移个单位可以得到f（x）即A错误； 对于B，，即B错误； 对于C，⇒2x∈（，）⊆[，]， 由正弦函数图象性质可得f（x）在区间上单调递减，即C正确； 对于D，若x1≠x2，且f（x1）＝f（x2）＝﹣2取得最小值， 则|x1﹣x2|的最小值为一个周期长度，即，即D错误． 故选：C． 典例2．（2025•北京模拟）设函数． （1）若，求φ的值． （2）已知f（x）在区间上单调递增，，再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使函数f（x）存在，求ω，φ的值． 条件①：； 条件②：； 条件③：f（x）在区间上单调递减． 注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分． 【分析】（1）把x＝0代入f（x）的解析式求出sinφ，再由即可求出φ的值； （2）若选条件①不合题意；若选条件②，先把f（x）的解析式化简，根据f（x）在上的单调性及函数的最值可求出T，从而求出ω的值；把ω的值代入f（x）的解析式，由和即可求出φ的值；若选条件③：由f（x）的单调性可知f（x）在处取得最小值﹣1，则与条件②所给的条件一样，解法与条件②相同． 【解答】解：（1）因为， 所以， 因为，所以； （2）因为， 所以， 所以f（x）的最大值为1，最小值为﹣1； 若选条件①：因为f（x）＝sin（ωx+φ）的最大值为1，最小值为﹣1，所以无解， 故条件①不能使函数f（x）存在； 若选条件②：因为f（x）在上单调递增，且，， 所以，所以T＝2π，， 所以f（x）＝sin（x+φ）， 又因为，所以， 所以， 所以，因为，所以， 所以ω＝1，； 若选条件③：因为f（x）在上单调递增，在上单调递减， 所以f（x）在处取得最小值﹣1，即． 所以，所以T＝2π，， 所以f（x）＝sin（x+φ）， 又因为，所以， 所以， 所以，因为，所以， 所以ω＝1，． 【总结】 遇到求解类似三角函数的性质，往往用辅助角公式把函数化简为的形式再分析。 跟踪训练1．（2025•河南模拟）已知函数f（x）＝sin2x+acos2x满足恒成立，则当时，曲线y＝f（x）与y＝sinx的交点个数为（　　） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】B 【分析】先根据函数f（x）的对称性，确定a的值，利用辅助角公式把函数f（x）化成的形式，再利用数形结合法，观察曲线y＝f（x）与y＝sinx在的交点个数． 【解答】解：因为恒成立，所以为f（x）的一条对称轴， 那么，所以，即a， 则， 由图可知，曲线y＝f（x）与y＝sinx的交点个数为4． 故选：B． 跟踪训练2．（2025•北海四模）密位制是一种用于测量角度的单位系统，尤其在军事领域中被广泛使用．例如：狙击手在调整射击角度时，可以使用密位制来精确计算目标的距离和角度．密位制的基本原理是将一个圆周分为6000等份，每一份称为1密位．将函数的图象向左平移φ（φ＞0）个单位，所得图象关于y轴对称，则φ最小值的密位数为　　 ． 【答案】 【分析】化f（x）为正弦型函数，根据函数图象平移得出函数的解析式，利用函数图象关于y轴对称，即可求出φ的最小值． 【解答】解：函数 sin2x sin2xcos2x ＝sin（2x）， 由f（x）的图象向左平移φ（φ＞0）个单位，所得图象关于y轴对称， 则2φkπ，k∈Z； 解得φ，k∈Z； 由φ＞0，所以φ的最小值为． 故答案为：． 跟踪训练3．（2025•浑南区校级模拟）若函数f（x）的定义域内存在x1，x2（x1≠x2），使得成立，则称该函数为“完整函数”．已知是上的“完整函数”，则ω的取值范围为（　　） A．[3，4） B．[3，+∞） C．[2，4） D．[4，+∞） 【答案】B 【分析】根据三角恒等变换可知f（x）＝sinωx，再由三角函数值域以及“完整函数”定义将问题转化为f（x）在上至少存在两个最大值点，结合正弦函数图象性质得出不等式即可得解得ω的取值范围． 【解答】解：由题意可得： ， 即f（x）＝sinωx是上的“完整函数”，所以存在，使得成立； 即存在，使得f（x1）+f（x2）＝2成立； 又因为f（x）max＝1，因此f（x1）＝f（x2）＝1，‘ 即f（x）＝sinωx在上至少存在两个最大值点， 所以，解得ω≥2； 当，即ω≥4时，一定满足题意； 若2≤ω＜4，因为，ω＞0，所以， 又易知； 所以只需保证即可，解得3≤ω＜4， 综上可知ω≥3． 故选：B． 跟踪训练4．（2025•汕头二模）已知函数f（x）＝sinkx•sinkx+coskx•coskx﹣cosk2x，其中k∈N*． （1）当 k＝1时，求方程的解集； （2）若f（x）是偶函数，当k取最小值时，求函数的取值范围； （3）若f（x）是常数函数，求k的值． 