第一章 第6课时 矩形的性质与判定（三）-【教与学·学导练】2025-2026学年九年级上册数学同步课件（北师大版）

数学 九年级 全一册 配北师大版 返回目录 教与学 学导练 数学 九年级 全一册 配北师大版 第一章 特殊平形四边形 第6课时　矩形的性质与判定（三） 返回目录 教与学 学导练 数学 九年级 全一册 配北师大版 01 温故知新 02 知识重点 03 对点范例 目 录 CONTENTS 04 课本母题 05 母题变式 06 创新设计 返回目录 教与学 学导练 数学 九年级 全一册 配北师大版 　　　　　　　　　　　　　　　　　 1. 如图S1－6－1，在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O， ∠ACB＝30°，则∠AOB的大小为（　B　） 图S1－6－1 B 温故知新 A. 30° B. 60° C. 90° D. 120° 返回目录 教与学 学导练 数学 九年级 全一册 配北师大版 2. 如图S1－6－2，▱ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，OA＝ 3.若要使▱ABCD为矩形，则OB的长度为（　B　） 图S1－6－2 B A. 4 B. 3 C. 2 D. 1 返回目录 教与学 学导练 数学 九年级 全一册 配北师大版 　　　　　　　　　　　　　　　　　 矩形的性质与判定综合应用 （1）矩形的四个角都是 ⁠； （2）矩形的对角线 ⁠； （3）有三个角是 的四边形是矩形； 直角　 相等　 直角　 知识重点 （4）对角线 的平行四边形是矩形； （5）有一个角是 的平行四边形是矩形. 　　　　　　　　　　　　　　　　　 相等　 直角　 返回目录 教与学 学导练 数学 九年级 全一册 配北师大版 3. 如图S1－6－3，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠D＝90°，E为 边BC上一点，且EC＝AD，连接AC，AE. （1）求证：四边形AECD是矩形； （1）证明：∵AD∥BC，EC＝AD， ∴四边形AECD是平行四边形. 又∵∠D＝90°， ∴四边形AECD是矩形. 对点范例 图S1－6－3 返回目录 教与学 学导练 数学 九年级 全一册 配北师大版 （2）若AC平分∠DAB，AB＝5，EC＝2，求AE的长. 　　　　　　　　　　　　　　　　　 （2）解：∵AC平分∠DAB， ∴∠BAC＝∠DAC. ∵AD∥BC，∴∠DAC＝∠ACB. ∴∠BAC＝∠ACB. ∴BC＝AB＝5. ∵EC＝2，∴BE＝BC－EC＝3. ∵四边形AECD是矩形， ∴∠AEC＝90°.∴∠AEB＝90°. 在Rt△ABE中，由勾股定理，得 AE＝＝＝4. 图S1－6－3 返回目录 教与学 学导练 数学 九年级 全一册 配北师大版 【例1】（课本P16例3改编）如图S1－6－4，在矩形ABCD中，对 角线AC与BD相交于点O，过点A作AE⊥BD，垂足为E，已知AD＝ 4，EB＝OB，求AE的长. 课本母题 知识点1：矩形相关角度与边长的计算 图S1－6－4 思路点拨：在矩形ABCD中，AE⊥BD，EB＝OB，易证得△OAB是等边三角形，继而求得∠ABO的度数，再求出∠ADE的度数，又由AD＝4，即可求得AE的长. 　　　　　　　　　　　　　　　　　 返回目录 教与学 学导练 数学 九年级 全一册 配北师大版 解：在矩形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O， ∴AC＝BD，OA＝AC，OB＝BD. ∴OA＝OB. ∵EB＝OB，AE⊥BD， ∴OA＝AB. ∴OA＝AB＝OB. ∴△OAB是等边三角形.∴∠ABO＝60°. 在矩形ABCD中，∠BAD＝90°， ∴∠ADB＝90°－∠ABO＝30°. 在Rt△AED中，∠AED＝90°，∠ADE＝30°，AD＝4， ∴AE＝AD＝2. 图S1－6－4 返回目录 教与学 学导练 数学 九年级 全一册 配北师大版 4. （课本P19习题第2题）如图S1－6－5，在矩形ABCD中，对角 线AC与BD相交于点O，过点A作BD的垂线，垂足为E. 已知∠EAD ＝3∠BAE，求∠EAO的度数. 图S1－6－5 母题变式 返回目录 教与学 学导练 数学 九年级 全一册 配北师大版 解：在矩形ABCD中，∠BAD＝90°， ∴∠BAE＋∠EAD＝90°. ∵∠EAD＝3∠BAE， ∴∠BAE＋3∠BAE＝90°，即4∠BAE＝90°. ∴∠BAE＝22.5°. ∵AE⊥BD，∴∠AEB＝90°. ∴∠ABE＝90°－∠BAE＝67.5°. 在矩形ABCD中，AC＝BD，OA＝AC，OB＝BD， ∴OA＝OB. ∴∠OAB＝∠ABE＝67.5°. ∴∠EAO＝∠OAB－∠BAE＝67.5°－22.5°＝45°. 图S1－6－5 返回目录 教与学 学导练 数学 九年级 全一册 配北师大版 知识点2：矩形的性质与判定综合运用 【例2】（课本P17例4改编）如图S1－6－6，在△ABC中，AB＝ AC，AD是边BC的中线，AN为△ABC的外角∠CAM的平分线， CE⊥AN于点E，连接DE交AC于点F. 课本母题 图S1－6－6 思路点拨：（1）有三个角是直角的四边形是矩形； 　　　　　　　　　　　　　　　　　 （1）求证：四边形ADCE为矩形； 返回目录 教与学 学导练 数学 九年级 全一册 配北师大版 （1）证明：在△ABC中， AB＝AC，AD是边BC的中线， ∴AD⊥BC，∠BAD＝∠CAD. ∴∠ADC＝90°. ∵AN为△ABC的外角∠CAM的平分线， ∴∠MAN＝∠CAN. ∵∠BAC＋∠CAM＝180°， ∴∠CAD＋∠CAN＝∠BAC＋∠CAM＝90°， 即∠DAE＝90°. ∵CE⊥AN，∴∠AEC＝90°. ∴四边形ADCE为矩形. 图S1－6－6 返回目录 教与学 学导练 数学 九年级 全一册 配北师大版 （2）线段DF与AB有怎样的关系？证明你的结论. （2）解：DF∥AB，DF＝AB. 证明：∵四边形ADCE为矩形， ∴AF＝CF. 又∵BD＝CD， ∴DF是△ABC的中位线. ∴DF∥AB，DF＝AB. 图S1－6－6 思路点拨：（2）根据矩形ADCE的性质和△ABC中位线的性质，即可得到它们的位置和数量关系. 　　　　　　　　　　　　　　　　　 返回目录 教与学 学导练 数学 九年级 全一册 配北师大版 5. 如图S1－6－7，在△ABC中，AB＝AC，AD是边BC的中线，AG 平分△ABC的外角∠BAF，BE⊥AG，垂足为E. （1）求证：四边形ADBE是矩形； 母题变式 图S1－6－7 返回目录 教与学 学导练 数学 九年级 全一册 配北师大版 图S1－6－7 （1）证明：在△ABC中，AB＝AC，AD是边 BC的中线， ∴AD⊥BC，∠BAD＝∠CAD. ∴∠ADB＝90°. ∵AG平分△ABC的外角∠BAF， ∴∠BAE＝∠FAE. ∵∠BAC＋∠BAF＝180°， ∴∠BAD＋∠BAE＝∠BAC＋∠BAF＝90°， 即∠DAE＝90°. ∵BE⊥AG，∴∠AEB＝90°. ∴四边形ADBE是矩形. 返回目录 教与学 学导练 数学 九年级 全一册 配北师大版 （2）连接DE，交AB于点O，若BC＝8，AO＝，求△ABC的面积. （2）解：∵AD是边BC的中线，BC＝8， ∴BD＝CD＝BC＝4. ∵四边形ADBE是矩形，AO＝， ∴AB＝2AO＝5. 由（1）知∠ADB＝90°， ∴AD＝＝＝3. ∴△ABC的面积为BC·AD＝×8×3＝12. 图S1－6－7 返回目录 教与学 学导练 数学 九年级 全一册 配北师大版 6. （创新题）如图S1－6－8，在矩形ABCD中，AB＝3，AD＝4， P是AD上不与点A和点D重合的一个动点，过点P分别作AC和BD的 垂线，垂足为E，F. 求PE＋PF的值. 图S1－6－8 创新设计 返回目录 教与学 学导练 数学 九年级 全一册 配北师大版 解：如答图S1－6－1，连接OP. 在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝AD＝4， ∴＝AB·AD＝12，OA＝OC， OB＝OD，AC＝BD，AC＝＝5. ∴OA＝OD＝. 答图S1－6－1 返回目录 教与学 学导练 数学 九年级 全一册 配北师大版 ∴＝＋ ＝OA·PE＋OD·PF ＝OA·（PE＋PF） ＝××（PE＋PF） ＝（PE＋PF）. 又∵S△AOD＝S矩形ABCD＝3， ∴（PE＋PF）＝3. ∴PE＋PF＝. 　　　　　　　　　　　　　　　　　 答图S1－6－1 返回目录 教与学 学导练 数学 九年级 全一册 配北师大版 7. （创新变式）如图S1－6－9，矩形ABCD中，AD＝3，AB＝4， M为线段BD上一动点，MP⊥CD于点P，MQ⊥BC于点Q，求PQ的 最小值. 图S1－6－9 返回目录 教与学 学导练 数学 九年级 全一册 配北师大版 解：如答图S1－6－2，连接CM. ∵MP⊥CD于点P，MQ⊥BC于点Q， ∴∠CPM＝∠CQM＝90°. ∵四边形ABCD是矩形， ∴BC＝AD＝3，CD＝AB＝4，∠BCD＝90°. ∴四边形PCQM是矩形. ∴PQ＝CM. 在Rt△BCD中，由勾股定理，得 BD＝＝＝5. 答图S1－6－2 返回目录 教与学 学导练 数学 九年级 全一册 配北师大版 当CM⊥BD时，CM的值最小，则PQ的值最小. ∵＝BD·CM＝BC·CD， ∴CM＝＝＝. ∴PQ的最小值为. 答图S1－6－2 返回目录 教与学 学导练 数学 九年级 全一册 配北师大版 谢 谢 ! 返回目录 教与学 学导练 数学 九年级 全一册 配北师大版 $$