1.4.1 用空间向量研究直线、平面的位置关系讲义专项训练-2025-2026学年高二数学人教A版选择性必修第一册

§1.4.1 用空间向量研究直线、平面的位置关系 目录 考法1：求平面的法向量 4 考法2：利用方向向量、法向量判断线面位置关系 7 考法3：用向量的方法证明空间中的平行关系 10 考法4：用向量的方法证明空间中的垂直关系 17 1. 空间中点、直线和平面的向量表示 (1) 点的位置向量 如图1.4-1，在空间中，我们取一定点O作为基点，那么空间中任意一点P就可以用向量 来表示．我们把向量称为点P的位置向量． 图1.4-1 (2) 直线的向量表示 用向量表示直线,就是要利用点和直线的方向向量表示直线上的任意一点。 如图1.4-2，是直线的方向向量,在直线上取,设是直线上的任意一点,由向量共线的条件可知,点在直线上的充要条件是存在实数使得,即. 图1.4-2 图1.4-3 进一步地,如图1.4-3,取定空间中的任意一点,可以得到点在直线上的充要条件是存在实数,使 ，① 将代入①式,得 .② ①式和②式都称为空间直线的向量表示式．由此可知，空间任意直线由直线上一点及直线的方向向量唯一确定. (3) 空间平面的向量表示 平面可以由内两条相交直线确定。如图1.4-4,设两条直线相交于点,它们的方向向量分别为和,为平面内任意一点,由平面向量基本定理可知,存在唯一的有序实数对(x,y),使得。这样,点与向量,不仅可以确定平面,还可以具体表示出内的任意一点。 图1.4-4 图1.4-5 进一步地,如图1.4-5,取定空间任意一点,可以得到,空间一点位于平面内的充要条件是存在实数x,y,使 .③ 我们把③式称为空间平面的向量表示式。由此可知,空间中任意平面由空间一点及两个不共线向量唯一确定。 (4) 平面的法向量 如图1.4-6，直线，取直线的方向向量，我们称向量为平面的法向量. 给定一个点和一个向量，那么过点，且以向量为法向量的平面完全确定，可以表示为集合 图1.4-6 2. 空间中直线、平面的平行 (1) 线线平行：若分别为直线的方向向量，则使得 . (2) 线面平行： 1　 设是直线的方向向量，是平面的法向量，，则. 2　 在平面内取一个非零向量，若存在实数，使得，且，则. 3　 设是直线的方向向量，是平面内的两个不共线的向量，若存在实数，使得，且，则. (3) 面面平行：设分别是平面的法向量，则，使得. 3. 空间中直线、平面的垂直 (1) 线线垂直：设直线的方向向量分别为，则. (2) 线面垂直： 1　 设直线的方向向量为，平面的法向量为，则，使得. 2　 设为直线的方向向量，为平面内的不共线的向量,若,则. (3) 面面垂直：设分别是平面的法向量，则. 考法1：求平面的法向量 方法提炼 找一个平面的法向量的方法一般有两种:一是几何法,利用几何条件找出一条与平面垂直的直线,在其上取一条有向线段(或特殊的方向向量)即可;二是代数法,即坐标法,一般要建立空间直角坐标系,然后用待定系数法求解，步骤如下: (1) 设向量：设平面的法向量为； (2) 选向量：在平面内选取两个不共线向量； (3) 列方程组：由列出方程组； (4) 解方程组； (5) 赋非零值：取其中一个为非零值（常取±1）； (6) 得结论：得到平面的一个法向量. 【例1.1.】 如图，在直三棱柱中，，，．以A为原点，建立如图所示空间直角坐标系． （1）求平面的一个法向量； （2）求平面的一个法向量． 【答案】(1)； (2). 【难度】0.85 【知识点】求平面的法向量 【分析】(1)求出平面内的两个向量，，然后利用法向量与这两个向量的数量积都为0来求法向量； (2)求出平面内的两个向量，，然后利用法向量与这两个向量的数量积都为0来求法向量. 【详解】易知，，，. (1)，， 设面的法向量为，则 ， 即，取 ，则 ， 所以平面的一个法向量为； (2) ，， 设面的法向量为，则 ， 即，取 ，则 ， 所以平面的一个法向量为 【例1.2.】 已知，则平面ABC的一个法向量可以为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.85 【知识点】求平面的法向量 【分析】由题设，，根据平面的法向量性质及空间向量数量积的坐标运算求法向量即可. 【详解】由题设，， 若是平面ABC的一个法向量，则， 取，则. 故选：A 【例1.3.】 已知平面，其中，法向量，则下列各点中不在平面内的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.85 【知识点】空间向量垂直的坐标表示 【分析】分别求，逐一验证是否有即可. 【详解】对A选项：设，则，则，故点不在平面内； 对B选项：设，则，则，故点在平面内； 对选项C：设，则，则，故点在平面内； 对选项D：设，则，则，故点在平面内. 故选：A 【例1.4.】 若平面，且平面的一个法向量为，则平面的法向量可以是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.65 【知识点】空间向量平行的坐标表示、求平面的法向量 【分析】根据面面平行判断出，法向量互相平行即可求解. 【详解】若平面， 则两个平面的法向量互相平行， 所以平面的法向量为， 所以当时，向量为， 故选：A. 考法2：利用方向向量、法向量判断线面位置关系 方法提炼 设两条不同直线的方向向量分别为，两个不同平面的法向量分别为. 向量间的关系 线、面间位置关系 方向向量间的关系 // // 法向量间的关系 // // 方向向量与法向量间的关系 // //或 【例2.1.】 如果直线的方向向量是，直线方向向量是，那么（    ） A． B．与相交 C．与异面 D． 【答案】D 【难度】0.85 【知识点】空间位置关系的向量证明 【分析】由向量垂直即可解题. 【详解】因为， 故，所以， 故选：D 【例2.2.】 设，分别是平面，的法向量，直线的方向向量为，以下结论错误的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则或，重合 【答案】B 【难度】0.85 【知识点】空间位置关系的向量证明 【分析】根据空间向量证明面面垂直、线面平行、线面平行和面面平行方法判断选项即可. 【详解】A项，若，由法向量的性质知，法向量垂直，平面垂直，故A正确； B项，若，可知与平面平行或在平面内，故B错误； C项，若，由法向量的性质知，该向量垂直于平面，故C正确； D项，若，可从题目，分别是平面，的法向量知，法向量平行，所以平面平行或重合，故D正确. 故选：B 【例2.3.】 已知，分别是平面与平面的一个法向量，若，则（    ） A．4 B．2 C． D． 【答案】C 【难度】0.85 【知识点】空间位置关系的向量证明 【分析】若，则两平面的法向量，建立方程,即可算出. 【详解】， ， ， . 故选：C. 【例2.4.】 （多选）给出下列命题，其中是真命题的是（    ） A．若直线的方向向量，直线的方向向量，则与垂直 B．若直线的方向向量，平面的法向量，则 C．若平面、的法向量分别为、，则、相交 D．若平面经过三点、、，向量是平面的法向量，则 【答案】ACD 【难度】0.85 【知识点】空间位置关系的向量证明、求直线的方向向量（空间中）、求平面的法向量 【分析】计算可得，可判断A选项；利用线面位置关系与空间向量的关系可判断B选项；利用平面的位置关系与空间向量的关系可判断C选项；利用平面法向量的定义可判断D选项. 【详解】对于A选项，若直线的方向向量，直线的方向向量， 则，即，所以，，A对； 对于B选项，若直线的方向向量，平面的法向量， 则，所以，，则或，B错； 对于C选项，若平面、的法向量分别为、，则与不共线， 所以，、相交，C对； 对于D选项，，， 因为为平面的法向量，则，解得， 此时，，D对. 故选：ACD. 考法3：用向量的方法证明空间中的平行关系 方法提炼 (1) 线线平行：设分别为直线的方向向量，要证，只需证，即. (2) 线面平行 方法一：证明一条直线与一个平面平行,只需证明直线的方向向量能用平面内两个不共线的向量线性表示即可; 方法二：根据线面平行的判定定理，在平面内找到平行一条直线,证明该直线的方向向量与已知直线的方向向量共线即可; 方法三：设直线的方向向量是,平面的法向量是,要证明//,只需证明,即. (3) 面面平行 方法一：转化为相应的线线平行或线面平行; 方法二：求出平面的法向量,证明//,即可说明// 【例3.1.】 在正方体ABCD-A1B1C1D1中，点P在线段A1D上，点Q在线段AC上，线段PQ与直线A1D和AC都垂直，求证：PQ∥BD1. 【答案】证明见解析 【难度】0.65 【知识点】空间向量垂直的坐标表示、空间位置关系的向量证明 【分析】建立空间直角坐标系，利用向量垂直的坐标运算求出，再根据共线向量证明即可. 【详解】证明：以点D为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，设正方体的棱长为1， 则D(0，0，0)，A(1，0，0)，B(1，1，0)，C(0，1，0)，A1(1，0，1)，D1(0，0，1)， ∴=(1，0，1)，=(-1，1，0)，设=(a，b，c)， 则即取=(1，1，-1). 易知， ∴， ∴， 即PQ∥BD1. 【例3.2.】 如图，在三棱锥中，底面， ．点，，分别为棱，，的中点，是线段的中点，，．求证：平面； 【答案】证明见解析 【难度】0.85 【知识点】空间位置关系的向量证明 【分析】 根据已知条件建立空间直角坐标系，求出相关点的坐标，再求出直线的方向向量和平面的法向量，利用直线的方向向量与平面法向量的垂直即可求证. 【详解】 因为底面，，建立空间直角坐标系如图所示， 则， 所以， 设为平面的法向量，则 ，即， 不妨设，可得 ， 又， 所以，即， 因为平面， 所以平面 ， 【例3.3.】 如图，在正方体中，点E､F分别为棱､的中点，点P为底面对角线AC与BD的交点，点Q是棱上一动点.    (1)证明：直线∥平面； (2)证明：. 【答案】(1)证明见详解 (2)证明见详解 【难度】0.85 【知识点】证明线面平行、空间位置关系的向量证明 【分析】（1）建系，利用空间向量可得∥，再结合线面平行的判定定理分析证明； （2）由空间向量的坐标运算可得，进而可得结果. 【详解】（1）如图，以为坐标原点，分别为轴所在的直线，建立空间直角坐标系， 不妨设，则， 可得，可知， 则∥，且平面，平面，所以∥平面.    （2）设，则，可得， 由（1）可知：， 因为，所以. 【例3.4.】 如图，在长方体中，，，.求证：平面平面. 【答案】证明见解析 【难度】0.85 【知识点】空间位置关系的向量证明 【分析】根据题意，以D为原点，建立空间直角坐标系，分别求得平面与平面的法向量，由法向量平行，即可证明面面平行； 【详解】以D为原点，所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立如图所示的空间直角坐标系， 则，，，，，，， 则，，，. 设平面的法向量为， 则. 取，则，， 所以平面的一个法向量为. 设平面的法向量为， 则. 取，则，， 所以平面的一个法向量为. 因为，即， 所以平面平面. 【例3.5.】 如图在长方体中，，E，F，G分别是棱的中点，P是底面内一个动点，若直线平面平行，则线段的最小值为（    ） A． B．1 C． D． 【答案】C 【难度】0.85 【知识点】空间距离公式的应用、空间位置关系的向量证明、求平面的法向量 【分析】建立空间直角坐标系，求出平面的法向量，设，建立方程，表达出，求出最小值. 【详解】以为坐标原点，分别为轴，建立空间直角坐标系， ，， 设，平面的法向量为， 则， 令得，故， 由，则， 考虑平面内，由两点间距离公式得 ， 当时，取得最小值，最小值为. 故选：C 【例3.6.】 正方体的棱长为，为的中点，点是正方形内的动点，若平面，则点的轨迹长度为 ． 【答案】 【难度】0.4 【知识点】空间位置关系的向量证明、求平面的法向量、立体几何中的轨迹问题 【分析】利用正方体建立空间直角坐标系，求出平面的法向量，再由平面，得，计算可得点的轨迹方程，再由题意即得点的轨迹长度. 【详解】利用正方体建立如图所示空间直角坐标系， 由题意可知，，，，， 因点是正方形内的动点，可设，， 因 设平面的法向量， 则，令，则， 因平面，则，即， 整理得：. 是正方形内的动点，取，得；取，得， 故点的轨迹长度为． 故答案为：. 考法4：用向量的方法证明空间中的垂直关系 方法提炼 (1) 线线垂直 方法一：坐标法,根据图形特征,建立适当的空间直角坐标系,准确地写出相关点的坐标,表示出两条直线的方向向量,证明其数量积为0. 方法二：基向量法，利用向量的加减运算法则,结合图形,将要证明的两条直线所在的向量用基向量表示出来,利用向量的数量积运算说明两个向量的数量积为0. (2) 线面垂直 方法一：利用判定定理,即通过证明向量数量积为0来验证直线的方向向量与平面内两条相交直线的方向向量垂直; 方法二：求平面的法向量，验证直线的方向向量与平面的法向量平行。 (3) 面面垂直 方法一：利用两个平面垂直的判定定理将面面垂直问题转化为线面垂直问题,进而转化为线线垂直问题； 方法二：直接求解两个平面的法向量,证明两个法向量垂直,从而得到两个平面垂直。 【例4.1.】 如图，正方形与梯形所在的平面互相垂直，，，，，M为CE的中点.请用空间向量知识解决下列问题： (1)求证：； (2)求证：平面. 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【难度】0.65 【知识点】线面垂直证明线线垂直、空间位置关系的向量证明 【分析】（1）先由面面垂直的性质定理及正方形的性质推得两两垂直，从而建立空间直角坐标系，求得，，由此利用空间向量垂直的坐标表示即可得证； （2）结合（1）中结论得到，，，从而利用空间向量垂直的坐标表示证得，，由此利用线面垂直的判定定理证得平面. 【详解】（1）因为面面，面面，，面， 所以面，又面，所以， 又因为在正方形中，，所以两两垂直， 以D为原点，分别为x轴，y轴，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 则，，，， 因为M为EC的中点，所以， 故，， 所以，故即. （2）由（1）得，，， 所以，则即， 又，故即， 又，平面， 所以平面. 【例4.2.】 如图所示，在直三棱柱中，，，，E为的中点，证明：平面平面. 【答案】证明见解析 【难度】0.85 【知识点】空间位置关系的向量证明 【分析】由题意得两两垂直．以B为原点，分别为轴，建立空间直角坐标系，求出平面、平面AEC1的一个法向量，证明可得答案. 【详解】由题意得两两垂直，以B为原点，分别为轴， 建立如图所示的空间直角坐标系， 则，， 则， 设平面的一个法向量为， 则，令，得，所以， 设平面AEC1的一个法向量为， 则， 令，得，所以， 因为， 所以，所以平面平面. 【例4.3.】 如图，在四棱锥中，平面，，，，.为的中点，点在上，且. 求证：平面平面. 【答案】证明见解析 【难度】0.65 【知识点】空间位置关系的向量证明 【分析】如图，以为原点，分别以，为轴，轴，过作平行线为轴，建立空间直角坐标系，求出两平面的法向量，利用空间向量证明即可. 【详解】证明：如图，以为原点，分别以，为轴，轴，过作平行线为轴，建立空间直角坐标系， 则，，，，，， 所以，，因为，所以， 所以，即， 所以，， 设平面的法向量为，则， 令，则，所以， 平面的法向量为，则， 令，则，所以， 所以， 所以， 所以平面平面. 【例4.4.】 棱长为1的正方体中，点P在棱CD上运动，点Q在侧面上运动，满足平面，则线段PQ的最小值为（    ）    A． B．1 C． D． 【答案】A 【难度】0.85 【知识点】求空间中两点间的距离、空间向量数量积的应用、空间位置关系的向量证明 【分析】建立空间直角坐标系，求出点的坐标，设，，根据线面垂直得到方程组，求出，，从而求出，得到线段PQ的最小值. 【详解】以为坐标原点，分别为轴，建立空间直角坐标系， 则，设，， 所以，， 因为平面， 所以，故， ，故， 其中， 故， 故当时，，此时满足要求， 所以线段PQ的最小值为.    故选：A 【例4.5.】 如图，在四棱锥中，底面，底面是矩形，，，是的中点，．若点在矩形内，且平面，则（    ）    A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.85 【知识点】空间位置关系的向量证明 【分析】建立空间直角坐标系，求得平面的一个法向量，设点，求得直线的方向向量，通过平面，建立关于的方程，确定的值，即可求解. 【详解】如图，以为坐标原点，，，的方向分别为轴的正方向，建立空间直角坐标系， 则，，，，，．    设平面的法向量为， 则      令，得． 设，则． 因为平面，所以， 则，解得，． 故． 故选：D 【例4.6.】 如图，在正方体中，点分别为所在棱的中点，则（    ） A． B．平面 C．直线与为异面直线 D．平面 【答案】D 【难度】0.65 【知识点】空间向量平行的坐标表示、空间向量垂直的坐标表示、空间位置关系的向量证明 【分析】首先以点为原点建立空间直角坐标系，利用向量法，判断垂直和平行关系. 【详解】如图，建立空间直角坐标系，设棱长为， A.，，，，，， ，所以与不垂直，故A错误； B.平面的法向量为，，所以与平面的法向量不垂直，则与平面不平行，故B错误； C.，，，，所以，则，故C错误； D.，，，，， ，，，平面，所以平面，故D正确. 故选：D 【例4.7.】 如图，三棱柱的各条棱长均为是2，侧棱与底面ABC所成的角为60°，侧面底面ABC，点P在线段上，且平面平面，则 ．    【答案】 【难度】0.4 【知识点】面面垂直证线面垂直、空间位置关系的向量证明、由二面角大小求线段长度或距离 【分析】取中点，连接，，由已知可得，，两两垂直，以为坐标原点，，，为坐标轴建立如图所示的空间直角坐标系，设，求得平面与平面的一个法向量，可求得结论． 【详解】侧面底面，则点在平面上的射影在直线上， 为直线与底面所成的角， ，三棱柱的各条棱长均为2， 是等边三角形， 取中点，连接，，则， ∵侧面底面，侧面底面，面， 所以面， 如图所示，以为坐标原点，建立的空间直角坐标系， 则， 故， 设，则， 设平面的一个法向量为， 则，令，则，， 平面的一个法向量为， 设平面的一个法向量为，则，令，则，， 平面的一个法向量为， 平面平面，∴， ，， ． 故答案为：． ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $$ §1.4.1 用空间向量研究直线、平面的位置关系 目录 考法1：求平面的法向量 4 考法2：利用方向向量、法向量判断线面位置关系 5 考法3：用向量的方法证明空间中的平行关系 6 考法4：用向量的方法证明空间中的垂直关系 8 1. 空间中点、直线和平面的向量表示 (1) 点的位置向量 如图1.4-1，在空间中，我们取一定点O作为基点，那么空间中任意一点P就可以用向量 来表示．我们把向量称为点P的位置向量． 图1.4-1 (2) 直线的向量表示 用向量表示直线,就是要利用点和直线的方向向量表示直线上的任意一点。 如图1.4-2，是直线的方向向量,在直线上取,设是直线上的任意一点,由向量共线的条件可知,点在直线上的充要条件是存在实数使得,即. 图1.4-2 图1.4-3 进一步地,如图1.4-3,取定空间中的任意一点,可以得到点在直线上的充要条件是存在实数,使 ，① 将代入①式,得 .② ①式和②式都称为空间直线的向量表示式．由此可知，空间任意直线由直线上一点及直线的方向向量唯一确定. (3) 空间平面的向量表示 平面可以由内两条相交直线确定。如图1.4-4,设两条直线相交于点,它们的方向向量分别为和,为平面内任意一点,由平面向量基本定理可知,存在唯一的有序实数对(x,y),使得。这样,点与向量,不仅可以确定平面,还可以具体表示出内的任意一点。 图1.4-4 图1.4-5 进一步地,如图1.4-5,取定空间任意一点,可以得到,空间一点位于平面内的充要条件是存在实数x,y,使 .③ 我们把③式称为空间平面的向量表示式。由此可知,空间中任意平面由空间一点及两个不共线向量唯一确定。 (4) 平面的法向量 如图1.4-6，直线，取直线的方向向量，我们称向量为平面的法向量. 给定一个点和一个向量，那么过点，且以向量为法向量的平面完全确定，可以表示为集合 图1.4-6 2. 空间中直线、平面的平行 (1) 线线平行：若分别为直线的方向向量，则使得 . (2) 线面平行： 1　 设是直线的方向向量，是平面的法向量，，则. 2　 在平面内取一个非零向量，若存在实数，使得，且，则. 3　 设是直线的方向向量，是平面内的两个不共线的向量，若存在实数，使得，且，则. (3) 面面平行：设分别是平面的法向量，则，使得. 3. 空间中直线、平面的垂直 (1) 线线垂直：设直线的方向向量分别为，则. (2) 线面垂直： 1　 设直线的方向向量为，平面的法向量为，则，使得. 2　 设为直线的方向向量，为平面内的不共线的向量,若,则. (3) 面面垂直：设分别是平面的法向量，则. 考法1：求平面的法向量 方法提炼 找一个平面的法向量的方法一般有两种:一是几何法,利用几何条件找出一条与平面垂直的直线,在其上取一条有向线段(或特殊的方向向量)即可;二是代数法,即坐标法,一般要建立空间直角坐标系,然后用待定系数法求解，步骤如下: (1) 设向量：设平面的法向量为； (2) 选向量：在平面内选取两个不共线向量； (3) 列方程组：由列出方程组； (4) 解方程组； (5) 赋非零值：取其中一个为非零值（常取±1）； (6) 得结论：得到平面的一个法向量. 【例1.1.】 如图，在直三棱柱中，，，．以A为原点，建立如图所示空间直角坐标系． （1）求平面的一个法向量； （2）求平面的一个法向量． 【例1.2.】 已知，则平面ABC的一个法向量可以为（   ） A． B． C． D． 【例1.3.】 已知平面，其中，法向量，则下列各点中不在平面内的是（    ） A． B． C． D． 【例1.4.】 若平面，且平面的一个法向量为，则平面的法向量可以是（　　） A． B． C． D． 考法2：利用方向向量、法向量判断线面位置关系 方法提炼 设两条不同直线的方向向量分别为，两个不同平面的法向量分别为. 向量间的关系 线、面间位置关系 方向向量间的关系 // // 法向量间的关系 // // 方向向量与法向量间的关系 // //或 【例2.1.】 如果直线的方向向量是，直线方向向量是，那么（    ） A． B．与相交 C．与异面 D． 【例2.2.】 设，分别是平面，的法向量，直线的方向向量为，以下结论错误的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则或，重合 【例2.3.】 