【分析】（1）把k＝1代入函数解析式，对其化简，结合特殊角的三角函数值即可求解； （2）结合偶函数定义求出k的最小值，进而可求g（x），然后利用换元法，结合二次函数及正弦函数的性质即可求解； （3）结合题意可知，若f（x）为常函数，则f（x）＝0，结合k的取值进行分类讨论即可求解． 【解答】解：（1）当k＝1时，f（x）＝sinx•sinx+cosx•cosx﹣cos2x＝1﹣cos2x， 由得解得k∈Z， 故所求方程的解集为； （2）f（x）的定义域为R，由f（x）是偶函数得：∀x∈R，f（﹣x）＝f（x）， 即sin（﹣kx）•sink（﹣x）+cos（﹣kx）•cosk（﹣x）﹣cosk（﹣2x）＝sinkx•sinkx+coskx•coskx﹣cosk2x， 所以﹣sinkx•（﹣1）ksinkx+coskx•coskx﹣cosk2x＝sinkx•sinkx+coskx•coskx﹣cosk2x， 从而sinkx•sinkx[1+（﹣1）k]＝0，进而1+（﹣1）k＝0，所以k为正奇数， 当k取最小值，即k＝1时，，， 令，则2sinxcosx＝t2﹣1，且t≠±1， 所以函数g（x）的值域即y＝t2+t﹣1的值域， 当且t≠±1时，根据二次函数的性质可得，y且y≠1， 即g（x）的值域为； （3）因为∀k∈N*，f（0）＝0，所以若f（x）是常数函数，则f（x）＝0， ①当k＝1时，由（1）知，f（x）不是常数函数； ②当k＝2时，f（x）＝sin2x•sin2x+cos2x•cos2x﹣cos22x，此时，，f（x）不是常数函数； 当k＝3时，f（x）＝sin3x•sin3x+cos3x•cos3x﹣cos32x ＝（sin2xcosxsin3x+cos2xsin4x）+（cos2xcos4x﹣sin2xsinxcos3x）﹣cos32x ＝（sin2xcosxsin3x﹣sin2xsinxcos3x）+（cos2xsin4x+cos2xcos4x）﹣cos32x cos2x（1﹣sin22x）﹣cos32x＝cos32x﹣cos32x＝0， 所以，f（x）是常数函数； 当k≥4时，，f（x）不是常数函数； 综上述：k＝3． 1（2025·云南昭通·模拟预测）已知角的终边经过点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由任意角的三角函数的定义结合和角公式求解即可. 【详解】因为角的终边经过点，则，. 所以 . 故选：B 2（2025·四川巴中·二模）已知，则等于（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由条件结合同角关系可求，再由两角差余弦公式求结论. 【详解】因为，，所以， 因为，，所以， 所以， 故选：B. 3（2025·云南·模拟预测）下列选项中，值为的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】应用二倍角公式、和角公式及特殊角的三角函数值，把各项表达式转化为特殊角的三角函数值，判断结果. 【详解】A、利用二倍角公式， 可得：，A错误. B、利用余弦和角公式， 得：因此原式为：，B错误. C、利用正切和角公式，令， 则，C正确. D、利用递推积化和差公式，结合，得：. D错误. 故选：C. 4（2025·山西·模拟预测）若，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由同角三角函数的商数关系得到，由及两角和的余弦公式得到，由二倍角公式求得. 【详解】由得， 由， 得， ， 所以， 故选：A. 5（2025·吉林长春·模拟预测）已知，则的值是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据诱导公式及二倍角公式化简求值. 【详解】因为， 所以 . 故选：D. 6（2025·河北邢台·二模）已知，，且，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用辅助角公式和诱导公式可得，结合角的范围，可得，可求解. 【详解】因为， ，， 所以，，所以，则． 故选：D． 7（2025·河北秦皇岛·模拟预测）已知，则（   ） A．1 B．2 C．或2 D．1或2 【答案】D 【分析】根据诱导公式和二倍角公式将已知化简得，然后同除得，求解即可. 【详解】因为，所以， 所以， 即， 所以，即，解得1或2. 故选：D 8（2025·甘肃·模拟预测）函数的最小正周期为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】结合二倍角公式及辅助角公式化简，进而结合正弦型函数的周期公式求解即可. 