2026年中考数学一轮复习考点探究 课件：二次函数的图象与性质

二次函数的图象与性质 1 内容要求 对应命题点 考频 核心素养 ①通过对实际问题的分析，体会二次函数的意义. ②能画二次函数的图象，通过图象了解二次函数的性质，知道二次函数系数与图象形状和对称轴的关系. ③会求二次函数的最大值或最小值，并能确定相应自变量的值. ④知道二次函数和一元二次方程之间的关系，会利用二次函数的图象求一元二次方程的近似解 二次函数的图象与性质 5年5考 运算能力 推理能力 抽象能力 二次函数解析式的确定(含平移) 5年3考 二次函数与方程、不等式的关系 5年0考 二次函数图象与系数a，b，c的关系 5年1考 2 知识点1　二次函数的概念及解析式 1.二次函数的概念：一般地，形如y=ax2+bx+c(a，b，c是常数，a≠0)的函数. 2.二次函数解析式的三种形式 (1)一般式：y=ax2+bx+c(a，b，c为常数，a≠0). (2)顶点式：y=a(x-h)2+k(a，h，k为常数，a≠0)，顶点坐标是(h，k). (3)交点式：y=a(x-x1)(x-x2)，其中x1，x2是二次函数图象与x轴的交点的横坐标，a≠0. 3 3.用待定系数法求解析式 (1)根据所给点(坐标)的特征选设适当的解析式； (2)代入点的坐标：将已知点的坐标代入相应的解析式中，得到关于待定系数的方程(组)； (3)求解：解方程(组)求出待定系数的值，从而得出函数的解析式. 4 【基础小练】 1 若关于x的函数y=(a-2)x2-x是二次函数，则a的取值范围是_____.  2把二次函数y=-2x2-4x+5用配方法化成y=a(x-h)2+k的形式是_____________.  3 若一个二次函数的图象经过(0，1)，(2，4)，(3，10)三点，则这个二次函 数的解析式为___________.  a≠2 y=-2(x+1)2+7 y=x2-x+1 5 知识点2　二次函数的图象与性质 1.二次函数的图象与性质 解析式 y=ax2+bx+c(a，b，c是常数，a≠0) 对称轴 (1)直接运用公式x=____求解；  (2)配方法：将一般式化为顶点式y=a(x-h)2+k，则对称轴为直线_____；  (3)对称轴x=(其中x1，x2为关于对称轴对称的两点的横坐标) 顶点 (1)直接利用顶点坐标公式x=____，y=求解；  (2)运用配方法将一般式转化为顶点式y=a(x-h)2+k，顶点坐标为_______；  (3)将对称轴x=x0代入函数解析式求得对应的y0 - x=h - (h，k) 6 a的符号 a___0  a___0  图象     开口方向 开口向上 开口向下 最值 当x=-时， y最小= 当x=-时， y最大= > < 7 最点 抛物线有最低点 抛物线有最高点 增减性 当x<-(对称轴左侧)时，y随x 的增大而______；  当x>-(对称轴右侧)时，y随x 的增大而______ 当x<-(对称轴左侧)时，y随x的 增大而______；  当x>-(对称轴右侧)时，y随x的 增大而______ 减小 增大 增大 减小 8 2.根据二次函数解析式判断函数图象 a决定抛物线的开口方向和大小 a>0，开口向____；  a<0，开口向____；  |a|越大，抛物线的开口越小 a，b共同决定对称轴的位置 b=0，对称轴为___轴；  ab>0(a与b同号)，对称轴在y轴____侧；  ab<0(a与b异号)，对称轴在y轴____侧  上 下 y 左 右 9 c决定抛物线与y轴的交点 c=0，抛物线经过原点； c>0，与y轴正半轴相交； c<0，与y轴负半轴相交 Δ=b2-4ac决定抛物线与x轴交点的个数 b2-4ac=0，与x轴有唯一交点(顶点)； b2-4ac>0，与x轴有____个交点；  b2-4ac<0，与x轴没有交点 两 10 【基础小练】 1 (1)已知函数y=-(x-1)2+4， ①抛物线的开口向____.  ②抛物线的对称轴为直线_____.  ③抛物线的顶点坐标为_______.  ④当x=___时，抛物线有最____值，最值为___.  ⑤当x____时，y随x的增大而增大；当x____时，y随x的增大而减小.  ⑥已知点A(-1，y1)，B(1，y2)，C(2，y3)在函数y=-(x-1)2+4的图象上， 则y1，y2，y3的大小关系为_________.(用“<”连接)  下 x=1 (1，4) 1 大 4 <1 >1 y1<y3<y2 11 (2)对于抛物线y=(x-2)2+1，下列判断正确的是(　　) A.抛物线的开口向下 B.抛物线的顶点坐标是(2，1) C.对称轴为直线x=-2 D.当x<2时，y随x的增大而增大 12 2 如图，抛物线y=ax2+bx+c和直线y=mx+n都经过点(-1，0)，抛物线的对称轴为直线x=1，那么下列说法正确的是(　　) A.ac>0 B.b2-4ac<0 C.a-b+c>0 D.x=-1是方程ax2+bx+c=mx+n的一个解 13 知识点3　二次函数图象与几何变换 原解析式 变换形式(m>0) 变换后的解析式 将二次函数解析式转化成顶点式y=a(x-h)2+k，确定其顶点坐标，再保持抛物线形状不变，平移其顶点坐标即可 向左平移m个单位长度 y=a(x-h+m)2+k 向右平移m个单位长度 ______________ 向上平移m个单位长度 y=a(x-h)2+k+m 向下平移m个单位长度 ______________ y=a(x-h-m)2+k y=a(x-h)2+k-m 14 【基础小练】 (1)将抛物线y=(x+1)2-3向右平移3个单位长度，再向上平移2个单位长度 后，得到抛物线的解析式为__________.  (2)已知把抛物线y=2x2先向左平移3个单位长度，再向下平移4个单位长 度，所得抛物线的函数解析式为___________.  y=(x-2)2-1 y=2(x+3)2-4 15 知识点4　二次函数图象与方程、不等式的关系 1.二次函数y=ax2+bx+c与一元二次方程的关系 二次函数y=ax2+bx+c与x轴的交点横坐标就是一元二次方程ax2+bx+c=0 的____.  二次函数y=ax2+bx+c的图象和x轴的交点情况 一元二次方程ax2+bx+c=0的根 一元二次方程ax2+bx+c=0根的判别式Δ=b2-4ac 有两个交点 有两个不相等的实数根 b2-4ac>0 根 16 二次函数y=ax2+bx+c的图象和x轴的交点情况 一元二次方程ax2+bx+c=0的根 一元二次方程ax2+bx+c=0根的判别式Δ=b2-4ac 有一个交点 有两个相等的实数根 b2-4ac=0 没有交点 没有实数根 b2-4ac<0 拓展：|x1-x2|== 17 2.二次函数y=ax2+bx+c与不等式的关系         ax2+bx+c>0的解集是x<x1或x>x2 ax2+bx+c<0的解集是x1<x<x2 ax2+bx+c>0的解集是x1<x<x2 ax2+bx+c<0的解集是x<x1或 x>x2 18 【基础小练】 1 (1)二次函数y=x2+x-2与x轴有____个公共点.  (2)二次函数y=x2-4x与x轴的交点坐标是_______和_______.  两 (0，0) (4，0) 19 2 已知函数y=x2-2x-3. (1)方程x2-2x-3=0的解是____________.  (2)当x满足__________时，函数值大于0；当x满足_______时，函数值 小于0.  x1=3，x2=-1 x<-1或x>3 -1<x<3 20 命题点 1　二次函数的图象与性质(5年5考) 1.(2024·广东)若点(0，y1)，(1，y2)，(2，y3)都在二次函数y=x2的图象上，则(　　) A.y3>y2>y1 B.y2>y1>y3 C.y1>y3>y2 D.y3>y1>y2 21 2.(2023·广东)如图，抛物线y=ax2+c经过正方形OABC的三个顶点A，B，C，点B在y轴上，则ac的值为(　　) A.-1 B.-2 C.-3 D.-4 22 3.(2022·广州)如图，抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)的对称轴为直线x=-2，下列结论正确的是(　　) A.a<0 B.c>0 C.当x<-2时，y随x的增大而减小 D.当x>-2时，y随x的增大而减小 23 4.(2023·广州)已知点A(x1，y1)，B(x2，y2)在抛物线y=x2-3上，且0<x1<x2， 则y1___y2.