分类与分步计数原理 -知识点训练卷 2026版黑龙江春季高考《数学考纲百套卷》第54卷（原卷版+解析版）

编写说明：2026版黑龙江春季高考《数学考纲百套卷》，依据《中等职业学校数学课程标准》（2020年版）及黑龙江历年春季高考真题编写。本套试卷共100份：第一部分是按照课程标准编写的64份知识点训练卷；第二部分是集合与充要条件、不等式、函数等11个章节的26份专题训练卷；第三部分是参考历年真题编写的10份综合模拟卷。 本卷是2026版黑龙江春季高考《数学考纲百套卷》的第54卷，是知识点训练卷，主要考查分类与分步计数原理掌握情况。 2026版黑龙江春季高考《数学考纲百套卷》 第54卷 分类与分步计数原理 知识点训练卷 考试时间：90分钟 满分：100分 班级 姓名 学号 成绩 一、选择题：（本大题共15个小题．每小题3分，共45分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1．某文具店有A品牌不同样式的橡皮6款，B品牌不同样式的橡皮5款，小李从中挑选一款，不同的选法共有（    ） A．30种 B．11种 C．种 D．种 【答案】B 【分析】由分类计数原理计算即可. 【详解】某文具店有A品牌不同样式的橡皮6款，B品牌不同样式的橡皮5款， 根据分类计数原理，不同的选法共有（种）. 故选：B. 2．从小李家到公交站有3条不同的路线，从公交站到学校有4条不同的路线，小李从家经公交站到学校，不同的路线共有（    ） A．2条 B．4条 C．7条 D．12条 【答案】D 【分析】根据分步计数原理可求解. 【详解】根据分步计数原理，不同的路线共有 （条）. 故选：D 3．一个口袋内装有4个小球，另一个口袋内装有3个小球，所有这些小球的颜色互不相同，从两个口袋内分别取一个小球，则不同的取法数为（ ） A．7 B．16 C．9 D．12 【答案】D 【分析】根据分步乘法计数原理即可求解. 【详解】由题意，从两个袋子中分别取1个球， 分两步进行：第一个口袋内取一个球有4种取法，另一个口袋内取一个球有3种取法， 根据分步乘法计数原理得到，从两个口袋内分别取1个小球， 共有种取法. 故选：D. 4．某学校高一年级共8个班，高二年级6个班从中选一个班级担任学校星期一早晨升旗任务，共有多少种安排方法（    ） A．8 B．6 C．14 D．48 【答案】C 【分析】利用分类计数加法原理进行求解. 【详解】若选高一班级有8种选法； 若选高二班级有6种选法； 共有种方法， 故选：C． 5．从a，b，c，d，e共5人中选1名组长和1名副组长，且a不能当副组长，不同的选法共有（    ） A．20种 B．16种 C．10种 D．6种 【答案】B 【分析】根据分类计数原理和有限制条件的元素的排列即可求解. 【详解】解：首先不考虑限制条件有种，若a当副组长有种， 用所有的结果减去不合题意的得到（种），即为所求． 故选：B. 6．某商场有4个门，某人从一个门进，从另一个门出，则不同的进出方法有（   ） A．4种 B．8种 C．12种 D．16种 【答案】C 【分析】根据分步计数原理即可得解. 【详解】某商场有4个门，进门有种选择，出门有种选择， 所以进出的方法有种选择， 故选：. 7．第二届消博会暨中国国际消费品博览会于2022年5月在海南举办．某展馆将5件相同的纪念品分别赠送给前来参观的3位游客，每人至少1件，则不同的赠送方案数共有（    ） A．6 B．9 C．12 D．24 【答案】A 【分析】根据题意分成一位游客得一个纪念品，其余两位游客每人二个纪念品和一位游客得三个纪念品，其余两位游客各一个纪念品两种情况即可得解. 【详解】因为纪念品的相同的，而游客不同，所以以游客为对象分类： 第一种情况，一位游客得一个纪念品，其余两位游客每人二个纪念品，共有种； 第二种情况，一位游客得三个纪念品，其余两位游客各一个纪念品，共有种； 共计种赠送方案． 