【详解】由， 则函数的最小正周期. 故选：B. 9（2025·江苏镇江·模拟预测）已知函数，若集合恰有3个元素，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用辅助角公式化简解析式，解三角方程可得前四个正数解，再根据集合有三个元素列不等式求解即可. 【详解】 令，得， 则或， 解得①或②， ①②中，分别取，因为，从小到大排列得， 因为集合恰有3个元素， 所以需满足：，解得：. 故选：D. 10（多选）（2025·甘肃白银·三模）已知为锐角，若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】AC 【分析】由同角三角函数的关系，正、余弦二倍角公式及弦化切逐个判断即可. 【详解】因为，所以，选项A正确； ，选项B错误； ，选项C正确； 由，易得， 所以，选项D错误． 故选：AC． 11（多选）（2025·浙江·三模）已知为锐角，若，则下列说法正确的有（   ） A．的终边经过点 B． C． D．若，则 【答案】ACD 【分析】对于A，由二倍角正切公式结合可得，结合为锐角可判断选项正误；对于B，由A可得，然后由诱导公式可判断选项正误；由B结合二倍角余弦公式可得答案；对于D，由两角差的正切公式可判断选项正误. 【详解】对于A，，又为锐角， 则，则， 则的终边经过点，取，则的终边经过点，故A正确； 对于B，因，又为锐角，则， 则，则，故B错误； 对于C，，又， 则，则，故C正确； 对于D，，故D正确. 故选：ACD. 12（多选）（2025·贵州贵阳·模拟预测）已知函数，则（   ） A．是的一个周期 B．在区间上单调递减 C．是奇函数 D．在区间上恰有2个极值点 【答案】AD 【分析】对于A，化简函数表达式，结合周期公式验算即可；对于B，由复合函数单调性即可判断；对于C，化简函数表达式，结合三角函数奇偶性即可判断；对于D，由三角函数性质以及极值点的概念即可判断. 【详解】对于A，由题知，，所以最小正周期，是的一个周期，故A正确； 对于B，当时，，令，则作区间上单调递减，在区间上单调递增，故B错误； 对于C，为偶函数，故C错误； 对于D，当时，，令，则在区间上恰有两个极值点，故D正确. 故选：AD． 1（2025·安徽合肥·模拟预测）已知为锐角，，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由同角三角函数的基本关系结合角的范围求出，再由角的变换及两角和的正余弦公式求解即可. 【详解】已知为锐角，， 根据，可算出， 因为为锐角，且， 又， ， ， 所以． 故选：C． 2（2025·辽宁鞍山·模拟预测）已知，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用变角化，然后再用正弦的两角和差公式，结合平方关系即可求值. 【详解】 , 故选：A. 3（2025·山东青岛·模拟预测）已知函数，，且，则当时，的值域为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由题及积化和差公式可得，然后由， 可得，最后由正弦函数单调性可得值域. 【详解】， 由和差化积公式可得：. 因，则，因，则， 则，又，则. 则. 注意到时，， 在上单调递增，在上单调递减， 又， 则，即的值域为. 故选：C 4（2025·河北·模拟预测）设函数在区间恰有三个极值点、两个零点，则正实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先利用倍角公式以及辅助角公式化简，再求出，结合正弦函数图象即可得出. 【详解】， 又，，所以， 又，的图象如下图所示： 要使函数在区间恰有三个极值点、两个零点， 即使得在区间恰有三个极值点、两个零点， 则，解得. 则正实数的取值范围是. 故选：C. 5（2025·全国·模拟预测）将一个圆20等分，每份圆弧所对的圆心角为，则（    ） A．8 B． C． D．9 【答案】D 【分析】方法一：本题中将圆20等分，则，利用二倍角公式可得，利用周期性及诱导公式、再分组求和的方法即可求解；方法二：利用二倍角公式，再利用积化和差公式及诱导公式可得，即可求解. 【详解】方法一：由题知， 则， 又函数的最小正周期为10， 所以，由， 得 ， 所以，所以. 故选：D. 方法二： 由题意知，则， 而 ， 则. 故选：D. 6（多选）（2025·福建福州·模拟预测）在平面直角坐标系中，点是曲线上的动点，点坐标为，射线从轴的非负半轴开始，绕点按逆时针方向旋转角，终止位置为．定义：，则（   ） A． B． C． D． 