(填“<”“>”或“=”)  < 24 5.【拓展训练】(改编题)已知二次函数y=ax2+bx+c，下表给出了两个变量x，y的对应关系.   (1)当-3≤x≤0时，y的最大值为____，最小值为___；  (2)当-1≤x≤2时，y的最大值为___，最小值为___.  x … -1 0 1 2 3 4 … y … 0 -3 -4 -3 0 5 … 12 -3 0 -4 25 命题点 2　二次函数解析式的确定(含平移)(5年3考) 6.(2021·广东)把抛物线y=2x2+1向左平移1个单位长度，再向下平移3个 单位长度，得到的抛物线的解析式为_________.  7.【易错题】 将抛物线y=-2(x+1)2-3先向左平移2个单位，再向上平移5 个单位后，所得抛物线的解析式为____________________________.  y=2x2+4x y=-2(x+3)2+2(或y=-2x2-12x-16) 26 【易错点拨】 　　混淆“左加右减，上加下减”的平移规律：化为顶点式，左加右减自变量，上加下减常数项. 27 8.【拓展训练】(改编题)已知二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象经过点(-1，8)，对称轴是直线 x=-2，且在x轴上截得的线段长为6，求二次函数的解析式. 28 解：∵二次函数的图象的对称轴为直线x=-2，且在x轴上截得的线段长 为6， ∴二次函数的图象与x轴的交点为(-5，0)，(1，0)， ∴设二次函数的解析式为y=a(x+5)(x-1)(a≠0). 将点(-1，8)代入二次函数解析式得 8=a(-1+5)×(-1-1)，解得a=-1， ∴二次函数的解析式为y=-(x+5)(x-1)=-x2-4x+5. 29 命题点3　二次函数与方程、不等式的关系(5年0考) 9.【拓展训练】(2024·济宁)将抛物线y=x2-6x+12向下平移k个单位长度. 若平移后得到的抛物线与x轴有公共点，则k的取值范围是_____.  k≥3 30 10.【拓展训练】如图，二次函数y=ax2+c的图象与一次函数y=mx+n的 图象交于A(-2，p)，B(1，q)两点，则关于x的不等式ax2-mx+c>n的解集 是_______.  -2<x<1 31 命题点4　二次函数图象与系数a，b，c的关系(5年1考) 11.(2020·广东)如图，抛物线y=ax2+bx+c的对称轴是直线x=1，下列结论： ①abc>0；②b2-4ac>0；③8a+c<0；④5a+b+2c>0.正确的有(　　) A.4个 B.3个 C.2个 D.1个 32 12.【一题多设问】 二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象如图所示，根据 图象，填空：(填“>”“≥”“<”“≤”或“=”). (1)a___0，b___0，c___0.  (2)b2-4ac___0，abc___0.  (3)2a+b___0，2a-b___0.  (4)a-b+c___0，a+b+c___0.  (5)4a-2b+c___0，4a+2b+c___0.  < > > > < < < = > < = 33 【总结归纳】 ①判断2a+b的值，将-与1比较；②判断2a-b的值，将-与-1比较；③判断a+b+c的值，令x=1，看纵坐标；④判断a-b+c的值，令 x=-1，看纵坐标；⑤判断4a+2b+c的值，令x=2，看纵坐标；⑥判断4a-2b+c的值，令x=-2，看纵坐标；⑦判断9a+3b+c的值，令x=3，看纵坐标；⑧判断9a-3b+c的值，令x=-3，看纵坐标. 34 【基础巩固】 1.已知抛物线y=(x-2)2+1，下列结论错误的是(　　) A.抛物线开口向上 B.抛物线的对称轴为直线x=2 C.抛物线的顶点坐标为(2，1) D.当x<2时，y随x的增大而增大 35 2.【易错题】 观察下列表格，求一元二次方程x2-x=1.1的一个近似解是 (　　)   A.0.11 B.1.6 C.1.7 D.1.19 x 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6 1.7 1.8 1.9 x2-x 0.11 0.24 0.39 0.56 0.75 0.96 1.19 1.44 1.71 36 3.