精品解析：2025—2026学年九年级上学期人教版数学开学考试押题试卷

人教版2025—2026学年九年级上册数学开学考试押题试卷 考生注意：本试卷共三道大题，25道小题，满分120分，时量120分钟 注意事项： 1．本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分．笞卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上． 2．回答第I卷时，选出每小题答案后，把答案填写在答题卡上对应题目的位置，填空题填写在答题卡相应的位置写在本试卷上无效． 3．回答第II卷时，将答案写在第II卷答题卡上． 4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 第I卷 一、选择题（每题只有一个正确选项，每小题3分，满分30分） 1. 下列各式中，属于最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据最简二次根式的定义判断即可． 本题考查了最简二次根式，熟练掌握定义是解题的关键． 【详解】解：A. ，是最简二次根式，符合题意； B. ，不符合题意； C. ，不符合题意； D. ，不符合题意； 故选：A． 2. 下列各组数据中的三个数作为三角形的边长，其中能构成直角三角形的是（ ） A. ，2， B. 2，3，4 C. 6，7， 8 D. 3，4，5 【答案】D 【解析】 【分析】欲判断是否是直角三角形，则需满足较小两边平方的和等于最大边的平方． 【详解】解：A、∵（）2+22=7≠（）2=5，故不是直角三角形，不合题意； B、22+32≠42，故不是直角三角形，不合题意； C、62+72≠82，故不是直角三角形，不合题意； D、32+42=52，故是直角三角形，符合题意； 故选：D． 【点睛】此题主要考查了勾股定理逆定理，关键是掌握如果三角形的三边长a，b，c满足a2+b2=c2，那么这个三角形就是直角三角形． 3. 某班8名同学垫排球的测试成绩（单位：个）分别为：，，，，，，，，则这组数据的众数是（　　） A. 25 B. 26 C. 27 D. 30 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了众数的定义：一组数据中出现次数最多的数据叫做众数，它反映了一组数据的多数水平，一组数据的众数可能不是唯一的．利用众数的定义求解，找出数据中出现次数最多的数据即可． 【详解】解：在所给数据中，数据出现了三次，次数最多， 故众数为． 故选：B． 4. 一次函数的图像与轴的交点坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了一次函数与y轴的交点坐标，掌握一次函数与y轴交点的横坐标为零是解题的关键． 把代入一次函数求得y的值即可解答． 【详解】解：把代入一次函数可得：． 所以一次函数图像与轴的交点坐标为． 故选B． 5. 某班对一小组7名男生一分钟垫排球的个数进行统计，整理数据后发现26，27，2■，31，32，38，39中第三个数的个位数字被涂污看不清楚了，则下列统计量中与被涂污数字无关的是（ ） A. 平均数 B. 方差 C. 中位数 D. 众数 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查平均数，众数，中位数和方差，根据相关数据的确定方法，进行判断即可． 【详解】解：将数据排序后，排在中间一位的是31，故中位数为31，与被涂污数字无关，平均数，方差和众数都受到被涂污数字的影响； 故选C． 6. 下列图象中，不能表示y是x的函数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】此题考查的是函数的定义，掌握自变量确定时，函数值的唯一性是解题的关键．根据函数的定义：对于x的每一个取值，y都有唯一确定的值与之对应，即可判断出哪个选项不能表示y是x的函数． 【详解】A、满足对于x的每一个取值，y都有唯一确定的值与之对应，故A不符合题意； B、满足对于x的每一个取值，y都有唯一确定的值与之对应，故B不符合题意； C、满足对于x的每一个取值，y都有唯一确定的值与之对应，故C不符合题意； D、不满足对于x的每一个取值，y都有唯一确定的值与之对应，故D符合题意； 故选：D． 7. 下面四个命题，其中真命题是（ ） A. 矩形的对角线互相垂直 B. 