九上 1.2 第3课时 矩形的性质与判定的综合运用-【初中学霸创新题】2025-2026学年九年级全册数学同步课件(北师大版)

2 矩形的性质与判定 第3课时 矩形的性质与判定的综合运用 学习目标 1.回顾矩形的性质及判定方法。 2.矩形的性质及判定方法与其他知识的综合运用。（难点） 课时导入 问题1: 矩形有哪些性质？ A B C D O ①是轴对称图形; ②四个角都是直角; ③对角线相等且平分. ①定义：有一个角是直角的平行四边形； ②对角线相等的平行四边形； ③有三个角是直角的四边形. 问题2: 矩形有判定方法有哪些？ 知识讲解 知识点 矩形的性质与判定的综合应用 例1 如图，在矩形ABCD中，AD=6，对角线AC与BD相交于点O，AE⊥BD，垂足为E，ED=3BE，求AE的长. 分析：由矩形ABCD中，AE⊥BD于E，BE：ED=1：3，易证得△OAB是等边三角形，继而求得∠BAE的度数，由△OAB是等边 三角形，求出∠ADE的度数，又由AD=6，即可求得AE的长. A B C D E O 解：∵四边形ABCD是矩形，∴AO=BO=DO = BD（矩形的对角线相等且互相平分）， ∠BAD=90°（矩形的四个角都是直角）. ∵ED=3BE，∴BE=OE. 又∵AE⊥BD，∴AB=AO. ∴AB=AO=BO，即△ABO是等边三角形. ∴∠ABO=60°，∴∠ADB=90°-∠ABO=90°-60°=30°. 在Rt△AED中，∵∠ADE=30°， ∴AE= AD=×6=3. A B C D E O 例2 如图，在△ABC中，AB=AC，AD是△ABC的 一条角平分线，AN是△ABC外角∠CAM的平分线， CE⊥AN，垂足为点E． （1）求证：四边形ADCE为矩形； （2）连接DE，交AC于点F，请判断四边形ABDE的 形状，并证明； （3）线段DF与AB有怎样的关系？请直接写出你的结论. M E N F B D C A 证明：∵在△ABC中，AB=AC，AD是BC边的中线， ∴AD⊥BC，∠BAD=∠CAD，∴∠ADC=90°， ∵AN为△ABC的外角∠CAM的平分线， ∴∠MAN=∠CAN，∴∠DAE=90°， ∵CE⊥AN，∴∠AEC=90°， ∴四边形ADCE为矩形； （1）求证：四边形ADCE为矩形； 分析：由在△ABC中，AB=AC，AD是BC边的中线，可得AD⊥BC，∠BAD =∠CAD，又由AN为△ABC的外角∠CAM 的平分线，可得∠DAE=90°，又由CE⊥AN，即可证得：四边形ADCE为矩形； M E N F B D C A 解：四边形ABDE是平行四边形，理由如下： 由（1）知，四边形ADCE为矩形， 则AE=CD，AC=DE． 又∵AB=AC，BD=CD， ∴AB=DE，AE=BD， ∴四边形ABDE是平行四边形； （2）连接DE，交AC于点F，请判断四边形ABDE的形状，并证明； 分析：利用（1）中矩形的对角线相等可知AC=DE；结合已知条件可以推知AB∥DE，又AE=BD，则易判定四边形ABDE是平行四边形； M E N F B D C A 解：DF∥AB，DF= AB．理由如下： ∵四边形ADCE为矩形，∴AF=CF， ∵BD=CD，∴DF是△ABC的中位线， ∴DF∥AB，DF= AB. （3）线段DF与AB有怎样的关系？请直接写出你的结论. 分析：由四边形ADCE为矩形，可得AF=CF，又由AD是BC边的 中线，即可得DF是△ABC的中位线，则可得DF∥AB，DF=AB. M E N F B D C A 例3 如图，在△ABC中, AB=AC,D为BC上一点，以AB,BD为邻边作平行四边形ABDE,连接AD , EC. （1）求证：△ADC≌△ECD; （2）若BD=CD,求证：四边形ADCE是矩形. A D C E B 证明：∵△ABC是等腰三角形, ∴∠B=∠ACB. 又∵四边形ABDE是平行四边形, ∴∠B=∠EDC,AB=DE, ∴∠ACB=∠EDC, ∴△ADC≌△ECD. （1）求证：△ADC≌△ECD; A D C E B （2）若BD=CD,求证：四边形ADCE是矩形. A D C E B 证明：∵AB=AC,BD=CD, ∴AD⊥BC,∴∠ADC=90°. ∵四边形ABDE是平行四边形, ∴AE平行且等于BD,即AE平行且等于DC, ∴四边形ADCE是平行四边形. 又∠ADC=90°,∴四边形ADCE是矩形. 例4 如图，点D是△ABC的边AB上一点，CN∥AB，DN交AC于点M， MA＝MC. (1)求证：CD＝AN； (2)若∠AMD＝2∠MCD，求证：四边形ADCN是矩形．　 证明：由△AMD≌△CMN 可得AD＝CN， 又∵AD∥CN， ∴四边形ADCN是平行四边形， ∴CD＝AN.　 (1)求证：CD＝AN； (2)若∠AMD＝2∠MCD，求证：四边形ADCN是矩形．　 证明：∵∠AMD＝2∠MCD，∠AMD＝∠MCD＋ ∠MDC，∴∠MCD＝∠MDC， ∴MD＝MC， 由(1)知四边形ADCN是平行四边形， ∴MD＝MN＝MA＝MC， ∴AC＝DN，∴▱ADCN是矩形.　 例5 如图，将一张矩形纸片ABCD沿直线MN折叠， 使点C落在点A处，点D落在点E处，直线MN交BC 于点M，交AD于点N. (1)求证：CM＝CN； (2)若△CMN的面积与△CDN的面积比为3∶1，求的值． E N D C M B A (1)求证：CM＝CN； 证明：∵四边形ABCD是矩形， ∴AD∥BC， ∴∠ANM＝∠CMN， 由折叠知∠CNM＝∠ANM， ∴∠CNM＝∠CMN， ∴CN＝CM.　 E N D C M B A (2)若△CMN的面积与△CDN的面积比为3∶1，求的值． 解：∵AD∥BC，S△CMN∶S△CDN＝3∶1，∴CM∶DN＝3∶1， 设DN＝x，则CM＝3x， 过点N作NK⊥BC于点K， ∵DC⊥BC，∴NK∥DC， 又∵AD∥BC，∴CK＝DN＝x，MK＝2x， 由(1)知CN＝CM＝3x， ∴NK2＝CN2－CK2＝(3x)2－x2＝8x2， ∴MN= = =2， ∴ = =2. 　 E N D C M B A K 当堂练习 1.如图，四边形ABCD和四边形AEFC是两个矩形，点B在EF边上， 若矩形ABCD和矩形AEFC的面积分别是S1，S2，则S1，S2的大 小关系是(　 　) A．S1>S2　　　　　　　 B．S1＝S2 C．S1<S2 D．3S1＝2S2 B 随 堂 小 测 2.如图，矩形ABCD的对角线相交于点O，AE平分∠BAD交BC 于点E，若∠CAE＝15°，则∠BOE＝____度． 75 3.如图，在矩形ABCD中，AB=4，AD=6，O为对角线AC的中点， 点P在AD边上，且AP=2，点O在BC边上，连接PQ与OQ，则 PQ-OQ的最大值为 . A P D B Q C O 4.如图，在矩形ABCD中，AB＝2，BC＝4，点A，B分别在 y轴，x轴的正半轴上，点C在第一象限，如果∠OAB＝ 30°，那么点C的坐标为 ． 5.如图，矩形ABCD绕B点旋转，使C点落到 AD上的E处，AB=AE，连接AF，AG. （1）求证：AF=AG. （2）求∠GAF的度数. A E F G B C D （1）求证：AF=AG. 证明：∵四边形ABCD是矩形， ∴AB=DC，∠BAD=∠ABC=∠BEF=90°. 由旋转知，BA=BG，DC=EF，∠GBE=∠FEB=90°. 又∵AB=AE，∴BG=BA=AE=EF. ∵∠ABE=∠AEF==45°， ∴∠GBA=90°-∠ABE=45°， ∴∠BGA=∠BAG==67.5°， ∴∠AGF=90°-∠BGA=22.5°. 同理可得∠AFG=22.5°，∴∠AFG=∠AGF，∴AG=AF. （2）求∠GAF的度数. 解：由（1）知，∠AFG=∠AGF=22.5°， ∴∠GAF=180°-∠AFG-∠AGF=135°. 小结 与全等三角形的结合 矩形的性质与判定 与平面直角坐标系的结合 折叠问题 课后作业 1.从课后习题中选取； 2.完成练习册本课时的习题。 绿卡图书—走向成功的通行证 (1＋2eq \r(3)，2) $$