5.1.1平均变化率课件-2025-2026学年高二上学期数学人教A版选择性必修第二册

该高中数学课件聚焦“平均变化率”核心知识点，通过爬山陡峭程度、苏炳添百米赛跑等现实情境导入，从直观感知曲线陡峭到量化Δy/Δx，结合“以直代曲”思想联系直线斜率，为后续导数学习搭建从具体到抽象的认知支架。 其亮点在于情境化与数学化深度融合，以爬山、赛跑实例培养学生用数学眼光观察现实世界，通过“以直代曲”推理和一次函数平均变化率探究发展数学思维，借助几何意义与公式表达强化数学语言。丰富实例助学生深化理解，教师可高效实施概念教学，提升学生探究能力。

第5章 导数及其应用 2025/8/28 章前导读 世间万物都在不断变化之中，认识事物的变化规律，是人类面临的永恒课题。数学是关注变化着的事物的内在数量关系的一门学科。 为描述现实世界中的运动、变化规律，在数学中引入了函数； 在对函数的深入研究中，数学家创立了微积分(微分学和积分学)。 牛顿 莱布尼茨 柯西 微积分,具有划时代意义的伟大创造,被誉为数学史上的里程碑. 章前导读 牛顿 莱布尼茨 柯西 导数是微积分的核心内容之一，是现代数学的基本概念，蕴含着微积分的基本思想；导数定量刻画了函数的局部变化，是研究函数增减、变化快慢、最大(小)值等性质的基本方法，是解决诸如增长率、膨胀率、效率、密度、速度、加速度等实际问题的基本工具． 导数的本质是什么？ 章前导读 牛顿 莱布尼茨 柯西 在本章，我们将通过丰富的实际背景和具体实例，学习导数的概念和导数的基本运算，体会导数的内涵与思想，感悟极限的思想，通过具体实例感受导数在研究函数和解决实际问题中的作用，体会导数的意义. 章前导读 研究某个变量相对于另一个变量变化的快慢程度． 什 么 是 导 数 高中阶段，导数研究的问题即变化率问题： 5.1.1平均变化率 2025/8/28 l l 在爬山的过程中，当山路平缓时，感觉步履轻盈；当山路变得陡峭，步伐变得沉重。 在数学中，怎样描述山路的变化情况呢？ 构建数学模型 画出山的剖面示意图 建立直角坐标系 y C B A x1 x 0 x2 x3 x4 D 新知探索 l l 建立直角坐标系,A 是出发点，D是山顶，爬山线路用函数y=f(x)表示，x是爬山人的水平位置 y C B A x1 x 0 x2 x3 x4 D 容易看出点C、D之间的曲线比点A、B之间的曲线更加“陡峭”. 观察图1，你有什么发现？ 从C到D位移“陡增”这是我们从图像中直观感受到的变化， 那么如何量化这种变化？ 陡峭的程度反应了山路的变化的快与慢。 曲线越“陡峭”， 山路变化越快。 新知探索 想一想：如何量化表示山路的变化情况？ 表示山路的变化情况需要考虑几个要素？ 量化 高度 宽度 y C B A x1 x 0 x2 x3 x4 D 　联想到用斜率来量化直线的倾斜程度， 新知探索 y C B A x1 x 0 x2 x3 x4 D l l 登山者从A点爬到B点，这段山路是平直的，近似一条直线，你能表示处AB段的陡峭程度吗？ 设A点坐标（x1,y1) B（x2,y2) 自变量x 的改变量x2 - x1 记作： 函数值y 的改变量y2 - y1 记作： 你能的到什么结论呢？ “ 线段”所在的直线斜率越大，山越陡峭，山路变化越快； 新知探索 问题：实际山路是弯曲的，怎样用数量刻画弯曲山路的变化情况呢？ 把弯曲的山路分成许多小段，每一小段近似的看成平直的“线段” 再用对平直山路AB段的分析方法得到， 例 CD段陡峭程度 以直代曲思想 方法技巧 新知探索 虽然，山路的每一段不同， 但是山路的平均变化都可以用起点，终点纵坐标之差与横坐标之差比值表示 函数值的改变量与自变量的改变量之比越大，山坡越陡，山路变化越快。 y C x 0 x0 x0 D 新知探索 l l 2021年8月1日，在东京奥运会男子100米半决赛中，苏炳添跑出9秒83，成功闯入决赛并创造亚洲纪录，成为中国首位闯入奥运男子百米决赛的运动员。 东京奥运会男子100米苏炳添跑出9秒83， 他的平均速度是多少？ 平均速度的物理意义是什么? 描述物体运动（变化）快慢的量。 变量变化的快慢 平均变化率 新知探索 一般地，已知函数 ，是其定义域上不同两点。记 ， 比值 称作函数 在区间[,] 的平均变化率。 平均变化率的实质：函数值的改变量与自变量的改变量之比。 可以用来刻画函数变化的快慢程度和变化方向,在各种实际问题中,常常用函数的平均变化率对事物的发展过程进行评价. 一、平均变化率 平均变化率的几何意义：函数f(x)两点所在直线的斜率 概念形成 l 1.某座山的剖面示意图如图所示，请根据图中信息，写出AB段，CD段，DE段 的平均变化率？说一说你有什么发现？ AB段平均变化率 l y C B A 100 x 0 250 350 400 D E 650 320 170 230 520 610 CD段平均变化率 平均变化率是曲线陡峭程度的“数量化”， 曲线陡峭程度是平均变化率的“视觉化” 课堂练习 l 1.某座山的剖面示意图如图所示，请根据图中信息，写出AB段，CD段，DE段 的平均变化率？说一说你有什么发现？ l y C B A 100 x 0 250 350 400 D E 650 320 170 230 520 610 DE 段平均变化率 平均变化率是曲线陡峭程度的“数量化”， 曲线陡峭程度是平均变化率的“视觉化” 平均变化率可正、负、0 课堂练习 l 2.已知函数 上的平均变化率。 课堂练习 l 2.已知函数 上的平均变化率。 你有什么发现？一次函数y=kx+b在区间[x1 ,x2]上平均变化率有什么特点？ 一次函数的平均变化率就是它的斜率。 A B O x y y=f(x) x1 x2 f(x1) f(x2) △x △y 概念辨析 ①平均变化率不能脱离区间而言，不同区间上平均变化率可能不同． ②平均变化率可正可负可为零，正负号分别表示变化量的增加或减少,平均变化率的绝对值的大小反映变化量变化的快慢程度． ③平均变化率的几何意义：连接区间两端点直线的斜率． 平均变化率 一般地，函数　　在区间上 的平均变化率为 方法总结 研究对象 变化 数学模型 不足 变化的快慢 平均变化率 需要严格的数学定义 对变化过程的反映不够精细 y2－y1 不能反映变化的过程 问题情境 数量化 视觉化 有待于进一步精确化，随之而来的便是新的数学模型的建立。 课堂小结 作业布置 （1）阅读教材，记忆知识点 （2）完成配套的同步作业 $$