两组对角分别相等的四边形是平行四边形 C. 菱形的对角线相等且互相垂直 D. 对角线互相垂直且相等的四边形是正方形 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查考查命题与定理知识，特殊四边形的判定与性质，需逐一分析各选项是否符合对应图形的定义或判定条件． 【详解】解：A. 矩形的对角线相等且互相平分，但互相垂直仅当矩形为正方形时成立，故A为假命题； B. 根据平行四边形的判定定理，两组对角分别相等的四边形必为平行四边形（可通过内角和与平行线性质推导对边平行），故B为真命题； C. 菱形的对角线互相垂直且平分，但长度相等仅当菱形为正方形时成立，故C为假命题； D. 对角线垂直且相等的四边形不一定是正方形，例如可构造满足条件但四边长度不等的四边形，故D为假命题． 故选：B． 8. 如图，一次函数与一次函数的图象交于点，则关于x 的不等式的解集是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了一次函数与一元一次不等式：用函数图象，写出一次函数的图象在一次函数的图象上方所对应的自变量的范围即可． 【详解】解：根据图象得，当时，， 即：关于x的不等式的解集为． 故选C． 9. 如图，在正方形中，，E，F分别为边的中点，连接，点G，H分别为的中点，连接，则的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】连接，延长交于M，连接，由正方形推出，，，证明，得到，，根据三角形中位线定理得到，由勾股定理求出即可得到． 【详解】解：连接，延长交于M，连接， ∵四边形是正方形， ∴，，， ∴，， ∵G为的中点， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵点H为的中点， ∴ ∵F为的中点， ∴ ∴， ∴ 故选：C． 【点睛】本题主要考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，三角形的中位线定理等知识，正确作出辅助线，证出是解决问题的关键． 10. 如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴、y轴分别交于A，B两点，点C由点A沿x轴向右运动，连接，点D为的中点，在点C运动过程中，长的最小值为（ ） A. 2 B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据一次函数与x轴、y轴分别交于A，B两点即可求出A、B点的坐标，延长到，使，连接，求出，分析出当时，长最小，此时长最小，证明，即可求出，进而得出． 【详解】解：直线与x轴、y轴分别交于A，B两点， 当时，；当时，， ∴， ∴， 延长到，使，连接， 点D为的中点， 是的中位线， ， 当时，长最小，此时长最小， ∵， ∴， ∴， ∴， 故选：B． 【点睛】本题考查了一次函数与坐标轴的交点问题，垂线段最短以及垂直平分线的性质，勾股定理等知识．掌握时，的长最小是解题的关键． 二、填空题（6小题，每题3分，共18分） 11. 将直线平移后经过点（2，），则平移后的直线解析式为______________． 【答案】y=2x﹣3 【解析】 【详解】解：设平移后直线的解析式为y=2x+b． 把（2，1）代入直线解析式得1=2×2+b，解得 b=﹣3． 所以平移后直线的解析式为y=2x﹣3． 故答案是y=2x﹣3． 12. 当时，化简的结果是_____． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查了绝对值和二次根式的性质，根据绝对值和二次根式的性质化简即可，掌握相关知识是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， 故答案：． 13. 直线上有两点和，则与的大小关系是______（填“”，“”或“”）． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一次函数的性质，在一次函数中，当时，随着的增大而增大；当时，随着的增大而减小，据此判断即可求解，掌握一次函数的性质是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴随着的增大而减小， ∵， ∴， 故答案为：． 14. 李老师准备选一名同学代表班级参加“计算挑战赛”，对甲、乙、丙、丁四位同学最近五次的计算测试成绩统计如右表．