2025年初高数学衔接专题三 分式变形与双曲函数 课件

第三课时：分式变形与双曲函数 必备知识：分式概念 1.定义：整式除以整式，可以表示成的形式， 如果中含有字母，则称为分式. 2.基本性质：分式的分子和分母都乘以（或除以）同一个不等于零的整式， 分式的值不变. 3.合比性质：如果那么 等比性质：如果那么 必备知识：性质应用 例1.已知均为非零常数，且满足求的值. 解：若则 若则 综上，的值为或. 练习：解分式方程. 必备知识：性质应用 练习1.①若且则 . ②若，则 . ③若则 . ④若且，则 . 必备知识：分式运算 1.分式的乘除法： 2.分式的加减法： 必备知识：齐次分式 形如的式子称为一次齐次分式; 形如的式子称为二次齐次分式. 齐次分式变形：统一变量 (其中) （其中） 必备知识：齐次分式 例2.已知正数满足求的值. 例3.已知正数满足且求的取值范围. 必备知识：齐次分式 例3.已知正数满足且求的取值范围. 解：由得即. 因为所以所以. 则所以. 而，所以. 必备知识：真假分式 1.真分式：分子的次数小于分母的次数; 2.假分式：分子的次数大于或等于分母的次数. 假分式变形：裂项（部分分式的化简） 真分式变形：取倒数（转化为假分式） 必备知识：双曲函数 双曲线： 反比例函数 图象特征 ①对称性：对称中心： 对称轴： ②渐近线: ③函数值变化规律： 越大,越小; 越小,越大. ④越大，顶点距离中心越远. 必备知识：双曲函数 思考：你能作出函数 的图象吗？ 你能说出它的对称中心、对称轴和渐近线吗？ 为什么？ 你能说出它的图象与图象之间关系吗？ 必备知识：双曲函数 思考：你能说出函数的对称中心和渐近线吗？ 你能快速作出函数的图象吗？ 对称中心渐近线：. 线定界，点定域。 必备知识：双曲函数 例4.解不等式 . 思路一：转化为整式不等式 ①分类讨论去分母 解：当时，原不等式可化为：解得： . 当时，原不等式可化为：解得： . 综上：或. 必备知识：双曲函数 例4.解不等式 . 思路一：转化为整式不等式 ② 乘除符号法则等价性 解：原不等式等价于，即. 所以且 解得：或 必备知识：双曲函数 例4.解不等式 . 思路二：数形结合 解：由方程 得. 作函数和的图象如图， 由图可知：或. 必备知识：双曲函数 例5.求函数 的最小值. 解： 当且仅当，即时取得最小值. “函数最值”的几何意义： 函数图象上最高（低）点的纵坐标. 必备知识：双曲函数 研究的图象. 图象特点： 时，无穷大; 无穷大时， ; 时取最低点. 必备知识：双曲函数 研究的图象. 图象特点： 时，无穷大; 无穷大时， ; 时取最低点. 图象关于原点对称. 有两条渐近线：轴， 有对称轴么？ 必备知识：双曲函数 研究的图象. 1. 时： 2.时： 课堂小结： 1.分式的合比与等比性质 2.分式齐次式——变量统一化 3.真假分式变形——裂项 4.分式不等式 5.双曲函数—— 课外思考： 例6.求函数的最小值. 解： 分析：② 当且仅当，即时取最小值. 提醒：关注待定系数法，代数变形常配方。 课外思考： 例6.求函数的最小值. $$