九上 1.2 第3课时 矩形的性质与判定的综合运用-【初中学霸创新题】2025-2026学年九年级全册数学同步教案(北师大版)

2 矩形的性质与判定 课题 第3课时 矩形的性质与判定的综合应用 授课类型 新授课 授课人 教学内容 课本P16-18 教学目标 1.能够运用综合法和严密的数学语言证明矩形的性质和判定定理以及其他相关结论，提高实际动手操作能力。 2.经历探索、猜测、证明的过程，发展学生的推理论证能力，培养学生找到解题思路的能力，使学生进一步体会证明的必要性以及计算与证明在解决问题中的作用。 3.通过学生独立完成证明的过程，让学生体会到数学是严谨的科学，进而养成良好的学习习惯。 教学重难点 重点：掌握矩形的性质与判定定理。 难点：灵活运用数学知识解决实际问题，增强运用意识。 教学准备 多媒体课件。 教与学互动设计（教学过程） 设计意图 1.知识回顾，导入新课 师生活动：教师准备几道题目，引导学生交流回答问题，复习前面两节课所学习的内容。（教师板书课题： 第3课时 矩形的性质与判定的综合应用） 1. 已知：如图，矩形ABCD的两条对角线相交于点O，∠AOD=120°，AB=2.5 cm，则∠DAO=_________°，AC=_________cm，S矩形ABCD=_________。 2. 如图，四边形ABCD是平行四边形，添加一个条件_______________，可使它成为矩形。 通过一些简单题目的设计，帮助学生回顾矩形的相关性质及判定方法，学生从题目入手，不会显得那么古板枯燥，不仅能回顾相关知识而且能激发学生的学习兴趣。 2.实践探究，学习新知 【教材例题】 例3 在矩形ABCD中，AD=6，对角线AC与BD相交于点O，AE⊥BD，垂足为E，ED=3BE。求AE的长。 教师活动：操作投影仪。组织学生演练，巡视，等待大部分学生练习做完之后，再请两位学生上台演示，交流。 学生活动：课堂演练，相互讨论，解决演练题的问题。 解：（1）∵四边形ABCD是矩形， ∴∠BAD=90°（矩形的四个角都是直角）， AC=BD（矩形的对角线相等）， AO=CO=AC，BO=DO=BD（矩形的对角线互相平分）， ∴AO=BO=DO=BD。 ∵ED=3BE， ∴BE=OE。 又∵AE⊥BD， ∴AB=AO。 ∴AB=AO=BO，即△ABO是等边三角形。 ∴∠ABO=60°。 ∴∠ADB=90°-∠ABO=90°-60°=30°。 ∴AE=AD=×6=3。 例4 如图，在△ABC中，AB=AC，AD是△ABC的一条角平分线，AN为△ABC外角∠CAM的平分线，CE⊥AN，垂足为E。求证：四边形ADCE为矩形。 教师活动：操作投影仪。组织学生演练，巡视，等待大部分学生练习做完之后，再请两位学生上台演示，交流。 学生活动：课堂演练，相互讨论，解决演练题的问题。 证明：∵AD平分∠BAC，AN平分∠CAM， ∴∠CAD=∠BAC，∠CAN=∠CAM。 ∴∠DAE=∠CAD+∠CAN =（∠BAC+∠CAM） =×180° =90°。 在△ABC中， ∵AB=AC，AD平分∠BAC， ∴AD⊥BC。 ∴∠ADC=90°。 又∵CE⊥AN， ∴∠CEA=90°。 ∴四边形ADCE为矩形。 【拓展提高】 想一想：在例4中，若连接DE，交AC于点F（如图）。 （1）试判断四边形ABDE的形状，并证明你的结论。 （2）线段DF与AB有怎样的关系？请证明你的结论。 师生活动：教师出示问题，鼓励学生先独立思考，自主分析解题思路，并与同学进行交流。等待大部分学生书写完成后，由学生代表展示解题的书写过程，师生共同评议。对于第（2）问，有了第（1）问的结论，很容易完成该问。教师需要提醒线段的关系要从位置和数量两个方面说明。 对知识进行巩练习，使学生对知队加深理解，便于教师及时了解学生对本节课内容的掌握情况。培养学生应用所学知识解决问题的能力。 本题的综合性比较强，对于不同层次的学生，解题方法也会有区别，教师都应该鼓励学生大胆尝试，用自己的方法去解决。归纳各种不同的解法，引导学生讨论对比评价，拓宽学生的知识面，以取到举一反三的作用。 3.学以致用，应用新知 考点 矩形的性质和判定的综合应用 例 如图，在▱ABCD中，E为BC的中点，连接AE并延长交DC的延长线于点F，连接BF，AC，若AD=AF。 （1）求证：四边形ABFC是矩形； （2）若AD=10，∠AFB=30°。直接写出▱ABCD的面积。 解：（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB∥CD，AD∥BC。 ∴∠BAE=∠CFE，∠ABE=∠FCE。 ∵E为BC的中点， ∴EB=EC。 在△ABE和△FCE中， ∴△ABE≌△FCE（AAS）。 ∴AB=FC。 又∵AB∥FC， ∴四边形ABFC是平行四边形。 ∵AD=BC，AD=AF， ∴BC=AF。 ∴▱ABFC是矩形。 （2）∵AD=AF，AD=10， ∴AF=10。 由（1）知四边形ABFC是矩形， ∴AC∥BF，AC⊥DF，AB⊥AC。 ∴∠CAF=∠AFB=30°。 ∴在Rt△ACF中，CF=AF=5，AC==5。 ∴AB=5。 则▱ABCD的面积为AB·AC=5×5=25。 变式训练 如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC＝4，BC＝3，P为AB上一动点（不与A，B重合），过点P作PE⊥AC，PF⊥BC，垂足分别是E，F，连接EF，则EF的最小值是（ ） A. 2.5 B. 5 C. 2.4 D. 1.2 答案：C 通过例题和变式训练的讲解，巩固矩形的性质和判定的综合应用。 4.随堂训练，巩固新知 1. 如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，以下说法错误的是（ ） A. ∠ABC＝90° B. AC＝BD C. OA＝OB D. OA＝AD 答案：D 2. 如图，四边形ABCD和四边形AEFC是两个矩形，点B在EF边上，若矩形ABCD和矩形AEFC的面积分别是S1，S2，则S1，S2的大小关系是（ ） A. S1>S2 B. S1=S2 C. S1<S2 D. 3S1=2S2 答案：B 3. 如图，矩形ABCD的对角线相交于点O，AE平分∠BAD交BC于点E，若∠CAE＝15°，则∠BOE＝________度。 答案：75 4. 如图，在矩形ABCD中，AB＝2，BC＝4，点A，B分别在y轴，x轴的正半轴上，点C在第一象限，如果∠OAB＝30°，那么点C的坐标为_________。 答案：（1+2，2） 5. 如图，矩形ABCD绕B点旋转，使C点落到AD上的E处，AB=AE，连接AF，AG。 （1）求证：AF=AG； （2）求∠GAF的度数。 解：（1）证明：∵四边形ABCD是矩形， ∴AB=DC，∠BAD=∠ABC=∠BEF=90°。 由旋转知，BA=BG，DC=EF，∠GBE=∠FEB=90°。 又∵AB=AE， ∴BG=BA=AE=EF。 ∵∠ABE=∠AEF=180°−=45°， ∴∠GBA=90°-∠ABE=45°。 ∴∠BGA=∠BAG=180°−=67.5°， ∴∠AGF=90°-∠BGA=22.5°。 同理可得∠AFG=22.5°， ∴∠AFG=∠AGF。 ∴AG=AF。 （2）由（1）知，∠AFG=∠AGF=22.5°， ∴∠GAF=180°-∠AFG-∠AGF=135°。 为学生提供自我检测的机会，教师针对学生的学习情况，及时调整授课，查缺补漏。 5.课堂小结，自我完善 学生互相交流矩形的性质与判定定理，何时该选用性质定理，何时选择判定定理，矩形与平行四边形的关系，遇到矩形实际题目时如何分析思路，以及遇到困难时如何克服等。 通过小结，使学生梳理本节课所学内容，掌握本节课的核心内容。 6.布置作业 课本P18-19习题1.6中的T1、T2、T3、T※4、T※5。 课后练习巩固，让所学知识得以运用，提高计算能力和做题效率。 板书设计 第3课时 矩形的性质与判定的综合应用 一、矩形的性质 1.矩形的四个角都是直角。 2.矩形的对角线相等。 二、矩形的判定 1.对角线相等的平行四边形是矩形。 2.有三个角是直角的四边形是矩形。 提纲掣领，重点突出。 教后反思 本节课是综合运用的一节课，教师应给予学生充分的时间和空间展示自己，这样，不仅有利于提高学生的积极性，更有利于教师发现学生的独到见解和新思维、新想法，同时还能让教师发现学生存在的问题，这对于课堂教学是非常有利的。另外，在解题的过程中，通过一题多解等形式，可以使学优生有所突破，也可以让学困生受到关注，获得解题的成就感。 反思，更进一步提升。 学科网（北京）股份有限公司 $$