故选：. 8．把4个不同的球，任意投入3个不同的盒子中，共有不同的投法的种数有（    ） A．12种 B．24种 C．64种 D．81种 【答案】D 【分析】根据分步计数法即可求解. 【详解】每一个球都有3种不同的投法， 根据分步计数法可知，4个球总共的投法有种， 故选：D. 9．有5个不同的棱柱、3个不同的棱锥、4个不同的圆台、2个不同的球，若从中任取多面体和旋转体各1个，则不同取法的种数是（    ）． A．14 B．23 C．48 D．120 【答案】C 【分析】利用分类计数原理和分步计数原理即可得解. 【详解】分两步：第1步，取多面体，分两类， 可以从5个不同的棱柱或3个不同的棱锥中取一个， 根据分类加法计数原理有（种）不同的取法； 第2步，取旋转体，分两类，可以从4个不同的圆台或2个不同的球中取一个， 根据分类加法计数原理有（种）不同的取法． 所以根据分步乘法计数原理知不同的取法种数是． 故选：C． 10．现把甲、乙等6位同学排成一列，若甲同学不能排在前两位，且乙同学必须排在甲同学前面（相邻或不相邻均可），则不同排法的种数是（   ） A．360 B．336 C．312 D．240 【答案】B 【分析】根据分类计数原理结合排列组合的问题即可求解. 【详解】由题意知，当甲同学在第三个位置时，有种排法. 当甲同学在第四个位置时，有种排法. 当甲同学在第五个位置时，有种排法. 当甲同学在第六个位置时，有种排法. 由分类计数原理，共有不同排列方法为种. 故选：B. 11．在6个不同元素进行全排列，若其中两个元素必须排两端，且两元素必须相邻，那么排法种数有（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】首先对两个元素进行全排列，再运用捆绑法考虑和余下的元素，最后运用乘法计数原理计算即可得出结果. 【详解】已知必须在两端，所以先排列，共有种排法， 且必须相邻，所以排列，共有种排法， 最后将当成一个元素，和余下的两个元素一起排列，共有种排法， 综上所述，排法种数共有， 故选：B. 12．乒乓球国奥队某训练小组有3名男队员和4名女队员，现选拔男女各1名队员参加混双比赛，则不同的选法种数为（   ） A．7 B． C． D．12 【答案】D 【分析】先计算出选男队员的方法数，再计算出选女队员的方法数，最后根据分步乘法计数原理得到总的选法种数. 【详解】因为有3名男队员，从中选1名男队员参加比赛，那么选男队员的方法数有3种， 有4名女队员，从中选1名女队员参加比赛，选女队员的方法数有4种， 根据分步乘法计数原理，选男队员是第一步，有3种方法；选女队员是第二步，有4种方法，所以总的选法种数为种. 故选：D． 13．现有身高不同的5人站成一排照相，要求从中间到两边由高到低排序，则不同的站法共（    ） A．36种 B．24种 C．12种 D．6种 【答案】D 【分析】利用分步乘法计数原理，结合组合的相关知识即可得解. 【详解】因为5人站成一排，要求从中间到两边由高到低排序， 所以中间的人是5人中最高的人，是确定的， 再从剩下的4人中选出2人排在左边，另2人排在右边，其排序也是固定的， 所以有种方法. 故选：D. 14．文艺演出中要求语言类节目不能相邻，现有4个歌舞类节目和2个语言类节目，若从中任意选出4个排成节目单，则能排出不同节目单的数量最多是（    ） A．72 B．120 C．144 D．288 【答案】D 【分析】利用分类加法计数原理，结合排列组合的相关知识与间接法即可得解. 【详解】依题意，本题选出的节目分成三个情况： 一种都是歌舞类节目，则共有种排法； 一种有3个歌舞类节目1个语言类节目，则共有种排法； 一种有2个歌舞类节目2个语言类节目，这种情况要注意语言类节目不能相邻， 所以利用间接法，将总的排列情况减去2个语言类节目相邻的情况即可， 则共有种排法； 综上，一共有种排法. 