【答案】ABC 【分析】先求出直线与曲线的交点坐标，再结合各选项一一计算即可得出答案. 【详解】对于A，当时，射线从轴的非负半轴开始，绕点按逆时针方向旋转角， 直线为，此时曲线与的交点为， 所以，，故A正确. 对于B，射线从轴的非负半轴开始，绕点按逆时针方向旋转角， 此时，， 射线旋转后，此时， ， 所以，故B正确； 对于C，当时，，①， 当时，曲线为②， 将①代入②可得：，所以， 所以， 要证明，即证明， 即证明：， 因为当时，， 所以，故C正确. 对于D，当，此时， ③， 当时，曲线为②， 把③代入②可得：，所以， 所以， 当时，此时，④， 当时，曲线为②， 把④代入②可得：，所以， 所以， 要证，即证， 因为，所以， 即证：， 取，， 因为，所以D错误. 故选：ABC. 7（多选）（2025·福建福州·模拟预测）自元朝以来，穹顶便广泛应用于中国建筑中．作为“北京十六景”之一的地标性建筑，国家大剧院也采纳了穹顶设计，如图．初步设计穹顶建模的步骤大致为：（I）将半径为1的圆（圆心为）沿直径分为两部分，得到半圆弧；（II）保留其中一个半圆弧，将其等分，从端点出发依次连接各个等分点至另一个端点，得到折线；（III）将折线绕所在直线旋转，得到旋转体；（IV）不断调整值至合适，选取需要的旋转体部分并进行再调整．设（III）中所得旋转体的表面积为，的正弦值为，则（   ） A． B． C．当时， D． 【答案】ACD 【分析】从上到下研究各个旋转体的底面半径，得到其侧面积，进而求得旋转体的表面积，利用三角函数公式化简后，逐项验证判定即可. 【详解】由题意可知，所得旋转体由上下两圆锥与中间若干圆台组成． 以为例，分析“初步设计穹顶建模的步骤”： 取的中点，则，由题意可知，． 在中，， 则各圆锥与圆台的母线长， 连接，同理可得，，． 设自上而下各底面圆半径依次为， 则，同理可得，， 所以， 故所得旋转体的表面积 , 所以，，,故B错误； 显然随着增大，减小，且当，， 又， 所以，又，， 化简得，故A正确； 当，，，要判断是否成立， 即判断是否成立， 该式可化为， 进一步变形为， 显然，，， 令，则， 令，则， 所以在上恒成立， 即在上单调递减． 又，所以在上恒成立， 故在上单调递减． 又，所以， 即，所以,故C正确； ． 令，则． 令，则恒成立，所以为增函数， 又，所以在恒成立，即在成立． 因此，因此，故D正确． 故选：ACD 【点睛】难点点睛：由两角和差余弦公式，得到,从而得到 ，达到裂项相消求和化简的目的，是本体解答中的关键一步；一般的，当角的数列是等差数列时，求的前项和，可以乘上其公差的一半的正弦，进而得到列项求和化简的目的.判断是否成立，化为弧度制后，进行转化为判断函数在上的单调性是第二个关键；第三个关键难点是要判断与的大小关系，即比较与的大小，三角函数难以与其他数直接比较，利用导数证明在成立，我们通过简单放缩使其更便于我们判断． 8（2025·江苏泰州·模拟预测）已知锐角，满足，则的最小值为 . 【答案】/ 【分析】根据两角和的余弦公式及弦切互化得，从而利用二倍角的正弦公式和余弦公式化简得，最后根据为锐角及正弦函数的性质求得最小值. 【详解】因为，所以， 所以， 因为为锐角，所以两边同除得， 所以. 因为为锐角，所以当时，有最大值为1，此时取到最小值为. 故答案为： 9（2023·山东·模拟预测）已知内角分别为，且满足，则的最小值为 . 【答案】16 【分析】由三角形内角和性质、诱导公式、和差角正弦公式可得，进而有，结合，将目标式化为，应用基本不等式求最小值即可. 【详解】由题设， 所以， 所以，即， 又，， 则 ， 当且仅当时取等号， 所以的最小值为. 故答案为： 【点睛】关键点点睛：应用三角恒等变换将条件化为，再应用万能公式用正切表示正弦为关键. 1（2025·全国二卷·高考真题）已知，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用二倍角余弦公式得，则，最后再根据两角差的正弦公式即可得到答案. 【详解】， 因为，则，则， 则. 故选：D. 2（2023·新课标Ⅱ卷·高考真题）已知为锐角，，则（    ）． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据二倍角公式（或者半角公式）即可求出． 【详解】因为，而为锐角， 解得： ． 故选：D． 3（2024·新课标Ⅰ卷·高考真题）已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据两角和的余弦可求的关系，结合的值可求前者，故可求的值. 