九下 3.9 弧长及扇形的面积-【初中学霸创新题】2025-2026学年九年级全册数学同步教案(北师大版)

9 弧长及扇形面积 课题 弧长及扇形面积 授课类型 新授课 授课人 教学内容 课本P100-102 教学目标 1. 经历探索弧长计算公式及扇形面积计算公式的过程。 2. 理解弧长计算公式及扇形面积计算公式，并会应用公式解决问题。 教学重难点 重点：经历探索弧长及扇形面积计算公式的过程，了解弧长及扇形面积计算公式，并会应用公式解决问题。 难点：探索得出弧长及扇形面积的计算公式，并能用公式解决问题。 教学准备 多媒体课件，圆规，直尺，三角尺。 教与学互动设计（教学过程） 设计意图 1.创设情境，导入新课 在田径二百米跑步比赛中，每位运动员的起跑位置是在同一起跑线吗？每位运动员跑道的弯路展直后长度相同吗？（多媒体呈现） 师生活动：教师播放二百米比赛视频或图片，并给出问题，学生欣赏视频并回答问题。 学生：因为有弯道，所以不是在同一起跑线，弯路展直后的长度一定是相同的。 教师：那么对于弯道部分的长度，我们可以计算吗？ 学生：200 m跑道的弯道长度一定是100 m，因为直道的长度是100 m。 教师：非常好，那对于任意的一段弯道，我们能计算出它的长度吗？或者要计算它的长度，我们需要知道哪些条件？今天这节课我们就一块儿来探究下如何解决这个问题。（板书课题：弧长及扇形面积） 根据田径200 m比赛的起跑线不同创设情境，调动学生学习的积极性，引导学生用数学的眼光观察世界，最后在学生观察思考后，引出本节课课题。 2.实践探究，学习新知 【探究1】弧长公式 如图,某传送带的一个转动轮的半径为10 cm。 1.转动轮转一周,传送带上的物品A被传送多少厘米？ 2.转动轮转1°,传送带上的物品A被传送多少厘米？ 3.转动轮转n°,传送带上的物品A被传送多少厘米？（多媒体呈现） 师生活动：教师通过提出问题，引导学生分析弧长和圆周长之间的关系，由学生思考交流并回答，最后由师生共同推导出n°的圆心角所对的弧长的计算公式。 学生活动：（1）2×10×π=20π（cm）。 （2）20π×=（cm）。 （3）20π×=（cm）。 教师活动：那如果圆的半径是R，圆心角的度数是n°，那么这个圆心角所对的弧长是多少？ 学生：弧长是2×π×R×=πR。 教师：所以，我们就得出了在半径为R的圆中，n°的圆心角所对的弧长的计算公式为： l=πR。（多媒体呈现或板书） 因此同学们我们在计算一段弧的长度时，必须要知道的条件是什么？ 学生：这段弧所对的圆心角的度数，和圆的半径。 例 制作弯形管道时，需要先按中心线计算“展直长度”再下料。试计算图中所示的管道的展直长度，即长（结果精确到0.1 mm）（多媒体呈现） 师生活动：学生思考交流答题（板演），教师规范解题步骤。 学生活动：R＝40 mm，n＝110°，所以 ∴的长＝πR＝×40π≈76.8（mm）。 因此，管道的展直长度约为76.8 mm。 教师：因此我们要求一段弧的长度，首先确定这段弧所对的圆心角度数，以及半径的长，然后代入公式计算即可。 【探究2】扇形的面积 在一块空旷的草地上有一根柱子，柱子上拴着一条长3 m的绳子，绳子的另一端拴着一只狗。 （1）这只狗的最大活动区域有多大？ （2）如果这只狗只能绕柱子转过n°角，那么它的最大活动区域有多大？（多媒体呈现） 师生活动：教师通过提出问题，由学生思考交流并回答。 学生活动：（1）如图①，这只狗的最大活动区域是圆的面积，即9πm2； （2）如图②，狗的活动区域是扇形，面积为×9π×n＝ m2。 教师活动：可以说说（2）这样计算的道理吗？ 学生活动：因为扇形同弧长一样，也是是圆的一部分，参考弧长公式的计算方法，圆心角是360°的扇形面积等于圆面积，所以圆心角是1°的扇形面积等于圆面积的，圆心角是n°的扇形面积等于圆面积的。 教师活动：所以扇形面积的弧长公式应该怎么样描述？ 学生活动：如果扇形的半径为R，圆心角为n°，那么扇形面积的计算公式为：S扇形=πR2。 【探究3】弧长与扇形的面积的关系 同学们，通过之前的探索，我们已经明确了弧长以及扇形面积的公式，那么，同学们，你能用弧长来表示扇形的面积吗？说说你的理由？ 