九上 3.1 第2课时 利用概率判断游戏的公平性-【初中学霸创新题】2025-2026学年九年级全册数学同步教案(北师大版)

该初中数学教案聚焦“利用概率判断游戏的公平性”，基于树状图或表格求概率。通过“石头、剪刀、布”游戏情境导入，提问公平性，衔接前期概率计算方法，搭建从理论到应用的学习支架。 以生活游戏为载体，通过探究活动引导学生用列表或树状图分析概率，发展推理能力，抽象数量关系，建立模型解决问题。含实例、变式训练及检测，助力学生掌握判断方法，提升应用意识，为教师提供清晰教学流程与评价支持。

1 用树状图或表格求概率 课题 第2课时 利用概率判断游戏的公平性 授课类型 新授课 授课人 教学内容 课本P62-63 教学目标 1.通过两种求概率方法的选择使用，理解两种方法各自的特点，并能根据不同情境选择适当的方法。 2.能利用概率解决一些简单的实际问题，理解概率对日常生活和生产实践的指导作用，体会概率是描述随机现象的数学模型，发展应用意识。 3.让学生掌握一定判断事件公平性的方法，提高其决策能力。 教学重难点 重点：巩固画树状图或列表的方法计算两步试验的概率。 难点：利用概率解决一些简单的实际问题。 教学准备 多媒体课件、骰子。 教与学互动设计（教学过程） 设计意图 1.创设情景，导入新课 教师提问：同学们玩过下面的游戏吗？（多媒体展示） 学生回答：玩过。 教师追问：同学们认为这个游戏公平吗？ 这节课，我们来学习利用概率判断游戏的公平性。（教师板书课题： 第2课时 利用概率判断游戏的公平性） 通过创设玩“石头、剪刀、布”的游戏，激发学生学习的兴趣，同时引出这节课所学内容。 2.实践探究，学习新知 【探究1】 【教材例题】 例1 小明、小颖和小凡做“石头、剪刀、布”游戏。游戏规则如下： 由小明和小颖做“石头、剪刀、布”的游戏，如果两人的手势相同，那么小凡获胜；如果两人手势不同，那么按照“石头胜剪刀，剪刀胜布，布胜石头”的规则决定小明和小颖中的获胜者。 假设小明和小颖每次出这三种手势的可能性相同，你认为这个游戏对三人公平吗？ 教师活动：操作投影仪。组织学生演练，巡视，等待大部分学生练习做完之后，再请两位学生上台演示，交流。 学生活动：课堂演练，相互讨论，解决演练题的问题。 解：因为小明和小颖每次出这三种手势的可能性相同，所以利用树状图列出所有可能出现的结果： 总共有9种可能的结果，每种结果出现的可能性相同。其中， 两人手势相同的结果有3种：（石头，石头）（剪刀，剪刀）（布，布），所以小凡获胜的概率为； 小明胜小颖的结果有3种：（石头，剪刀）（剪刀，布）（布，石头），所以小明获胜的概率为； 小颖胜小明的结果有3种：（剪刀，石头）（布，剪刀）（石头，布），所以小颖获胜的概率为。 因此，这个游戏对三人是公平的。 教师追问：你能用列表的方法来解答吗？ （如果学生用的列表，教师可以追问用画树状图） 预设：将可能出现的结果列表如下： 小颖 小明 石头 剪刀 布 石头 （石头，石头） （石头，剪刀） （石头，布） 剪刀 （剪刀，石头） （剪刀，剪刀） （剪刀，布） 布 （布，石头） （布，剪刀） （布，布） 总共有9种可能的结果，每种结果出现的可能性相同。其中， 两人手势相同的结果有3种：（石头，石头）（剪刀，剪刀）（布，布），所以小凡获胜的概率为； 小明胜小颖的结果有3种：（石头，剪刀）（剪刀，布）（布，石头），所以小明获胜的概率为； 小颖胜小明的结果有3种：（剪刀，石头）（布，剪刀）（石头，布），所以小颖获胜的概率为。 因此，这个游戏对三人是公平的。 【探究2】 做一做：小明和小军两人一起做游戏。游戏规则如下：每人从1，2，…，12中任意选择一个数，然后两人各掷一次质地均匀的骰子，谁事先选择的数等于两人掷得的点数之和谁就获胜；如果两人选择的数都不等于掷得的点数之和，就再做一次上述游戏，直至决出胜负.如果你是游戏者，你会选择哪个数？ 师生活动：教师鼓励学生独立完成，可以先提示学生此问题相当于：两人各掷一次均匀的骰子，将两人掷得的点数相加，点数之和为几的概率最大？等待大部分学生完成后，有学生代表展示，师生共同评议。 预设：利用列表法列出所有可能出现的结果： 第一次 第二次 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 7 2 3 4 5 6 7 8 3 4 5 6 7 8 9 4 5 6 7 8 9 10 5 6 7 8 9 10 11 6 7 8 9 10 11 12 从表格中，能看出和为7出现的次数最多，所以选择7后获胜的概率最大。 （教师需要指出的是，尽管概率并不提供确切无误的结论，也有可能你选择概率大的那一个数而最后反而输了，但在掷骰子之前，选择概率大的那一个数显然是明智的） 【归纳总结】 1.判断游戏公平性的方法： 游戏的公平性是通过比较游戏双方获胜的概率来的。在条件相同的前提下，若参加游戏的每一方获胜的概率相等，则游戏公平，否则不公平。 2.把不公平的游戏变公平的方法： （1）改变游戏规则，使双方获胜的概率相等。 （2）改变游戏得分，使双方平均每次游戏所得的分数相等。 对知识进行巩练习，使学生对知队加深理解，便于教师及时了解学生对本节课内容的掌握情况。培养学生应用所学知识解决问题的能力。 本环节的设置，开放性更强，让学生在问题中寻找解决方案。加强用列表法和画树状图求概率的能力，从中也体会出本题因为结果较多，使用列表法更好一些，感受两种求概率方式的优劣。 3.学以致用，应用新知 考点 利用概率判断游戏的公平性 例 学校“艺术节”期间，初三一班的小明、小亮都想去参加歌唱比赛，但每个班只有一个名额，他们决定采用摸球的办法确定谁去。规则如下：将四个完全相同的乒乓分别标注数字1，2，3，4放在一个不透明的盒子里，随机摸出一个球不放回；再随机摸出一个。若摸出的两个球上的数字之和为奇数，则小明去；若两个数字之和为偶数，则小亮去。 （1）请用列表或画树状图的方法求出摸出的两个球上的数字之和为奇数的概率； （2）你认为这个规则公平吗？请说明理由。 解：（1）列表如下： 第1个 和 第2个 1 2 3 4 1 3 4 5 2 3 5 6 3 4 5 7 4 5 6 7 共有12种等可能的结果，其中摸出的两个球上的数字之和为奇数的结果有8种，所以摸出的两个球上的数字之和为奇数的概率是。 （2）这个规则不公平。理由如下： 由（1）知，小明获胜的概率是，则小亮获胜的概率是1-=，因为≠，所以这个规则不公平。 变式训练 嘉嘉和淇淇做一个游戏，图1为一个正方体骰子，图2为按顺序排列的圆圈图，1号圆圈内有一枚硬币．一人掷骰子，骰子朝上的面点数为几，就将图2中圆圈内的硬币按顺时针方向移动几步，另一人接着掷骰子并按顺时针方向移动同一硬币．例如，现在硬币在1号圆圈内，嘉嘉掷出4点，则硬币从1号圆圈走到5号圆圈，淇淇又掷出3点，则硬币从5号圆圈走到1号圆圈…… （1）硬币在1号圆圈内，则嘉嘉掷一次骰子后硬币落在4号圆圈内的概率为______； （2）硬币在1号圆圈内，嘉嘉掷一次骰子并移动硬币后，淇淇再掷一次骰子也移动硬币，如果硬币落在2号圆圈嘉嘉胜，落在5号圆圈淇淇胜。 ①通过列表法，求出二人掷骰子的所有可能的结果； ②这个游戏对嘉嘉和淇淇公平吗？请说明理由。 解：（1）随机掷一次骰子，朝上的点数可能是1，2，3，4，5，6，共6种情况，其中只有点数是3的情况时硬币落在4号圆圈内， 所以嘉嘉掷一次骰子后硬币落在4号圆圈内的概率为。 故答案为。 （2）①列表如下： 1 2 3 4 5 6 1 （1，1） （1，2） （1，3） （1，4） （1，5） （1，6） 2 （2，1） （2，2） （2，3） （2，4） （2，5） （2，6） 3 （3，1） （3，2） （3，3） （3，4） （3，5） （3，6） 4 （4，1） （4，2） （4，3） （4，4） （4，5） （4，6） 5 （5，1） （5，2） （5，3） （5，4） （5，5） （5，6） 6 （6，1） （6，2） （6，3） （6，4） （6，5） （6，6） ②这个游戏对嘉嘉和淇淇公平。理由如下： 由①知，共有36种等可能的结果， 当硬币落在2号圆圈内时，此时两次点数和为8，故硬币落在2号圆圈内的结果有5种，则嘉嘉胜的概率为； 当硬币落在5号圆圈内时，此时两次点数和为4或11，故硬币落在5号圆圈内的结果有5种，则淇淇胜的概率为。 所以，这个游戏对对嘉嘉和淇淇公平。 通过例题和变式训练的讲解，巩固学生利用概率判断游戏的公平性，一方面加强学生对知识的掌握，从而提高知识的应用能力；另一方面可以差缺补漏。 4.随堂训练，巩固新知 1. 小明和小亮做游戏，先各自在纸上写一个正整数，然后都拿给对方看。他们约定：若两人所写的数都是奇数或都是偶数，则小明获胜；若两人所写的数一个是奇数，另一个是偶数，则小亮获胜。这个游戏（ ） A. 对小明有利 B. 对小亮有利 C. 公平 D. 无法确定对谁有利 答案：C 2. 小明与小刚一起玩抛掷硬币的游戏，游戏规则：抛出两个正面——小明赢1分；抛出其他结果——小刚赢1分；谁先得到10分，谁就获胜。这是个不公平的游戏规则，要把它修改成公平的游戏，下列做法中错误的是（ ） A. 把“抛出两个正面”改为“抛出两个同面” B. 把“抛出其他结果”改为“抛出两个反面” C. 把“小明赢1分”改为“小明赢3分” D. 把“小明赢1分”改为“小明赢3分” 答案：D 3. （1）有20名志愿者参加公益活动，其中男生有8名，女生有12名。若从这20名志愿者中随机选取1名作为联络员，求选到女生的概率； （2）若该活动的某项工程只在甲、乙2人中选1人，他们准备以游戏的方式决定由谁参加，游戏规则如下：将4张牌面数字分别为2，3，4，5的扑克牌洗匀后，数字朝下放在桌面，从中任取1张，不放回，再取1张，若牌面数字之和为偶数，则甲参加；否则乙参加。试问这个游戏公平吗？请用树状图或列表法说明理由。 解：（1）P（选到女生）=。 （2）画树状图如下： 共有12种等可能的情况，其中牌面数字之和为偶数的情况有4种，牌面数字之和为奇数的情况有8种， ∴P（甲参加）=，P（乙参加）=。 ∵P（甲参加）≠P（乙参加）， ∴这个游戏不公平。 4. 2022年10月12日下午，“天宫课堂”第三课开讲，航天员陈冬、刘洋、蔡旭哲相互配合进行授课，激发了同学们学习航天知识的热情。在学校组织的航天知识竞赛中，小明和小雪均获得了一等奖，学校决定通过两人做游戏的方式，从中选取一名游戏获胜的同学作为代表分享获奖心得。游戏规则如下：甲口袋（不透明）装有编号为1，2，3的三个小球，乙口袋（不透明）装有编号为1，2，3，4的四个小球，每个口袋中的小球除编号外其他都相同。小明先从甲口袋中随机摸出一个球，小雪再从乙口袋中随机摸出一个球，若两球编号之和为偶数，则小明获胜；若两球编号之和为奇数，则小雪获胜。请用列表或画树状图的方法，说明这个游戏对双方是否公平。 解：画树状图如下： 由图可知共有12种等可能的结果，其中两球编号之和为偶数的结果有6种，两球编号之和为奇数的结果为6种。 ∴P（小明获胜）=，P（小明获胜）=。 ∴P（小明获胜）=P（小明获胜）。 ∴这个游戏对双方公平。 为学生提供自我检测的机会，教师针对学生的学习情况，及时调整授课，查缺补漏。 5.课堂小结，自我完善 通过小结，使学生梳理本节课所学内容，掌握本节课的核心内容。 6.布置作业 课本P64-65习题3.2中的T1、T2、T3、T4、T5、T※6。 课后练习巩固，让所学知识得以运用，提高计算能力和做题效率。 板书设计 第2课时 利用概率判断游戏的公平性 1.判断游戏公平性的方法 2.把不公平的游戏变公平的方法 提纲掣领，重点突出。 教后反思 本节课是实用性较强的一节课，选用的情境符合学生的年龄特点和认知水平，使其能感受到用数学解决问题的乐趣。教学中，应鼓励学生自主探究，寻求方法，进行推理，得到判断游戏公平与否的准则。 反思，更进一步提升。 学科网（北京）股份有限公司 $$