【详解】因为，所以， 而，所以， 故即， 从而，故， 故选：A. 4（2024·全国甲卷·高考真题）已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先将弦化切求得，再根据两角和的正切公式即可求解. 【详解】因为， 所以，， 所以， 故选：B. 5（2025·北京·高考真题）设函数，若恒成立，且在上存在零点，则的最小值为（   ） A．8 B．6 C．4 D．3 【答案】C 【分析】由辅助角公式化简函数解析式，再由正弦函数的最小正周期与零点即可求解. 【详解】函数， 设函数的最小正周期为T，由可得， 所以，即； 又函数在上存在零点，且当时，， 所以，即； 综上，的最小值为4. 故选：C. 6（2023·新课标Ⅰ卷·高考真题）已知，则（    ）． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据给定条件，利用和角、差角的正弦公式求出，再利用二倍角的余弦公式计算作答. 【详解】因为，而，因此， 则， 所以. 故选：B 【点睛】方法点睛：三角函数求值的类型及方法 （1）“给角求值”：一般所给出的角都是非特殊角，从表面来看较难，但非特殊角与特殊角总有一定关系．解题时，要利用观察得到的关系，结合三角函数公式转化为特殊角的三角函数． （2）“给值求值”：给出某些角的三角函数值，求另外一些角的三角函数值，解题关键在于“变角”，使其角相同或具有某种关系． （3）“给值求角”：实质上也转化为“给值求值”，关键也是变角，把所求角用含已知角的式子表示，由所得的函数值结合该函数的单调区间求得角，有时要压缩角的取值范围． 7（2023·新课标Ⅰ卷·高考真题）过点与圆相切的两条直线的夹角为，则（    ） A．1 B． C． D． 【答案】B 【分析】方法一：根据切线的性质求切线长，结合倍角公式运算求解；方法二：根据切线的性质求切线长，结合余弦定理运算求解；方法三：根据切线结合点到直线的距离公式可得，利用韦达定理结合夹角公式运算求解. 【详解】方法一：因为，即，可得圆心，半径， 过点作圆C的切线，切点为， 因为，则， 可得， 则， ， 即为钝角， 所以； 法二：圆的圆心，半径， 过点作圆C的切线，切点为，连接， 可得，则， 因为 且，则， 即，解得， 即为钝角，则， 且为锐角，所以； 方法三：圆的圆心，半径， 若切线斜率不存在，则切线方程为，则圆心到切点的距离，不合题意； 若切线斜率存在，设切线方程为，即， 则，整理得，且 设两切线斜率分别为，则， 可得， 所以，即，可得， 则， 且，则，解得. 故选：B.      8（2024·全国甲卷·高考真题）函数在上的最大值是 ． 【答案】2 【分析】结合辅助角公式化简成正弦型函数，再求给定区间最值即可. 【详解】，当时，， 当时，即时，. 故答案为：2 9（2024·新课标Ⅱ卷·高考真题）已知为第一象限角，为第三象限角，，，则 . 【答案】 【分析】法一：根据两角和与差的正切公式得，再缩小的范围，最后结合同角的平方和关系即可得到答案；法二：利用弦化切的方法即可得到答案. 【详解】法一：由题意得， 因为，， 则，， 又因为， 则，，则， 则，联立 ，解得. 法二： 因为为第一象限角，为第三象限角，则, ，， 则 故答案为：. 2 / 25 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第02讲 三角恒等变换 目录 考情探究 2 知识梳理 3 探究核心考点 4 考点一 两角和差公式的直接应用 4 考点二 两角和差公式的逆用及变形 5 考点三 辅助角公式 6 考点四 二倍角公式的直接应用 8 考点五 二倍角公式的逆用及变形 9 考点六 半角公式和万能公式 10 考点七 积化和差和差化和积 11 考点八 三角恒等变换多选题 12 考点九 三角恒等变换的应用 13 三阶突破训练 16 基础过关 16 能力提升 17 真题感知 18 一、5年真题考点分布 5年考情 考题示例 考点分析 关联考点 2025年新Ⅱ卷，第8题,5分 两角和差公式、二倍角公式 无 2025年北京卷，第8题,5分 辅助角公式 三角函数的性质 2024年新Ⅱ卷，第13题,5分 两角和差公式 无 2024年甲卷，第9题,5分 两角和差公式 同角三角函数关系 2024年甲卷，第13题,5分 辅助角公式 三角函数的性质 2024年新I卷，第4题,5分 两角和差公式 同角三角函数关系 2023年新Ⅱ卷，第7题,5分 二倍角公式 无 2023年新I卷，第8题,5分 两角和差公式、二倍角公式 无 2023年新I卷，第6题,5分 两角和差公式 同角三角函数关系 二、命题规律及备考策略 【命题规律】本节内容是新高考卷的常考内容，设题稳定，难度中等，分值为5分 【备考策略】1.理解、掌握两角和差公式，并熟练运用 2.