第16章 整式的乘课件 2025-2026学年 人教版（2024）八年级数学上册

该初中数学课件围绕“同底数幂的乘法”核心知识点，从基础计算（如x²·x⁵）逐步过渡到含负号幂（如(-x)³·(-x)²）、字母指数（如bⁿ⁺²·bⁿ·b）及综合应用，构建从具体到抽象的学习支架，帮助学生衔接前后知识脉络。 其亮点在于通过分层设计（基础夯实、综合运用、拓展探索），结合抽象能力和运算能力培养，如第10题利用法则推理求aʸ值，强化推理意识。多样化题目助力学生逐步掌握法则，教师可通过分层练习检测教学效果，提升课堂效率。

专题十一　[易错] 《整式的乘法》中的常见错误 八年级数学上册（R） 1.计算×(-2)102的结果为(　 　) A.2 B.-2 C. D.- 2.计算: (1)a9·a7·a5·a=　 　;  (2)-p2·(-p)4·(-p)5=　 　;  (3)(x-y)4·(y-x)5÷(y-x)=　 ;  B a22 p11 (y-x)8　 八年级数学上册（R） 2 (4)(-a4)3÷(-a)7=　 　;  (5)am+2÷am-1=　 　;  (6)-a2bc·(2ab2-6a+1)=　 ;  (7)x·x2·x3+(-x2)·(-x)4+=　 　;  (8)(-a-2b)+(a+2b)3=　 　.  a5 a3 -a3b3c+3a3bc-a2bc　 x6 0 八年级数学上册（R） 3 3.(1)若am=2,an=3,则a3m+2n=　 　;  (2)若am=4,an=8,则a3m-2n=　 　.  4.计算: (1)(m-n)(n-m)=　 ;  (2)(4a-3b)(-4a-3b)=　 　.  72 1 -m2+2mn-n2　 9b2-16a2 八年级数学上册（R） 4 5.若(x-3)x+2=1,则x的值为　 .  6.把4x2+1加上一个单项式,使其成为一个整式的平方,请你写出所有符合条件的单项式:　 .  7.如果关于x的二次三项式4x2+(m-1)x+9是一个完全平方式,那么常数m的值是　 .  -2,4或2　 -1,-4x2,±4x,4x4　 -11或13　 八年级数学上册（R） 5 8.计算: (1)x2(x-1)-x(x2+x-1); 解:原式=x3-x2-x3-x2+x =-2x2+x. (2)(y+3)(y-3)-(y-1)(y+4); 解:原式=y2-9-(y2+3y-4) =y2-9-y2-3y+4 =-3y-5. 八年级数学上册（R） 6 (3)(1-3a)2-(3a+1)2; 解:原式=1+9a2-6a-(9a2+1+6a) =-12a. (4)(-x+y+z)(-x-y+z). 解:原式= =(-x+z)2-y2 =x2+z2-2xz-y2. 八年级数学上册（R） 7 9.已知a2+b2=16,且ab=-3,则a+b的值是(　 　) A.4 B.±4 C.2 D.±2 10.已知:a+b=5,ab=-6,则代数式的值: (1)a2+b2=　 　;(2)a-b=　 　.  11.已知正实数x满足x2+=7,则x+=　 　.  D 37 ±7 3 八年级数学上册（R） 8 $$第2课时 积的乘方 八年级数学上册(R) 第一阶 基础夯实 1.计算(ab3)2的结果是(A) A.a2b6 B.ab6 C.a2b5 D.a3b5 2.计算aa5-(2)2的结果为(D) A.6-2 B.-a6 C.a6-4a5 D.-3a6 3.(2025·重庆巴蜀)下列各式计算正确的是(C) A.(a2)4=a6 B.(ab)3=ab3 C.a2.a3=a5 D.3a2+2a2=5a4 八年级数学上册(R) 4.计算：1)2y)2=46_ 2(-2x2y)- 3)-(x2y)2=-42; (4)3(c-y)213=27_; (5)2x2)3-x2x4=76. 5.(1)若x"=5y"=3,则(y2)y"=45; (2)若n为正整数，且x2m=3,则(3r3m)2=243; (3)若()5=215×315，则=6 八年级数学上册(R) 6.计算下列各题： (1)-(-4y2)3; (2)-2a2)3(4)2; 解：原式-64r3y6 解：原式=-8a14 (3)-3m)10-(-2m)2+-(3m)2]5; (4)0.52025×22026; 解：原式=-4m10. 解：原式=(0.5×2)2025×2=2. 536x4×(-)° 解：原式3×4×(-)】°(1=1. 八年级数学上册(R) 第二阶 综合运用 7.下列计算正确的是(D) A() 00 ×10101= 10 B)×(- 101 c(g)×91o=9 D”×(-) &已知2=3则后x) 的值是(B) A.12 B C.27 27 八年级数学上册(R) 9.(1)若A3=-27ab9,则A=_3a2h3_; (2)若(-x2·A)3=x3,则A=y, 10.计算下列各题： (1)(a4b4)5-(←b5)4+(-a2b2)10; 解：原式=20b20 (2)(-x2x320.5x2-1.5x2)5-(-x2）31-x)2-x)12; 解：原式=x10(-x10-(-x6x6x8 =-x20+x20-0. 八年级数学上册(R) (号)"×（②）×”； 解：原式()”×()”×)x份)” （侣××)》”×院x"x2器 ④(0.5×3)”×(-2×》 解：原式-G×》”x(会》2（侣×）”×品 199 八年级数学上册(R) 第三阶 拓广探索 11.数N=215×510是(C) A.10位数 B.11位数 C.12位数 D.13位数 12.(1)己知2+3.3+3=62x-4,则x的值为7； (2)若a2n=4(a>0),b2m=9(b>0),则(ab)"=6_ (3)(2024福建)已知am=2,bm=5,则(a2b)m=20一， 八年级数学上册(R) 13.(1)已知n是正整数，且3n=2,求(3r3m2+(-2x2m)3的值； 解：原式=9x6n-8.x6n=x6n 3m=2,:原式=(3m)2=22=4. 2)若a-号b2m-2,n为正整数，求1+(-b+a“b的值； 解：a-b2=2n为正整数a"d-7b08bn-4， :1+(-ab)4n+a3nbon=1+a4nbin+a3nb6m -1+量X4+(-)x80 八年级数学上册(R) (3)已知25=2000,80=2000，求证：y=x+y. 证明：25=2000,80'=2000,2000=25×80， .:259=(25)y'=2000'=(25×80)y =25×2000, 25*y=2525=2000×25, .:259=25+y=2000×25',. ..x=xy. 八年级数学上册()第2课时　单项式乘多项式 八年级数学上册（R） 1.(2025·重庆育才)若x(x+2)=ax2+bx,则a+b=(　 　) A.3 B.2 C.1 D.0 2.(2024·河南)下列计算错误的是(　 　) A.2x2=x3-2x2y B.3x2y(1-2y3)=3x2y+6x2y3 C.2x(3x2-xy+y)=6x3-2x2y+2xy D.-2x=-2x3+x2-2x A B 八年级数学上册（R） 2 3.如果一个三角形的底边长为2x2y+xy-y2,底边上的高为6xy,那么这个三角形的面积为(　 　) A.6x3y2+3x2y2-3xy3 B.6x2y2+3xy-3xy2 C.6x2y2+3x2y2-y2 D.6x2y+3x2y2 4.计算:(1)a(a+1)=　 　;  (2)(-3x2)(-x2+2x-1)=　 　;  (3)-(2x-4x3-8)·=　 　.  