如果按照成绩优异且发挥稳定的标准，则应选___________同学． 类别 甲 乙 丙 丁 平均分 90 93 98 98 方差 2 2 【答案】丁 【解析】 【分析】本题主要考查方差，方差是反映一组数据的波动大小的一个量．方差越大，则平均值的离散程度越大，稳定性也越差；反之，则它与其平均值的离散程度越小，稳定性越好． 此题有两个要求：①成绩较好，②状态稳定．于是应选平均数大、方差小的运动员参赛． 【详解】解：由表知四位同学中丙、丁的平均成绩较好， 又丁的方差小于丙， 所以丁的成绩好且稳定， 故答案为：丁． 15. 如图，在中，，点P是边上的一个动点，于点M，于点N，则的最小值为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查勾股定理，矩形的判定和性质．熟练掌握矩形的对角线相等，垂线段最短，是解题的关键． 连接，易证四边形为矩形，得到，进而得到最小时，最小，根据垂线段最短，得到时，最小，等积法进行计算即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵于点M，于点N，， ∴四边形为矩形， 连接，则：， ∴最小时，最小， ∵垂线段最短， ∴时，最小， ∴，即：， ∴， ∴的最小值为； 故答案为：． 16. 如图，“赵爽弦图”由4个完全一样的直角三角形所围成，在Rt△ABC中，AC＝b，BC＝a，∠ACB＝90°，若图中大正方形的面积为60，小正方形的面积为10，则（a+b）2的值为______． 【答案】110 【解析】 【分析】根据图形表示出小正方形的边长为（b﹣a），再根据四个直角三角形的面积等于大正方形的面积减去小正方形的面积求出2ab，然后利用完全平方公式整理即可得解． 【详解】解：由图可知，（b﹣a）2＝10，4ab＝60﹣10＝50， ∴2ab＝50， ∴（a+b）2＝（b﹣a）2+4ab＝10+2×50＝110． 故答案为：110 【点睛】本题考查了勾股定理的证明，完全平方公式的应用，仔细观察图形利用小正方形的面积和直角三角形的面积得到两个等式是解题的关键． 第II卷 三、解答题解答题（17、18、19题每题6分，20、21每题8分，22、23每题9分，24、25每题10分，共计72分，解答题要有必要的文字说明） 17. 计算： 【答案】． 【解析】 【分析】本题考查了实数的混合运算，根据立方根的定义，二次根式的性质，负整数指数幂的性质、零指数幂的性质依次计算后，再合并即可求解，熟练掌握相关运算法则是解题的关键． 【详解】解：原式 ． 18. 已知a＝2＋，b＝2－，试求的值． 【答案】8 【解析】 【分析】先化简，再把a、b的值代入计算即可． 【详解】∵ a＝2＋，b＝2－， ∴a＋b＝4，a－b＝2，ab＝1， 而＝ ∴＝＝＝8. 19. 已知一次函数． （1）若y是x的正比例函数，求k的值； （2）若该函数图像过点，求一次函数的解析式． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了待定系数法求一次函数的解析式及正比例函数的定义； （1）根据正比例函数的定义求解； （2）根据待定系数法求解． 【小问1详解】 由题意得：且， 解得：； 【小问2详解】 由题意得：且， 解得：， 次函数的解析式为． 20. 如图，在中，D是上任意一点，连结，若，，， （1）证明：是直角三角形； （2）求长． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）根据，，，利用勾股定理的逆定理证明是直角三角形，即可求解； （2）在中利用勾股定理即可求出CD的长，进而可得出结论． 此题主要考查了勾股定理和勾股定理的逆定理，解答此题的关键是利用勾股定理的逆定理求证是直角三角形． 【小问1详解】 证明：，，， ， 是直角三角形； 【小问2详解】 解：是直角三角形，， ， 21. AI的迅猛发展在多个领域影响着我们的生活．某校七、八年级利用课余时间举办了人工智能知识竞赛活动，并从七、八年级各随机抽取了10名学生代表的成绩（满分：5分）进行了整理、描述和分析，相关信息如下． a：七年级10名学生代表成绩的中位数和众数相同，且每个得分的人数均不少于1人． b：七年级10名学生代表成绩的条形统计图（尚不完整），八年级名学生代表成绩的扇形统计图及七、八年级学生代表成绩的平均数与方差对比表格如下： 七、八年级学生代表成绩的平均数与方差 平均数 方差 七年级 八年级 请根据以上信息，解答下列问题． （1）学生代表成绩比较整齐的是______年级．