理解、掌握二倍角公式，会处理一倍角和二倍角的转化，也能理解降幂公式 3.理解、掌握辅助角公式，会把三角函数转化为的形式 4.理解和化积、积化和、万能公式 【命题预测】本节内容是新高考卷的必考内容，一般是对公式的各种变形，难度有所上升，结合其他知识点一起考核的概率有所上升。 1 两角和差的正弦，余弦与正切公式 ① 余弦两角和差公式 ②正弦两角和差公式 ③正切两角和差公式 2 辅助角公式 其中. 3 二倍角的正弦余弦正切公式 ① ② = = ③ 4 降幂公式 半角公式 万能公式 7积化和公式 8 和化积公式 考点一 两角和差公式的直接应用 典例1．（2025•深圳模拟）已知，则（　　） A． B． C．2 D．3 典例2．（2025·福建福州·模拟预测）已知，，则（   ） A． B． C． D． 【总结】 1 要熟记公式，，； 2 对公式中的理解，它们可表示为一个数字、一个字母，甚至一个式子，在运用公式时要灵活。 跟踪训练1．（2025·广西柳州·模拟预测）已知，则（   ） A． B． C．2 D． 跟踪训练2．（2025•广东模拟）已知，，则cos（α﹣β）＝（　　） A． B． C． D． 跟踪训练3．（2025·海南三亚·一模）已知，且，，则（    ） A． B． C． D． 跟踪训练4．（2025•亳州二模）已知sin（x﹣y）＝cos（x+y），tan（x﹣y）＝3，则tanxtany＝（　　） A． B． C． D． 考点二 两角和差公式的逆用及变形 典例1．（2024·新疆·二模）设，且，则（   ） A． B． C． D． 典例2．（2025·海南·模拟预测）若，且为锐角，为钝角，则（   ） A． B． C． D． 【总结】 1 对两角和差公式的逆用，你先要明确公式中的、所指，式子只有两个角或看成两个角的式子； 2 在凑角的过程中，我们要掌握已知角和未知角之间是否存在某些线性关系，常见的有，，等等。 跟踪训练1．（2025•山海关区模拟）设，，且，则（　　） A． B． C．α+2β＝π D．2α+β＝π 跟踪训练2．（2025•信阳一模）的值为（　　） A． B． C． D． 跟踪训练3．（2025•东莞市模拟）若cos（α﹣β），且α，β均为锐角，α＜β，则α+β＝ A． B． C． D． 跟踪训练4．（2025·江苏徐州·模拟预测）已知，则（    ） A． B． C． D． 考点三 辅助角公式 典例1．（2025·江苏宿迁·模拟预测）已知，则（ ） A． B． C． D． 典例2．（2025·河北邢台·三模）已知函数的图象过点，将的图象向右平移个单位长度后，得到函数的图象，则的图象的对称轴为（    ） A．， B．， C．， D．， 典例3．（多选）（2025·四川·模拟预测）已知函数，则下列说法中正确的是（   ） A．的图象关于点对称 B．的图象关于直线对称 C．若，则的最小值为 D．若，则的最小值为 【总结】 1 辅助角公式,其中. 2 熟记两个特殊角的化简过程 型，配 型，配 3 遇到求解类似三角函数的性质，往往用辅助角公式把函数化简为的形式再分析。 跟踪训练1．（2025·河北保定·二模）已知，则（    ） A． B． C． D． 跟踪训练2．（2025·四川广安·模拟预测）已知函数 为偶函数，则的值为（   ） A． B． C． D． 跟踪训练3．（2025·海南·模拟预测）在中，点为边上一点，已知，则角的大小为（   ） A． B． C． D． 跟踪训练4．（2025·湖北武汉·模拟预测）已知函数的一条对称轴为，且，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 跟踪训练5．（2025·甘肃甘南·模拟预测）函数图象的一条对称轴为直线 ，且在上有且仅有三个零点，则实数的取值范围是 ． 考点四 二倍角公式的直接应用 典例1．（2025•开福区模拟）已知角α的终边在射线y＝﹣2x（x≤0）上，则（　　） A． B． C． D． 典例2．（2025·海南海口·模拟预测）若，，则（    ） A． B． C． D． 【总结】 1 要熟记公式，， ； 2 对公式中的理解，它们可表示为一个数字、一个字母，甚至一个式子，在运用公式时要灵活；比如，都可用二倍角公式，，，主要看所求角和已知角之间是否存在两倍的关系. 跟踪训练1．（2025•合肥模拟）若tanα＝2，则的值为（　　） A．1 B． C． D．﹣1 跟踪训练2．（2025·山东德州·三模）已知，则（   ） A． B． C． D． 跟踪训练3．（2025·山东泰安·模拟预测）若，且，则（    ） A． B． C． D． 跟踪训练4．（2025·河北秦皇岛·模拟预测）已知，则（    ） A． B． C． D． 考点五 二倍角的逆用及变形 典例1．