5.一个长方体的长、宽、高分别是(3x-4)米,2x米和x米,则这个长方体的体积是　 立方米.  A a2+a 3x4-6x3+3x2 x3-2x5-4x2 (6x3 -8x 2)　 八年级数学上册（R） 3 6.计算: (1)-6x(x-3y); 解:原式=-6x2+18xy. (2)5m2n(2n+3m-n2); 解:原式=10m2n2+15m3n-5m2n3. (3)3x-5x; 解:原式=-5x. (4)4x(1-3x)+2(6x2+3x-1); 解:原式=10x-2. (5)(ab2-a2b+1)·(-2a2b)2. 解:原式=4a5b4-4a6b3+4a4b2. 八年级数学上册（R） 4 7.在一次数学课上,学习了单项式乘多项式,小明回家后,拿出课堂笔记本复习,发现这样一道题:-3x(-2x2+3x-1)=6x3+□+3x,“□”的地方被墨水污染了,你认为“□”内应填写(　 　) A.9x2 B.-9x2 C.9x D.-9x 8.(1)若x(x+a)+3(x-b)=x2+7x-6,则a=　 　,b=　 　;  (2)已知xy2=-6,则-xy(x3y7-3x2y5-5y)的值为　 .  B 4 2 -1 974　 八年级数学上册（R） 5 9.(1)(2024·上海)若(-2x2+mx+1)·(-3x2)的展开式中不含x3项,则m=　 　;  (2)(2025·重庆巴蜀)已知M=x2-ax,N=-x,P=x3+3x2+5,若M·N+P的值与x的取值无关,则a的值为　 　.  10.先化简,再求值:已知单项式-2xm+4y2与x3y的积与7x6y3互为同类项,求2m2(3-m)-2(m2-m3)+1的值. 0 -3 解:-2xm+4y2·x3y=-2xm+7y3. ∵上式与7x6y3互为同类项,∴m+7=6,∴m=-1. 原式=6m2-2m3-2m2+2m3+1=4m2+1. 当m=-1时,原式=4×(-1)2+1=5. 八年级数学上册（R） 6 11.要使(-6x3)(x2+ax+5)+3x4的结果中不含x4项,则a的值是(　 　) A.0 B. C.- D.2 12.某同学在计算一个多项式乘-3x2时,因抄错运算符号,算成了加上-3x2,得到的结果是x2-4x+1,那么正确的计算结果是　 .  B -12x4+12x3-3x2　 八年级数学上册（R） 7 13.(1)求证:对于任意自然数n,代数式n(n+7)-n(n-5)+6的值都能被6整除; (2)已知数A=987 654 321×123 456 789,B=987 654 322×123 456 788,试比较A与B的大小. 证明:原式=12n+6=6(2n+1). ∵n为自然数, ∴原式能被6整除. 解:设a=987 654 321,b=123 456 788, 则a+1=987 654 322,b+1=123 456 789, ∴A=a(b+1)=ab+a,B=(a+1)b=ab+b, ∴A-B=ab+a-(ab+b)=a-b>0.∴A>B. 八年级数学上册（R） 8 $$《整式的乘法》章末考点复习与小结 八年级数学上册（R） 八年级数学上册（R） 2 八年级数学上册（R） 3 1.下列运算正确的是(　 　) A.x6÷x3=x2 B.a3·a2=a5 C.(2x)3=6x3 D.5a3-4a2=a2 2.(1)若2x+1=16,则x=　 　;  (2)如果ax=3,ay=5,则ax+y=　 　;  (3)已知am=3,an=2,则a2m-n的值为　 　;  (4)已知10a=5,10b=6,则102a+2b的值为　 　.  B 3 15 4.5 900 八年级数学上册（R） 4 3.若(2a-1)a+2=1,则a的值为　 .  解析:当2a-1=1时,a=1,原式为13=1;当2a-1=-1时,a=0,原式为(-1)2=1; 当a+2=0时,a=-2,原式为(-5)0=1,故a的值为-2,0,1. -2,0,1　 4.计算: (1) x·(-x3)8·(-x4)3; (2)+(-a3b2)2; 解:原式=-a6b9+a6b4. 解:原式=-x·x24·x12 =-x37. 八年级数学上册（R） 5 (3)-10×(-0.3×103)×(0.4×105); 解:原式=0.3×0.4×10×103×105 =1.2×108. (4)(b-2a)3·(2a-b)5÷[(2a-b)2]3. 解:原式=-(2a-b)3·(2a-b)5÷(2a-b)6 =-(2a-b)2. 八年级数学上册（R） 6 5.下列运算正确的是(　 　) A.3x2+4x3=7x5 B.(x+y)2=x2+y2 C.(2+3x)(2-3x)=9x2-4 D.(2x3y2-4xy4)÷(-2xy2)=2y2-x2 D 八年级数学上册（R） 7 6.关于x的三次三项式A=-x3+3x2-5=a(x-1)3+b(x-1)2+c(x-1)+d(其中a,b,c,d均为常数),关于x的二次三项式B=7x2-ex-f(e,f均为非零常数),下列说法正确的个数有(　 　) ①当2A-3B是关于x的三次三项式时,则f=; ②当A·B中不含x3时,则f=6e; ③若当x=1时,B=2;当x=时,B=,则e=,f=-; ④d=-; ⑤a+b+c=. A.2个 B.3个 C.4个 D.5个 D 八年级数学上册（R） 8 7.(1)(2025·重庆一中)老师在黑板上书写了一个正确的演算过程,随后用手掌捂住了一个多项式,形式如下: ÷=-6x+2y-1,则手掌捂住的多项式为　 ;  (2)要使(x2-x+5)(2x2-mx-4)的展开式中不含x2项,则m的值是　 　.  3xy-y2+y　 -6 八年级数学上册（R） 9 8.计算: (1)(-2ab)·5ab·; (2)4t(5t2+2t-1)-3t(13t2+7t); (3)(3y-x)(x+4y); (4)÷; 解:原式=a1+1+2b1+1+2 =6a4b4. 解:原式=20t3+8t2-4t-39t3-21t2 =-19t3-13t2-4t. 解:原式=3xy+12y2-x2-4xy =12y2-xy-x2. 解:原式=y2. 八年级数学上册（R） 10 (5)[x(x2y2-xy)-y(x2-x3y)]÷3x2y. 解:原式=(x3y2-x2y-x2y+x3y2)÷3x2y =(2x3y2-2x2y)÷3x2y =xy-. 八年级数学上册（R） 11 9.(2025·重庆西附)下列各式中,能运用完全平方公式进行计算的是(　 　) A.(a+2b)(a-2b) B.(2a+5b)(2a-5b) C.(2a+b)(a+2b) D.(2a+1)(-2a-1) 10.如果m2-2m-4=0,那么代数式(m+3)(m-3)+(m-2)2的值为(　 　) A.-3 B.-1 C.1 D.3 11.若a=2 024×2 025+1,b=2 0242-2 024×2 025+2 0252,下列判断a,b的大小关系正确的是(　 　) A.a<b B.a=b C.a>b D.无法比较 D D B 八年级数学上册（R） 12 12.如图是利用割补法求图形面积的示意图,下列公式中与之相对应的是(　 　) A.(a+b)2=a2+2ab+b2 B.(a-b)2=a2-2ab+b2 C.(a+b)(a-b)=a2-b2 D.(ab)2=a2b2 A 八年级数学上册（R） 13 13.