故选：D. 15．三名数学教师教4个班的数学课，每名教师至少选教一个班，一个班只能选一名教师教，有种不同的任课方法（    ） A．12 B．24 C．36 D．18 【答案】C 【分析】利用排列组合公式，解决实际问题. 【详解】必定是一位老师教学两个班级，另外两位老师分别教学一个班级， 故将四个班级分成三组，有种不同的组合， 再对三位老师进行排列，有种不同的排列组合， 故共有种不同的任课方法. 故选：C. 二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分） 16．已知一天中从A地到B地的高铁有5个班次，飞机有3个班次，若某人某天乘坐以上交通工具从A地到B地，不同的选择方法共有 种． 【答案】8 【分析】根据分类计数原理可求解. 【详解】根据分类计数原理，不同的选择方法共有 （种）. 故答案为：8 17．用0，1，2，3可以组成无重复数字的四位数的个数是 . 【答案】18 【分析】利用分步乘法计数原理即可得解. 【详解】依题意，先确定首位数字，只有3种选择， 再依次确定百位、十位、个位上的数字，依次有3、2、1种选择， 则所求个数为（个）. 故答案为：18. 18．5个人排成一排，其中甲，乙两人必须站在一起，则不同的排法有 种. 【答案】48 【分析】相邻问题，采用“捆绑法”求解. 【详解】把甲、乙二人看成一个整体，有种方法，这样5个人看作成了4个人， 再把这4个人全排列，有种方法， 根据分步计数原理可得甲、乙两人必须排在一起的不同排法有：（种）. 故答案为：48 19．甲、乙两人进行羽毛球比赛，先赢四局者获胜，决出胜负为止，则“甲获胜”所有可能出现的情形（各人输赢局次的不同视为不同情形）共有 种.（结果用数值表示） 【答案】35 【分析】先分析最少需要多少局使比赛出结果，再分析最多需要多少局使比赛出结果，根据局数不同分别分析“甲获胜”所有可能出现的情形，计算结果即可. 【详解】解：根据题意可知，先赢四局者获胜，则甲获胜时，最少需要四局比赛， ①当需要四局比赛，此时四局全为甲获胜，有1种情形， ②当需要五局比赛时，则最后一场为甲获胜， 在前四局中，有三局是甲获胜，此时有种情形， ③当需要六局比赛时，则最后一场为甲获胜， 在前五局中，有三局是甲获胜，此时有种情形， ④当需要七局比赛时，则最后一场为甲获胜， 在前六局中，有三局是甲获胜，此时有种情形， 最多需要七局比赛即可决出胜负，所以所有可能出现的情形数为：. 故答案为：35 20．某校开设9门课程供学生选修，其中A、B、C三门课由于上课时间相同，至多选修1门，学校规定，每位同学要选修3门，共有 种不同选修方案. 【答案】 【分析】由计数原理和组合数公式，计算得到答案. 【详解】若A、B、C三门课选择1门时，有种选修方案， 若A、B、C三门课都不选择时，有种选修方案， 故共有种选修方案， 故答案为：. 三、解答题（本题共4小题，每小题10分，共40分） 21．如图，从A村到B村的道路有3条，从B村到C村的道路有2条，从C村到D村的道路有3条.李明要从A村先到达B村，再经过C村，最后到达D村，共有多少条不同的线路可以选择?    【答案】18（条） 【分析】根据分步计数原理求解即可. 【详解】李明从A村到B村的道路有3条，从B村到C村的道路有2条，从C村到D村的道路有3条. 因此整个行程共有条线路可选择. 22．书架上有4本不同的数学书、3本不同的语文书、2本不同的历史书， (1)如果从书架上任取一本，有多少种不同的取法？ (2)如果从书架上任取两本，有多少种不同的取法？ 【答案】(1)9（种） (2)36（种） 【分析】（1）通过分类计数原理求解即可； （2）通过组合以及组合数求解即可. 【详解】（1）完成任取一本书的任务，可以分为三类， 第一类取数学书，有4种方法，第二类取语文书，有3种方法， 第三类取历史书，有2种方法， 因此一共有种方法； （2）从书架9本不同的书中任取2本，即种， 因此共有36种不同的取法. 