（2025•北碚区模拟）1551年奥地利数学家、天文学家雷蒂库斯在《三角学准则》中首次用直角三角形的边长之比定义正割，余割和余切．在某直角三角形中，一个锐角θ的斜边与邻边的比，叫做θ的正割，用secθ表示；其斜边与对边的比，叫做θ的余割，用cscθ表示；其邻边与对边的比，叫做θ的余切，用cotθ表示，则（　　） A．1 B．﹣1 C．2 D．﹣2 典例2．（2025·湖南邵阳·模拟预测）已知，则（    ） A． B． C． D． 【总结】 1 对二倍角公式的逆用，你先要明确公式中的所指； 2 在凑角的过程中，我们要掌握已知角和未知角之间是否存在某些线性关系，常见的有，，等等，若觉得在凑角上有困难，也可以采取换元法； 3 降幂公式可以达到降幂的效果。 跟踪训练1．（2020•白云区模拟）计算sin6°cos6°cos18°+sin18°（cos26°）的结果是（　　） A． B． C． D． 跟踪训练2．（2025•新余模拟）已知，则 　　 ． 跟踪训练3．（2025•商丘模拟）记，若，则实数a＝ 　 　 ． 考点六 半角公式和万能公式 典例1．（2025·甘肃兰州·模拟预测）若 ，且 ，则 等于（    ） A． B． C． D． 典例2．（2023·河北·模拟预测）若，则（    ） A． B． C． D．1 【总结】 1 熟练掌握公式 半角公式 万能公式 2 理解公式是用二倍角公式推到得到的，对公式中的要有清晰的理解。 跟踪训练1．（2025·广西·模拟预测）已知，则（    ） A． B． C． D． 跟踪训练2．（2025·浙江宁波·模拟预测）已知为锐角，且，则（   ） A． B． C． D． 跟踪训练3．（2025·江西新余·模拟预测）已知，则（   ） A． B． C．3 D． 跟踪训练4．（2023·湖北·二模）已知，则（    ） A． B．－1 C． D． 考点七 积化和差和差化和积 典例1．（2025·湖南常德·一模）已知，则（    ） A． B．7 C． D． 典例2．（2025·湖南邵阳·模拟预测）函数在区间的零点个数为（    ） A．6 B．7 C．8 D．9 【总结】 1 熟练掌握公式 积化和公式 和化积公式 2 理解公式是用两角和差公式推到得到的，对公式中的要有清晰的理解； 3 遇到一些多倍角时常用和化积公式和积化和公式。 跟踪训练1．（2025·吉林长春·一模）已知，是函数，的两个零点，则 ． 跟踪训练2．（2025·江西南昌·二模）已知、终边不重合，，则（    ） A． B． C． D． 跟踪训练3．（2025·江西·二模）已知函数，是偶函数，则的最大值为（    ） A． B． C．1 D． 考点八 三角恒等变换多选题 典例1．（多选）（2025·浙江杭州·模拟预测）已知，则下列结论正确的是（       ） A． B． C． D． 典例2．（多选）（2025·黑龙江辽宁·模拟预测）已知锐角满足，则（    ） A． B． C． D． 跟踪训练1．（多选）（2025·湖南长沙·二模）已知，，则下列各式正确的有（    ） A． B． C． D． 跟踪训练2．（多选）（2025·山东聊城·三模）已知，，则（    ） A． B． C． D． 跟踪训练3．（多选）（2025·湖北宜昌·二模）已知，则（    ） A． B． C． D． 考点九 三角恒等变换的应用 典例1．（2025•河西区校级模拟）已知函数，则（　　） A．要得到f（x）的图象，只需将y＝sin2x的图象向右平移个单位 B．f（x）的图象关于点对称 C．f（x）在区间上单调递减 D．若x1≠x2，且f（x1）＝f（x2）＝﹣2，则|x1﹣x2|的最小值为 典例2．（2025•北京模拟）设函数． （1）若，求φ的值． （2）已知f（x）在区间上单调递增，，再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使函数f（x）存在，求ω，φ的值． 条件①：； 条件②：； 条件③：f（x）在区间上单调递减． 注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分． 【总结】 遇到求解类似三角函数的性质，往往用辅助角公式把函数化简为的形式再分析。 跟踪训练1．（2025•河南模拟）已知函数f（x）＝sin2x+acos2x满足恒成立，则当时，曲线y＝f（x）与y＝sinx的交点个数为（　　） A．3 B．4 C．5 D．6 跟踪训练2．（2025•北海四模）密位制是一种用于测量角度的单位系统，尤其在军事领域中被广泛使用．例如：狙击手在调整射击角度时，可以使用密位制来精确计算目标的距离和角度．密位制的基本原理是将一个圆周分为6000等份，每一份称为1密位．