【易错题】 函数y=x2-2x-2的图象如图所示，根据其中提供的信息，可求得使y≥1成立的x的取值范围是(　　)   A.-1≤x≤3 B.-1<x<3 C.x<-1或x>3 D.x≤-1或x≥3 37 4.(2025·东莞模拟)抛物线y=5x2向上平移2个单位长度，平移后的抛物线 解析式为________.  5.(2025·阳江模拟)已知二次函数y=a(x-1)2+3的图象开口向上.若点A(-1， y1)，B(-2，y2)，C(5，y3)都在该函数图象上，则y1，y2，y3的大小关系 是 _________.  6.已知函数y=mx2+3mx+m-1的图象与坐标轴恰有两个公共点，则实数 m的值为______. y=5x2+2 y3>y2>y1 1或- 38 7.(2024·扬州)如图，已知二次函数y=-x2+bx+c的图象与x轴交于A(-2，0)， B(1，0)两点. (1)求b，c的值； (2)若点P在该二次函数的图象上，且△PAB的面积为6，求点P的坐标. 39 解：(1)把点A(-2，0)，B(1，0)分别代入y=-x2+bx+c得 解得 (2)由(1)知，二次函数的解析式为y=-x2-x+2. 设点P的坐标为(m，-m2-m+2). ∵△PAB的面积为6，AB=1-(-2)=3， ∴S△PAB=AB·|yP|=×3×|-m2-m+2|=6， ∴|m2+m-2|=4，即m2+m-2=4或m2+m-2=-4， 解得m=-3或m=2，∴P(-3，-4)或(2，-4). 40 【能力提升】 8.(2025·茂名一模)二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的部分图象如图所示，对称轴为直线x=-1，给出下列结论：①c<0；②b=2a；③a+b+c<0；④当x>-1时，y>0.其中所有正确结论的序号是(　　) A.①② B.①③ C.②③ D.②④ 41 9.(2022·广东)如图，抛物线y=x2+bx+c(b，c是常数)的顶点为C，与x轴交于A，B两点，A(1，0)，AB=4，点P为线段AB上的动点，过点P作PQ∥BC交AC于点Q. (1)求该抛物线的解析式； (2)求△CPQ面积的最大值，并求此时点P的坐标. 42 解：(1)∵抛物线y=x2+bx+c与x轴交于A，B两点，A(1，0)，AB=4， ∴B(-3，0). 将点A(1，0)，B(-3，0)分别代入y=x2+bx+c得 解得 ∴抛物线的解析式为y=x2+2x-3. 43 (2)如图，过点Q作QE⊥x轴于点E，过点C作CF⊥x轴于点F. 设P(m，0)，则PA=1-m. ∵y=x2+2x-3=(x+1)2-4， ∴C(-1，-4)，∴CF=4. ∵PQ∥BC， ∴△PQA∽△BCA， ∴=，即=， 44 ∴QE=1-m， ∴S△CPQ=S△PCA-S△PQA=PA·CF-PA·QE =(1-m)×4-(1-m)(1-m) =-(m+1)2+2. ∵-3≤m≤1，∴当m=-1时，S△CPQ有最大值， 最大值为2， ∴△CPQ面积的最大值为2， 此时点P的坐标为(-1，0). 45 【创新思维】 10.【代数推理】 已知抛物线y=ax2+bx+c过点M(m，m)，N(n，n)，且m<n. (1)若a=1，m=-3，n=3，求抛物线的表达式； (2)若m与n互为相反数，求b的值； (3)设点P(x0，y0)是抛物线的顶点，若n>，试判断x0与的大小关系，并予以证明. 46 解：(1)由题意得 解得 ∴抛物线的表达式为y=x2+x-9. 47 (2)抛物线y=ax2+bx+c过点M(m，m)，N(n，n)， ∴am2+bm+c=m，an2+bn+c=n， ∴am2+(b-1)m+c=0，an2+(b-1)n+c=0， ∴m，n是一元二次方程ax2+(b-1)x+c=0的两个根，∴m+n=. ∵m与n互为相反数，∴m+n=0，∴=0， ∴b=1. 48 (3)x0>.证明如下： ∵点P(x0，y0)是抛物线y=ax2+bx+c的顶点， ∴x0=-. 由(2)可得m+n=， ∴n=-m=-+-m.∵n>， ∴-+-m>，∴->m， ∴->，∴x0>. 49 $$