1.4.2 用空间向量研究距离、夹角问题专项训练-2025-2026学年高二数学人教A版选择性必修第一册

§1.4.2 用空间向量研究距离、夹角问题 考法1：求点到直线的距离 【例1.1.】 在空间直角坐标系中，已知点，则点到直线的距离为（    ） A． B．2 C． D．3 【例1.2.】 如图，在正三棱柱中，若，则点到直线的距离为（    ）    A． B． C． D． 【例1.3.】 在四面体中，，，，若点为的重心，则点到直线的距离为（    ） A． B． C． D． 考法2：求点到平面的距离 【例2.1.】 在空间直角坐标系中，点在平面外，点在平面内，平面的一个法向量为，则点A到平面的距离为 【例2.2.】 已知，则点到平面的距离为 ． 【例2.3.】 （多选）如图，正方体的棱长为2，为线段中点，为线段中点，则（    ）    A．点到直线的距离为 B．直线到直线的距离为2 C．点到平面的距离为 D．直线到平面的距离为 【例2.4.】 在正六棱柱中，，，分别为，的中点，则点到平面的距离为 ． 【例2.5.】 如图，点为矩形所在平面外一点，平面，Q为线段的中点，，，，则点P到平面的距离为 ． 【例2.6.】 如图，在棱长为1的正方体中，为线段的中点，为线段的中点.求直线到平面的距离； 【例2.7.】 如图，四棱锥中，底面，，，，，是的中点. (1)求证：； (2)求证：平面； (3)求点到平面的距离. 考法3：求异面直线所成角 【例3.1.】 在《九章算术》中，将四个面都是直角三角形的四面体称为“鳖臑”，在“鳖臑”中，平面BCD，且，M为AD中点，则异面直线CM与AB所成角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 【例3.2.】 如图，在直三棱柱中，，，，，则与所成的角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 【例3.3.】 如图，在四棱锥中，底面为矩形，底面，，，为的中点，则异面直线与所成角的余弦值为 . 【例3.4.】 如图，在正四棱锥中，二面角为60°，E为的中点.已知F为直线上一点，且F与A不重合，若异面直线与所成角为60°，则= . 考法4：求直线与平面所成角 【例4.1.】 在长方体中，已知，，为的中点，则直线与平面所成角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 【例4.2.】 在正三棱柱中，，P为的中点，则直线与平面所成角的正弦值为（   ） A． B． C． D． 【例4.3.】 如图，在四棱锥中，底面是矩形，平面平面，，． (1)证明：； (2)求与平面所成角的正弦值． 【例4.4.】 如图，在四棱锥中，平面ABCD，底面ABCD为矩形，E，F分别为PA，CD的中点．    (1)证明：平面PBF． (2)若，，求直线PD与平面PBF所成角的正弦值． 【例4.5.】 如图，已知四棱锥的底面为菱形，，，．    (1)证明：平面平面； (2)是的中点，是上的一点，且平面，求直线与平面所成角的正弦值． 【例4.6.】 如图，圆柱的轴截面为正方形，且，点在圆上（与不重合）． (1)求证：； (2)若点到平面的距离为，求直线与平面所成角的正弦值． 考法5：求平面与平面所成角 【例5.1.】 如图，在三棱台中，若平面，，，，为中点，则二面角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 【例5.2.】 在正方体中，平面经过点B，D，平面经过点A，，当平面，分别截正方体所得截面面积最大时，平面与平面的夹角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 【例5.3.】 在正四棱柱中，，，是的中点，则平面与平面夹角的余弦值为 ． 【例5.4.】 如图，是三棱锥的高，，，E是的中点，若，，，则二面角的正弦值为 ．    