23．某人有枚明朝不同年代的古币和枚清朝不同年代的古币. (1)若从中任意取出枚，则有多少种不同取法？ (2)若从中任意取出明、清古币各枚，则有多少种不同取法？ 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据分类加法计数原理即可得解； （2）根据分步乘法计数原理即可得解. 【详解】（1）解：从枚不同的古币中，取出枚为明朝的古币有种不同的取法， 取出枚为清朝的古币有种不同的取法， 由分类加法计数原理可知，共有种不同的取法. （2）解：分两步进行，第一步，从枚明朝的古币中取出枚，有种不同的取法； 第二步，从枚清朝的古币中取出枚古币，有种不同的取法， 由分步乘法计数原理，共有种不同的取法. 24．一个盒子里4个不同颜色的红球，6个不同颜色的黑球和8个不同颜色的白球． (1)盒子中任取一个球有多少种不同的取法？ (2)从盒子中任取红球，黑球和白球各一个，有多少种不同的取法？ (3)从盒子中任取两个颜色不同的球，有多少种不同的取法？ 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）由分类计数原理即可解得. （2）由分步计数原理即可解得. （3）先使用分类计数原理确定两球颜色，再根据分步计数原理即可解得. 【详解】（1）一个盒子里4个不同颜色的红球，6个不同颜色的黑球和8个不同颜色的白球， 任取一个球 ，根据分类计数原理，不同的取法种数为： （2）一个盒子里4个不同颜色的红球，6个不同颜色的黑球和8个不同颜色的白球， 任取红球、黑球和白球各一个，根据分步计数原理，不同的取法总数为： （3）一个盒子里4个不同颜色的红球，6个不同颜色的黑球和8个不同颜色的白球， 任取两个颜色不同的球， 可按所选两球的颜色分为如下三类： 第1类：红球，黑球各一个，有种取法； 第2类：红球，白球各一个，有种取法； 第3类：黑球，白球各一个，有种取法； 所以从盒子中任取两个颜色不同的球取法共有种. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 编写说明：2026版黑龙江春季高考《数学考纲百套卷》，依据《中等职业学校数学课程标准》（2020年版）及黑龙江历年春季高考真题编写。本套试卷共100份：第一部分是按照课程标准编写的64份知识点训练卷；第二部分是集合与充要条件、不等式、函数等11个章节的26份专题训练卷；第三部分是参考历年真题编写的10份综合模拟卷。 本卷是2026版黑龙江春季高考《数学考纲百套卷》的第54卷，是知识点训练卷，主要考查分类与分步计数原理掌握情况。 2026版黑龙江春季高考《数学考纲百套卷》 第54卷 分类与分步计数原理 知识点训练卷 考试时间：90分钟 满分：100分 班级 姓名 学号 成绩 一、选择题：（本大题共15个小题．每小题3分，共45分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1．某文具店有A品牌不同样式的橡皮6款，B品牌不同样式的橡皮5款，小李从中挑选一款，不同的选法共有（    ） A．30种 B．11种 C．种 D．种 2．从小李家到公交站有3条不同的路线，从公交站到学校有4条不同的路线，小李从家经公交站到学校，不同的路线共有（    ） A．2条 B．4条 C．7条 D．12条 3．一个口袋内装有4个小球，另一个口袋内装有3个小球，所有这些小球的颜色互不相同，从两个口袋内分别取一个小球，则不同的取法数为（ ） A．7 B．16 C．9 D．12 4．某学校高一年级共8个班，高二年级6个班从中选一个班级担任学校星期一早晨升旗任务，共有多少种安排方法（    ） A．8 B．6 C．14 D．48 5．从a，b，c，d，e共5人中选1名组长和1名副组长，且a不能当副组长，不同的选法共有（    ） A．20种 B．16种 C．10种 D．6种 6．某商场有4个门，某人从一个门进，从另一个门出，则不同的进出方法有（   ） A．4种 B．8种 C．12种 D．16种 7．第二届消博会暨中国国际消费品博览会于2022年5月在海南举办．某展馆将5件相同的纪念品分别赠送给前来参观的3位游客，每人至少1件，则不同的赠送方案数共有（    ） A．6 B．9 C．12 D．24 8．把4个不同的球，任意投入3个不同的盒子中，共有不同的投法的种数有（    ） A．12种 B．24种 C．64种 D．81种 9．有5个不同的棱柱、3个不同的棱锥、4个不同的圆台、2个不同的球，若从中任取多面体和旋转体各1个，则不同取法的种数是（    ）． A．14 B．23 C．48 D．120 10．现把甲、乙等6位同学排成一列，若甲同学不能排在前两位，且乙同学必须排在甲同学前面（相邻或不相邻均可），则不同排法的种数是（   ） A．360 B．336 C．312 D．240 11．在6个不同元素进行全排列，若其中两个元素必须排两端，且两元素必须相邻，那么排法种数有（    ） A． B． C． D． 12．乒乓球国奥队某训练小组有3名男队员和4名女队员，现选拔男女各1名队员参加混双比赛，则不同的选法种数为（   ） A．7 B． C． D．12 13．现有身高不同的5人站成一排照相，要求从中间到两边由高到低排序，则不同的站法共（    ） A．36种 B．24种 C．12种 D．6种 14．文艺演出中要求语言类节目不能相邻，现有4个歌舞类节目和2个语言类节目，若从中任意选出4个排成节目单，则能排出不同节目单的数量最多是（    ） A．72 B．120 C．144 D．288 15．三名数学教师教4个班的数学课，每名教师至少选教一个班，一个班只能选一名教师教，有种不同的任课方法（    ） A．12 B．24 C．36 D．18 二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分） 16．已知一天中从A地到B地的高铁有5个班次，飞机有3个班次，若某人某天乘坐以上交通工具从A地到B地，不同的选择方法共有 种． 17．用0，1，2，3可以组成无重复数字的四位数的个数是 . 18．5个人排成一排，其中甲，乙两人必须站在一起，则不同的排法有 种. 19．甲、乙两人进行羽毛球比赛，先赢四局者获胜，决出胜负为止，则“甲获胜”所有可能出现的情形（各人输赢局次的不同视为不同情形）共有 种.（结果用数值表示） 20．某校开设9门课程供学生选修，其中A、B、C三门课由于上课时间相同，至多选修1门，学校规定，每位同学要选修3门，共有 种不同选修方案. 三、解答题（本题共4小题，每小题10分，共40分） 21．如图，从A村到B村的道路有3条，从B村到C村的道路有2条，从C村到D村的道路有3条.李明要从A村先到达B村，再经过C村，最后到达D村，共有多少条不同的线路可以选择?    22．书架上有4本不同的数学书、3本不同的语文书、2本不同的历史书， (1)如果从书架上任取一本，有多少种不同的取法？ (2)如果从书架上任取两本，有多少种不同的取法？ 23．某人有枚明朝不同年代的古币和枚清朝不同年代的古币. (1)若从中任意取出枚，则有多少种不同取法？ (2)若从中任意取出明、清古币各枚，则有多少种不同取法？ 24．一个盒子里4个不同颜色的红球，6个不同颜色的黑球和8个不同颜色的白球． (1)盒子中任取一个球有多少种不同的取法？ (2)从盒子中任取红球，黑球和白球各一个，有多少种不同的取法？ (3)从盒子中任取两个颜色不同的球，有多少种不同的取法？ 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$