九上 1.1 第2课时 菱形的判定-【初中学霸创新题】2025-2026学年九年级全册数学同步课件(北师大版)

1 菱形的性质与判定 第2课时 菱形的判定 学习目标 1.经历菱形判定定理的探究过程，掌握菱形的判定定理．（重点） 2.会用这些菱形的判定方法进行有关的证明和计算.（难点） 课时导入 问题：什么是菱形？菱形有哪些性质？ 菱形的定义：有一组邻边相等的平行四边形是菱形. 平行四边形 菱形 一组邻边相等 问题：什么是菱形？菱形有哪些性质？ 菱形的定义：有一组邻边相等的平行四边形是菱形. 几何语言： A B C D ∴ 四边形ABCD是菱形. AB=BC, ∵四边形ABCD是平行四边形（如图）， 问题：什么是菱形？菱形有哪些性质？ 菱形的定义：有一组邻边相等的平行四边形是菱形. 菱形的性质：（1）菱形是轴对称图形； （2）菱形四条边都相等； （3）菱形的对角线互相垂直. 想一想：根据菱形的定义，有一组邻边相等的平行四边形是菱形.除此之外，你认为还有什么条件可以判断一个平行四边形是菱形？ 知识讲解 知识点1 对角线互相垂直的平行四边形是菱形 平行四边形的不少性质定理与判定定理都是互逆命题.受此启发, 猜想：对角线垂直的平行四边形是菱形.下面我们一起证明这个结论. A B C O D 已知：如图，在□ABCD中，对角线AC与BD相交于点O ，AC⊥BD.求证：□ABCD是菱形. 证明： ∵四边形ABCD是平行四边形. ∴OA=OC. 又∵AC⊥BD, ∴直线BD是线段AC的垂直平分线， ∴BA=BC，∴四边形ABCD是菱形（菱形的定义）. 定理：对角线互相垂直的平行四边形是菱形. A B C O D 定理：对角线互相垂直的平行四边形是菱形. ∵四边形ABCD是平行四边形（如图）， 又∵AC⊥BD, ∴四边形ABCD是菱形.(对角线互相垂直的平行四边形是菱形) 几何语言： A B C O D 例1 已知：如图，在□ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，AB= ，OA=2，OB=1. 求证：□ ABCD是菱形. 证明：在△AOB中, ∵AB= ， OA=2，OB=1， ∴AB2=AO2+OB2. ∴ △AOB是直角三角形， ∠AOB是直角. ∴AC⊥BD. ∴ □ABCD是菱形 (对角线垂直的平行四边形是菱形). 1.在四边形ABCD中，对角线AC，BD互相平分，若添加一个条件使得四边形ABCD是菱形，则这个条件可以是 （ 　 ） A．∠ABC=90° B．AC⊥BD C．AB=CD D．AB∥CD 随 堂 小 测 B 2.判断： （1）对角线互相垂直的四边形是菱形. （ ） （2）对角线垂直且平分的四边形是菱形 . （ ） （3）对角线互相平分的平行四边形是菱形. （ ） （4）对角线垂直且相等的四边形是菱形. （ ） （5）有一条对角线平分一组对角的四边形 是菱形. （ ） × × × √ √ A B C O D 3.如图所示：在□ABCD中添加一个条件使其成为菱形： 添加方式1： . 添加方式2： . AC⊥BD AB=BC 知识点2 四边相等的四边形是菱形 议一议：已知线段AC，你能用尺规作图的方法作一个菱形ABCD，使AC为菱形的一条对角线吗？ 小刚的做法：如图，分别以A，C为圆心，以大于 AC的长为半径作弧，两条弧分别相交于点B ， D，依次连接A，B，C，D，四边形ABCD看上去是菱形. 问题：你是怎么做的，你认为小刚的做法正确吗？ 我认为小刚的做法正确. 已知：如图，在四边形ABCD中，AB=BC=CD=DA. 求证：四边形ABCD是菱形. 证明：∵AB=BC=CD=AD，∴AB=CD，BC=AD. ∴四边形ABCD是平行四边形. 又∵AB=BC，∴四边形ABCD是菱形. 定理：四边相等的四边形是菱形. 定理：四边相等的四边形是菱形. ∵AB=BC=CD=DA（如图）， ∴四边形ABCD是菱形(四边相等的四边形为菱形). A B C D 几何语言： 例2 如图，在△ABC中，∠B＝90°，AB＝6 cm，BC＝8 cm.将△ABC沿射线BC方向平移10 cm，得到△DEF，A，B，C的对应点分别是D，E，F，连接AD.求证：四边形ACFD是菱形． 证明：由平移变换的性质得CF＝AD＝10 cm，DF＝AC. 例2 如图，在△ABC中，∠B＝90°，AB＝6 cm，BC＝8 cm.将△ABC沿射线BC方向平移10 cm，得到△DEF，A，B，C的对应点分别是D，E，F，连接AD.求证：四边形ACFD是菱形． ∵∠B＝90°，AB＝6 cm，BC＝8 cm， ∴AC＝DF＝AD＝CF＝10 cm， ∴四边形ACFD是菱形． 归纳 四边形 四条边都相等 判定 条件 对角线互相垂直 一组邻边相等 菱形 平行四边形 4.如图，AD是△ABC的中线，四边形ADCE是平行四边形，增加下列条件，能判断 ADCE是菱形的是(　　) A. ∠BAC＝90° B. ∠DAE＝90° C. AB＝AC D. AB＝AE 随 堂 小 测 A 5.下列命题中正确的是 （ ） A.一组邻边相等的四边形是菱形 B.三条边相等的四边形是菱形 C.四条边相等的四边形是菱形 D.四个角相等的四边形是菱形 C 6.下列条件中,不能判定四边形ABCD为菱形的是 （ 　） A. AC⊥BD ，AC与BD互相平分 B. AB=BC=CD=DA C. AB=BC，AD=CD，AC ⊥BD D. AB=CD，AD=BC，AC ⊥BD C A B C O D 有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形. 对角线互相垂直的平行四边形是菱形. 四边相等的四边形是菱形. 定义法： 定理1： 定理2： 菱形的判定 小结 课后作业 1.从课后习题中选取； 2.完成练习册本课时的习题. 绿卡图书—走向成功的通行证 $$