（填“七”或“八”） （2）补全条形统计图． （3）若共600名学生参与竞赛，根据七年级和八年级学生代表的成绩，请估计参与竞赛的学生的成绩不低于4分的人数． 【答案】（1）七 （2）见解析 （3）人 【解析】 【分析】本题考查的是条形统计图，扇形统计图，中位数，众数，方差和用样本估计总体，读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小． （1）根据方差的意义判断即可； （2）根据七年级10名学生代表成绩的中位数和众数相同，且每个得分的人数均不少于1人，求出2分和3分的人数，即可补全条形统计图； （3）用400乘以参与竞赛的学生的成绩不低于4分的人数所占的百分比即可． 【小问1详解】 解：， 学生代表成绩比较整齐的是七年级； 故答案为：七； 【小问2详解】 解：七年级10名学生代表成绩的中位数和众数相同，且每个得分的人数均不少于1人， 分和3分的人数分别有1人和4人， 补全条形统计图如下： 【小问3详解】 解：抽取的八年级学生的成绩不低于4分的人数有人， （人）， 答：估计参与竞赛的学生的成绩不低于4分的人数有人． 22. 理论源于实践，理论指导实践．请你阅读以下案例，尝试用所学知识解决实际问题． 东区有肥料，西区有肥料．现要把这些肥料全部运往南，北两区，从东区往南，北两区运肥料的费用分别为30元/t和35元/t；从西区往南、北两区运肥料的费用分别为24元/和32元/．已知南区需要肥料，北区需要肥料． （1）设从东区往南区运吨肥料，则从东区往北区运__________吨肥料，从西区往南区运_______吨肥料，从西区往北区运__________吨肥料；（用含的式子表示，并化简结果） （2）的取值范围是______________； （3）设调运的总运费为元，求关于的函数解析式以及调运总费用最少的方案． 【答案】（1）；；； （2） （3），从东区城运往南区0吨，运往北区250吨；从西区运往南区280吨，运往北区70吨，此时总运费最少，最少的运输费用是元． 【解析】 【分析】此题考查了一次函数的应用、一元一次不等式组的应用，根据已知得出城和城运往各地的肥料吨数是解题的关键． （1）根据题意列表，列代数式即可得出结果； （2）由运量不能为负数，建立不等式组，即可求解； （3）根据题意得总费用与之间的函数关系式，再利用一次函数的增减性即可求解； 小问1详解】 解：设从东区往南区运吨肥料，分析列表如下（单位：吨）： 东区 西区 合计 南区 北区 合计 ∴从东区往北区运吨肥料，从西区往南区运吨肥料，从西区往北区运吨肥料； 故答案为：；；； 【小问2详解】 解：根据题意得： ， 解得：； 故答案：； 【小问3详解】 解：由题意可得： 整理得： ∵，随的增大而增大，， ∴当时，， ∴从东区城运往南区0吨，运往北区250吨；从西区运往南区280吨，运往北区70吨，此时总运费最少，最少的运输费用是元． 23. 如图，矩形中，点在上，连接、，将矩形沿直线翻折，点A恰好落在上的点处． （1）求证：； （2）若，求的长． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】本题考查了图形的翻折，全等三角形的判定与性质以及勾股定理求解边长，根据翻折前后边长不变，使用勾股定理可求解边长的长度是解决本题的关键． （1）由图形的翻折可得对应边长相等与对应角度相等，再根据角角边的证明方法即可证明与全等． （2）在直角使用勾股定理可求解边长的长度，再由即可求解． 【小问1详解】 证明：四边形是矩形， ， ， ， 由翻折得， ， 在和中， ， ． 【小问2详解】 解：， ， ， ， 在直角中， ， ， 即， 解得， ． 24. 如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴交于点A，与y轴交于点B，与直线交于点． （1）求直线的表达式； （2）点D为x轴正半轴上一点，过点D作x轴的垂线，与直线，分别交于点E，F，当时，求点D的坐标； （3）点M为线段上一点，点N为x轴上方的平面内一点．若以O，B，M，N为顶点的四边形是菱形，写出所有符合条件的点N的坐标，并说明理由． 【答案】（1）直线的表达式为 （2）点D的坐标为或 （3）N的坐标为或，见解析 【解析】 【分析】本题考查一次函数综合应用，涉及待定系数法，菱形的判定与性质，解题的关键是分类讨论思想的应用； （1）求出，再代入即可得直线的表达式为； （2）设，其中，则，，可得，解得的值可得点的坐标为或； （3）分两种情况：当为边时，求出，设，由，得，解得的值得，即可得；当为对角线时，连接交轴于，由直线是线段的垂直平分线，求出，即可得． 【小问1详解】 解：把代入得：， ， 把代入得：， 解得， 直线的表达式为； 【小问2详解】 解：，其中，则，， ，， ， 解得或， 点的坐标为或； 【小问3详解】 解：为边时，如图： 由表达式得， 菱形的边长为， 设， ， ， 解得（舍去）或， ， 轴，， ； 当为对角线时，连接交轴于，如图： 四边形是菱形， 直线是线段的垂直平分线， ， 在中，令得， ， 是线段的垂直平分线， ， 综上所述，的坐标为或． 25. 如图1，在平面直角坐标系中，直线与x轴交于点，与y轴交于点B，直线与x轴交于点C，与y轴交于点D，，直线与直线交于点E，点E的纵坐标为． （1）求直线的解析式； （2）如图1，y轴上是否存在一点N，使，若存在，请直接写出符合条件的点N的坐标，若不存在，请说明理由． （3）如图2，点P为直线上一点，且在直线上方，连接，当时，求点P的坐标，此时在x轴上有一动点Q，连接、，求的最小值． 【答案】（1） （2）存在，N的坐标为； （3），的最小值为 【解析】 【分析】（1）确定，后利用待定系数法，建立方程组，求直线的解析式即可； （2）证明确定，解答即可． （3）设，根据面积关系求出；作点E关于x轴的对称点，连接FP交x轴于点Q，F，Q，P共线，此时最小，求出PF即可． 本题考查一次函数的图象及性质，熟练掌握一次函数的图象及性质，轴对称求最短距离，三角形全等的判定及性质是解题的关键． 【小问1详解】 解：设直线的解析式为， ， ，， 把，代入， 得：， 解得 直线的解析式为； 【小问2详解】 解：轴上存在一点N，使，理由如下： ，， ， ， ， ， 的坐标为； 【小问3详解】 解：由得：， 在中，令得：， ， 设直线的解析式为， 得：， 解得 直线的解析式为； 在中，令得， ， ， ， 设， ，， ， ， ， ， 解得， ； 作点E关于x轴的对称点，连接交x轴于点Q， ， ， ，Q，P共线， 此时最小， ，， ， 的最小值为 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 人教版2025—2026学年九年级上册数学开学考试押题试卷 考生注意：本试卷共三道大题，25道小题，满分120分，时量120分钟 注意事项： 1．本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分．笞卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上． 2．回答第I卷时，选出每小题答案后，把答案填写在答题卡上对应题目的位置，填空题填写在答题卡相应的位置写在本试卷上无效． 3．回答第II卷时，将答案写在第II卷答题卡上． 4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 第I卷 一、选择题（每题只有一个正确选项，每小题3分，满分30分） 1. 下列各式中，属于最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列各组数据中三个数作为三角形的边长，其中能构成直角三角形的是（ ） A. ，2， B. 2，3，4 C. 6，7， 8 D. 3，4，5 3. 某班8名同学垫排球的测试成绩（单位：个）分别为：，，，，，，，，则这组数据的众数是（　　） A. 25 B. 26 C. 27 D. 30 4. 一次函数的图像与轴的交点坐标为（ ） A. B. C. D. 5. 某班对一小组7名男生一分钟垫排球的个数进行统计，整理数据后发现26，27，2■，31，32，38，39中第三个数的个位数字被涂污看不清楚了，则下列统计量中与被涂污数字无关的是（ ） A. 平均数 B. 方差 C. 中位数 D. 众数 6. 下列图象中，不能表示y是x的函数的是（ ） A. B. C. D. 7. 下面四个命题，其中真命题是（ ） A. 矩形的对角线互相垂直 B. 两组对角分别相等的四边形是平行四边形 C. 菱形的对角线相等且互相垂直 D. 对角线互相垂直且相等的四边形是正方形 8. 如图，一次函数与一次函数的图象交于点，则关于x 的不等式的解集是（ ） A. B. C. D. 9. 如图，在正方形中，，E，F分别为边的中点，连接，点G，H分别为的中点，连接，则的长为（ ） A. B. C. D. 10. 如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴、y轴分别交于A，B两点，点C由点A沿x轴向右运动，连接，点D为的中点，在点C运动过程中，长的最小值为（ ） A. 2 B. C. D. 二、填空题（6小题，每题3分，共18分） 11. 将直线平移后经过点（2，），则平移后的直线解析式为______________． 12. 当时，化简结果是_____． 13. 直线上有两点和，则与的大小关系是______（填“”，“”或“”）． 14. 李老师准备选一名同学代表班级参加“计算挑战赛”，对甲、乙、丙、丁四位同学最近五次的计算测试成绩统计如右表．如果按照成绩优异且发挥稳定的标准，则应选___________同学． 类别 甲 乙 丙 丁 平均分 90 93 98 98 方差 2 2 15. 如图，在中，，点P是边上一个动点，于点M，于点N，则的最小值为______． 16. 如图，“赵爽弦图”由4个完全一样的直角三角形所围成，在Rt△ABC中，AC＝b，BC＝a，∠ACB＝90°，若图中大正方形的面积为60，小正方形的面积为10，则（a+b）2的值为______． 第II卷 三、解答题解答题（17、18、19题每题6分，20、21每题8分，22、23每题9分，24、25每题10分，共计72分，解答题要有必要的文字说明） 17. 计算： 18. 已知a＝2＋，b＝2－，试求的值． 19. 已知一次函数． （1）若y是x的正比例函数，求k的值； （2）若该函数图像过点，求一次函数的解析式． 20. 如图，在中，D是上任意一点，连结，若，，， （1）证明：是直角三角形； （2）求的长． 21. AI迅猛发展在多个领域影响着我们的生活．某校七、八年级利用课余时间举办了人工智能知识竞赛活动，并从七、八年级各随机抽取了10名学生代表的成绩（满分：5分）进行了整理、描述和分析，相关信息如下． a：七年级10名学生代表成绩中位数和众数相同，且每个得分的人数均不少于1人． b：七年级10名学生代表成绩的条形统计图（尚不完整），八年级名学生代表成绩的扇形统计图及七、八年级学生代表成绩的平均数与方差对比表格如下： 七、八年级学生代表成绩的平均数与方差 平均数 方差 七年级 八年级 请根据以上信息，解答下列问题． （1）学生代表成绩比较整齐的是______年级．（填“七”或“八”） （2）补全条形统计图． （3）若共600名学生参与竞赛，根据七年级和八年级学生代表的成绩，请估计参与竞赛的学生的成绩不低于4分的人数． 22. 理论源于实践，理论指导实践．请你阅读以下案例，尝试用所学知识解决实际问题． 东区有肥料，西区有肥料．现要把这些肥料全部运往南，北两区，从东区往南，北两区运肥料的费用分别为30元/t和35元/t；从西区往南、北两区运肥料的费用分别为24元/和32元/．已知南区需要肥料，北区需要肥料． （1）设从东区往南区运吨肥料，则从东区往北区运__________吨肥料，从西区往南区运_______吨肥料，从西区往北区运__________吨肥料；（用含的式子表示，并化简结果） （2）的取值范围是______________； （3）设调运的总运费为元，求关于的函数解析式以及调运总费用最少的方案． 23. 如图，矩形中，点在上，连接、，将矩形沿直线翻折，点A恰好落在上的点处． （1）求证：； （2）若，求的长． 24. 如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴交于点A，与y轴交于点B，与直线交于点． （1）求直线的表达式； （2）点D为x轴正半轴上一点，过点D作x轴的垂线，与直线，分别交于点E，F，当时，求点D的坐标； （3）点M为线段上一点，点N为x轴上方的平面内一点．若以O，B，M，N为顶点的四边形是菱形，写出所有符合条件的点N的坐标，并说明理由． 25. 如图1，在平面直角坐标系中，直线与x轴交于点，与y轴交于点B，直线与x轴交于点C，与y轴交于点D，，直线与直线交于点E，点E的纵坐标为． （1）求直线的解析式； （2）如图1，y轴上是否存在一点N，使，若存在，请直接写出符合条件的点N的坐标，若不存在，请说明理由． （3）如图2，点P为直线上一点，且在直线上方，连接，当时，求点P的坐标，此时在x轴上有一动点Q，连接、，求的最小值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $