第一章 第5课时 矩形的性质与判定（二）-【教与学·学导练】2025-2026学年九年级上册数学同步课件（北师大版）

数学 九年级 全一册 配北师大版 返回目录 教与学 学导练 数学 九年级 全一册 配北师大版 第一章 特殊平形四边形 第5课时　矩形的性质与判定（二） 返回目录 教与学 学导练 数学 九年级 全一册 配北师大版 01 温故知新 02 知识重点 03 对点范例 目 录 CONTENTS 04 课本母题 05 母题变式 06 创新设计 返回目录 教与学 学导练 数学 九年级 全一册 配北师大版 1. 如图S1－5－1，在矩形ABCD中，已知AE⊥BD于点E，∠BDC ＝60°，BE＝1，则AD的长为（　B　） 图S1－5－1 A. 3 B. 2 C. 2 D. 　　　　　　　　　　　　　　　　　 B 温故知新 返回目录 教与学 学导练 数学 九年级 全一册 配北师大版 2. 如图S1－5－2，在Rt△ABC中，D是边AB的中点.若∠A＝ 20°，则∠DCA 的度数为（　B　） 图S1－5－2 B A. 10° B. 20° C. 30° D. 40° 返回目录 教与学 学导练 数学 九年级 全一册 配北师大版 　　A. 对角线 的平行四边形是矩形. 　　　　　　　　　　　　　　　　　 相等　 知识重点 返回目录 教与学 学导练 数学 九年级 全一册 配北师大版 3. 如图S1－5－3，在▱ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，AC ＝3.若要使▱ABCD为矩形，则BD的长度为（　B　） A. 4 　　　B. 3 C. 2 　　　D. 1 B 图S1－5－3 对点范例 返回目录 教与学 学导练 数学 九年级 全一册 配北师大版 知识重点 　　B. 有三个角是 的四边形是矩形. 　　　　　　　　　　　　　　　　　 直角　 返回目录 教与学 学导练 数学 九年级 全一册 配北师大版 4. 如图S1－5－4，在△ABC中，∠A＝90°，DE⊥AB于点E， DF⊥AC于点F，则以下说法正确的是（　C　） 图S1－5－4 C 对点范例 A. 四边形AEDF是一般平行四边形 B. 四边形AEDF是菱形 C. 四边形AEDF是矩形 D. 四边形AEDF是正方形 返回目录 教与学 学导练 数学 九年级 全一册 配北师大版 　　　　　　　　　　　　　　　　　 知识点1：矩形的判定（定义） 【例1】（课本P16随堂练习）已知：如图S1－5－5，在▱ABCD 中，M是AD边的中点，且MB＝MC. 求证：四边形ABCD是矩形. 课本母题 图S1－5－5 思路点拨：有一个角是直角的平行四边形是矩形. 　　　　　　　　　　　　　　　　　 返回目录 教与学 学导练 数学 九年级 全一册 配北师大版 证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB＝CD，AB∥CD. ∵M是AD的中点，∴AM＝DM. 在△ABM和△DCM中， ∴△ABM≌△DCM（SSS）.∴∠A＝∠D. ∵AB∥CD， ∴∠A＋∠D＝180°，即2∠A＝180°. ∴∠A＝90°.∴四边形ABCD是矩形. 图S1－5－5 返回目录 教与学 学导练 数学 九年级 全一册 配北师大版 5. （课本P19习题改编）如图S1－5－6，在△ABC中，AB＝AC， D，E分别为BC，AC的中点，连接DE并延长至点F，使得EF＝ DE，连接AD，AF，CF. 求证：四边形ADCF是矩形. 图S1－5－6 母题变式 返回目录 教与学 学导练 数学 九年级 全一册 配北师大版 证明：∵E为AC的中点， ∴AE＝CE. 又∵EF＝DE， ∴四边形ADCF是平行四边形. ∵AB＝AC，D为BC的中点， ∴AD⊥BC. ∴∠ADC＝90°. ∴四边形ADCF是矩形. 图S1－5－6 返回目录 教与学 学导练 数学 九年级 全一册 配北师大版 【例2】如图S1－5－7，在△ABC中，D是AB的中点，E是BC的中 点，DF⊥AC于点F，EG⊥AC于点G. 求证：四边形DEGF是矩形. 图S1－5－7 课本母题 知识点2：矩形的判定（三个角是直角） 思路点拨：有三个角是直角的四边形是矩形. 返回目录 教与学 学导练 数学 九年级 全一册 配北师大版 证明：∵DF⊥AC，EG⊥AC， ∴∠DFG＝∠EGF＝90°. ∵D是AB的中点，E是BC的中点， ∴DE是△ABC的中位线. ∴DE∥AC. ∴∠FDE＝180°－∠DFG＝90°. ∴∠DFG＝∠EGF＝∠FDE＝90°. ∴四边形DEGF是矩形. 图S1－5－7 返回目录 教与学 学导练 数学 九年级 全一册 配北师大版 6. 如图S1－5－8，O是线段AB上的一点，OA＝OC，OD平分 ∠AOC，且OD交AC于点D，OF平分∠COB，CF⊥OF于点F. 求 证：四边形CDOF是矩形. 图S1－5－8 母题变式 返回目录 教与学 学导练 数学 九年级 全一册 配北师大版 证明：∵OD平分∠AOC，OF平分∠COB， ∴∠AOC＝2∠COD，∠COB＝2∠COF. ∵∠AOC＋∠COB＝180°， ∴2∠COD＋2∠COF＝180°. ∴∠COD＋∠COF＝90°，即∠DOF＝90°. ∵OA＝OC，OD平分∠AOC， ∴OD⊥AC. ∴∠CDO＝90°. ∵CF⊥OF，∴∠CFO＝90°. ∴∠DOF＝∠CDO＝∠CFO＝90°. ∴四边形CDOF是矩形. 图S1－5－8 返回目录 教与学 学导练 数学 九年级 全一册 配北师大版 知识点3：矩形的判定（对角线相等＋平行四边形） 【例3】（课本P16习题第2题）如图S1－5－9，点B在MN上，过 AB的中点O作MN的平行线，分别交∠ABM的平分线和∠ABN的平 分线于点C，D. 试判断四边形ACBD的形状，并证明你的结论. 图S1－5－9 课本母题 思路点拨：对角线相等的平行四边形是矩形. 返回目录 教与学 学导练 数学 九年级 全一册 配北师大版 解：四边形ACBD是矩形.证明：∵CD∥MN， ∴∠OCB＝∠CBM. ∵BC平分∠ABM， ∴∠OBC＝∠CBM. ∴∠OCB＝∠OBC. ∴OC＝OB. 同理可得OB＝OD. ∴OB＝OC＝OD. ∵O是AB的中点，∴OA＝OB. ∴四边形ACBD是平行四边形. 又∵OA＋OB＝OC＋OD，即AB＝CD， ∴四边形ACBD是矩形. 图S1－5－9 返回目录 教与学 学导练 数学 九年级 全一册 配北师大版 7. 如图S1－5－10，在▱ABCD中，M，N是BD上的两点，且BM ＝DN，AC＝2OM. 求证：四边形AMCN是矩形. 图S1－5－10 母题变式 证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴OA＝OC，OB＝OD. ∵BM＝DN，∴OB－BM＝OD－DN， 即OM＝ON. ∴四边形AMCN是平行四边形. ∵AC＝2OM，MN＝2OM， ∴AC＝MN. ∴四边形AMCN是矩形. 返回目录 教与学 学导练 数学 九年级 全一册 配北师大版 8. （创新题）如图S1－5－11，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠B ＝90°，AB＝14 cm，AD＝21 cm，BC＝24 cm.点P从点A出发， 以1 cm/s的速度向点D运动，点Q从点C出发，以2 cm/s的速度向点 B同时运动.规定其中一个动点到达终点时，另一个动点也随之停 止运动.设点P运动的时间为t s. （1）若点P和点Q同时运动了7 s，PQ与CD 有什么数量关系？并说明理由； 创新设计 图S1－5－11 返回目录 教与学 学导练 数学 九年级 全一册 配北师大版 解：（1）PQ＝CD. 理由：由题意，得AP＝t cm，CQ＝2t cm. ∴DP＝AD－AP＝（21－t） cm， BQ＝BC－CQ＝（24－2t） cm. 当t＝7时，DP＝21－t＝14（cm）， CQ＝2t＝14（cm），∴DP＝CQ. 又∵AD∥BC，即DP∥CQ， ∴四边形DPQC是平行四边形. ∴PQ＝CD. 图S1－5－11 返回目录 教与学 学导练 数学 九年级 全一册 配北师大版 （2）在整个运动过程中是否存在t值，使得四边形ABQP是矩形？ 若存在，请求出t值；若不存在，请说明理由. 解：（2）存在. 在四边形ABCD中，AD∥BC，∠B＝90°， ∴当AP＝BQ时，四边形ABQP是矩形. ∴t＝24－2t.解得t＝8. ∴当t＝8时，四边形ABQP是矩形. 图S1－5－11 返回目录 教与学 学导练 数学 九年级 全一册 配北师大版 谢 谢 ! 返回目录 教与学 学导练 数学 九年级 全一册 配北师大版 $$