(1)若m+n=5,mn=6,则m2-mn+n2的值是　 　;  (2)若a-b=2,ab=1,则a2+b2=　 　;  (3)已知(x+y)2=5,(x-y)2=1,则xy=　 　;  (4)若x2+2(m-3)x+16是完全平方式,则常数m的值是　 　.  14.(1)已知a2+b2=5,(a+b)2=9,求a4+b4的值; 解:(1)∵a2+b2=5,(a+b)2=9, ∴2ab=(a+b)2-(a2+b2)=9-5=4, ∴ab=2, ∴a4+b4=(a2+b2)2-2a2b2=25-8=17. 7 6 1 7或-1 八年级数学上册（R） 14 (2)若x满足(9-x)(x-7)=-15,求(9-x)2+(x-7)2的值. (2)设a=9-x,b=x-7, 则ab=-15,a+b=9-x+x-7=2, ∴(9-x)2+(x-7)2=a2+b2=(a+b)2-2ab =22-2×(-15)=34. 八年级数学上册（R） 15 15.化简: (1)(3a-2b)(3a+2b)+(a-2b)2; 解:原式=(3a)2-(2b)2+a2-4ab+4b2 =9a2-4b2+a2-4ab+4b2=10a2-4ab. (2)(2x-y)2-4(x-y)(x+2y); 解:原式=4x2-4xy+y2-4(x2+2xy-xy-2y2) =4x2-4xy+y2-4x2-4xy+8y2=-8xy+9y2. (3)(a+3b)(3a-b)-(a+b)(-a-b). 解:原式=3a2-ab+9ab-3b2+a2+2ab+b2 =4a2+10ab-2b2. 八年级数学上册（R） 16 16.如图所示,从边长为(a+b)的正方形中剪掉边长为a的正方形,剩余部分为2个长方形和1个小正方形,据此回答下列问题. (1)用如图所示图形验证的乘法公式是:　 ;  (2)运用(1)中的等式,计算:1.232+2.46×2.77+2.772的值为　 　;  (a+b)2=a2+2ab+b2　 16 八年级数学上册（R） 17 (3)若x2-3x+1=0,运用(1)中的等式求x2+的值; 解:(3)∵x2-3x+1=0,易知x≠0, ∴x-3+=0,即x+=3, ∴=9, 即x2+2+=9, ∴x2+=7. 八年级数学上册（R） 18 (4)已知(x-2 024)2+(x-2 026)2=34,求(x-2 025)2的值. (4)设x-2 025=a, 则x-2 026=a-1,x-2 024=a+1. 依题意,得(a+1)2+(a-1)2=34, ∴a2+2a+1+a2-2a+1=34, ∴a2=16,即(x-2 025)2=16. 八年级数学上册（R） 19 17.先化简,再求值: (1)(1+x)(1-x)+x(x+2),其中x=; (2)x(x+4y)+(y+2x)(y-2x)-(2x-y)2,其中x=2,y=-; 解:原式=1-x2+x2+2x=1+2x. 当x=时,原式=1+2×=2. 解:原式=x2+4xy+y2-4x2-4x2+4xy-y2=-7x2+8xy. 当x=2,y=-时, 原式=-7×22+8×2×=-36. 八年级数学上册（R） 20 (3)(2a+3)(2a-3)+(2a-1)2,其中2a2-a-3=0; 解:原式=4a2-9+4a2-4a+1 =8a2-4a-8. ∵2a2-a-3=0,∴2a2-a=3, ∴原式=4(2a2-a)-8=4×3-8=4. 八年级数学上册（R） 21 (4)[(3m+n)(m-n)-(2m-n)2+(m-2n)(m+2n)]÷2n,其中m,n满足 m2+n2-6m+2n+10=0. 解:原式=(3m2-2mn-n2-4m2+4mn-n2+m2-4n2)÷2n =(2mn-6n2)÷2n=m-3n. ∵m2+n2-6m+2n+10=0,∴(m-3)2+(n+1)2=0. 又∵(m-3)2≥0,(n+1)2≥0, ∴m-3=0,n+1=0,∴m=3,n=-1, ∴原式=3-3×(-1)=6. 八年级数学上册（R） 22 $$第3课时　多项式乘多项式 八年级数学上册（R） 1.(x-1)(2x+3)的计算结果是(　 　) A.2x2+x-3 B.2x2-x-3 C.2x2-x+3 D.x2-2x-3 2.(2025·重庆一中)若x+y=1且xy=-2,则代数式(1+x)(1+y)的值等于(　 　) A.-2 B.0 C.1 D.2 3.如图,在长为3a+2,宽为2b-1的长方形铁片上,挖去长为2a+4,宽为b的小长方形铁片,则剩余部分的面积是(　 　) A.6ab-3a+4b B.4ab-3a-2 C.6ab-3a+8b-2 D.4ab-3a+8b-2 A B B 八年级数学上册（R） 2 4.计算: (1)(x-2y)(2x+y)=　 　;  (2)(y-1)(y-2)(y-3)=　 　.  5.(1)如果a2+a=1,那么(a-5)(a+6)的值为　 ;  (2)已知ab=a+b+1,则(a-1)(b-1)=　 　.  2x2-3xy-2y2 y3-6y2+11y-6 -29　 2 6.计算: (1)(y+3x)(3x-2y); 解:原式=9x2-3xy-2y2. (2)(-2t-1)(3t-2); 解:原式=-6t2+t+2. 八年级数学上册（R） 3 (3)(4m2+6m+9)(2m-3); 解:原式=8m3-27. (4)(x+2)(3x-2)-3x(x-2); 解:原式=10x-4. (5)(x+2)(x+3)-(x+6)(x-1). 解:原式=12. 八年级数学上册（R） 4 7.如图,有正方形卡片A类,B类和长方形卡片C类若干张,如果要拼一个长为a+3b,宽为2a+3b的大长方形,则需要C类卡片(　 　) A.2张 B.6张 C.9张 D.10张 C 八年级数学上册（R） 5 8.(1)若(2x-1)(x+3)=2x2+bx-3,则b=　 　;  (2)若2x2+ax+4=(2x+1)(x+b)+1,则ab的值为　 　.  9.(1)若(x2-ax+1)(x-1)的展开式是关于x的三次二项式,则常数a=　 　;  (2)若关于x,y的多项式中不含xy项,则m=  　.  10.先化简,再求值: (1)(2+x)(2-x)+(x-1)(x+5),其中x=; 解:原式=4-x2+x2+4x-5=4x-1. 当x=时,原式=5. 5 21 -1 八年级数学上册（R） 6 (2)2x2+2(x2-xy)+(y-x)(y+3x),其中x=,y=-1; 解:原式=2x2+2x2-2xy+y2+3xy-xy-3x2=x2+y2, 当x=,y=-1时,原式=+(-1)2=. (3)(x-y)(y-x)-[x2-2x(x+y)],其中x=,y=-2. 解:原式=-x2+2xy-y2-x2+2x2+2xy=4xy-y2. 当x=,y=-2时,原式=4××(-2)-(-2)2=-8. 八年级数学上册（R） 7 11.已知整式A=3-2x,B=2x+1,则下列说法:①无论x为何值,A都小于B;②若k为常数且A×(B+k)=9-4x2,则k=2;③若m为常数且mA+2B的值与x无关,则m=-2;④若A×B=2,则A2+B2=12.其中正确的有(　 　) A.1个　　 B.2个　　 C.3个　　 D.4个 12.小青和小红分别计算同一道整式乘法题(2x+a)(3x+b),小青由于抄错了第一个多项式中a的符号,得到的结果为6x2-13x+6,小红由于抄错了第二个多项式中x的系数,得到的结果为2x2-x-6,则这道题的正确结果是　 　.  B 6x2+5x-6 八年级数学上册（R） 8 13.已知(2x-1)5=a5x5+a4x4+a3x3+a2x2+a1x+a0.求解: (1)a0+a1+a2+a3+a4+a5的值; 解:(1)令x=1,则 a0+a1+a2+a3+a4+a5=(2×1-1)5=1. (2)a0-a1+a2-a3+a4-a5的值; (2)令x=-1,则 a0-a1+a2-a3+a4-a5=[2×(-1)-1]5=-243. 八年级数学上册（R） 9 (3)a0+a2+a4的值; (3)由(1)(2),可得 (a0+a1+a2+a3+a4+a5)+(a0-a1+a2-a3+a4-a5)=1-243, ∴2(a0+a2+a4)=-242, ∴a0+a2+a4=-121. (4)a0的值. (4)令x=0,则a0=(-1)5=-1. 八年级数学上册（R） 10 $$第1课时　单项式乘单项式 八年级数学上册（R） 1.(2025·重庆育才)计算a·(-2a3)的结果是(　 　) A.-2a2 B.-2a4 C.2a2 D.2a4 2.计算:2x·(-3x2y3)=(　 　) A.6x3y3 B.-6x2y3 C.-6x3y3 D.18x3y3 3.下列计算正确的是(　 　) A.4x3·3x4=12x12 B.(-3x4y)(-4x2)=-7x6y C.3a3b·5a4b2=15a7b3 D.(-a)(-2a)5=-32a6 B C C 八年级数学上册（R） 2 4.计算:(1)3a·(-4a2b)=　 ;  (2)(-3x2y3)·=　 .  5.用科学记数法表示计算结果: (3.5×103)×(-4×105)=　 .  -12a3b　 -x4y7　 -1.4×109　 八年级数学上册（R） 3 6.计算: (1)8m4n5·(-7m3n2); (2)3ab2··2abc; 解:原式=-56m7n7. 解:原式=-2a4b4c. (3)y3·(-x2)3·(2xy3)2; 解:原式=-4x8y9. (4)·-(-2ab)3. 解:原式=a3b3. 八年级数学上册（R） 4 7.如果单项式-3ma-2bn2a+b与m3n8b是同类项,那么这两个单项式的积是(　 　) A.-3m6n16 B.-3m6n32 C.-3m3n8 D.-9m6n16 8.有下列四个算式:①2a3-a3=1;②·=3x4y3;③·x=x10;④2a2b3·2a2b3=4a2b3.其中正确的个数为(　 　) A.1 B.2 C.3 D.4 B A 八年级数学上册（R） 5 9.“三角” 表示3xyz,“方框” 表示-4abdc,则 × =　 .  -36m6n3　 10.计算: (1)(-2xn+1yn)·(-3xy)·; 解:原式=-3xn+4yn+1z. 八年级数学上册（R） 6 (2)·(y-x)2·6a2b·(x-y)3; 解:原式=-2a3b3(x-y)5. (3)ab2c·(-0.5ab)2·(2bc2)3; 解:原式=a3b7c7. (4)(2024·上海)a3b·-·(ab)4. 解:原式=a6b4. 八年级数学上册（R） 7 11.若(am+1bn+2)(a2n-1b2m)=a5b3,则m+n的值为(　 　) A.1 B.2 C.3 D.-3 12.已知x2n=3,则·4(x2)2n的值为　 　.  13.(1)已知x,y满足+(y+1)2=0,试求式子-2xy·5xy3+x2y2·2y2+(2xy2)2的值; B 12 解:由题意,得x=3,y=-1,则 原式=-10x2y4+x2y4+4x2y4=-5x2y4. 当x=3,y=-1时,原式=-5×32×(-1)4=-45. 八年级数学上册（R） 8 (2)有理数x,y满足条件+(x+3y+5)2=0,求代数式(-2xy)2·(-y2)·6xy2的值. 解:由题意,得解得 原式=4x2y2·(-y2)·6xy2=-24x3y6. ∴当x=-2,y=-1时, 原式=-24×(-2)3×(-1)6=192. 八年级数学上册（R） 9 $$第4课时 　同底数幂的除法 八年级数学上册（R） 1.(2025·重庆八中)下列运算正确的是(　 　) A.a2·a3=a6 B.(ab)3=ab3 C.=a5 D.a7÷a3=a4 2.计算(x-y)4÷(-x+y)3的结果是(　 　) A.x-y B.x+y C.-x+y D.-x-y 3.若 -3 有意义,那么 x 的取值范围是(　 　) A.x>1 B.x>2 C.x≠1或x≠2 D.x≠1且x≠2 D C D 八年级数学上册（R） 2 4.计算: (1)(-a5)÷(-a)3=　 　;  (2)-a4÷(-a)2=　 ;  (3)3x·x5+(-2x3)2-x12÷x6=　 　;  (4)10n÷10n-2=　 　;  (5)(-m3)2÷m4=　 　;  (6)(y-x)2n÷(x-y)n-1=　 ;  (7)-=　 　.  5.(1)-23+(π-3.14)0-=　 ;  (2)÷÷=　 　.  a2 -a2　 6x6 100 m2 (x-y)n+1　 -a2 -8　 - 八年级数学上册（R） 3 6.计算: (1)m5÷m3·m2; 解:原式=m5-3+2=m4. (2)2(a4)3-(a7)2÷a2; 解:原式=2a12-a14÷a2=2a12-a12=a12. (3)(b-a)4÷(a-b)3·(a-b); 解:原式=(a-b)2. (4)(2×108)4÷(2×108)2. 解:原式=4×1016 八年级数学上册（R） 4 7.若(x-1)x+1=1,则x的值为(　 　) A.1 B.-1 C.2 D.-1或2 8.(1)若am =27,an =3,则a2m-3n=　 　;  (2)已知3m=6,9n=2,则32m-4n+1=　 　.  9.(1)已知 2x-5y-4=0,则4x÷32y=　 　;  (2)已知a-2b=2,c=2a÷4b,则ca-2b=　 　.  D 27 27 16 16 八年级数学上册（R） 5 10.若10m=20,10n=,求9m÷32n的值. 解:∵10m=20,10n=, ∴10m÷10n=10m-n=20÷=100=102. ∴m-n=2. ∴9m÷32n=9m÷9n=9m-n=92=81. 八年级数学上册（R） 6 11.若2a=x,2b=2x,2c=4x,那么2c-(a+b)的值为(　 　) A.6x　　　 B.2　　　 C.4　　　 D.3 12.(1)已知3×9m×27m=321,则(-m2)3÷(m3·m2)的值为　 　;  (2)已知2a-3b-4c=4,则4a÷8b÷24c=　 　.  D -4 16 八年级数学上册（R） 7 13.小明学习了“幂的运算”后做这样一道题:若(2x-3)x+3=1,求x的值.他解出来的结果为x=2,老师说小明考虑问题不全面,聪明的你能帮助小明解决这个问题吗? 小明解答过程如下: 解:∵1的任何次幂为1, ∴2x-3=1,x=2,且2+3=5, 故(2x-3)x+3=(2×2-3)2+3=15=1, ∴x=2. 八年级数学上册（R） 8 解:需分以下几种情况讨论: ①∵1的任何次幂为1,∴2x-3=1,x=2,且2+3=5, ∴(2x-3)x+3=(2×2-3)2+3=15=1,∴x=2满足题意; ②∵-1的任何偶次幂也都是1,∴2x-3=-1,解得x=1. 当x=1时,x+3=4是偶数,∴x=1满足题意; ③∵任何不是0的数的0次幂也是1,∴x+3=0,解得x=-3. 当x=-3时,2x-3≠0,∴x=-3满足题意. 综上所述,x=2或1或-3. 