九上 3.2 用频率估计概率-【初中学霸创新题】2025-2026学年九年级全册数学同步教案(北师大版)

2 用频率估计概率 课题 第2节 用频率估计概率 授课类型 新授课 授课人 教学内容 课本P69-70 教学目标 1.经历进行试验、统计结果、合作交流的过程，能用试验频率估计一些复杂的随机事件发生的概率。 2.经历试验、统计等活动过程，在活动中进一步发展学生合作交流的意识和能力。 3.通过对贴近学生生活的有趣的生日问题的试验、统计，提高学生学习数学的兴趣，且有助于破除迷信，培养学生严谨的科学态度. 教学重难点 重点：掌握用试验频率估计复杂的随机事件发生的概率的方法。 难点：用试验频率估计随机事件发生的概率；关键是通过试验、统计活动，进一步体会随机事件的概率的意义。 教学准备 多媒体课件。 教与学互动设计（教学过程） 设计意图 1.创设情景，导入新课 《红楼梦》第62回中有这样的情节： 当下又值宝玉生日已到，原来宝琴也是这日，二人相同…… 袭人笑道：“这是他来给你拜寿。今儿也是他的生日，你也该给他拜寿。”宝玉听了，喜的忙作下揖去，说：“原来今儿也是姐姐的芳诞。”平儿还福不迭…… 探春忙问：“原来邢妹妹也是今儿？我怎么就忘了。” …… 探春笑道：“倒有些意思，一年十二个月，月月有几人生日。人多了，便这等巧，也有三个一日，两个一日的…… 教师提问：为什么会“便这等巧”？ 这节课，我们来学习用频率估计概率。（教师板书课题： 第2节 用频率估计概率） 以小说情节开篇引人入胜，直接引入与生日有关的话题，激发学生的学习兴趣，学生置身于情境之中，并陷入思考：为什么“便这等巧”？由此引出本节要研究的课题。 2.实践探究，学习新知 【探究1】 师生活动：借助与日常生活密切相关的生日问题，利用试验频率来估计一些较复杂随机事件的概率。 教师提问：400个同学中，一定有2人的生日相同（可以不同年）吗？有什么依据呢？ 学生回答：一定。可以用“抽屉原理”解释（小学已学过）。例如：一年最多366天，400个同学中一定会出现至少2人出生在同月同日，相当于400个物品放到366个抽屉里，一定至少有2个物品放在同一抽屉里。 教师追问：300个同学中，一定有2人的生日相同（可以不同年）吗？ 学生回答：不一定。 教师给出一个说法：我认为咱们班50个同学中，就很可能有2个同学的生日相同。 议一议： 师生活动：学生会对此说法表示怀疑，教师可安排学生通过大量重复试验，用“50个人中有2个人的生日相同”的频率来估计这一事件的概率。鼓励学生独立思考，提出自己的方案；然后通过相互交流，设计出相对完善且容易操作的试验方案。比如，每个同学课外调查一定数量人的生日供试验使用，也可以随机地产生出1~365之间的某一个自然数代表生日（这实际上就是模拟试验）。 做一做： （1）每个同学课外调查10个人的生日。 （2）从全班的调查结果中随机选取50个被调查人，记录其中有无2个人的生日相同。每选取50个被调查人的生日为一次试验，重复尽可能多次试验，并将数据记录在下表中： 试验总次数 50 100 150 200 250 … “有2个人的生日相同”的次数 “有2个人的生日相同”的频率 （3）根据上表的数据，估计“50个人中有2个人的生日相同”的概率。 （为了节约时间，可以对生日的表示方式简化并以小组的形式参与收集、整理数据，以保证时间的充分利用；鼓励学生大胆讨论、交流、发言，从大量重复试验中初步感受到本问题的概率） 教师活动：此生日问题属于第二类概率问题，有理论概率，但理论概率计算困难，我们通过多次试验，用频率来估计它。人们往往觉得两个人生日相同是一件可能性不大的事情，但计算结果告诉我们，如果人数达到50人，那么这种可能性就会非常大。 教师可拓展延伸，给出“几个人中至少有两人生日相同”的频率大小表，让学生观察表格，直观感受本问题的概率。 学生活动：如果人数不少于23人，“有2个人的生日相同”的频率就达到50%；当人数是50人时，“有2个人的生日相同”的频率高达97.04%。 【归纳总结】 1.试验得出的频率只是概率的估计值； 2.对一个随机事件A，用频率估计的概率P（A）不可能小于0，也不可能大于1； 3.概率是针对大量重复试验而言的，大量重复试验反映的规律并非在每一次试验中都发生。 【探究2】 想一想： （1）一个口袋中有3个红球、7个白球，这些球除颜色外都相同。从口袋中随机摸出一个球，这个球是红球的概率是多少？ 预设：。 （此问题是为下一问题做铺垫，教学时可视情况跳过） （2）一个口袋中有红球、白球共10个，这些球除颜色外都相同。如果不将球倒出来数，那么你能设计一个试验方案，估计其中红球和白球的比例吗？ 预设：可以先将口袋中的球搅拌均匀，从中随机摸出一个，记下颜色后放回。 不断重复这个过程，共摸n次（n要足够大，例如n≥100），其中m次摸到红球。由此可以估计出：从口袋中随机摸出一球，它是红球的概率为。另一方面，假设口袋中有x个红球，从口袋中随机摸出一球，它是红球的概率应该等于。由=，得x=；白球数量为10-x=（个）。因此，口袋中红球和白球的数量比约为。 （3）你还能提出并解决哪些与问题（2）类似的问题？与同伴交流。 预设：答案不唯一。比如，一个口袋中有8个红球和若干个白球，如果不将球倒出来数，那么你能估计出其中的白球数吗？又如，如果口袋中只有若干个白球，没有其他颜色的球，而且不将球倒出来数，那么你如何估计出其中的白球数？……教学时，应充分鼓励学生大胆提出问题，并思考解决问题的方案，增强学生发现问题、提出问题的意识和能力。 【归纳总结】 频率与概率有什么区别与联系： 区别：频率是在相同条件下进行重复试验时事件发生的次数与试验总次数的比值，其本身是随机的，在试验前不能够确定且随着试验的不同而发生改变。而一个随机事件发生的概率是确定的常数，是客观存在的，与试验次数无关。 联系：在大量的重复试验中，随机事件发生的频率会呈现出明显的规律性：随着试验次数的增加，频率将会越来越集中在一个常数附近，具有稳定性，即试验频率稳定于其理论概率。 通过三个问题的提问让学生从一个必然事件过渡到一个不确定事件，在最后一个问题中很好地引发学生认知矛盾，从而引发学生浓厚的研究兴趣。 让学生完整地经历一次从收集数据到整理数据，再到利用试验频率估计概率的过程，同时借助一个很有认知矛盾的问题很好地调动学生的积极性。 引导学生思考如何利用频率与概率之间这种关系解决问题，感受概率与统计之间的联系。 明确频率与概率的区别与联系。 3.学以致用，应用新知 考点1 用频率估计概率 例1 下表记录了一名球员在罚球线上投篮的结果： 投篮次数 50 100 150 200 250 400 500 800 投中次数 28 63 87 122 148 242 301 480 投中频率 0.560 0.630 0.580 0.610 0.592 0.605 0.602 0.600 根据颍率的稳定性，估计这名球员投篮—次投中的概率约是（ ） A. 0.560 B. 0.580 C. 0.600 D. 0.602 答案：C 变式训练 某人随意投掷一枚均匀的骰子，六个面分别写有1，2，3，4，5，6六个数字，投掷了n次，其中有m次掷出的点数是偶数，即掷出的点数是偶数的频率为得。若投掷的次数足够多，则的值会稳定在_______。 答案： 考点2 设计模拟试验估计事件发生的概率 例2 如图，为某小组做“用频率估计概率”的实验时，绘制的频率折线图，则符合这一结果的实验是（ ） A. 掷—个正六面体的骰子，朝上点数是3的倍数 B. 抛两枚硬币，—枚正面朝上，—枚反面朝上 C. —副去掉大小王的扑克牌洗匀后，从中任抽—张牌的花色是红桃 D. 从一个装有2个红球1个黑球的袋子中任取—球，取到的是红球 答案：A 变式训练 同学们设计了一个用计算机模拟随机重复抛掷瓶盖的实验，记录盖面朝上的次数，并计算盖面朝上的频率，下表是依次累计的实验结果。 抛掷次数 500 1 000 1 500 2 000 3 000 4 000 5 000 盖面朝上次数 275 558 807 1 054 1 587 2 124 2 650 盖面朝上频率 0.550 0.558 0.538 0.527 0.529 0.531 0.530 下面有两个推断： ①随着实验次数的增加，“盖面朝上”的频率总在0.530附近，显示出一定的稳定性，可以估计“盖面朝上”的概率是0.530； ②若再次用计算机模拟此实验，则当投掷次数为1 000时，“盖面朝上”的频率不—定是0.558。 其中合理的推断的序号是_______。 答案：①② 通过例题的讲解，巩固学生用频率估计概率，一方面加强学生对知识的掌握，从而提高知识的应用能力；另一方面可以差缺补漏。 通过例题的讲解，巩固学生用频率估计概率，一方面加强学生对知识的掌握，从而提高知识的应用能力；另一方面可以差缺补漏。 4.随堂训练，巩固新知 1. 下列说法中，正确的是（ ） A. 随机事件的发生具有偶然性，即使反复试验也没有规律可循 B. 随机事件的发生具有规律性，第—次试验往往代表最后结果 C. 试验的次数越少，频率的分布越集中，逐渐稳定在一个数附近 D. 试验的次数越多，频率的分布越集中，逐渐稳定在一个数附近 答案：D 2. 木箱里装有仅颜色不同的8张红色和若干张蓝色卡片，随机从木箱里摸出1张卡片记下颜色后再放回，经过多次的重复试验，发现摸到蓝色卡片的频率稳定在0.6附近，则估计木箱中蓝色卡片有（ ） A. 18张 B. 12张 C. 6张 D. 10张 答案：B 3. 某小组做"当试验次数很大时，用频率估计概率"的试验时，统计了某一结果出现的频率，表格如下，则不符合这一结果的试验最有可能是（ ） 次数 200 400 600 800 1 000 频率 0.21 0.29 0.30 0.32 0.33 A. 三张扑克牌，牌面分别是5，7，8，背面朝上洗匀后，随机抽出—张牌面是5 B. 掷—枚质地均匀的骰子，向上的面的点数为3的倍数 C. 在玩石头、剪刀、布的游戏中，小明随机出的是剪刀 D. 在玩石头、剪刀、布的游戏中，小明随机出的是剪刀 答案：D 4. 下图显示了用计算机模拟随机投掷一枚图钉的某次实验的结果。随着实验次数的增加，“钉尖向上”的频率总在一常数附近摆动，显示出一定的稳定性，可以估计“钉尖向上”的概率是_______。（精确到0.01） 答案：0.62 5. 某篮球队教练记录该队一名主力前锋练习罚篮的结果如下： （1）填表（精确到0.001）； （2）比赛中该前锋队员上篮得分并造成对手犯规，罚篮一次，你能估计这次他能罚中的概率是多少吗？ 解：（1）填表如下： （2）从表中的数据可以发现，随着练习次数的增加，该前锋罚篮命中的频率稳定在0.8左右，所以估计他这次能罚中的概率约为0.8。 为学生提供自我检测的机会，教师针对学生的学习情况，及时调整授课，查缺补漏。 5.课堂小结，自我完善 通过小结，使学生梳理本节课所学内容，掌握本节课的核心内容。 6.布置作业 课本P71习题3.4中的T1、T2。 课后练习巩固，让所学知识得以运用，提高计算能力和做题效率。 板书设计 第2节 用频率估计概率 1.用频率估计概率 2.频率与概率的区别与联系 提纲掣领，重点突出。 教后反思 1.课堂上应该以学生为主体，教师起主导作用，多进行积极的评价、恰当的引导，激发学生的学习兴趣，提高学生学习数学的积极性、主动性，让学生成为课堂学习的主人。 2.应注意的问题：（1）由于设计活动方案各异，可能时间上会紧张，需要在活动过程中老师加以引导，以便节省时间，按计划完成本节课的教学任务。（2）对学困生在小组里的表现应给予更多关注，多鼓励其参与，并给予指导，使其完成一些力所能及的任务，产生成就感。 反思，更进一步提升。 学科网（北京）股份有限公司 $$