将函数的图象向左平移φ（φ＞0）个单位，所得图象关于y轴对称，则φ最小值的密位数为　　 ． 跟踪训练3．（2025•浑南区校级模拟）若函数f（x）的定义域内存在x1，x2（x1≠x2），使得成立，则称该函数为“完整函数”．已知是上的“完整函数”，则ω的取值范围为（　　） A．[3，4） B．[3，+∞） C．[2，4） D．[4，+∞） 跟踪训练4．（2025•汕头二模）已知函数f（x）＝sinkx•sinkx+coskx•coskx﹣cosk2x，其中k∈N*． （1）当 k＝1时，求方程的解集； （2）若f（x）是偶函数，当k取最小值时，求函数的取值范围； （3）若f（x）是常数函数，求k的值． 1（2025·云南昭通·模拟预测）已知角的终边经过点，则（    ） A． B． C． D． 2（2025·四川巴中·二模）已知，则等于（    ） A． B． C． D． 3（2025·云南·模拟预测）下列选项中，值为的是（    ） A． B． C． D． 4（2025·山西·模拟预测）若，，则（    ） A． B． C． D． 5（2025·吉林长春·模拟预测）已知，则的值是（    ） A． B． C． D． 6（2025·河北邢台·二模）已知，，且，则（   ） A． B． C． D． 7（2025·河北秦皇岛·模拟预测）已知，则（   ） A．1 B．2 C．或2 D．1或2 8（2025·甘肃·模拟预测）函数的最小正周期为（    ） A． B． C． D． 9（2025·江苏镇江·模拟预测）已知函数，若集合恰有3个元素，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 10（多选）（2025·甘肃白银·三模）已知为锐角，若，则（   ） A． B． C． D． 11（多选）（2025·浙江·三模）已知为锐角，若，则下列说法正确的有（   ） A．的终边经过点 B． C． D．若，则 12（多选）（2025·贵州贵阳·模拟预测）已知函数，则（   ） A．是的一个周期 B．在区间上单调递减 C．是奇函数 D．在区间上恰有2个极值点 1（2025·安徽合肥·模拟预测）已知为锐角，，则的值为（    ） A． B． C． D． 2（2025·辽宁鞍山·模拟预测）已知，，则（   ） A． B． C． D． 3（2025·山东青岛·模拟预测）已知函数，，且，则当时，的值域为（   ） A． B． C． D． 4（2025·河北·模拟预测）设函数在区间恰有三个极值点、两个零点，则正实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 5（2025·全国·模拟预测）将一个圆20等分，每份圆弧所对的圆心角为，则（    ） A．8 B． C． D．9 6（多选）（2025·福建福州·模拟预测）在平面直角坐标系中，点是曲线上的动点，点坐标为，射线从轴的非负半轴开始，绕点按逆时针方向旋转角，终止位置为．定义：，则（   ） A． B． C． D． 7（多选）（2025·福建福州·模拟预测）自元朝以来，穹顶便广泛应用于中国建筑中．作为“北京十六景”之一的地标性建筑，国家大剧院也采纳了穹顶设计，如图．初步设计穹顶建模的步骤大致为：（I）将半径为1的圆（圆心为）沿直径分为两部分，得到半圆弧；（II）保留其中一个半圆弧，将其等分，从端点出发依次连接各个等分点至另一个端点，得到折线；（III）将折线绕所在直线旋转，得到旋转体；（IV）不断调整值至合适，选取需要的旋转体部分并进行再调整．设（III）中所得旋转体的表面积为，的正弦值为，则（   ） A． B． C．当时， D． 8（2025·江苏泰州·模拟预测）已知锐角，满足，则的最小值为 . 9（2023·山东·模拟预测）已知内角分别为，且满足，则的最小值为 . 1（2025·全国二卷·高考真题）已知，，则（   ） A． B． C． D． 2（2023·新课标Ⅱ卷·高考真题）已知为锐角，，则（    ）． A． B． C． D． 3（2024·新课标Ⅰ卷·高考真题）已知，则（    ） A． B． C． D． 4（2024·全国甲卷·高考真题）已知，则（    ） A． B． C． D． 5（2025·北京·高考真题）设函数，若恒成立，且在上存在零点，则的最小值为（   ） A．8 B．6 C．4 D．3 6（2023·新课标Ⅰ卷·高考真题）已知，则（    ）． A． B． C． D． 7（2023·新课标Ⅰ卷·高考真题）过点与圆相切的两条直线的夹角为，则（    ） A．1 B． C． D． 8（2024·全国甲卷·高考真题）函数在上的最大值是 ． 9（2024·新课标Ⅱ卷·高考真题）已知为第一象限角，为第三象限角，，，则 . 2 / 25 学科网（北京）股份有限公司 $$