八年级数学上册（R） 9 $$第1课时　完全平方公式 八年级数学上册（R） 1.计算:(x+2y)2=(　 　) A.x2+4xy+4y2 B.x2+2xy+4y2 C.x2+4xy+2y2 D.x2+4x2 2.下列式子中是完全平方展开式的是(　 　) A.a2+ab+b2 B.a2-2ab+1 C.a2-a+ D.a2b2+4ab+16 3.【新教材改编】一个正方形纸片的边长减小4 cm,它的面积就减小40 cm2,这个正方形纸片的边长是(　 　) A.6 cm B.7 cm C.9 cm D.10 cm A C B 八年级数学上册（R） 2 4.用简便方法计算: (1)79.82=　 ;  (2)1.2342+0.7662+2.468×0.766=　 　.  5.(1)(2024·湖北)若x2-6x+m是一个完全平方式,则m的值是　 　;  (2)若x2-kx+36是一个完全平方式,则k=　 .  6 368.04　 4 9 ±12　 八年级数学上册（R） 3 6.计算: (1)(2x+5y)2; 解:原式=4x2+20xy+25y2. (2)(ab+1)2-(ab-1)2; 解:原式=4ab. (3)(x-2y)2-(x-2y)(x+2y); 解:原式=8y2-4xy. (4)(a-2b+3)(a+2b+3). 解:原式=a2+6a+9-4b2. 八年级数学上册（R） 4 7.已知实数a,b满足a+b=2,ab=,则a-b等于(　 　) A.1 B.- C.±1 D.± 8.(1)已知x+y=1,则x2+xy+y2的值为  　;  (2)若m-=3,则m2+=　 　;  (3)已知(a-b)2=13,ab=6,则a2+b2=　 　;  (4)已知(x+y)2=25,(x-y)2=9,则xy=　 　.  C 11 25 4 八年级数学上册（R） 5 9.先化简,再求值: (1)(a+3)2- (a+1)(a-1)-2(2a+4),其中a=-; 解:原式=a2+6a+9-a2+1-4a-8=2a+2. 当a=-时, 原式=2×+2=-1+2=1. 八年级数学上册（R） 6 (2)5(x-1)2-(2x+3)(2x-3),其中实数x满足10x-x2-5=0; 解:原式=5(x2-2x+1)-(4x2-9) =5x2-10x+5-4x2+9 =x2-10x+14. ∵x满足10x-x2-5=0, ∴x2-10x=-5,∴原式=-5+14=9. 八年级数学上册（R） 7 (3)[(a+2b)2-(2a+b)(2a-b)+3a(a-3b)]÷(-5b),其中a,b满足+(b-3)2=0. 解:原式=(a2+4ab+4b2-4a2+b2+3a2-9ab)÷(-5b) =(-5ab+5b2)÷(-5b) =a-b. ∵+(b-3)2=0, ∴a=-2,b=3. ∴原式=-2-3=-5. 八年级数学上册（R） 8 10.已知a+b=3,ab=-12,求下列各式的值. (1)a2+b2; 解:(1)∵a+b=3,ab=-12, ∴(a+b)2=9,即a2+2ab+b2=9. ∴a2+b2=9-2ab=9-2×(-12)=33. (2)a2-ab+b2; (2)由(1),得a2+b2=33, ∴a2-ab+b2=33-(-12)=45. (3)(a-b)2=a2-2ab+b2 =33-2×(-12)=57. (4)由(3),得(a-b)2=57, ∴a-b=±. (3)(a-b)2; (4)a-b. 八年级数学上册（R） 9 11.【数学文化】南宋数学家杨辉在其著作《详解九章算法》中揭示了(a+b)n(n为非负整数)展开式的项数及各项系数的有关规律如下,后人也将下表称为“杨辉三角”. (a+b)0=1; (a+b)1=a+b; (a+b)2=a2+2ab+b2; (a+b)3=a3+3a2b+3ab2+b3; (a+b)4=a4+4a3b+6a2b2+4ab3+b4; … 则(a+b)9展开式中所有项的系数和是(　 　) A.128　　 B.256　　 C.512　　 D.1 024 C 八年级数学上册（R） 10 12.(1)已知x=-2,则(x+2)2=　 　,x3+4x2+x-2 025=　 ;  (2)若(2 023-x)2+(2 025-x)2=4 048,则(2 023-x)(2 025-x)=　 .  13.【数学文化】著名的瑞士数学家欧拉曾指出:可以表示为四个整数平方之和的甲、乙两数相乘,其乘积仍然可以表示为四个整数平方之和,即(a2+b2+c2+d2)(e2+f2+g2+h2)=A2+B2+C2+D2,这就是著名的欧拉恒等式,有人称这样的数为“不变心的数”.实际上,上述结论可减弱为:可以表示为两个整数平方之和的甲、乙两数相乘,其乘积仍然可以表示为两个整数平方之和. 【动手一试】试改成两个整数平方之和的形式:(12+52)(22+72)=　 .  7 4-2 033　 2 022　 32+372(答案不唯一)　 八年级数学上册（R） 11 【阅读思考】在数学思想中,有种解题技巧称之为“无中生有”.例如问题:将代数式x2-y2+-改成两个平方之差的形式. 解:原式=-=-. 【解决问题】请你灵活利用上述思想来解决“不变心的数”问题:将代数式(a2+b2)(c2+d2)改成两个整数平方之和的形式(其中a,b,c,d均为整数),并给出详细的推导过程. 解:(a2+b2)(c2+d2)=(ac+bd)2+(ad-bc)2, 证明如下:(a2+b2)(c2+d2) =(a2c2+b2d2)+(a2d2+b2c2) =(a2c2+b2d2+2abcd)+(a2d2+b2c2-2abcd) =(ac+bd)2+(ad-bc)2. 八年级数学上册（R） 12 $$16.1.1 　同底数幂的乘法 八年级数学上册（R） 1.(2025·重庆一中)计算x2·x5的结果是(　 　) A.x7 B.x9 C.x10 D.x12 2.若24×22=2m,则m的值为(　 　) A.8 B.6 C.5 D.2 3.化简(-x)3·(-x)2,结果正确的是(　 　) A.-x6 B.x6 C.x5 D.-x5 A B D 八年级数学上册（R） 2 4.计算:(1)a·a2·a2=　 　;  (2)(-x)3·x·x2=　 ;  (3)bn+2·bn·b=　 　;  (4)-102n×100×(-10)2n-1=　 　.(n为正整数)  5.(1)a6=a·　 　=a2·　 　;  (2)若xm=3,xn=2,则xm+n=　 　;  (3)若2×16×8=2x,则x=　 　.  a5 -x6　 b2n+3 104n+1 a5 a4 6 8 八年级数学上册（R） 3 6.计算: (1)a4·(-a)5; 解:原式=-a4·a5=-a4+5=-a9. (2)a2·(-a)2-a3·a; 解:原式=a2·a2-a3·a=a4-a4=0. (3)(x-y)3·(y-x)2·(y-x); 解:原式=-(x-y)6. (4)(-x)·(-x)2·(-x)3+(-x)·(-x)5. 解:原式=x6+x6=2x6. 八年级数学上册（R） 4 7.若2a=5,2b=3.2,2c=6.4,2d=10,则a+b+c+d的值为(　 　) A.5 B.10 C.32 D.24 8.已知am=3,an=2,那么am+n+2的值为(　 　) A.8 B.7 C.6a2 D.6+a2 B C 八年级数学上册（R） 5 9.(1)若a3·am=a8,则m=　 　;  (2)已知xa=7,xb=3,则xa+b=　 　;  (3)若33x+1=81,则x=　 　;  (4)已知2x+2=20,则2x的值为 　 　;  (5)已知2x+y-1=0,则52x·5y=　 　.  10.已知ax=3,ax+y=15,求ay的值. 解:∵ax=3,ax+y=ax·ay, ∴3·ay=15,∴ay=5. 5 21 1 5 5 八年级数学上册（R） 6 11.若0<m≤1,则代数式(m-1)2·(1-m)3的值一定是(　 　)　　　　　　　　　　　　　　　　　　 A.正数 　　　 B.负数 C.非正数 　　　 D.非负数 12.(1)若52a+4·5b-1=510,则2a+b=　 　;  (2)已知2x+4-2·2x=112,则x=　 　;  (3)若22x+3-22x+1=384,则x=　 　;  (4)(2025·重庆八中)规定a*b=2a×2b,若2*(x+1)=16,则x=　 　.  D 7 3 3 1 八年级数学上册（R） 7 13.(1)已知(a+b)a(b+a)b=(a+b)5,且(a-b)a+4·(a-b)4-b=(a-b)7,求aabb的值; 解:∵(a+b)a(b+a)b=(a+b)a+b=(a+b)5, ∴a+b=5.① 又∵(a-b)a+4(a-b)4-b=(a-b)a-b+8=(a-b)7, ∴a-b+8=7,即a-b=-1.② 联立①②,得解得 ∴aabb=22×33=4×27=108. 八年级数学上册（R） 8 (2)已知x>1,y>1,xm-n·x2n-1=x8,ym-1·y5-n=y7,求m,n的值; 解:∵xm-n·x2n-1=x8,ym-1·y5-n=y7, ∴xm+n-1=x8,ym-n+4=y7, ∴m+n-1=8且m-n+4=7,∴m=6,n=3. (3)已知2a=2,2b=6,2c=12,求a,b,c之间的关系. 解:∵2a+b=2a×2b=2×6=12,2c=12, ∴a+b=c. 八年级数学上册（R） 9 $$第5课时　单(多)项式除以单项式 八年级数学上册（R） 1.(2025·重庆巴蜀)下列运算正确的是(　 　) A.2x4÷x3=2x B.=x7 C.x4+x3=x7 D.x3·x4=x12 2.计算(-4a2+12a3b)÷(-4a2)的结果是(　 　) A.1-3ab B.-3ab C.1+3ab D.-1-3ab 3.长方形的面积是12a2-6ab.若一边长是3a,则另一边长是(　 　) A.4a+2b　 B.4a-2b　 C.2a-4b　 D.2a+4b A A B 八年级数学上册（R） 2 4.计算:(1)8x6÷4x2=　 　;  (2)(-2x3+3x2+x)÷x=　 .  5.(1)地球的质量约为5.98×1024 kg,木星的质量约为1.9×1027 kg,则木星的质量约是地球的　 　倍;(结果保留整数)  (2)已知-6a与一个整式的积为-36a2b+12a3+24ab2,则这个整式是　 　.  2x4 -2x2+3x+1　 318 -2a2+6ab-4b2 八年级数学上册（R） 3 6.计算: (1)x3y2z9÷; 解:原式=-6y2z4. (2)(21x4y3-35x3y2+7x2y2)÷(-7x2y); 解:原式=-3x2y2+5xy-y. (3)(3x3y3z)4÷(3x3y2z)2÷x2y6z; 解:原式=18x4y2z. (4)[(2a+b)(3a-4b)-b(5a-4b)]÷2a. 解:原式=3a-5b. 八年级数学上册（R） 4 7.计算多项式6x2+4x除以2x2后,得到的余式为(　 　) A.2 B.4 C.2x D.4x 8.小明做了以下四道题: ①(6ab+5a)÷a=6b+5;②(8x2y-4xy2)÷(-4xy)=-2x-y; ③(15x2yz-10xy2)÷5xy=3x-2;④(3x2y-3xy2+x)÷x=3xy-3y2. 你认为他做正确的道数有(　 　) A.4道 B.3道 C.2道 D.1道 D D 八年级数学上册（R） 5 9.若一多项式除以2x2-3,得到的商式为x+4,余式为3x+2,则此多项式为　 　.  2x3+8x2-10 10.(2025·成都七中)先化简,再求值:[(x+2y)·(4x-3y)-(x+y)(3x-y)+5y2]÷3x,其中5-x-3y=0. 解:原式=[4x2+5xy-6y2-(3x2+2xy-y2)+5y2]÷3x =(x2+3xy)÷3x=x+y. ∵5-x-3y=0,∴x+3y=5,即x+y=,∴原式=. 八年级数学上册（R） 6 11.如果(3a2)m÷3a=3an,那么m+n的值为(　 　) A.3 B.4 C.5 D.6 12.小高在做一道多项式除以单项式2x的题时,不小心算成乘2x了,得到的结果是4x4-12x3y+16x2y2-20x2,则正确的结果为　 .  C x2-3xy+4y2-5　 八年级数学上册（R） 7 13.阅读下面的材料,回答问题. 因为(x+3)(x-2)=x2+x-6,所以(x2+x-6)÷(x-2)=x+3,这说明多项式x2+x-6能被x-2整除,同时也说明多项式x2+x-6有一个因式为x-2.另外,当x=2时,多项式x2+x-6的值为0. (1)根据上述材料猜想:已知一个多项式有因式x-2,则说明该多项式能被　 整除,当x=2时,该多项式的值为　 　;  (2)探求规律:更一般地说,如果一个关于x的多项式M,当x=k时,M的值为0,那么M与代数式x-k之间有何关系? 解:(2)M能被x-k整除,即M有因式x-k. (x-2)　 0 八年级数学上册（R） 8 (3)应用:已知x-2能整除x2+kx-14,求k的值; (3)∵x-2能整除x2+kx-14, ∴当x=2时,x2+kx-14=0, 即22+2k-14=0,解得k=5. (4)拓展:若关于x的整式x4+ax2-bx+16能被x2-4整除,求常数a,b的值. (4)∵x4+ax2-bx+16能被x2-4整除. ∴当x=±2时,x4+ax2-bx+16=0. 当x=2时,16+4a-2b+16=0,即4a-2b=-32;① 当x=-2时,16+4a+2b+16=0,即4a+2b=-32,② 联立①②,有解得 八年级数学上册（R） 9 $$16.3.1　平方差公式 八年级数学上册（R） 1.(2025·重庆育才)下列算式能用平方差公式计算的是(　 　) A.(2a+b)(2b-a) B.(4x+1)(-4x-1) C.(2x-y)(y+2x) D.(-x+y)(-y+x) 2.如果(x+3)(x-k)=x2-9成立,则k的值为(　 　) A.-3 B.-2 C.2 D.3 3.已知(x+2)(x-2)-2x=1,则2x2-4x+3的值为(　 　) A.13 B.8 C.-3 D.5 C D A 八年级数学上册（R） 2 4.(1)化简x2-(x+2)(x-2)的结果是　 　;  (2)化简:a(1-2a)+2(a+1)(a-1)=　 　;  (3)定义a※b=a(b+1),例如2※3=2×(3+1)=2×4=8,则(x-1)※x的结果为　 　.  5.利用平方差公式计算: (1)1 003×997=　 ;  (2)14×15=　 　;  (3)1352-136×134=　 　.  4 a-2 x2-1 999 991　 224 1 八年级数学上册（R） 3 6.