【例5.5.】 如图，在五棱锥中，底面ABCDE，，，，，，则平面与平面的夹角的余弦值为 ． 【例5.6.】 中国古代数学著作《九章算术》中记载了一种称为“曲池”的几何体，该几何体的上、下底面平行，且均为扇环形（扇环是指圆环被扇形截得的部分），现有一个如图所示的曲池，它的高为2，均与曲池的底面垂直，底面扇环对应的两个圆的半径分别为1和2，对应的圆心角为，则图中平面与平面所成角的余弦值为 . 【例5.7.】 如图，在四棱锥P—ABCD中，底面ABCD是边长为2的正方形，侧面PAD是正三角形，侧面PAD⊥底面ABCD，M是PD的中点 (1)若平面ABM与棱PC交于点N，求证：N是PC的中点； (2)求二面角A—PC—D的正切值. 【例5.8.】 如图所示，在直三棱柱中，E，F分别是线段AC，的中点，． (1)求证：平面平面； (2)若，且二面角的余弦值为，求的值． 【例5.9.】 如图，在四棱锥中，，且. (1)若平面，证明：点为棱的中点； (2)已知二面角的大小为，当平面和平面的夹角为时，求证：. ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $$ §1.4.2 用空间向量研究距离、夹角问题 考法1：求点到直线的距离 【例1.1.】 在空间直角坐标系中，已知点，则点到直线的距离为（    ） A． B．2 C． D．3 【答案】A 【难度】0.85 【知识点】点到直线距离的向量求法 【分析】根据点到直线距离的向量坐标公式计算即可求解. 【详解】根据题意，， 则， 设向量是直线的单位方向向量，， ， 则点C到直线AB的距离为. 故选：A. 【例1.2.】 如图，在正三棱柱中，若，则点到直线的距离为（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.65 【知识点】点到直线距离的向量求法 【分析】取的中点，以为原点建立空间直角坐标系，利用向量法求解即可. 【详解】取的中点，则， 以为原点，的方向分别为轴的正方向建立空间直角坐标系， 则， 所以， 所以在上的投影的长度为， 故点到直线的距离．    故选：B. 【例1.3.】 在四面体中，，，，若点为的重心，则点到直线的距离为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.65 【知识点】点到直线距离的向量求法 【分析】以射线，，的方向分别为轴、轴、轴的正方向建立空间直角坐标系，应用向量法求距离. 【详解】由题意知，在四面体中，，，两两互相垂直， 如图，以为原点，以射线，，的方向分别为轴、轴、轴的正方向建立空间直角坐标系.    ∵，，，， ∴，，，，， ∴，， ， ， ∴点到直线的距离. 故选：D 考法2：求点到平面的距离 【例2.1.】 在空间直角坐标系中，点在平面外，点在平面内，平面的一个法向量为，则点A到平面的距离为 【答案】2 【难度】0.85 【知识点】点到平面距离的向量求法 【分析】由题意可知：，利用空间向量求点A到平面的距离. 【详解】由题意可知：，且平面的一个法向量为， 所以点A到平面的距离为. 故答案为：2. 【例2.2.】 已知，则点到平面的距离为 ． 【答案】/ 【难度】0.85 【知识点】点到平面距离的向量求法 【分析】由题意求出平面的法向量，利用向量法即可求点面距离. 【详解】由题意，， 设平面的法向量为， 则有，令，则， 所以， 则点到平面的距离为. 故答案为：. 【例2.3.】 （多选）如图，正方体的棱长为2，为线段中点，为线段中点，则（    ）    A．点到直线的距离为 B．直线到直线的距离为2 C．点到平面的距离为 D．直线到平面的距离为 【答案】AD 【难度】0.65 【知识点】点到直线距离的向量求法、点到平面距离的向量求法 【分析】建立坐标系，求出向量在单位向量上的投影，结合勾股定理可得点到直线的距离，判断A；先证明，再转化为点到直线的距离求解，判断B；求解平面的法向量，利用点到平面的距离公式进行求解，判断C；把直线到平面的距离转化为到平面的距离，利用法向量进行求解，判断D. 【详解】建立如图所示的空间直角坐标系，    则， 因为， 所以. 所以点到直线的距离为，故A正确； 因为，所以，即 所以点到直线的距离即为直线到直线的距离， ，， 所以直线到直线的距离为，故B错误； 设平面的一个法向量为，，. 由，令，则，即. 设点到平面的距离为，则，即点到平面的距离为，故C错误； 因为平面，平面，所以平面， 所以直线到平面的距离等于到平面的距离.， 由C得平面的一个法向量为， 所以到平面的距离为， 所以直线到平面的距离为，故D正确. 故选：AD. 【例2.4.】 在正六棱柱中，，，分别为，的中点，则点到平面的距离为 ． 【答案】/ 【难度】0.65 【知识点】点到平面距离的向量求法 【分析】建立空间直角坐标系，利用空间向量求点到平面的距离. 【详解】连接，，设其交点为．由正六棱柱的性质知，，且，取的中点，连接，则平面． 以为坐标原点，，，所在直线分别为轴、轴、轴建立空间直角坐标系． 因为，，分别为，的中点， 所以，，，， 则，，． 设平面的法向量为， 则令，则． 故点到平面的距离． 故答案为： 【例2.5.】 如图，点为矩形所在平面外一点，平面，Q为线段的中点，，，，则点P到平面的距离为 ． 【答案】 【难度】0.65 【知识点】点到平面距离的向量求法 【分析】由已知，以A为坐标原点，建立空间直角坐标系，求出和平面的一个法向量，再利用点到平面的距离，由坐标运算即可得答案. 【详解】 点为矩形所在平面外一点，又平面， 如图，以A为坐标原点，AB，AD，AP所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系， 因为Q为线段的中点，，，， 则，，，， 所以，，， 设平面的一个法向量为， 由 ，得， 令，则，所以取， 所以点到平面的距离． 故答案为：. 【例2.6.】 如图，在棱长为1的正方体中，为线段的中点，为线段的中点.求直线到平面的距离； 【答案】 【难度】0.65 【知识点】点到平面距离的向量求法 【分析】根据题意，以为原点建立如图所示的空间坐标系，从而得出各点坐标和所需向量的坐标，通过空间向量判断直线位置关系得出，从而平面，则将点到平面的距离转化为直线到平面的距离，再利用空间向量法求出平面的法向量，最后利用空间向量求点到面的距离公式，得出点到平面的距离，根据空间向量的数量积和模的运算即可求出结果. 【详解】解：以为原点，，，所在的直线分别为轴、轴、轴，建立如图所示的空间坐标系， 则，，，，， ∴，，，，， ∵，∴，∴平面， ∴点到平面的距离即为直线到平面的距离， 设平面的法向量为，则， ∴，∴，取，则，， ∴，又， ∴点到平面的距离为. 【例2.7.】 如图，四棱锥中，底面，，，，，是的中点. (1)求证：； (2)求证：平面； (3)求点到平面的距离. 【答案】(1)证明见解析； (2)证明见解析； (3) 【难度】0.65 【知识点】空间位置关系的向量证明、点到平面距离的向量求法 【分析】（1）以为坐标原点建立空间直角坐标系，得到，，计算得到，即证明； （2）先写出坐标，再求出平面ABE的法向量，验证可知∥，即证明平面； （3）利用空间向量中点到面的距离公式，列出计算公式，计算可得答案. 【详解】（1）因为底面， AB， 平面ABCD，所以，， 又 故以A为坐标原点，AB，AD，AP所在直线分别为，，轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 则，，，，，，所以，， 所以，所以． （2）由（1），得． 设向量是平面的法向量，则，即， 取，则，所以，所以， 所以平面． （3）（3）由（2）可知平面ABE的法向量，， 设C点到平面ABE的距离为d，则. 考法3：求异面直线所成角 【例3.1.】 在《九章算术》中，将四个面都是直角三角形的四面体称为“鳖臑”，在“鳖臑”中，平面BCD，且，M为AD中点，则异面直线CM与AB所成角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.85 【知识点】异面直线夹角的向量求法 【分析】将三棱锥 放入正方体中，建立空间直角坐标系，利用向量求异面直线CM与AB夹角的余弦值. 【详解】由题可知AB、BC、CD两两垂直，且 因此，如图，正方体内三棱锥即为满足题意的鳖臑 ，    以B为原点，建立如图所示的空间直角坐标系，正方体棱长为2， 则 ，，， ， 则 ， ， ， 则异面直线CM与AB夹角的余弦值为. 故选：D 【例3.2.】 如图，在直三棱柱中，，，，，则与所成的角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.85 【知识点】异面直线夹角的向量求法 【分析】建立空间直角坐标系，写出点的坐标，利用计算出与所成的角的余弦值. 【详解】以为坐标原点，所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系， 则， 则， 则与所成的角的余弦值为 . 故选：D 【例3.3.】 如图，在四棱锥中，底面为矩形，底面，，，为的中点，则异面直线与所成角的余弦值为 . 【答案】 【难度】0.85 【知识点】异面直线夹角的向量求法 【分析】根据向量数量积、模的运算、夹角等知识来求得正确答案. 【详解】由于底面，平面，所以， 而底面是矩形，所以， ， ， 所以， . 所以异面直线与所成角的余弦值为. 故答案为： 【例3.4.】 如图，在正四棱锥中，二面角为60°，E为的中点.已知F为直线上一点，且F与A不重合，若异面直线与所成角为60°，则= . 【答案】11 【难度】0.65 【知识点】已知面面角求其他量、已知线线角求其他量 【分析】由题意建立空间直角坐标系，由二面角的定义得出，从而写出的坐标，由向量共线的性质设，利用向量的加法得出，由异面直线与所成角，利用向量法得出的值，从而得出的值. 【详解】取的中点G，与的交点为，以O为坐标原点，分别以为轴的正方向，建立空间直角坐标系，设 因为二面角为60°，所以 则. 设，则 从而 整理得，解得(舍)， 故. 故答案为： 考法4：求直线与平面所成角 【例4.1.】 在长方体中，已知，，为的中点，则直线与平面所成角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.65 【知识点】线面角的向量求法 【分析】利用线面垂直以及线线平行可得为直线与平面所成角的线面角，又三角形边角关系即可求解，或者建立空间直角坐标系，利用线面角公式即可求解． 【详解】方法一：连接相交于，取中点，中点为,连接， 则,, 由于底面，平面，所以, 又,平面，所以平面， 所以平面,因此为直线与平面所成角， ,,所以, 则,    方法二：建立如图空间直角坐标系，则,2,,,2,,,0,， ,2,，,0,，    由于所以平面的法向量为,2,， 设直线与平面所成角为， 则， 则直线与平面所成角的余弦值为． 故选：B． 【例4.2.】 在正三棱柱中，，P为的中点，则直线与平面所成角的正弦值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.65 【知识点】线面角的向量求法 【分析】如图，过点作平面的垂线为轴，以，为轴和轴，作空间直角坐标系.求平面的一个法向量，以及直线的方向向量，则即为所求. 【详解】如图，过点作平面的垂线为轴，以，为轴和轴，作空间直角坐标系. 则平面的一个法向量为， 设正三棱柱中，，则，， 所以，所以, 所以直线与平面所成角的正弦值为. 故选：A 【例4.3.】 如图，在四棱锥中，底面是矩形，平面平面，，． (1)证明：； (2)求与平面所成角的正弦值． 【答案】(1)证明见解析 (2)． 【难度】0.65 【知识点】线面角的向量求法、线面垂直证明线线垂直 【分析】（1）由线面垂直判定定理证明平面，又平面，从而可求解. （2）建立空间直角坐标系，求出平面的一个法向量，再利用向量法求解线面角，从而可求解. 【详解】（1）取的中点，连接，，因为，所以． 因为平面平面，且平面平面，平面， 所以平面，因为平面，所以， 由，，所以在和中 ，所以，因此， 因为，平面，所以平面， 又因为平面POC，所以． . （2）以O为坐标原点，所在直线为轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系． 由题设得，，，， 则，，． 设是平面的一个法向量，则，即，可取． 所以． 因此与平面所成角的正弦值为． 【例4.4.】 如图，在四棱锥中，平面ABCD，底面ABCD为矩形，E，F分别为PA，CD的中点．    (1)证明：平面PBF． (2)若，，求直线PD与平面PBF所成角的正弦值． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【难度】0.65 【知识点】线面角的向量求法、证明线面平行 【分析】（1）取PB的中点G，由、得四边形EGFD为平行四边形，再由线面平行判定定理可得答案； （2）以A为坐标原点，，，的方向分别为x轴，y轴，z轴的正方向建立空间直角坐标系，求出平面PBF的法向量，再由线面角的向量求法可得答案. 【详解】（1）如图，取PB的中点G，连接EG，GF． ，G分别是PA，PB的中点，，且． ，且，，, 四边形EGFD为平行四边形， ．又平面PBF，平面PBF，平面PBF； （2）以A为坐标原点，，，的方向分别为x轴，y轴，z轴的正方向 建立空间直角坐标系，则，，，，， ，，．    设平面PBF的法向量为，则， 取，则，所以， 则， 直线PD与平面PBF所成角的正弦值为． 【例4.5.】 如图，已知四棱锥的底面为菱形，，，．    (1)证明：平面平面； (2)是的中点，是上的一点，且平面，求直线与平面所成角的正弦值． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【难度】0.65 【知识点】证明面面垂直、线面角的向量求法 【分析】（1）取的中点，连接、，即可得到，再由勾股定理逆定理得到，即可得到平面，从而得证； （2）建立空间直角坐标系，求出平面的法向量，设，即可得到，由求出，再根据空间向量法计算可得. 【详解】（1）如图，取的中点，连接、， 因为，，则，即， 所以，， 又为菱形且，所以为等边三角形，所以，且， 又， 所以，所以，又，平面， 所以平面，又平面，所以平面平面.    （2）由（1）可知，，，如图建立空间直角坐标系， 则，，，，，， 则，， 因为是的中点，是上的一点，且平面，显然与不平行， 设平面的法向量为，则， 令，则， 因为，设， 则， 因为，即，解得， 所以， 设直线与平面所成角为，又平面的法向量可以为， 所以， 即直线与平面所成角的正弦值为.    【例4.6.】 如图，圆柱的轴截面为正方形，且，点在圆上（与不重合）． (1)求证：； (2)若点到平面的距离为，求直线与平面所成角的正弦值． 【答案】(1)证明见解析 (2)． 【难度】0.65 【知识点】线面角的向量求法、线面垂直证明线线垂直 【分析】（1）连接，分别证得和，得到平面，进而证得； （2）过点作于点，以点为坐标原点，建立空间直角坐标系，求得平面的法向量，结合向量的夹角公式，即可求解. 【详解】（1）证明：连接，由条件可得平面， 又由平面，所以， 因为点在圆上，所以， 又因为，且平面，所以平面， 因为平面，所以． （2）解：过点作于点， 由（1）知平面，因为平面，所以， 又因为，且平面， 所以平面，故的长为点到平面的距离， 又因为为的中点，点到平面的距离为，所以． 在直角中，可得，即，可得， 因为，，所以， 以点为坐标原点，过点且与平面垂直的直线为轴，所在直线分别为轴建立空间直角坐标系，如图所示， 则，， 所以，，， 设平面的法向量为，则， 令，可得，所以， 设直线与平面所成角为， 则， 所以直线与平面所成角的正弦值为． 考法5：求平面与平面所成角 【例5.1.】 如图，在三棱台中，若平面，，，，为中点，则二面角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.85 【知识点】面面角的向量求法 【分析】建立空间直角坐标系，利用向量法求得二面角的余弦值. 【详解】由于，，根据台体的性质可知, 由于平面，平面，所以， 由于，由此以为原点建立如图所示空间直角坐标系， 平面的一个法向量为， ，即， 设平面的法向量为， 则，故可设， 设二面角为，由图可知为锐角， 所以. 故选：B 【例5.2.】 在正方体中，平面经过点B，D，平面经过点A，，当平面，分别截正方体所得截面面积最大时，平面与平面的夹角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.65 【知识点】面面角的向量求法 【分析】首先根据题意转化为过体对角线的平面与平面夹角的余弦值，利用向量坐标法求平面的法向量，即可求解. 【详解】如图：因为正方体中过体对角线的截面面积最大， 所以题目转化为求平面与平面夹角的余弦值， 以D点为坐标原点，建立空间直角坐标系， 设正方体棱长为1，平面与平面的夹角为， 因为平面，平面，所以， 且，，平面， 所以平面，同理平面， 所以为平面的一个法向量，为平面的一个法向量， ，，， ，，则. 故选：C. 【例5.3.】 在正四棱柱中，，，是的中点，则平面与平面夹角的余弦值为 ． 【答案】 【难度】0.65 【知识点】面面角的向量求法 【分析】建立空间直角坐标系，利用向量法求平面与平面的夹角. 【详解】 如图，以点为坐标原点，以所在直线分别为轴建立空间直角坐标系， 由题意，， 则， 设平面的一个法向量， 则有，令，则，所以. 设平面的一个法向量， 则有，令，则，所以. 设平面与平面夹角为， 则. 故答案为：. 【例5.4.】 如图，是三棱锥的高，，，E是的中点，若，，，则二面角的正弦值为 ．    【答案】 【难度】0.65 【知识点】面面角的向量求法 【分析】以点为坐标原点建立空间直角坐标系，分别求得平面和平面的法向量，利用空间向量即可求得二面角的正弦值. 【详解】过点作，如图建立空间直角坐标系，      因为，，所以， 又，所以，则，， 所以， 可得，，，，所以， 则，，， 设平面的法向量为， 则，令，则，， 所以； 设平面的法向量为， 则，令，则，， 所以； 所以. 设二面角的大小为，则， 所以， 即二面角的正弦值为. 故答案为： 【例5.5.】 如图，在五棱锥中，底面ABCDE，，，，，，则平面与平面的夹角的余弦值为 ． 【答案】/ 【难度】0.65 【知识点】面面角的向量求法 【分析】建立空间直角坐标系，分别求出平面与平面的法向量，利用空间向量的夹角公式求解即可. 【详解】建立如图所示的空间直角坐标系， 因为，， 所以, 则， 假设平面的一个法向量为， 则， 令，则，所以， 假设平面的一个法向量为， 则， 令，则，所以， 假设平面与平面的夹角为， 则， 故答案为： 【例5.6.】 中国古代数学著作《九章算术》中记载了一种称为“曲池”的几何体，该几何体的上、下底面平行，且均为扇环形（扇环是指圆环被扇形截得的部分），现有一个如图所示的曲池，它的高为2，均与曲池的底面垂直，底面扇环对应的两个圆的半径分别为1和2，对应的圆心角为，则图中平面与平面所成角的余弦值为 . 【答案】 【难度】0.65 【知识点】面面角的向量求法 【分析】建立空间直角坐标系，用向量法求解平面与平面夹角的余弦值. 【详解】设上底面圆心为，下底面圆心为，连接，，，以为原点，分别以，，所在直线为轴，轴，轴建立空间直角坐标系， 则，，，，，， 则，，，， 设为平面的一个法向量， 则，令可得，所以， 设为平面的一个法向量， 则，令可得，所以 设平面与平面所成角为，， 则， 故平面与平面所成角的余弦值为. 故答案为：. 【例5.7.】 如图，在四棱锥P—ABCD中，底面ABCD是边长为2的正方形，侧面PAD是正三角形，侧面PAD⊥底面ABCD，M是PD的中点 (1)若平面ABM与棱PC交于点N，求证：N是PC的中点； (2)求二面角A—PC—D的正切值. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【难度】0.65 【知识点】面面角的向量求法、求二面角、证明线面平行 【分析】(1)MN是平面PAD与平面ABM的交线，利用中位线定理可证； (2)建立空间直角坐标系，用空间向量计算二面角. 【详解】（1）∵底面ABCD为正方形，∴ ， ∵AB面PCD，DC面PCD，∴AB 面PCD， ∵AB面ABM，平面ABM与面PCD交于直线MN，∴， ∵ ，∴ ， 由M是PD的中点，得N是PC的中点； （2） 过AD的中点O和BC的中点G作直线OG，并直线OP， 是等边三角形， ，又平面PAD 平面ABCD，平面 平面ABCD=AD， 平面PAD， ， 平面ABCD， 平面ABCD， ， 四边形ABCD是正方形， ， ， 以O为原点，AD为y轴，OG为x轴，OP为z轴，建立空间直角坐标系如上图， 则有 ， ， ，，设 是平面PAC的一个法向量， 则有 ，即 ，令 ，则 ， 设 是平面PDC的一个法向量，则有 ， ，令 ，则 ， ， 设二面角A-PC-D为 ， ； 综上，二面角A-PC-D的正切值为 . 【例5.8.】 如图所示，在直三棱柱中，E，F分别是线段AC，的中点，． (1)求证：平面平面； (2)若，且二面角的余弦值为，求的值． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【难度】0.65 【知识点】已知面面角求其他量、面面角的向量求法、证明面面垂直、证明线面垂直 【分析】（1）根据线面垂直的判定可得平面，再由面面垂直判定定理得证； （2）设，则，建立空间直角坐标系，利用向量法求出二面角余弦值解出即可得解. 【详解】（1）因为，所以， 而E为AC的中点，所以． 因为平面ABC，平面ABC，所以． 又，平面，所以平面． 因为平面BEF，所以平面平面． （2）因为，设，则，． 以E为坐标原点，以EB，EC所在直线分别为x，y轴， 过点E与平面ABC垂直的直线为z轴，建立空间直角坐标系如图， 设，则，，，，， 所以，，，． 设平面BEF的法向量为， 则，得，令，则． 设平面ABF的法向量为， 则，得，令，则． 设二面角的平面角为，则， 所以，解得． 故． 【例5.9.】 如图，在四棱锥中，，且. (1)若平面，证明：点为棱的中点； (2)已知二面角的大小为，当平面和平面的夹角为时，求证：. 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【难度】0.65 【知识点】面面角的向量求法、由线面平行的性质判断线段比例或点所在的位置、证明面面垂直、证明线面垂直 【分析】（1）找到面与面的交线，利用线面平行，得到线线平行，进而证明点为棱的中点. （2）建立空间直角坐标系，利用两平面的法向量公式求出平面和平面的夹角，进而利用三角函数的性质求出的范围. 【详解】（1）证明： 在直角三角形中，， 又为的平分线， 延长交于点，连接， 在中，是等腰三角形， 点是的中点， 直线平面，过的平面与平面的交线为， 是的中点， 是的中点； （2）证明：由（1）可得，，， 为二面角的平面角，， 又为正三角形， 又，平面， 故平面，平面，平面平面， 取的中点为，连，则平面， 如图建立空间直角坐标系， 则，，， 设分别为平面和平面的法向量， 则即取，则 即取，则 在范围内单调递减， 平面和平面所成夹角满足. ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $$