1.2.1 命题与量词学案-2025-2026学年高一上学期数学人教B版必修第一册

该高中数学学案聚焦命题与量词核心知识点，涵盖命题概念、全称与存在量词意义及命题的表示与真假判断。知识梳理通过填空式设计搭建基础支架，应用举例结合方程、几何实例连接命题定义与量词命题，课堂训练从辨析量词到判断真假，形成概念到应用的递进脉络。 该资料注重数学思维与数学语言培养，通过实例分析引导学生用数学眼光观察命题结构，借助符号化表达规范数学语言。课堂训练分层设计，从基础判断到参数范围求解提升推理能力，习题结合生活情境增强应用意识，有效夯实逻辑基础。

1.2.1命题与量词 1、 学习目标 1.了解命题的概念及判断命题真假的方法。 2.理解全称量词的意义.掌握全称量词命题的含义、表示及判定命题真假的方法； 3.理解存在量词的意义.掌握存在量词命题的含义、表示及判定命题真假的方法； 二、重难点 重点： 1.理解全称量词命题和存在量词命题的意义． 2.掌握全称量词命题和存在量词命题的否定的变化规律． 难点： 1.正确地判断全称量词命题和存在量词命题的真假． 2.正确地对含有一个量词的命题进行否定． 三、知识梳理 1.命题 （1）命题的定义：可以________的________语句就是命题. （2）命题的分类：按命题的真假性分为两类 ①真命题：判断为________的语句为真命题； ②假命题：判断为________的语句为假命题. 注解：一个命题，要么是________，要么是________，不能同时既是真命题又是假命题，也不能模棱两可，无法判断是真命题还是假命题. 2.全称量词与存在量词 （1）全称量词：“任意”“所有”“每一个”在陈述中表示所述事物的________，称为________.用符号“________”表示. （2）存在量词：“存在”“有”“至少有一个”在陈述中表示所述事物的个体或部分，称为________，用符号“________”表示. 3.全称量词命题与存在量词命题 （1）全称量词命题：含有________的命题，叫做全称量词命题. 符号表示：“对集合中的所有元素”.可简记为：________________. （2）存在量词命题：含有________的命题，叫做存在量词命题. 符号表示：“存在中的元素”，可简记为：________________. 4、 应用举例 例 1．给出下列命题： ①存在实数 x0>1，使 x02>1；②全等的三角形必相似；③有些相似三角形全等； ④至少有一个实数 a，使关于 x 的方程 ax2-ax+1=0 至少有一负根. 其中存在量词命题的个数为（ ） A．1 B．2 C．3 D．4 【解析】对于①，命题的表述中有“存在”，故该命题为存在量词命题；对于②，命题的表述中有“必”，即所有的全等三角形是相似的，故该命题为全称命题；对于③，命题的表述中有“有些”，故该命题为存在量词命题；对于④，命题的表述中有“至少有一个”，故该命题为存在量词命题．答案为 C. 例 2．以下四个命题中既是存在量词命题又是真命题的是( ) A．锐角三角形有一个内角是钝角 B．至少有一个实数 x，使 x2≤0 C．两个无理数的和必是无理数 D．存在一个负数 x， 1/x>2 【解析】A 中锐角三角形的内角都是锐角，所以 A 是假命题；B 中当 x＝0 时，x2＝0， 满足 x2≤0，所以 B 既是存在量词命题又是真命题；C 中因为 2＋(－ 2)＝0 不是无理数，所以 C 是假命题；D 中对于任意一个负数 x，都有x<0，不满足1/x>2，所以 D 是假命题．答案为 B. 五、课堂训练 1.判断下列命题的真假： （1）是有理数； （2）； （3）奇数的平方仍是奇数； （4）两个集合的交集还是一个集合； （5）每一个素数都是奇数； （6）方程有实数根； （7）； （8）如果，那么. 2.将下列命题用量词等符号表示，并判断命题的真假： （1）所有实数的平方都是正数； （2）任何一个实数除以1，仍等于这个实数. 3.判断下列命题的真假： （1），； （2），； （3），； （4），； （5），； （6），. 4.判断下列命题的真假： （1）存在两个无理数，它们的乘积是有理数； （2）如果实数集的非空子集A是有限集，则A中的元素一定有最大值； （3）没有一个无理数不是实数； （4）如果一个四边形的对角线相等，则这个四边形是矩形； （5）集合A是集合的子集； （6）集合是集合A的子集. 5.判断下列命题的真假： （1），； （2），； （3），； （4），是有理数； （5），. 6.判断下列命题的真假： （1），； （2），； （3），. 7.分别求满足下列条件的实数a的取值范围： （1）“，”是真命题； （2）“，”是假命题. 六、课后练习 1.“红豆生南国，春来发几枝？愿君多采撷，此物最相思.”这是唐代诗人王维的《相思》，在这四句诗中，在当时的条件下，可以作为命题的是( ) A.红豆生南国 B.春来发几枝 C.愿君多采撷 D.此物最相思 2.下列命题是全称量词命题的是( ) A.存在一个实数的平方是负数 B.每个四边形的内角和都是 C.至少有一个整数x，使得是质数 D.， 3.已知命题“，”为假命题，则实数a的取值范围为( ). A. B. C. D. 4.将“”改写成全称量词命题，下列说法正确的是( ) A.对任意，都有 B.存在，使 C.对任意，，都有 D.存在，，使 5.下列命题正确的是( ) A.正四棱柱是正方体 B.圆锥的截面是圆 C.一个棱柱至少有5个面 D.正三棱锥的所有面都是全等的等边三角形 6.短道速滑队6名队员（含赛前系列赛积分最靠前的甲乙丙三名队员在内）进行冬奥会选拔，记“甲得第一名”为p，“乙得第二名”为q，“丙得第三名”为r，若是真命题，是假命题，是真命题，则选拔赛的结果为( ) A.甲得第一名，乙得第二名，丙得第三名 B.甲得第二名，乙得第一名，丙得第三名 C.甲得第一名，乙得第三名，丙得第二名 D.甲得第一名，乙没得第二名，丙得第三名 7.设非空集合P，Q满足，则下列命题正确的是( ) A.， B.， C.， D.， 8.下列命题中正确的个数有( ) ①如果，那么；②如果，且那么； ③，则；④若，则. A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 9.（多选）已知命题p：有些三角形是轴对称图形，命题q：梯形的对角线相等，则( ) A.p是存在量词命题 B.q是全称量词命题 C.p是假命题 D.是真命题 10.设命题p：“，使”为真命题，则实数a的取值范围是___________. 答案及解析 三、知识梳理 1.（1）判断真假 陈述 （2）真 假 真命题 假命题 2.（1）全体 全称量词 （2）存在量词 3.（1）全称量词 （2）存在量词 五、课堂训练 1.答案：（1）假命题 （2）假命题 （3）真命题 （4）真命题 （5）假命题 （6）假命题 （7）真命题 （8）假命题 解析：（1）中为无理数.故是无理数，故（1）为假命题. （2），故（2）为假命题. （3）因为奇数的平方为奇数，故（3）为真命题. （4）集合求交集后仍然是集合，故（4）为真命题. （5）2是素数但2是偶数.故（5）为假命题. （6）即无实数解.故（6）为假命题. （7），故（7）为真命题. （8）如，满足但不满足.故（8）为假命题. 2.答案：（1），；假命题 （2），；真命题 解析：（1）命题为：，. 易得当时，故原命题为假命题. （2）命题为：，，易得为真命题. 3.答案：（1）假命题 （2）假命题 （3）真命题 （4）假命题 （5）真命题 （6）真命题 解析：（1）有或，故（1）为假命题. （2）无实数解，故（2）为假命题. （3）当时有成立，故（3）为真命题. （4）当时，故（4）为假命题. （5）因为，故（5）为真命题. （6）当时，满足，，故（6）为真命题. 4.答案：（1）真命题 （2）真命题 （3）真命题 （4）假命题 （5）真命题 （6）真命题 解析：（1）如，故（1）为真命题. （2）由元素的互异性可知，若A为有限集，则必有最大元素，故（2）为真命题. （3）因为实数包含无理数，故（3）为真命题. （4）如等腰梯形的对角线也相等，故（4）为假命题. （5）因为，故（5）为真命题. （6）因为，故（6）为真命题. 5.答案：（1）假命题 （2）假命题 （3）真命题 （4）假命题 （5）真命题 解析：（1）因为，即无实数解.故（1）为假命题. （2）当时，，，不满足，故（2）为假命题. （3）当时，满足，故（3）为真命题 （4）当时，仍为无理数.故（4）为假命题. （5）当时满足，故（5）为真命题. 6.答案：（1）真命题 （2）真命题 （3）真命题 解析：（1）当，时满足，故（1）为真命题. （2）当，时满足，故（2）为真命题. （3）根据立方差公式可知，成立.故（3）为真命题. 7.答案：（1） （2） 解析：（1）当时解得或. 又因为“，”为真命题.故. （2）求解可得， 又“，”为假命题， 故“，” 故. 六、课后练习 1.答案：A 解析：“红豆生南国”是陈述句，所述事件在唐代是事实，所以本句是命题，且是真命题；“春来发几枝”是疑问句，“愿君多采撷”是祈使句，“此物最相思”是感叹句，都不是命题.故选A. 2.答案：B 解析：选项A，C，D中，分别有“存在”“至少”“”，所以选项A，C，D都为存在量词命题.选项B：因为有“每个”这样的全称量词，所以选项B中的命题为全称量词命题. 3.答案：B 解析：“，”为假命题，等价于“方程无实根”，即，解得. 4.答案：A 解析：“对任意，都有”为对应的全称量词命题.故选A. 5.答案：C 解析：正四棱柱是底面为正方形，且侧棱垂直于底面的棱柱，不一定是正方体，也可能是长方体，故A错误； 圆锥的轴截面是三角形，故B错误； 一个棱柱至少有5个面，故C正确； 正三棱锥的所有侧面都是全等的等腰三角形，底面是等边三角形，故D错误. 故选：C. 6.答案：D 解析：是真命题意味着为真，则q为假（乙没得第二名）且r为真（丙得第三名）;是真命题，由于q为假，只能p为真（甲得第一名），这与为假命题相吻合;由于还有其他三名队员参赛，只能肯定其他队员得第二名，乙没得第二名。故选D。 7.答案：A 解析：因为，所以，根据子集的定义可知，，.故选A. 8.答案：C 解析：对于①：可得，①正确； 对于②：可得，②正确； 对于③：则或，③错误； 对于④：可得，④正确. 故选：C. 9.答案：ABD 解析：由题意知：p是存在量词命题，q是全称量词命题，A，B正确； 因为等腰三角形是轴对称图形，所以p是真命题，C错误； 因为有些梯形（例如直角梯形）的对角线不相等，所以q是假命题，是真命题，D正确. 故选：ABD 10.答案： 解析：由p为真命题知，. 学科网（北京）股份有限公司 $$