宁夏青铜峡市宁朔中学2025-2026学年高二上学期开学考试数学试题

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2025-08-28

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试卷第 1页，共 4页宁朔中学 2025-2026（一）高二数学开学考试卷考试时间：120 分钟；第 I卷（选择题）一.单选题：本题共 8小题，每小题 5分，共 40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.已知�为虚数单位，复数� = 2 1+� − �，则� ⋅ � − =( ) A. 5 B. 3 C. 5 D. 2 2.已知向量� = (2,1)，� = ( − 2,4)，则|� − � | =( ) A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 3．从装有 3个红球和 5个黄球的口袋内任取 3个球，那么“至少有 1个红球”的对立事件是（） A．至多有 2个红球 B．至少有 2个黄球 C．都是黄球 D．至多 1个红球 4.某校对全校 300名学生的数学成绩进行统计，得到如图所示的频率分布直方图，则这些同学的数学成绩大于等于 60分的人数为( ) A. 270 B. 240 C. 180 D. 150 5.在△ ��中，�� = 2，�� = 1 + 3，�� = 6，则� =( ) A. 45° B. 60° C. 120° 6.如图 1，在直角梯形��中，��//��，�� ⊥ ��，�� = 12，�� = 13，�� = 2 3，�为线段�� 上的一点，�� = 9，过�作��的平行线交��于�，将矩形��翻折至与梯形��垂直得到六面体 ��，如图 2，则六面体��的体积为( ) A. 33 3 2 B. 27 3 C. 30 3 D. 33 3 7.在正方体�� − �1�1�1�1中，�为�1�1的中点，则直线��与��1所成的角为( ) A. � 2 B. � 3 C. � 4 D. � 6 8. 两个圆锥的底面是一个球的同一截面，顶点均在球面上，若球的体积为32� 3 ，两个圆锥的高之比为 1：3，则这两个圆锥的体积之和为( ) A. 3� B. 4� C. 9� D. 12� 二.多选题：本题共 3小题，共 18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。 9．已知一组数据如下：2，3，4，4，7，则下列说法中正确的是（） A．这组数据的极差为 5 B．这组数据的方差为 2.5 C．这组数据的众数等于平均数 D．这组数据的第 40 百分位数为 3.5 10．已知事件 ,A B，且    0.4, 0.5P A P B  ，则（） A．事件A与事件 B 互为对立事件 B．若事件A与事件 B 互斥，则   0.9P A B  C．若   0.3P AB  ，则事件A与事件 B 相互独立 D．若事件A与事件 B 互斥，则   0.2P AB  11.在直三棱柱�� − �1�1�1中，�� ⊥ ��，�� = �� = 2，��1 = 2 2， �为�1�1的中点，则( ) A. �1� ⊥ �1� B. �1� ⊥平面�1�� C. ��1//平面�1�� D. 直线��1与�1�所成角为 � 3 第 II卷（非选择题）三.填空题：本题共 3小题，每小题 5分，共 15分。 12.| − 3 + 4�| =______． 13.设向量� ，� 夹角的余弦值为1 3 ，且|� | = 1，|� | = 3，则(2� + � ) ⋅ � = ______． 14.如图，在△ ��中，点�在��边上，��的垂直平分线过点�，且满足�� = 2��，cos∠�� = 2 5 5 ，则∠��的大小为______．试卷第 2页，共 4页四.解答题：本题共 5小题，共 77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 15.(本小题 13分) 为增强市民节能环保意识，某市面向全市征召义务宣传志愿者，现从符合条件的 500名志愿者中随机抽取 100名志愿者，他们的年龄情况如表所示：分组(单位：岁) 频数频率 [20,25) 5 0.05 [25,30) ① 0.20 [30,35) 35 ② [35,40) 30 0.30 [40,45) 10 0.10 总计 100 1.00 (1)频率分布表中的①②位置应填什么数据？ (2)补全如图所示的频率分布直方图，再根据频率分布直方图估计这 500名志愿者中年龄在[30,35) 岁的人数； (3)现用比例分配的分层随机抽样从[30,35)、[35,40)、[40,45)的样本中共抽取�名志愿者，已知从 [40,45)中抽取了 2人，求�的值． 16.(本小题 15分) 在△ ��中，�2 + �2 − �2 = 4 2 3 ��． (1)求��的值； (2)若 3�� = 2��，且△ ��的面积� = 2 2，求�的值． 17.(本小题 15分) 如图，在四棱锥� − ��中，底面��是直角梯形，��//��，�� ⊥ ��，�� = �� = 1，�� = 2， �� ⊥平面��，�� = 2． (1)求证：�� ⊥平面��； (2)求二面角� − �� − �的正弦值． 18. (本小题 17分) 如图，四棱锥� − ��的底面是边长为 2的正方形，侧棱�� ⊥底面��，且�� = 3． (1)证明：平面�� ⊥平面��； (2)求点�到平面��的距离． 19.(本小题 17分)在一次奥运会男子乒乓球单打比赛中，运动员甲和乙进入了决赛，决赛采取 7局 4胜制.已知每局比赛甲获胜的概率为 2 3 ，乙获胜的概率为 1 3，且每局比赛结果互不影响. (1)求只需进行四局比赛的概率： (2)已知前两局比赛甲均告负，求甲最终能逆转获得冠军的概率. 试卷第 3页，共 4页宁朔中学 2025-2026(一)高二数学开学考试卷参考答案一、选择题题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 A D C B A D D B ACD BC 题号 11 答案 AC 二、填空题 12、 5 13、 11 14、 3� 4 四.解答题： 15.【答案】(Ⅰ)①填 20，②填 0.35； (Ⅱ)补全后的频率分布直方图见解答； (Ⅲ)15．【解析】(Ⅰ)①应填 0.20 × 100 = 20，②应填 35100 = 0.35； (Ⅱ)因为[25,30)区间的频率为 0.20，所以该组的高为 0.2 5 = 0.04，所以补全频率分布直方图如下：这 500名志愿者中年龄在[30,35)岁的人数为 0.35 × 500 = 175； (Ⅲ)因为[30,35)、[35,40)、[40,45)的人数比例为 0.07：0.06：0.02 = 7：6：2，所以从[40,45)中抽取了 2人，从[30,35)、[35,40)中分别抽取了 7人和 6人，所以� = 7 + 6 + 2 = 15． (Ⅰ)根据频率分布表的性质，即可求解； (Ⅱ)根据频率分布直方图的性质求出高，即可求解； (Ⅲ)根据分层抽样的概念，即可求解．本题考查频率分布直方图的综合应用，属中档题． 16.【答案】2 23 ； 2 2．【解析】(1)因为�2 + �2 − �2 = 4 23 ��，由余弦定理可得�2 + �2 − �2 = 2��，可得�� = 2 23 ； (2)因为 3�� = 2��，由正弦定理得 3�� = 2��，所以� = 3 22 �，由(1)可得�� = 1 − cos2� = 1 − 89 = 1 3，因为△ ��的面积为� = 12 �� = 2 2，可得�� = 12 2，又因为� = 3 22 �，可得 3 2 2 � 2 = 12 2，可得�2 = 8，所以� = 2 2． (1)由题意及余弦定理可得��的值； (2)由正弦定理可得�，�的关系，再由三角形的面积可得��的值，进而可得�的值．本题考查正弦定理，余弦定理的应用，三角形面积公式的应用，属于中档题． 17.【答案】(1)因为�� = �� = 1，�� ⊥ ��，所以�� = 2，∠�� = 45°，又�� ⊥ ��，��//��，所以∠�� = 45°，所以��2 = ��2 + ��2 − 2�� ⋅ �� ⋅ cos∠�� = 2 + 4 − 2 × 2 × 2 × 22 = 2．所以�� = 2．因为��2 = ��2 + ��2，所以△ ��为直角三角形，且�� ⊥ ��．又因为�� ⊥平面��，�� ⊂平面��，所以�� ⊥ ��．又因为��，�� ⊂平面��，�� ∩ �� = �，所以�� ⊥平面��． (2)因为�� ⊥平面��，��，�� ⊂平面��，试卷第 4页，共 4页所以�� ⊥ ��，�� ⊥ ��．所以∠��即为二面角� − �� − �的平面角．在�� △ ��中，�� ⊥ ��，�� = 2，�� = 2，所以�� = ��2 + ��2 = 6，所以 sin∠�� = �� = 2 6 = 6 3 ．即二面角� − �� − �的正弦值为 63 ．【解析】(1)先利用勾股定理的逆定理证明�� ⊥ ��，再结合�� ⊥ ��，利用线面垂直的判定定理可证�� ⊥平面��； (2)根据�� ⊥平面��，得到∠��即为二面角� − �� − �的平面角，再在�� △ ��中，求∠��的正弦．本题考查线面垂直的判定，以及二面角的计算，属于基础题． 18.【答案】证明见解析； 6 13 13 ．【解析】(1)证明：因为�� ⊥底面��，所以�� ⊥ ��，又�� ⊥ ��，且�� ∩ �� = �，所以�� ⊥平面��，又�� ⊂平面��，所以平面�� ⊥平面��； (2)根据题意建系如图：则�(0,2,0)，�(2,2,0)，�(2,0,0)，�(0,0,3)，所以�� = (2,0,0), �� = ( − 2, − 2,3), �� = (0, − 2,0)，设平面��的一个法向量为� = (�, �, �)，则 �� ⋅ � = 0 �� ⋅ � = 0 ，即 −2� − 2� + 3� = 0 −2� = 0 ，取� = (3,0,2)，所以点�到平面��的距离为� = |�� ⋅� | |� | = 6 13 = 6 13 13 ． (1)由�� ⊥底面��，得到�� ⊥ ��，再由�� ⊥ ��，得到�� ⊥面��，然后利用面面垂直的判定定理证明； (2)建立空间直角坐标系，求得平面��的一个法向量，由点到平面距离向量公式计算求解．本题考查面面垂直的证明，点面距的求解，属中档题． 19.【答案】证明见解析； (1) 17 81 (2) 112 243 【分析】（1）应用独立事件乘法公式及互斥事件概率和公式计算求解；（2）分类应用独立事件乘法公式及互斥事件概率和公式计算求解. 【详解】（1）设事件 iA “甲第 i 局都获胜”， 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7i  . 由题意，事件  1, 2, 3, 4, 5, 6, 7iA i  相互独立，且    2 2 1, 13 3 3i iP A P A    . 只需进行四局比赛包含两种情况： ①甲能胜四局： 1 2 3 4A A A A ；②乙连胜四局： 1 2 3 4A A A A . 设事件M “只需进行四局比赛”；则                      1 2 3 4 1 2 3 4 1 2 3 4 1 2 3 4P M P A A A A P A A A A P A P A P A P A P A P A P A P A    4 42 1 17 3 3 81              . 故只需进行四局比赛的概率为 17 81 . （2）设事件 N “前两局比赛甲均告负，甲最终能逆转获得冠军”. 由于前两局比赛甲均告负，所以接下来的比赛甲最多可以负一局，包含两种情况： ①甲接下来连胜四局： 3 4 5 6A A A A ； ②接下来五局比赛中甲 4胜 1负（负的一局为第 3~6局中某一局）： 3 4 5 6 7 3 4 5 6 7 3 4 5 6 7 3 4 5 6 7, , ,A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A . 所以，    3 4 5 6 3 4 5 6 7 3 4 5 6 7 3 4 5 6 7 3 4 5 6 7P N P A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A              3 4 5 6 3 4 5 6 7 3 4 5 6 7 3 4 5 6 7 3 4 5 6 7P A A A A P A A A A A P A A A A A P A A A A A P A A A A A     4 42 2 1 1124 3 3 3 243                . 所以，甲最终能逆转获得冠军的概率为 112 243 .

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