计算: (1); 解:原式=-9b2. (2)(mn-3n)(3n+mn); 解:原式=m2n2-9n2. (3)(x+1)(x-3)-(x-2)(2+x); 解:原式=-2x+1. (4)a(a+2)-(a+b)(a-b)-b(b-3); 解:原式=2a+3b. (5)(a-b)(a+b)(a2+b2)(a4+b4). 解:原式=a8-b8. 八年级数学上册（R） 4 7.在边长为a的正方形中剪去一个边长为b的小正方形(a>b,如图1),把余下部分沿虚线剪开拼成一个长方形(如图2),根据两个图形中阴影部分的面积相等,可以验证公式(　 　) A.(a+b)2=a2+2ab+b2 B.(a-b)2=a2-2ab+b2 C.a(a+b)=a2+ab D.(a+b)(a-b)=a2-b2 D 八年级数学上册（R） 5 8.已知a+b=2,则a2-b2+4b的值是(　 　) A.4 B.3 C.2 D.1 9.(1)已知(x+2)(x2-a)(x-2)=x4-16,则常数a=　 　;  (2)若(3a+3b+1)(3a+3b-1)=899,则a+b=　 .   10.(1)先化简,再求值:(x+y)(x-y)-(4x3y-8xy3)÷2xy,其中x=-1,y=-; 解:原式=x2-y2-(2x2-4y2)=3y2-x2. 当x=-1,y=-时,原式=3×-(-1)2=-. A -4 ±10　 八年级数学上册（R） 6 (2)已知a2-2a+1=0,求代数式a(a-4)+(a+1)·(a-1)+1的值. 解:原式=a2-4a+a2-1+1 =2a2-4a=2(a2-2a). ∵a2-2a+1=0, ∴a2-2a=-1, ∴原式=2×(-1)=-2. 八年级数学上册（R） 7 11.【新教材改编】请你计算:(1-x)(1+x),(1-x)·(1+x+x2),…,猜想(1-x)(1+x+x2+…+xn)的结果是(　 　) A.1-xn+1 B.1+xn+1 C.1-xn D.1+xn 12.计算:12-22+32-42+52-62+72-82+…-782+792 =　 .  A 3 160　 八年级数学上册（R） 8 13.如图1,将边长为a的大正方形剪去一个边长为b的小正方形,然后将剩余部分拼成图2所示的长方形. (1)上述操作能验证的等式是　 　;  A.a2-2ab+b2=(a-b)2 B.a2-b2=(a+b)(a-b) C.a2-ab=a(a-b) B 八年级数学上册（R） 9 (2)应用你从(1)中选出的等式,完成下列各题: ①已知x2-4y2=18,x-2y=3,求x+2y的值; ②计算:×××…××. 解:(2)①∵x2-4y2=(x+2y)(x-2y)=18,x-2y=3, ∴3(x+2y)=18,解得x+2y=6. ②原式=××××…×× =××××…×× =×=. 八年级数学上册（R） 10 (3)先观察下面的解题过程,然后解答问题. 题目:化简:(2+1)(22+1)(24+1)(28+1). 解:原式=(2-1)(2+1)(22+1)(24+1)(28+1) =(22-1)(22+1)(24+1)(28+1)=(24-1)(24+1)(28+1) =(28-1)(28+1)=216-1. 问题:化简:(3+1)(32+1)(34+1)·…·(364+1). (3)原式=(3-1)(3+1)(32+1)(34+1)·…·(364+1) =(32-1)(32+1)(34+1)·…·(364+1)=(34-1)(34+1)·…·(364+1) … =(364-1)(364+1)=(3128-1). 八年级数学上册（R） 11 $$专题十　[强化]乘法公式的灵活运用 八年级数学上册（R） 在运用平方差公式和完全平方公式进行计算时,注意运用他们的变形式. 平方差公式的常见变形 位置变化:(a+b)(-b+a)=　 　;  符号变化:(-a-b)(a-b)=　 　;  系数变化:(3a+2b)(3a-2b)=　 　;  指数变化:(a2+b)(a2-b)=　 　;  项数变化:(a+2b-c)(a-2b+c)=　 ;  连用变化:(a+b)(a-b)(a2+b2)=　 　.  a2-b2 b2-a2 9a2-4b2 a4-b2 a2-(2b-c)2　 a4-b4 八年级数学上册（R） 2 完全平方公式的常见变形 ①a2+b2=(a+b)2-2ab=(a-b)2+　 　.  ②(a+b)2+(a-b)2=　 　.  ③ab=[(a+b)2-(a2+b2)] 　=[(a+b)2-(a-b)2]. ④(a+b+c)2=a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc. ⑤(a+b)2+(b+c)2+(a+c)2 =2(a2+b2+c2+ab+bc+ac). 2ab 2a2+2b2 八年级数学上册（R） 3 1.计算104×96的结果是(　 　)　　　　　　　　　　 　　　　　 A.9 974 B.9 884 C.9 984 D.9 994 2.计算2672-266×268的结果是(　 　) A.0 B.1 C.2 D.-1 C B 八年级数学上册（R） 4 3.计算:(1)512=　 ;  (2)82 025×(-0.125)2 024×(-1)2 025=　 　;  (3)6(7+1)(72+1)(74+1)(78+1)+1=　 　;  (4)1.234 52+0.765 52+2.469×0.765 5=　 　;  (5)(12+32+52+…+992)-(22+42+62+…+1002)=　 .  2 601　 -8 716 4 -5 050　 八年级数学上册（R） 5 4.用简便方法计算: (1)1.12+2.2×8.9+8.92; 解:原式=1.12+2×1.1×8.9+8.92 =(1.1+8.9)2=100. (2)…. 解:原式=· … =×××××…×=. 八年级数学上册（R） 6 5.若 a-b=,且a2-b2=,则a+b的值为(　 　) A.- B. C.1 D.2 6.若a-b=1,ab=2, 则(a+b)2的值为(　 　) A.5 B.9 C.±9 D.3 7.(1)已知ab=4,a-b=3,则a+b=　 　;  (2)a+=6,则=　 　;  (3)已知(200+a)(198+a)=199,则(200+a)2+(198+a)2=　 　.  B B ±5 35 402 八年级数学上册（R） 7 8.(1)已知a(a-1)-(a2-b)=2,求-ab的值; 解:由a(a-1)-(a2-b)=2,得a-b=-2. ∴-ab=(a2+b2-2ab)=(a-b)2=2. (2)已知x-y=7,y-z=3,求x2+y2+z2-xy-yz-xz的值. 解:由题意,得x-z=10. 原式=(2x2+2y2+2z2-2xy-2yz-2xz) = =×(72+32+102)=79. 八年级数学上册（R） 8 $$第2课时　添括号 八年级数学上册（R） 1.下列各式不能由a-b+c通过变形得到的是(　 　) A.a-(b-c) B.c-(b-a) C.(a-b)+c D.a-(b+c) 2.若a2-b2+4b-4=a2-(　　),则括号内填的代数式应为(　 　) A.b2+4b-4 B.b2+4b+4 C.b2-4b+4 D.b2-4b-4 D C 八年级数学上册（R） 2 3.为了应用平方差公式计算(a-b+c)(a+b-c),必须进行适当变形,下列各变形中,正确的是(　 　) A.[(a+c)-b][(a-c)+b] B.[(a-b)+c][(a+b)-c] C.[(b+c)-a][(b-c)+a] D.[a-(b-c)][a+(b-c)] 4.请在横线上填入适当的代数式: (1)3x+y-2z=3x+(　 　);  (2)a-2b+c=a-(　 　);  (3)(x+2y+3)(x-2y-3)=[x+(　 　)]·[x-(　 　)];  (4)(x+2y-3)(x-2y-3)=[(　 　)+2y]·[(　 　)-2y].  D y-2z 2b-c 2y+3 2y+3 x-3 x-3 八年级数学上册（R） 3 5.(1)代数式x-3y的值为2,则6y-2x+2 025的值为　 ;  (2)已知y+2x=1,则(y2-4x)-(y+1)2=　 　.  6.计算: (1)(a+b-c)(a+b+c); 2 021　 -3 解:原式=a2+2ab+b2-c2. (2)(2a-b+3c)2; 解:原式=4a2+b2+9c2-4ab+12ac-6bc. (3)(x-2y-z)(x+2y-z)-(x+z)2. 解:原式=-4xz-4y2. 八年级数学上册（R） 4 7.(2024·雅安)若代数式M=-x2+2x+3,则M的最大值是(　 　) A.0 B.3 C.4 D.5 8.(1)若a+b=1,则a2-b2+2b-2=　 　;  (2)已知2x-y=1,则4x(x-y-1)+y(y+2)=　 　;  (3)已知3x2-2x-3=0,则(x-1)2+x=　 　.  C -1 -1 3 八年级数学上册（R） 5 9.先化简,再求值:[(x+2y)2-2(3x+y)(2x-y)-6y2]÷(-x),其中x2+y2+2x+4y+5=0. 解:原式=[x2+4xy+4y2-2(6x2-xy-y2)-6y2]÷(-x) =(x2+4xy+4y2-12x2+2xy+2y2-6y2)÷(-x) =(-11x2+6xy)÷(-x)=11x-6y. ∵x2+y2+2x+4y+5=(x+1)2+(y+2)2=0, 且(x+1)2≥0,(y+2)2≥0, ∴x=-1,y=-2, ∴原式=11×(-1)-6×(-2)=1. 八年级数学上册（R） 6 10.把代数式(a2-2ab+b2+5)(-a2+2ab-b2+5)写成(5+M)(5-M)的形式,并求出M. 解:原式=[5+(a2-2ab+b2)][5-(a2-2ab+b2)], 或原式=[5+(-a2+2ab-b2)][5-(-a2+2ab-b2)], ∴M=a2-2ab+b2或M=-a2+2ab-b2. 八年级数学上册（R） 7 11.在计算(x+y+a-b)(x-y+a+b)时,以下正确的是(　 　) A.(x+b)2-(y-a)2 B.(x2-y2)(a2-b2) C.(x+a)2-(y-b)2 D.(x-b)2-(y+a)2 12.整体代入是数学中常用的方法.例如“已知3a-b=2,求代数式6a-2b-1的值.”可以这样解:6a-2b-1=2(3a-b)-1=2×2-1=3.若x=2是关于x的一元一次方程ax+b=3的解,则代数式4a2+4ab+b2+4a+2b-1的值是　 　.  C 14 八年级数学上册（R） 8 13.阅读材料: 若2a2-2ab+b2-6a+9=0,求a,b的值. 解:∵2a2-2ab+b2-6a+9=0, ∴(a2-2ab+b2)+(a2-6a+9)=0, 即(a-b)2+(a-3)2=0, ∴a=3,b=3. 根据你的观察,探究下面的问题: (1)已知x2+2xy+2y2-10y+25=0,则xy=　 ;  -25　 八年级数学上册（R） 9 (2)已知△ABC的三边长a,b,c都是正整数,且满足a2+b2-6a-8b+25=0,求△ABC的最长边c的值; 解:(2)∵a2+b2-6a-8b+25=0, ∴(a2-6a+9)+(b2-8b+16)=0, ∴(a-3)2+(b-4)2=0,∴a=3,b=4.∴1<c<7. ∵c为最大边,∴4≤c<7. 又∵c是正整数,∴c=4,5或6. 八年级数学上册（R） 10 (3)已知a-b=8,ab+c2-10c+41=0,求a+b+c的值. (3)∵a-b=8,ab+c2-10c+41=0, ∴a(a-8)+c2-10c+41=0, ∴a2-8a+16+c2-10c+25=0, ∴(a-4)2+(c-5)2=0, ∴a=4,c=5,∴b=a-8=4-8=-4, ∴a+b+c=4-4+5=5. 八年级数学上册（R） 11 $$第1课时 幂的乘方 八年级致字上册 (R) 第一阶基础夯实 l·计算绺果为(A) 469 臣H C.2052a5 D.5a2D.5a2 2.计算(a)2a3的结果是(B A.8 B.a C.al D.al 3.计算(a3-5a3a的结果是C A.a5-5a6 B.a6-5a C.-46 D.4a6 八中奴议子士时 4.计算：1)-a= (2)x2)6x2=x14 (3)(-r)2a=a0 (4)(am）3a=a3m (5)[(a-b)2]4.[(b-a15= (b- )23 5.数学讲究记忆方法.如计算()2时若忘记了法则，可以借助 (a)2=a5×5 0 =as+5=a",得到正确答案.则计算(a)5-a×a的结果是 7甲级议子士时 R 6.计算： (1)x2)5; (2)x+y)2I4; 解：原式=()5=x30. 解：原式=(x+y)2x4=(x+y)8 (3)(a2a)5; (4)[(-a)23.(-a); 解：原式=(a)5=a25 解：原式=((-a=a. ()[(-m-n)3]4.[-(+n)2]6; (6)3(x2)2(x2)5-(x)2(x2)2. 解：原式=(m+n)4. 解：原式=34x10-x10x =3x14-x14 =2x14 八中奴议子士时 第二阶 综合运用 7.【新教材改编】如果(9)2=316，那么n的值为B A.3 B.4 C.5 D.6 8.(2025·重庆一中)已知m,n均为正整数，且2m+3n=5写则 4m…8=( 5已知2=3，则P4的值36 C.32 D.64 (2)已知am=2,a=3,则a2m*n的值为2 (3)己知2m=5,22m+m=45,则2=5 中奴议子士册 R 10.若2=41,27=31，试求x与y的值 解：由题意得将24即即2丝+2， 姷.④ 由判，得3 j气1：图 隐醒子形子 中奴议子士册 R 第三阶 拓广探索 11.若9*1.32m=72,则n的值为p 若2+6-33则4-64-8C.2; D.1 (2)若n是正整数，且a2m=10,则(an2-8(-a2)220 (3)若2=3,2=5,2=-90，用a,b表示c可以为=2a+b+1 八中奴议子士时 13.在比较216和32的大小时，我们可以这样来处理： .216=(24)4=164,312=(33)4=274, 又16<27，.164<274，即216<312 你能类似地比较出下面各组数的大小吗？ (1)2100与375； 解：(1).2100=(2)25=1625,375=(33)25=2725， 又16<27，.1625<2725，即2100<375 (2)3555,4444与5333； (2).3555=(3)11=243111,4444-(44)111=256111, 5333-=(53)111=1251u, 又："125<243<256， .1251<2431<25611,即5333<3555<4444 中奴议子士册 (3)已知x-=2y=3,试比较x与y的大 ®，x1=2y=3, ∴.x63=(x)°=29=512y63=-0y%7=37=2187. .2187>512,.x63<y63, ..x<y 甲级议子士时 R