第16章 整式的乘法 课件2025-2026学年 人教版（2024）八年级数学上册

第3课时　多项式乘多项式 八年级数学上册（R） 思考:如图,为了扩大街心花园的绿地面积,把一块原长a米、宽p米的长方形绿地,加长了b米,加宽了q米.你能用几种方法求出扩大后的绿地面积? 方法一:　 ,  方法二:　 ,  则:　 =　 .  (a+b)(p+q)　 ap+aq+bp+bq　 (a+b)(p+q)　 ap+aq+bp+bq　 八年级数学上册（R） 2 多项式乘多项式的法则 多项式与多项式相乘,先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项,再把所得的积　 　.  注意:多项式与多项式相乘,仍得多项式.在合并同类项之前,积的项数应该等于两个多项式的项数之积.多项式与多项式相乘的最后结果需化简,有同类项的要合并.特殊的二项式乘:(x+a)(x+b)=x2+(a+b)x+ab. 相加 八年级数学上册（R） 3 计算: (1)(3x+y)(2x-5y); 解:原式=3x·2x+3x·(-5y)+y·2x+y·(-5y) =6x2-15xy+2xy-5y2=6x2-13xy-5y2. (2); 解:原式=7x4-21x2y2+8x2y2-24y4 =7x4-13x2y2-24y4. 八年级数学上册（R） 4 (3)(a+2b)(a2-2ab+4b2); 解:原式=a·a2-a·2ab+a·4b2+2b·a2-2b·2ab+2b·4b2 =a3-2a2b+4ab2+2a2b-4ab2+8b3=a3+8b3. (4)5x(x2+2x+1)-(2x+3)(x-5); 解:原式=(5x3+10x2+5x)-(2x2-7x-15) =5x3+10x2+5x-2x2+7x+15=5x3+8x2+12x+15. (5)3-5. 解:原式=3(2x2+12x-x-6)-5(x2+6x-3x-18) =6x2+33x-18-5x2-15x+90 =x2+18x+72. 八年级数学上册（R） 5 1.计算: (1)(2a+b)(a-2b); 解:原式=2a2-3ab-2b2. (2)(-2x+1)(-3x+5); 解:原式=6x2-13x+5. (3)(a+b)(a-2b)-(a+2b)(a-b); 解:原式=-2ab. (4)(x+2y)(x-3y)-x(x+4y)+9xy. 解:原式=4xy-6y2. 八年级数学上册（R） 6 (1)如果(x-2)(x+3)=x2+px+q,那么p,q的值为(　 　) A.p=5,q=6　　　　 B.p=1,q=-6 C.p=1,q=6 D.p=5,q=-6 (2)多项式(mx+4)(2-3x)展开后不含x项,则m=　 　.  B 6 2.若x2+px+q=(x-3)(x+5),则p的值为(　 　) A.-15　　　 B.-2　　 　C.2　　 　D.8 C 八年级数学上册（R） 7 3.(1)(2025·重庆八中)若多项式x+1与ax2+bx+2的积不含x2项和x项,求a和b的值; 解:(x+1)(ax2+bx+2)=ax3+bx2+2x+ax2+bx+2 =ax3+(a+b)x2+(2+b)x+2. ∵不含x2项和x项,∴a+b=0,2+b=0, 解得a=2,b=-2. ∴10+a=0,即 a=-10. 八年级数学上册（R） 8 (2)已知多项式 M=x2+5x-a,N=-x+2,P=x3+3x2+5,且 M·N+P 的值与 x 的取值无关,求字母a的值. 解:M·N+P=+ =-x3+2x2-5x2+10x+ax-2a+x3+3x2+5 =x-2a+5. ∵ 代数式的值与 x 的取值无关, ∴10+a=0,即 a=-10. 八年级数学上册（R） 9 先化简,再求值:(x+2y)(2x+y)-(3x-y)(x-2y),其中x=9,y=. 解:原式=2x2+xy+4xy+2y2-3x2+6xy+xy-2y2=-x2+12xy. 当x=9,y=时,原式=-92+12×9×=-27. 4.先化简,再求值:x(x+2)-(x+1)(x-1),其中x=-. 解:原式=x2+2x-(x2-x+x-1)=2x+1. 当x=-时,原式=2×+1=0. 八年级数学上册（R） 10 5.如图是某学校大门口的指示牌.已知该指示牌是长为(m+2n) cm,宽为(m+n) cm的长方形,左下角与右下角的空白部分是边长相等的正方形,左上角与右上角的空白部分是两个相同的直角三角形.根据图中所标数据,解决下列问题: (1)空白部分的总面积为  　cm2, 箭头(阴影部分)的面积为  　cm2;  八年级数学上册（R） 11 (2)当m=10,n=20时,请计算箭头(阴影部分)的面积. 解:(2)当m=10,n=20时,箭头的面积为 ×102+2×10×20=450( cm2). 八年级数学上册（R） 12 $$16.3.1　平方差公式 八年级数学上册（R） 探究:计算下列多项式的积,你能发现什么规律? (1)(x+1)(x-1)=　 　;  (2)(m+2)(m-2)=　 　;  (3)(2x+1)(2x-1)=　 　.  1.平方差公式 两个数的和与这两个数的差的积,等于　 .用字母可以表示为(a+b)(a-b)=　 　.  x2-1 m2-4 4x2-1 这两个数的平方差　 a2-b2 八年级数学上册（R） 2 思考:根据下面的演示,你能通过求阴影部分的面积说明平方差公式吗? (1)左图中阴影部分的面积为　 　;  (2)将阴影部分拼成右图的一个长方形,这个长方形的长是　 　,宽是　 　,面积是　 .  