师生活动：教师提出问题，学生思考交流回答（板演）。 学生：在半径为R的圆中，如果弧长为l，那么这段弧所对应的扇形的面积为S扇形=lR。 理由：∵l=πR，S扇形=πR2， ∴πR2=R·πR， ∴S扇形=lR。 教师活动：同学们有没有发现，这个公式跟我们之前学习过的什么公式很像？ 学生活动：和三角形的面积公式很像。 教师活动：那么目前我们已经掌握了两种扇形的面积公式，当已知圆心角度数和半径时，我们用S扇形=πR2，当已知弧长和半径时，我们可以直接用S扇形=lR。 例 扇形AOB的半径为12 cm，∠AOB=120°，求的长(结果精确到0.1 cm)和扇形AOB的面积(结果精确到0.1 cm2)。 解：的长=π×12≈25.1（cm）。 S扇形=π×122≈150.7（cm2）。 因此，的长约为25.1 cm，扇形AOB的面积约为150.7cm2。 从实际问题出发，通过问答形式，引导学生得出计算弧长的公式。 让学生利用公式进行弧长的有关计算,明确要求弧长则需要所在圆的半径、圆心角的度数，进一步加深学生对对弧长公式的理解与运用能力。 类比刚才探索弧长公式的过程，在探索扇形面积公式时，给学生更多的自主权，让学生自主完成扇形面积公式的探索。 由学生探究弧长和扇形面积之间的关系，并用公式表示出来。 通过例题的计算，进一步提升学生对公式的应用能力，同时教师可再次规范计算过程。 3.学以致用，应用新知 考点 扇形面积的相关计算 随堂练习1 变式训练 如图，在矩形ABCD中，AB＝2，BC＝，以点B为圆心，BA长为半径画弧，交CD于点E，连接BE，则扇形BAE的面积为（　　） A． B． C． D． 答案：C 考点2 弧长的相关计算 随堂练习2 变式训练 如图，用一个半径为6cm的定滑轮拉动重物上升，滑轮旋转了120°，假设绳索粗细不计，且与轮滑之间没有滑动，则重物上升了 　 　cm。（结果保留π） 答案：4π 学以致用，通过及时练习，进一步提升学生对新知的理解与运用。 4.随堂训练，巩固新知 1. 如图，AB是⊙O的直径，C是⊙O上一点，连接AC，OC，若AB＝6，∠A＝30°，则的长为（　　） A．6π B．2π C．π D．π 答案：D 2.一个扇形的弧长是10π cm，其圆心角是150°，此扇形的面积为（　　） A．30π cm2 B．60π cm2 C．120π cm2 D．180π cm2 答案：B 3. 如图，在△ABC中，CA＝CB＝4，∠BAC＝α，将△ABC绕点A逆时针旋转2α，得到△AB′C′，连接B′C并延长交AB于点D，当B′D⊥AB时，的长是（　　） A．π B．π C．π D．π 答案：B 4. 如图，在由边长为1的小正方形组成的网格中，一条弧经过格点（网格线的交点）A，B，D，点C为弧BD上一点．若∠CAD＝30°，则阴影部分的面积为（　　） A． B． C． D． 答案：D 进一步巩固新知，同时为学生提供自我检测的机会，教师也可针对学生的学习情况，及时调整授课，查缺补漏。 5.课堂小结，自我完善 教师引导学生畅所欲言地谈谈本节课的收获： 1. 经历探索弧长计算公式及扇形面积计算公式的过程，掌握了计算弧长和扇形面积的公式。 2. 能够应用弧长公式和扇形的面积公式解决问题。 通过小结，回顾探索新知识的过程，进一步感悟其中蕴含的数学思想方法，提高学生的概括能力，培养学生良好的回顾和反思的习惯。 6.布置作业 1.书面作业：习题3.11。 让学生所学知识得以运用，在巩固学生知识技能的同时也减轻学生负担。 板书设计 弧长及扇形面积 1、 弧长公式 2、 扇形面积公式 教师题目讲解 学生活动区 投影区 提纲掣领，重点突出。 教后反思 本节课200 m田径比赛的起跑线不同为背景，创设情景，引发学生学习的热情，感受数学来源于生活又回归生活的事实。使学生能够积极地投身到课堂的探究活动中。同时本节课在“以学生发展为核心”的理念下，最大限度地实现学生的主体地位，从学生的实际出发，创设有助于学生自主学习的问题情境，在师生之间、生生之间的互动中，让学生通过观察、思考、交流等合作活动亲身经历知识的发生、发展及其探求过程，同时培养学生类比的思维方法以及数形结合的思想。 反思，更进一步提升。 学科网（北京）股份有限公司 $$