九上 2.5 一元二次方程的根与系数的关系-【初中学霸创新题】2025-2026学年九年级全册数学同步教案(北师大版)

*5 一元二次方程的根与系数的关系 课题 第*5节 一元二次方程的根与系数的关系 授课类型 新授课 授课人 教学内容 课本P49-50 教学目标 1.了解一元二次方程的根与系数的关系。 2.利用一元二次方程的根与系数的关系解决简单问题。 3.经历观察、猜想、验证一元二次方程根与系数的关系的过程，体会从特殊到一般的思想。 4.增强学习的信心，培养科学探究精神。 教学重难点 重点：了解一元二次方程的根与系数的关系。 难点：利用一元二次方程的根与系数的关系解决简单问题。 教学准备 多媒体课件。 教与学互动设计（教学过程） 设计意图 1.创设情景，导入新课 师生活动：教师通过提问的方式让学生回顾一元二次方程的一般形式及求根公式。 教师提问：一元二次方程的一般形式是怎样的？ 学生回答：ax2+bx+c=0（a≠0）。 教师追问：同学们还记得它的求根公式是什么吗？ 学生回答：x=。 （教师强调适用的条件：b2-4ac≥0） 教师活动：从求根公式我们可以看出：一元二次方程的根完全由它的系数确定。除此之外，同学们知道一元二次方程的根与系数之间还有什么形式的关系呢？这节课我们就来学习一元二次方程的根与系数的关系。（教师板书课题： 第*5节 一元二次方程的根与系数的关系） 通过对旧知识的回顾,以问题串的形式引导学生思考，回忆公式法解一元二次方程的相关知识，有利于学生衔接前后知识，形成清晰的知识脉络,调动了学生的学习思维和学习积极性,从而更好地进行这节课内容的学习。 2.实践探究，学习新知 【探究】 做一做：解下列方程： （1）x2-2x+1=0；（2）x2-2x-1=0； （3）2x2-3x+1=0。 师生活动：教师可让学生选择自己喜欢的解法解上述3个方程，并完成下面表格。 方程 x1 x2 x1+x2 x1x2 x2-2x+1=0 x2-2x-1=0 2x2-3x+1=0 预设： 方程 x1 x2 x1+x2 x1x2 x2-2x+1=0 1 1 2 1 x2-2x-1=0 +2 -2 2 -1 2x2-3x+1=0 1 教师提问：每个方程的两根之和与它的系数有什么关系呢？ 学生回答：第1个方程：2=；第2个方程：2=；第3个方程：=。所以每个方程的两根之和与它的系数的关系：x1+x2=。 教师追问：两根之积呢？ 学生回答：第1个方程：1=；第2个方程：-1=；第3个方程：=。所以每个方程的两根之积与它的系数的关系：x1x2=。 教师活动：对于任何一个一元二次方程，这种关系都成立吗？鼓励学生与同伴交流，并给出猜想。 猜想：如果一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0），当b2-4ac≥0时，有两个根分别为x1，x2，那么 x1+x2=，x1x2=。 师生活动：教师可先引导学生举出更多的例子检验自己的猜想，然后鼓励学生独立思考并尝试自己进行推导，教师可提示学生利用求根公式进行推导。待大部分学生完成后，教师可安排学生代表展示其推导过程，再与教科书的推导过程进行对比，师生共同评价。 【演绎推导】 一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）当b2-4ac≥0时有两个根： x1=，x2=。 于是两根之和为 x1+x2=+==； 两根之积为 x1x2=· = = =。 【归纳总结】 如果方程ax2+bx+c=0（a≠0）有两个实数根x1，x2，那么 x1+x2=，x1x2=。 注意事项： ①方程必须是一元二次方程的一般形式； ②判断b2-4ac≥0； ③使用x1+x2时，注意“-”不要漏写。 【教材例题】 例 利用根与系数的关系，求下列方程的两根之和、两根之积： （1）x2+7x+6=0；（2）2x2-3x-2=0。 教师活动：操作投影仪。组织学生演练，巡视，等待大部分学生练习做完之后，再请两位学生上台演示，交流。 学生活动：课堂演练，相互讨论，解决演练题的问题。 解：（1）这里a=1，b=2，c=6。 Δ=b2-4ac=72-4×1×6=49-24=25>0， ∴方程有两个实数根。 设方程的两个实数根是x1，x2，那么 x1+x2=-7，x1x2=6。 （2）这里a=2，b=-3，c=-2。 Δ=b2-4ac=（-3）2-4×2×（-2）=9+16=25>0， ∴方程有两个实数根。 设方程的两个实数根是x1，x2，那么 x1+x2=，x1x2=-1。 让学生经历观察、猜想、验证的过程，从特殊到一般，得出两根之和与系数之间的关系、两根之积与系数之间的关系。同时，在这一过程中还可以复习巩固解一元二次方程的方法，并感受可以根据方程的特点选择适当的方法。 有序归纳一元二次方程的根与系数的关系，并指明需要注意的问题，为一元二次方程的根与系数的关系的应用做准备。 对知识进行巩练习，使学生对知队加深理解，便于教师及时了解学生对本节课内容的掌握情况。培养学生应用所学知识解决问题的能力。 3.学以致用，应用新知 考点 一元二次方程的根与系数的关系 例 已知x1，x2是关于x的一元二次方程x2-2x+1=0的两个实数根，下列结论正确的是（ ） A. x1≠x2 B. x12-2x1=1 C. x1+x2=-2 D. x1x2=1 答案：D 变式训练 已知x1，x2是方程x2-6x-3=0的两个实数根，则+=（ ） A. -2 B. - C. 2 D. 答案：A 通过例题讲解，巩固学生应用一元二次方程的根与系数的关系解决问题，一方面加强学生对知识的掌握，从而提高知识的应用能力；另一方面可以差缺补漏。 4.随堂训练，巩固新知 1. 若实数x1，x2满足x1+x2=3，x1x2=2，则下列一元二次方程以x1，x2为根的是（ ） A. x2-3x+2=0 B. x2+3x-2=0 C. x2+3x+2=0 D. x2-3x-2=0 答案：A 2. 若p，q是一元二次方程x2+4x-9=0的两个根，则p2+3p-q的值是（ ） A. 6 B. 9 C. 12 D. 13 答案：D 3. 若a，b是关于x的一元二次方程x2-2kx+4k=0的两个实数根，且a2+b2=12，则k的值是（ ） A. -1 B. 3 C. -1或3 D. 3或1 答案：A 4. 关于x的一元二次方程x2-2x+3m-2=0有实数根。 （1）求m的取值范围； （2）若方程有一根为4，求方程的另一根。 解：（1）根据题意，得Δ=b2-4ac=（-2）2-4（3m-2）≥0， 解得m≤1。 所以m的取值范围为m≤1。 （2）设方程的另一根为x2，则4+x2=2。 所以x2=-2。 即方程的另一根为-2。 5. 设x1，x2是方程3x2+4x-3=0的两个根。利用根系数之间的关系，求下列各式的值。 （1）（x1+1）（x2+1）；（2）+。 解：根据根与系数的关系，得 x1+x2==-，x1x2==-1。 （1）（x1+1）（x2+1）=x1x2+x1+x2+1 =-+（-1）+1 =-。 （2）+===-。 为学生提供自我检测的机会，教师针对学生的学习情况，及时调整授课，查缺补漏。 5.课堂小结，自我完善 如果方程ax2+bx+c=0（a≠0）有两个实数根x1，x2，那么 x1+x2=，x1x2=。 通过小结，使学生梳理本节课所学内容，掌握本节课的核心内容。 6.布置作业 课本P51习题2.8中的T1、T2、T3、T4。 课后练习巩固，让所学知识得以运用，提高计算能力和做题效率。 板书设计 第*5节 一元二次方程的根与系数的关系 1.一元二次方程的根与系数的关系 2.注意事项 提纲掣领，重点突出。 教后反思 本节课先由学生自主探究特殊一元二次方程的根与系数的关系，再猜想一般一元二次方程的根与系数的关系，并从理论上加以推导证明，加深学生对知识的理解，培养学生严密的逻辑思维能力。学生对于利用根与系数的关系来解决一些有关一元二次方程的问题还不够熟练，思路不清；两根之和、两根之积有小部分同学有些混淆。 反思，更进一步提升。 学科网（北京）股份有限公司 $$