a2-b2 a+b a-b (a+b)(a-b)　 八年级数学上册（R） 3 温馨提示:(1)公式的特征:左边是两个二项式相乘,且这两个二项式的一项完全相同,另一项互为相反数;右边是完全相同项的平方减去互为相反数项的平方; (2)公式中的a,b可以是字母,也可以是数字,还可以是代数式. 2.平方差公式常见的变式类型 (1)位置变化:如(a+b)(-b+a)利用加法交换律可以转化为公式的标准型; (2)系数变化:如(3x+5y)(3x-5y); (3)指数变化:如(m3+n2)(m3-n2); (4)符号变化:如(-a-b)(a-b); (5)项数变化:如(m+n+p)(m-n+p); (6)连用变化:如(a-b)(a+b)(a2+b2)(a4+b4). 八年级数学上册（R） 4 (1)(2m+n)(2m-n);　 (2)(-1+2y)(-1-2y); 解:原式=4m2-n2.　　　 解:原式=(-1)2-(2y)2 =1-4y2. (3)(-7x3y-3b2)(7x3y-3b2); 解:原式=(-3b2)2-(7x3y)2=9b4-49x6y2. 八年级数学上册（R） 5 (4)(x+3)(x2+9)(x-3); 解:原式=(x+3)(x-3)(x2+9) =(x2-9)(x2+9) =(x2)2-92 =x4-81. (5)(y+2)(y-2)-(y-1)(y+5). 解:原式=y2-4-(y2+4y-5) =y2-4-y2-4y+5 =-4y+1. 八年级数学上册（R） 6 1.(2025·重庆南开)下列各式中,能用平方差公式计算的是(　 　) A.(-a-b)(a+b) B.(a+b)(a+b) C.(-a+b)(-a-b) D.(a-b)(2a+b) 2.计算: (1)(3x+2)(3x-2);　　 (2)(b+2a)(2a-b); C 解:原式=9x2-4.　　　　 解:原式=4a2-b2. 八年级数学上册（R） 7 (3)(2a-b)(2a+b)(4a2+b2); 解:原式=16a4-b4. (4)(3x+4)(3x-4)-(2x+3)(3x-2). 解:原式=(3x)2-42-(6x2-4x+9x-6) =9x2-16-6x2-5x+6 =3x2-5x-10. 八年级数学上册（R） 8 用简便方法计算: (1)97×103; 解:原式=(100-3)×(100+3) =1002-32 =10 000-9 =9 991. (2)7×8; 解:原式=× =64- =63. 八年级数学上册（R） 9 (3)2 026×2 024-2 0252; 解:原式=(2 025+1)×(2 025-1) -2 0252 =2 0252-1-2 0252=-1. (4)99×101×10 001. 解:原式=(100-1)×(100+1) ×(10 000+1) =(10 000-1)×(10 000+1) =99 999 999. 3.用简便方法计算: (1)49.8×50.2;　　　 (2)2332-232×234. 解:原式=2 499.96. 解:原式=1. 八年级数学上册（R） 10 先化简,再求值: (1)(2x-y)(y+2x)-(2y+x)(2y-x),其中x=1,y=2; 解:原式=4x2-y2-(4y2-x2) =4x2-y2-4y2+x2 =5x2-5y2. 当x=1,y=2时,原式=5×12-5×22=-15. 八年级数学上册（R） 11 (2)(a2b-2ab2-b3)÷b-(a+b)(a-b),其中a=,b=-1. 解:原式=a2-2ab-b2-(a2-b2) =-2ab. 当a=,b=-1时, 原式=-2××(-1)=1. [方法点拨] 在计算时应先观察式子的特点,能用公式计算的,要用公式计算,可使计算过程简便;在计算减去一个多项式时,很多同学不添加括号,导致计算错误. 八年级数学上册（R） 12 4.先化简,再求值: (1)(2b+a)(a-2b)-(b-3a)(b+3a),其中a=-1,b=2; 解:原式=a2-4b2-(b2-9a2) =10a2-5b2. 当a=-1,b=2时, 原式=10×(-1)2-5×22=-10. 八年级数学上册（R） 13 (2)[x(x+y)(x-y)+(xy2-2xy)]÷x,其中x=1,y=. 解:原式=[x(x2-y2)+xy2-2xy]÷x =(x3-2xy)÷x =x2-2y. 当x=1,y=时,原式=12-2×=0. 八年级数学上册（R） 14 5.对于任意的正整数n,整式(3n+1)(3n-1)-(3-n)(3+n)的值一定是10的整数倍吗?请说明理由. 解:原式=9n2-1-(9-n2)=10n2-10. ∵(10n2-10)÷10=n2-1,n为正整数, ∴n2-1为整数, 即(3n+1)(3n-1)-(3-n)(3+n)的值是10的整数倍. 八年级数学上册（R） 15 $$第1课时　完全平方公式 八年级数学上册（R） 探究:计算下列各式,你能发现什么规律? (1)(p+1)2=(p+1)(p+1)=　 　;  (2)(m+2)2=　 　;  (3)(p-1)2=(p-1)(p-1)=　 　;  (4)(m-2)2=　 　.  p2+2p+1 m2+4m+4 p2-2p+1 m2-4m+4 八年级数学上册（R） 2 1.完全平方公式 两个数的和(或差)的平方,等于它们的平方和,加上(或减去)它们的积的2倍,即(a+b)2=　 ;(a-b)2=　 .  注意:(1)公式特点:左边是两数的和(或差)的平方,右边是二次三项式,是这两数的平方和加(或减)这两数之积的2倍.口诀:首平方,尾平方,积的二倍夹中央. (2)公式中的字母a,b可以表示数、单项式和多项式. a2+2ab+b2　 a2-2ab+b2　 八年级数学上册（R） 3 2.常见完全平方公式的五种变形 (1)a2+b2=(a+b)2-2ab; (2)a2+b2=(a-b)2+2ab; (3)(a+b)2=(a-b)2+4ab; (4)(a-b)2=(a+b)2-4ab; (5)a2+=-2=+2. 八年级数学上册（R） 4 计算: (1)(3a+b)2; (2)(-3+2a)2 ; 解:原式=(3a)2+2·3a·b+b2 =9a2+6ab+b2. 解:原式=(2a-3)2 =(2a)2-2·2a·3+32 =4a2-12a+9. 八年级数学上册（R） 5 (3)(x-2y)2; 解:原式=x2-2·x·2y+(2y)2 =x2-4xy+4y2. (4)(-2x-3y)2; 解:原式=(2x+3y)2 =(2x)2+2·2x·3y+(3y)2 =4x2+12xy+9y2 . (5)(x+2y-3z)2. 解:原式=(x+2y)2-2(x+2y)·3z+(3z)2 =x2+4xy+4y2-6xz-12yz+9z2. [方法点拨] (1)在运用完全平方公式时要注意运用以下规律:当所给的二项式符号相同时,结果中三项的符号都为正,当所给的二项式符号相反时,结果中两平方项的符号为正,乘积项的符号为负;(2)注意(-a-b)2=(a+b)2之间的转化. 八年级数学上册（R） 6 运用完全平方公式计算: (1)1032;　　　　　　 　 (2)972; 解:原式=(100+3)2 =10 609. 解:原式=(100-3)2 =9 409. (3)1.22+2.4×3.8+3.82. 解:原式=(1.2+3.8)2=52=25. 八年级数学上册（R） 7 1.下列计算正确的是(　 　)　　　　 　　　　　 　　　　　 A.=a2-2 B.=a2+a-2 C.=a2+b2 D.=a2-2ab+b2 D 2.利用完全平方公式计算: (1)(-3a-4b)2; 解:原式=9a2+24ab+16b2. (2)(y+3)2-(3-y)2; 解:原式=12y. 八年级数学上册（R） 8 (3)(a-2b+3c)2; 解:原式=[(a-2b)+3c]2 =(a-2b)2+6c(a-2b)+9c2 =a2-4ab+4b2+6ac-12bc+9c2. (4)1 0022. 解:原式=1 004 004. 八年级数学上册（R） 9 计算: (1)(2x+y)2+(2x+y)(2x-y)-8x2; 解:原式=4x2+4xy+y2+4x2-y2-8x2 =4xy. (2)(m-n)(m2-n2)(m+n); 解:原式=(m2-n2)(m2-n2)=m4-2m2n2+n4. 八年级数学上册（R） 10 (3) ; 解:原式==a4-a2+. (4) (a+4b-3c)(a-4b-3c); 解:原式=[(a-3c)+4b][(a-3c)-4b] =(a-3c)2-(4b)2 =a2-6ac+9c2-16b2. (5)(2a+1)2-(1-2a)2+8(1-2a). 解:原式=(2a+1+1-2a)(2a+1-1+2a)+8-16a =8a+8-16a =8-8a. 八年级数学上册（R） 11 3.若x2+4x-4=0,则3(x-2)2-6(x+1)(x-1)的值为(　 　)　　　　 　　　　　　　　　　 A.-6 B.6 C.18 D.30 4.计算: (1)(2a+3b)2·(2a-3b)2; 解:原式=[(2a+3b)(2a-3b)]2 =(4a2-9b2)2 =16a4-72a2b2+81b4. (2)2(x+y)(x-y)-(x+y)2-(x-y)2. 解:原式=-[(x+y)2-2(x+y)(x-y)+(x-y)2] =-[(x+y)-(x-y)]2 =-4y2. B 八年级数学上册（R） 12 (1)已知(a+b)2=7,(a-b)2=4,求a2+b2和ab的值; 解:由(a+b)2=7,得a2+2ab+b2=7.…① 由(a-b)2=4,得a2-2ab+b2=4.…② ①+②,得2(a2+b2)=11,∴a2+b2=. ①-②,得4ab=3,∴ab=. 八年级数学上册（R） 13 (2)若x-y=5,xy=3,求(x+y)2的值; 解:(x+y)2=(x-y)2+4xy=25+12=37. (3)已知a+=3,求a2+和a4+的值; 解:a2+=-2=7; a4+=-2=47. 八年级数学上册（R） 14 (4)已知x2-3x+1=0且x≠0,求x2+的值. 解:∵x2-3x+1=0且x≠0, ∴x+=3, ∴=9,即x2+2+=9, ∴x2+=7. 八年级数学上册（R） 15 5.(2025·重庆一中)已知(a+b)2=9,ab=,则(a-b)2的值为(　 　) A.9 B.3 C.12 D.6 6.(1)若x+y=4,xy=1,则x2+y2-2=　 　;  (2)已知x-=6,则x2+的值为　 　;  (3)若m(m-4n)+n(2m+n)=25,mn=6,则(m+n)2=　 　.  B 12 40 49 八年级数学上册（R） 16 7.已知a+b=7,ab=12.求下列各式的值: (1) a2-ab+b2;　　 (2)(a-b)2. 解:(1)a2-ab+b2=a2+b2-ab =(a+b)2-3ab =72-3×12 =13. (2)(a-b)2=(a+b)2-4ab =72-4×12 =1. 八年级数学上册（R） 17 (1)如果a2+(m+2)a+9是一个完全平方式,那么m=　 　;  (2)若9x2+kx+16是完全平方式,则k=　 　;  (3)若多项式x2+8x+k是一个完全平方式,则实数k的值是　 　.  8.(2025·成都外语校)如果关于x的多项式4x2+6x+(2m-1)2是完全平方式,那么m=  　.  4或-8 ±24 16 或- 八年级数学上册（R） 18 $$第2课时　积的乘方 八年级数学上册（R） 1.积的乘方法则 (ab)n=　 　(n是正整数),即积的乘方,等于把积的每一个因式分别　 　,再把所得的幂　 　.  三个或三个以上的积的乘方,也具有这一性质,即(abc)n=　 　(n是正整数).  2.积的乘方法则的逆用 anbn=　 (n是正整数).  anbn 乘方 相乘 anbncn (ab)n　 八年级数学上册（R） 2 计算: (1)(3x)2;　　　　　 (2)(-2b)4; 解:原式=9x2. 解:原式=16b4. (3)(-2x5y4z)5; 解:原式=(-2)5(x5)5(y4)5z5=-32x25y20z5. (4)[-a2·]3; 解:原式=-· =-a6·(-a36)·b27=a42b27. 八年级数学上册（R） 3 (5)× ; 解:原式=9×104 ×8×1012=(9×8)×(104×1012) =72×1016 =7.2×1017. (6)(3m2n)2·(-2m2)4·(-n2)5; 解:原式=-9m4n2·16m8·n10=-144m12n12. (7)(anb3n)2+(a2b6)n; 解:原式=a2nb6n+a2nb6n=2a2nb6n. (8)(-3a3)2-3a5·a-(-2a2)3. 解:原式=9a6-3a6+8a6=14a6. 八年级数学上册（R） 4 1.(2025·成都外语校)下列运算中,结果正确的是(　 　) A.(5x)2=10x2 B.a3·a2=a6 C.=a6 D.=a2b6 2.计算: (1)(-a2b3)3=　 ;  (2)=  ;  (3)(2a2)3·a4=　 　;  (4)(-a3b6)2+(-a2b4)3=　 　;  (5)(-2a)6-(-3a3)2+[-(2a)2]3=　 .  D -a6b9　 m8n4　 8a10 0 -9a6　 八年级数学上册（R） 5 用简便方法计算: (1)×; 解:原式=× ==(-1)5=-1. (2)0.752 024×; 解:原式=× =1× =-. 八年级数学上册（R） 6 (3)(-0.125)12××(-8)13×. 解:原式=××(-8)13× =×(-8)×× =×(-8)××=-. [方法点拨] 互为倒数的两数的指数要通过逆用同底数幂相乘的法则使它们保持相同. 八年级数学上册（R） 7 3.用简便方法计算: (1)×42 025;　　 (2)318×; 解:原式=4. 解:原式=9. (3)(-0.125)2 025··(22 025)3; 解:原式=-. (4)0.259×0.220×259×643. 解:原式=. 八年级数学上册（R） 8 (1)若=a9b15,则n=　 　,m=　 　;  (2)若3x+3·4x+3=122x-1,则x=　 　.  3 5 4 4.若n为正整数,且a2n=,bn=3,求(ab)4n 的值. 解:(ab)4n=a4n×b4n=× =×34=. 八年级数学上册（R） 9 $$第2课时　单项式乘多项式 八年级数学上册（R） 单项式乘多项式 单项式与多项式相乘,就是用单项式去乘多项式的　 　,再把所得的积　 　.  注意:(1)单项式与多项式相乘的计算方法,实质是利用乘法的分配律将其转化为多个单项式乘单项式的问题; (2)单项式与多项式的乘积仍是一个多项式,项数与原多项式的项数相同; (3)计算的过程中要注意符号问题,多项式中的每一项包括它前面的符号,同时还要注意单项式的符号; (4)混合运算时,应注意运算顺序,最后有同类项的,必须合并,从而得到最简的结果. 每一项 相加 八年级数学上册（R） 2 计算: (1)(-2x2)(3x+1); 解:原式=-6x3-2x2. (2)·ab; 解:原式=a2b3-2a2b2. (3)(-2x2yz3); 解:原式=-3x3y3z3+2x3yz4-x2yz3. 八年级数学上册（R） 3 (4)(-2a2b)3·(3b2-4a+6); 解:原式=-24a6b5+32a7b3-48a6b3. (5)(-2ab)2·; 解:原式=3a3b4-12a3b3+a3b2. (6)-2a2-5a(a2b-ab2). 解:原式=-a3b-2a2b2-5a3b+5a2b2 =-6a3b+3a2b2. [方法点拨] 单项式乘多项式要注意:①单项式分别与多项式的每一项相乘时,要注意积的各项符号的确定,即“同号相乘得正,异号相乘得负”;②不要漏掉任何一项,特别是当常数项是±1时,容易漏乘;③注意应用去括号法则;④混合运算时要注意运算顺序,结果有同类项的要合并同类项. 八年级数学上册（R） 4 1.若三角形的底边长为2m+1,底边上的高为2m,则此三角形的面积为(　　)　　　　　　　　　　　　　　　 A.4m2+2m B.4m2+1 C.2m2+m D.2m2+m 2.计算: (1)3a(2a2-3a+1); 解:原式=6a3-9a2+3a. C (2)(-3x2y)(-2xy+3yz-1); 解:原式=6x3y2-9x2y2z+3x2y. (3)-4x; 解:原式=-8x3-12x2+2x. (4)(-2m)2·; 解:原式=m4-20m3-12m2. (5)·2ab2. 解:原式=2a2b2-2a2b3-2a3b3. 八年级数学上册（R） 5 (1)先化简,再求值:3a(2a2-4a+3)-2a2(3a+4),其中a=-1; 解:原式=6a3-12a2+9a-(6a3+8a2) =-20a2+9a. 当a=-1时,原式=-20×(-1)2+9×(-1)=-29. (2)当 m,n 为何值时,x[x(x+m)+nx(x+1)+m]的展开式中不含x2项和x3项? 解:原式=x=x3+x2+mx. ∵展开式中不含x2 项和x3 项,∴1+n=0,m+n=0, 解得 m=1,n=-1. 八年级数学上册（R） 6 3.已知x2+2x=-1,则代数式5+x(x+2)的值为　 　.  4.(2025·成都树德)已知A=x2+3x-a,B=-x,C=x3+3x2+5,若A·B+C的值与x的取值无关,试求a的值. 4 解:∵A=x2+3x-a,B=-x,C=x3+3x2+5, ∴A·B+C=(x2+3x-a)·(-x)+(x3+3x2+5) =-x3-3x2+ax+x3+3x2+5=ax+5. ∵A·B+C的值与x的取值无关, ∴a=0. 八年级数学上册（R） 7 $$第1课时　幂的乘方 八年级数学上册（R） 1.幂的乘方的意义 幂的乘方是指　 相乘,(am)n是n个am相乘,读作a的m次幂的n次方.  2.幂的乘方法则 (am)n=　 　(m,n都是正整数),即幂的乘方,底数　 　,指数　 　.  幂的乘方法则的推广: [(am)n]p=amnp(m,n,p都是正整数). 3.幂的乘方法则的逆用 amn=　 =　 (m,n都是正整数).  n个相同的幂　 amn 不变 相乘 (am)n　 (an)m 八年级数学上册（R） 2 (1)计算: ①(103)4; ②(am)3; ③(-a2)3; ④[(-a)2]3. 解:①原式=1012. ②原式=a3m. ③原式=-a6. ④原式=a6. 八年级数学上册（R） 3 (2)计算: ①(y3)2·; ②(a2n-1)2·; ③·; ④·(b-a)5. 解:①原式=y6·y6=y12. ②原式=a4n-2·a3n+3=a7n+1. ③原式=(x+y)6·(x+y)12=(x+y)18. ④原式=(a-b)6·(b-a)5=(b-a)11. [知识点拨] 注意处理好符号问题:“负数的奇次幂为负,偶次幂为正”. 八年级数学上册（R） 4 1.下列各式中计算正确的是(　 　) A.(x2)3=x5　　　　 B.[(-a)2]5=-a10 C.(am)2=(a2)m=a2m D.(a2+n)3=a6+n 2.计算: (1)(x3)2·x2;　　 (2)(-x3)4·(-x4)3; C 解:原式=x8.　　　　 解:原式=-x24. (3)(-x4)5+(-x10)2; 解:原式=0. (4)[(-a-b)2]3·[(a+b)3]2. 解:原式=(a+b)12. 八年级数学上册（R） 5 填空: (1)若x2n=3,则x10n=　 　;  (2)若(8x)4=236,则x=　 　;  (3)若10m=2,10n=3,则104m+3n=　 　;  (4)若a=255,b=344,c=433,d=522,将这四个数按从大到小的顺序排列起来是　　 　.  [方法点拨] 根据幂的乘方的逆运算,可把指数是积的形式的幂写成幂的乘方,然后整体代入求值. 243 3 432 b>c>a>d 八年级数学上册（R） 6 3.下列计算错误的是(　 　) A.(a5)5=a25　　　　　 B.(x4)m=(x2m)2 C.x2m=(-xm)2 D.a2m=(-a2)m 4.(1)已知x2m=5,则x6m-5的值为　 　;  (2)若2x+5y-3=0,则4x·32y的值为　 　;  (3)(2025·重庆育才)若100a=20,1 000b=50,则2a+3b的值是　 　.  5.(2025·重庆巴蜀)若2m=a,32n=b,m,n为正整数,求23m+10n的值. D 20 8 3 解:∵2m=a,32n=25n=b, ∴23m+10n=23m·210n=(2m)3·(25n)2=a3b2. 八年级数学上册（R） 7 $$第4课时 　同底数幂的除法 八年级数学上册（R） 1.同底数幂的除法法则 同底数幂相除,底数　 　,指数　 　,用式子表示为am÷an=______(a≠0, m,n都是正整数,并且m>n).  注意:(1)同底数幂的乘法与同底数幂的除法是互逆运算;(2)当三个或三个以上同底数幂相除时,也具有这一性质;(3)底数可以是一个数,也可以是单项式或多项式;(4)逆用公式:am-n =am÷an (a≠0,m,n都是正整数,并且m≥n). 2.零指数幂 任何不等于0的数的0次幂都等于　 　,用字母表示为a0=　 　(a≠0).  注意:底数不能为0.任何一个常数都可以看作与字母0次方的积.因此常数项也叫0次单项式. 不变 相减 am-n 1 1 八年级数学上册（R） 2 计算: (1)x8÷x4; 解:原式=x8-4=x4. (2)(xy)5÷(xy)3; 解:原式=(xy)5-3=(xy)2=x2y2. (3)(-xy)13÷(-xy)8; 解:原式=(-xy)13-8=(-xy)5=-x5y5. (4)(x-2y)3÷(2y-x)2; 解:原式=(x-2y)3÷(x-2y)2=x-2y. 八年级数学上册（R） 3 (5)(x8)2·(x2)4÷(x3)5÷(x4)2; 解:原式=x16·x8÷x15÷x8=x16+8-15-8=x. (6)(x-2y)10÷(2y-x)5÷(x-2y)4; 解:原式=(2y-x)10÷(2y-x)5÷(2y-x)4 =(2y-x)10-5-4 =2y-x. 八年级数学上册（R） 4 (7)(3×106)4÷(3×106)2; 解:原式=(3×106)4-2=(3×106)2 =9×1012. (8)[(x-2y)3]3÷[(2y-x)2]4. 解:原式=(x-2y)9÷(x-2y)8 =(x-2y)9-8=x-2y. [易错提示] 在做同底数幂的除法时,容易受前面所学知识的影响,造成“指数相除”的错误. 八年级数学上册（R） 5 1.下列计算中,正确的是(　 　) A.(-x)8÷(-x)3=x5 B.(a+b)5÷(a+b)=a4+b4 C.(x-1)6÷(x-1)2=(x-1)3 D.-a7÷(-a)5=a2 2.计算: (1)x12÷x3;　　　 (2)(-x)9÷x4÷(-x)3; D 解:原式=x9. 解:原式=x2. (3)x4n+2÷(x2)n-1; 解:原式=x2n+4. (4)[(a-b)5]3÷[(b-a)2]7·(b-a)4. 解:原式=(a-b)5. 八年级数学上册（R） 6 若2m=6,4n=2,求22m-2n+2的值. 解:∵2m=6,4n=2, ∴22m-2n+2=22m÷22n×22 =(2m)2÷4n×4 =62÷2×4=72. 5.已知xm=6,xn=3,则x2m-n的值为(　 　) A.9 B. C.12 D. 6.已知10m=2,10n=3,则102m+3n-1=　 　.  C 10.8 八年级数学上册（R） 7 $$第5课时　单(多)项式除以单项式 八年级数学上册（R） 1.单项式除以单项式法则 单项式相除,把系数与　 分别相除作为商的因式,对于只在被除式里含有的字母,则连同它的指数作为商的　 .  注意:(1)法则包括三个方面:①系数相除;②同底数幂相除;③只在被除式里出现的字母,连同它的指数作为商的一个因式. (2)单项式除法的实质即有理数的除法(系数部分)和同底数幂的除法的组合,单项式除以单项式的结果仍为单项式. 同底数幂　 一个因式　 八年级数学上册（R） 2 2.多项式除以单项式法则 多项式除以单项式,先把这个多项式的　 　除以这个单项式,再把所得的商　 　.  注意:(1)由法则可知,多项式除以单项式转化为单项式除以单项式来解决,其实质是将它分解成多个单项式除以单项式; (2)利用法则计算时,多项式的各项要包括它前面的符号,要注意符号的变化. 每一项 相加 八年级数学上册（R） 3 计算: (1)(-6a3b)÷2a2b; 解:原式=-3a. (2)-9(x2y3)3÷(-3x3y4); 解:原式=-9x6y9÷(-3x3y4)=3x3y5. 八年级数学上册（R） 4 (3)(2ab)2·÷; 解:原式=4a2b2·a3b4c÷a4b3=12ab3c. (4)6a5b6c4÷(-3a2b3c)÷2a3b3c3. 解:原式=[6÷(-3)÷2]a5-2-3b6-3-3c4-1-3=-1. 八年级数学上册（R） 5 1.已知6x4y3÷★=2xy2,则“★”所表示的式子是(　 　) A.12x5y5 B.3x3y C.3x3y2 D.4x3y 2.计算: (1)8x3y÷(2x)2; B 解:原式=2xy. (2)(-3x3y2)3÷(-9xy); 解:原式=3x8y5. (3)7x3y2÷. 解:原式=xy. 八年级数学上册（R） 6 计算: (1)(5x2y4-4x3y2)÷(-3x); 解:原式=-xy4+x2y2. (2)(16x3-8x2+4x)÷(-2x); 解:原式=-8x2+4x-2. (3)÷y2. 解:原式=x3-x+y. 八年级数学上册（R） 7 3.小明总结了以下结论: ①a(b+c)=ab+ac; ②a(b-c)=ab-ac; ③(b-c)÷a=b÷a-c÷a(a≠0); ④a÷(b+c)=a÷b+a÷c(a≠0). 其中一定成立的个数是(　 　) A.1个　　 B.2个　　 C.3个　　 D.4个 4.填空: (1)(5a3b2+10a2b3)÷　 　=a+2b;  (2)(28a3-14a2+7a)÷7a=　 　.  C 5a2b2 4a2-2a+1 八年级数学上册（R） 8 已知+=0,求[(a+b)·(4a-b)+(2a+b)(b-2a)-(2b)2]÷2b的值. 解:由题意,可知 解得 原式=(4a2+3ab-b2+b2-4a2-4b2)÷2b =(3ab-4b2)÷2b=a-2b. 当a=-2,b=时, 原式=×(-2)-2×=-4. 八年级数学上册（R） 9 5.先化简,再求值: (1)(9x3y-12xy3+3xy2)÷(-3xy)-(2y+x)(-x+2y),其中x=1,y=-2; 解:原式=-3x2+4y2-y-(4y2-x2) =-3x2+4y2-y-4y2+x2 =-2x2-y. 当x=1,y=-2时, 原式=-2×12-(-2)=0. 八年级数学上册（R） 10 (2)(a2-6a4)÷(-a)2-3(b+a)(b-a),其中a2+b2=. 解:原式=(a2-6a4)÷a2-3(b2-a2) =1-6a2-3b2+3a2 =1-3a2-3b2 =1-3(a2+b2). ∵a2+b2=,∴原式=1-3×=-1. 八年级数学上册（R） 11 $$16.1.1 　同底数幂的乘法 八年级数学上册（R） 1.同底数幂的乘法法则 am·an=　 　(m,n都是正整数),即同底数幂相乘,　 　不变,指数　 　.  同底数幂的乘法法则的推广: am·an·ap=　 　(m,n,p都是正整数).  2.同底数幂的乘法法则的逆用 am+n=　 (m,n都是正整数).  am+n 底数 相加 am+n+p am·an 八年级数学上册（R） 2 注意:①公式中的底数可以是单项式,也可以是多项式,只要保证同底就可以使用同底数幂的乘法法则,如:(a-b)3·(a-b)2=(a-b)5; ②当底数不同时,要化成同底才可以,此时往往要注意符号变化,在幂的运算中,经常用到以下变形:(-a)n= (a-b)n= 八年级数学上册（R） 3 (1)计算: ①a·a3; ②(-2)×(-2)2×(-2)5; ③(a-b)m·(a-b)·(a-b)3m+1.(m为正整数) 解:①原式=a1+3=a4. ②原式=(-2)1+2+5=(-2)8=256. ③原式=(a-b)m+1+3m+1=(a-b)4m+2. 八年级数学上册（R） 4 (2)计算: ①35×(-3)3; ②a·(-a2)·(-a3) ; ③32×(-2)2n·(-2)3(n为正整数); ④(x-y)2·(y-x)3·(x-y)4. 解:①原式=-38=-6 561. [方法点拨] 底数互为相反数时,要通过变形化成同底.另外要注意以下各式左右两边的底数都是相反数的关系:(x-y)2n=(y-x)2n,(x-y)2n+1=-(y-x)2n+1,(-x-y)2n+1=-(x+y)2n+1,(-x-y)2n=(x+y)2n(其中n是正整数). ②原式= a6. ③原式=-22n+8. ④原式=-(x-y)9. (1)若2×23×22n=210,则n=　 　;  (2)若m+n-3=0,则2m·2n=　 　.  3 8 八年级数学上册（R） 5 1.下列计算正确的是(　 　)　　　　　　　　　　　　　　　　　 A.a2·a3=a6 B.y7·y=y8 C.b3·b3=2b3 D.x5+x5=x10 2.(1)若3m+n-4=0,则23m·2n=　 　;  (2)若3×27×9=3x,则x=　 　.  B 16 6 八年级数学上册（R） 6 3.计算: (1)a·(-a2)·(-a4); 解:原式=a7. (2)a2m·am+2·a3; (3)1 000×102n;(用含10的幂的形式表示) 解:原式=102n+3. (4)(x-y)(y-x)2(y-x)3(x-y)4. 解:原式=-(x-y)10. 解:原式=a3m+5. 八年级数学上册（R） 7 计算: (1)b·(-b2)+(-b)·(-b)2; 解:原式=-2b3. (2)2a3·a4+a5·a2-2a6·a; 解:原式=a7. (3)3(m-n)4·(n-m)-4(m-n)3·(n-m)2. 解:原式=-7(m-n)5. [方法总结] 混合运算时要注意运算顺序,还要正确地运用相应的运算法则,并要注意区别同底数幂的乘法与整式的加减法的运算法则.在第(3)小题中把“m-n”看成一个整体. 八年级数学上册（R） 8 4.计算: (1)an+2·a·a2-an·a3·a2; 解:原式=an+5-an+5=0. (2)(-p)·(-p)4-(-p)2·p3; 解:原式=-p5-p5=-2p5. (3)(2x-1)2·(2x-1)3+(2x-1)4·(1-2x). 解:原式=(2x-1)5-(2x-1)4·(2x-1) =(2x-1)5-(2x-1)5 =0. 八年级数学上册（R） 9 (1)若am=6,an=7,则am+n=　 　;  (2)已知2x=3,则2x+3=　 　.  [方法点拨] 将指数和转化为同底数幂相乘,然后把已知条件代入求值,体现了整体思想的应用. 5.(1)已知am=3,an=5,则am+n=　 　;  (2)若am=8,am+n=120,则an=　 　.  42 24 15 15 八年级数学上册（R） 10 $$第2课时　添括号 八年级数学上册（R） 探究: (1)a+(b+c)=　 　;  (2)a-(b+c)=　 　.  根据(1),(2)填空: a+b+c=a+(　 　);  a-b-c=a-(　 　).  1.添括号法则 添括号时,如果括号前面是正号,括到括号里的各项　 ;如果括号前面是负号,括到括号里的各项　 .  温馨提示:(1)添括号与去括号是互逆的,符号的变化是一致的.添括号是否正确可用去括号检验. (2)不论怎样添括号,原式的值都不能改变,添括号法则在利用乘法公式的计算中应用较多. 2.补充公式: (x+y+z)2=x2+y2+z2+2xy+2xz+2yz. a+b+c a-b-c b+c b+c 都不变符号　 都改变符号　 八年级数学上册（R） 2 在横线上填上恰当的项: (1)a-2b+c=a-(　 　);  (2)2x-3y+1=2x+(　 );  (3)a-b+c-d=a-(　 　)-d.  [方法点拨] 添括号时,一定要看清题目的要求,并且不能改变原多项式的值. 2b-c -3y+1　 b-c 八年级数学上册（R） 3 1.下列添括号正确的是(　 　)　　　　　　　　　 　　　　　　　　　 A.a+b-c=a-(b+c) B.-2x+4y=-2(x-4y) C.a-b-c=(a-b)-c D.2x-y-1=2x-(y-1) 2.在横线上填上恰当的项: (1)(a-b)2-a+b=(a-b)2-(　 　);  (2)1-x2+2xy-y2=1-(　 ).  C a-b x2-2xy+y2　 八年级数学上册（R） 4 计算: (1)(x-y-2)2; 解:原式=x2+y2-2xy-4x+4y+4. (2)(a+b+1)(a-b+1); 解:原式=(a+1)2-b2=a2+2a-b2+1. (3)(m-n+2)(m+n-2); 解:原式=m2-(n-2)2=m2-n2+4n-4. 八年级数学上册（R） 5 (4)(a+2b-3)2; 解:原式=[a+(2b-3)]2 =a2+2a(2b-3)+(2b-3)2 =a2+4b2+4ab-6a-12b+9. (5)(a+2b-3c)(a-2b+3c); 解:原式=[a+(2b-3c)][a-(2b-3c)] =a2-(2b-3c)2 =a2-4b2+12bc-9c2. (6)(2a+b)2(2a-b)2. 解:原式=[(2a+b)(2a-b)]2 =(4a2-b2)2 =16a4-8a2b2+b4. [方法点拨] 在添括号对多项式进行变形,以便使用平方差公式时,要把两个括号中符号相同的项分到一组中,符号相反的项分到另一组中. 八年级数学上册（R） 6 3.下列变形中,运用乘法公式计算(x+2y-1)(x-2y+1)正确的是(　　)　　　　　　　　　　　　　　　　 A.[x-(2y+1)]2 B.[x+(2y-1)][x-(2y-1)] C.[(x+2y)+1][(x-2y)-1] D.[x+(2y+1)]2 B 八年级数学上册（R） 7 4.计算: (1)(x2-2x+1)(x2+2x+1); 解:原式=x4-2x2+1. (2)(a+b-c)(c-a-b); 解:原式=-a2-b2-c2-2ab+2ac+2bc. (3)(x-2y-3z)2; 解:原式=x2+4y2+9z2-4xy-6xz+12yz. (4)(x+y)2(x-y)2. 解:原式=x4-2x2y2+y4. 八年级数学上册（R） 8 (1)若x2+2x+y2-6y+10=0,则x =　 　,y =　　;  (2)多项式x2+2xy+2y2-4y+2025的最小值是　 .  -1 3 2 021　 5.当a=　 　,b=　 　时,a2+b2-4a+6b+18有最小值,最小值为　 　.  2 -3 5 八年级数学上册（R） 9 6.若m2-2mn+2n2-8n+16=0,求m,n的值. 解:∵m2-2mn+2n2-8n+16=0, ∴(m2-2mn+n2)+(　 )=0,  即(　 　)2+(　 　)2=0.  根据非负数的性质,得m=n=　 　.  (1)阅读上述解答过程,并补充横线处的内容; n2-8n+16　 m-n n-4 4 八年级数学上册（R） 10 (2)设等腰△ABC的三边长分别为a,b,c,且满足a2+b2-4a-6b+13=0,求△ABC的周长. 解:(2)∵a2+b2-4a-6b+13=0, ∴(a2-4a+4)+(b2-6b+9)=0, ∴(a-2)2+(b-3)2=0, ∴a=2,b=3. ∵等腰△ABC的三边长为a,b,c, ∴当c=a时,三边分别为2,2,3,此时能围成三角形,△ABC的周长=2+2+3=7; 当c=b时,三边分别为2,3,3,此时能围成三角形,△ABC的周长=2+3+3=8. 综上所述,△ABC的周长为7或8. 八年级数学上册（R） 11 $$第1课时　单项式乘单项式 八年级数学上册（R） 1.单项式乘单项式 单项式与单项式相乘,把它们的　 　、　 分别相乘作为积的因式.对于只在一个单项式里含有的字母,则连同它的　 　作为积的一个因式.  2.单项式与单项式相乘的法则的依据 幂的运算性质,乘法　 　 律、　 　律.  系数 同底数幂　 指数 交换 结合 八年级数学上册（R） 2 注意:(1)单项式的乘法计算步骤:积的系数等于各系数的积,是把各单项式的系数交换到一起进行有理数的乘法计算,先确定符号,再计算绝对值;相同字母相乘,是同底数幂的乘法,按照“底数不变,指数相加”进行计算;只在一个单项式里含有的字母,要连同它的指数写在积里作为积的一个因式; (2)运算的结果仍为单项式,也是由系数、字母、字母的指数这三部分组成; (3)三个及三个以上的单项式相乘同样适用以上法则. 八年级数学上册（R） 3 计算: (1)(-7a5c)(-2a3b); (2); 解:原式=(7×2)(a5·a3)·c·b =14a8bc. 解:原式=-(a2·a)·b·c2 =-a3bc2. 八年级数学上册（R） 4 (3)(-3x); 解:原式=-(x·x2)(y·y3)·z2 =-x3y4z2. (4)(4×105)×(5×107). 解:原式=2×1013. [方法点拨] (1)在计算时,应先进行符号运算,积的系数等于各因式系数的积;(2)注意按顺序运算;(3)不要漏掉只在一个单项式里含有的字母因式;(4)幂的运算性质对于多个单项式相乘仍然成立. 八年级数学上册（R） 5 1.(2025·重庆八中)下列运算正确的是(　 　) A.-3a·2b=5ab B.a4·a2=a8 C.3b2·2b2=6b4 D.2a2b·ab2=2a2b2 2.计算: (1)2xy2·xy; 解:原式=(x·x)(y2·y) =x2y3. (2)(-2a2b3)·(-3a); (3). 解:原式=(a2·a)(b·b2)·(c3·c5·c)=a3b3c9. 解:原式=[(-2)×(-3)](a2·a)·b3 =6a3b3. C 八年级数学上册（R） 6 计算: (1)(4x4y)(-xy3)5; 解:原式=4[x4·(-x5)](y·y15) =-4x9y16. (2)(-4xy3)-; 解:原式=x2y4-x2y4=x2y4. 八年级数学上册（R） 7 (3)-2(-a2bc)2·ab3c3-(-abc)2·(-abc)3; 解:原式=-2a4b2c2·ab3c3+a2b2c2·a3b3c3 =-a5b5c5+a5b5c5=0. (4)-6m2n·(x-y)3·mn2·(y-x)2. 解:原式=-2m3n3(x-y)5. 八年级数学上册（R） 8 3.计算: (1)·(-3xy2)2; 解:原式=-x8y7. (2)·3xy2·(2xy2)2; 解:原式=-x12y12. (3)(x-y)2·(y-x)7·; 解:原式=-(x-y)15. (4)2m3·(-3m5)+(m2)4+(-2m4)2; 解:原式=-m8. (5)5a3b·(-3b)2+(-6ab)2·(-ab)-ab3·(-4a)2. 解:原式=-7a3b3. 八年级数学上册（R） 9 $$