已知，分别是平面与平面的一个法向量，若，则（    ） A．4 B．2 C． D． 【例2.4.】 （多选）给出下列命题，其中是真命题的是（    ） A．若直线的方向向量，直线的方向向量，则与垂直 B．若直线的方向向量，平面的法向量，则 C．若平面、的法向量分别为、，则、相交 D．若平面经过三点、、，向量是平面的法向量，则 考法3：用向量的方法证明空间中的平行关系 方法提炼 (1) 线线平行：设分别为直线的方向向量，要证，只需证，即. (2) 线面平行 方法一：证明一条直线与一个平面平行,只需证明直线的方向向量能用平面内两个不共线的向量线性表示即可; 方法二：根据线面平行的判定定理，在平面内找到平行一条直线,证明该直线的方向向量与已知直线的方向向量共线即可; 方法三：设直线的方向向量是,平面的法向量是,要证明//,只需证明,即. (3) 面面平行 方法一：转化为相应的线线平行或线面平行; 方法二：求出平面的法向量,证明//,即可说明// 【例3.1.】 在正方体ABCD-A1B1C1D1中，点P在线段A1D上，点Q在线段AC上，线段PQ与直线A1D和AC都垂直，求证：PQ∥BD1. 【例3.2.】 如图，在三棱锥中，底面， ．点，，分别为棱，，的中点，是线段的中点，，．求证：平面； 【例3.3.】 如图，在正方体中，点E､F分别为棱､的中点，点P为底面对角线AC与BD的交点，点Q是棱上一动点.    (1)证明：直线∥平面； (2)证明：. 【例3.4.】 如图，在长方体中，，，.求证：平面平面. 【例3.5.】 如图在长方体中，，E，F，G分别是棱的中点，P是底面内一个动点，若直线平面平行，则线段的最小值为（    ） A． B．1 C． D． 【例3.6.】 正方体的棱长为，为的中点，点是正方形内的动点，若平面，则点的轨迹长度为 ． 考法4：用向量的方法证明空间中的垂直关系 方法提炼 (1) 线线垂直 方法一：坐标法,根据图形特征,建立适当的空间直角坐标系,准确地写出相关点的坐标,表示出两条直线的方向向量,证明其数量积为0. 方法二：基向量法，利用向量的加减运算法则,结合图形,将要证明的两条直线所在的向量用基向量表示出来,利用向量的数量积运算说明两个向量的数量积为0. (2) 线面垂直 方法一：利用判定定理,即通过证明向量数量积为0来验证直线的方向向量与平面内两条相交直线的方向向量垂直; 方法二：求平面的法向量，验证直线的方向向量与平面的法向量平行。 (3) 面面垂直 方法一：利用两个平面垂直的判定定理将面面垂直问题转化为线面垂直问题,进而转化为线线垂直问题； 方法二：直接求解两个平面的法向量,证明两个法向量垂直,从而得到两个平面垂直。 【例4.1.】 如图，正方形与梯形所在的平面互相垂直，，，，，M为CE的中点.请用空间向量知识解决下列问题： (1)求证：； (2)求证：平面. 【例4.2.】 如图所示，在直三棱柱中，，，，E为的中点，证明：平面平面. 【例4.3.】 如图，在四棱锥中，平面，，，，.为的中点，点在上，且. 求证：平面平面. 【例4.4.】 棱长为1的正方体中，点P在棱CD上运动，点Q在侧面上运动，满足平面，则线段PQ的最小值为（    ）    A． B．1 C． D． 【例4.5.】 如图，在四棱锥中，底面，底面是矩形，，，是的中点，．若点在矩形内，且平面，则（    ）    A． B． C． D． 【例4.6.】 如图，在正方体中，点分别为所在棱的中点，则（    ） A． B．平面 C．直线与为异面直线 D．平面 【例4.7.】 如图，三棱柱的各条棱长均为是2，侧棱与底面ABC所成的角为60°，侧面底面ABC，点P在线段上，且平面平面，则 ．    ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $$