第05讲 有理数的乘方（知识点+题型+强化训练） 2025-2026学年七年级数学上册同步讲义与测试（人教版2024）

第05讲 有理数的乘方（知识点+题型+强化训练） 目录 知识梳理 1.有理数乘方的意义 2.乘方的运算法则 3.有理数的混合运算 4.用科学记数法表示数 5.还原科学记数法表示的数 6.近似数 题型巩固 一、有理数幂的概念理解 二、有理数的乘方运算 三、有理数乘方逆运算 四、乘方运算的符号规律 五、乘方的应用 六、程序流程图与有理数计算 七、算“24”点 八、含乘方的有理数混合运算 九、计算器——有理数 十、用科学记数法表示绝对值大于1的数 十一、将用科学记数法表示的数变回原数 十二、求一个数的近似数 十三、求近似数的精确度 十四、近似数推断取值范围 强化训练 单选题（8） 填空题（6） 解答题（7） 知识梳理 知识点1.有理数乘方的意义 概念 示例 乘方 求n 个相同乘数的积的运算，叫作乘方 读作“ 的n 次方” 幂 乘方的结果叫作幂 底数和指数 n 中， 叫作底数，n叫作指数 指数n 是正整数，底数a可以是任意有理数. 知识拓展：(1)一个数可以看作这个数本身的1 次方. 例如，5 就是51， 就是，指数1 通常省略不写. 指数是2 时读作平方，指数是3 时读作立方. 例如，² 读作“ 的平方”，读作“ 的立方”. (2)乘方与幂不同，乘方是一种运算，幂是乘方的结果，乘方与幂的关系就如同乘法与积的关系. 知识点2.乘方的运算法则 1. 有理数乘方的运算法则 (1)负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数； (2)正数的任何次幂都是正数； (3)0 的任何正整数次幂都是0 . 2. 有理数的乘方运算 计算一个有理数的乘方时，应将乘方运算转化为乘法运算，先确定幂的符号，再计算幂的绝对值. 3., 和 的联系与区别： 区别 底数为，表示n个相乘的积 表示n 个 相乘的积的相反数 底数为-， 表示n个- 相乘的积 联系 当n 为奇数时，=，它们分别与 互为相反数； 当n 为偶数时，=，它们分别与- 互为相反数 4. 用计算器计算乘方 不同类型计算器的操作方法可能有所不同，使用教材中所示类型的计算器时，平方按 键，立方按 键，其他次方按键和指数的数字键. 知识点3.有理数的混合运算 1. 有理数运算的种类 有理数的混合运算包括加、减、乘、除、乘方与开方(将在以后学习到). 通常把六种基本的代数运算分为三级： 加与减是第一级运算； 乘与除是第二级运算； 乘方与开方是第三级运算. 2. 有理数混合运算的顺序 (1)先乘方，再乘除，最后加减； (2)同级运算，从左到右进行； (3)如有括号，先做括号内的运算，按小括号、中括号、大括号依次进行. 知识点4.用科学记数法表示数 1.科学记数法：把一个大于10的数表示成× 的形式(其中 大于或等于1，且小于10，n 是正整数)，使用的是科学记数法，对于小于－10的数也可以类似表示. 2. 科学记数法表示数的步骤 知识点5.还原科学记数法表示的数 特别警示：还原后原数的位数易出错，误认为10的n 次方，后面就有n 个0. 知识点6.近似数 1. 准确数：与实际完全符合的数，称为准确数. 2. 近似数：在许多情况下，较难取得准确数，或者不必使用准确数，把接近准确数但不等于准确数的数称为近似数. 3. 近似数的精确度：近似数的精确度是指近似数与准确数的接近程度. 一般地，一个近似数四舍五入到哪一位，就说这个近似数精确到哪一位. 近似数的精确度的表述方法： (1)用数位表示，如精确到千位，精确到千分位等； (2)用小数表示，如精确到0 .1，精确到0 .0 1 等； (3) 对带有单位的数用单位表示，如精确到1 kg，精确到1 m等. 4. 取近似数的方法：通常用四舍五入法；特殊情况下使用去尾法、进一法. 题型巩固 题型一、有理数幂的概念理解 1．（2025·河北邯郸·三模）代数式可以表示成（    ） A．3个相乘 B．个3相乘 C．3个相加 D．个3相加 2．（24-25七年级上·全国·课后作业）把写成乘方的形式为 ，把写成乘方的形式为 ． 3．概念学习 规定：求若干个相同的有理数（均不等于0）的除法运算叫做除方，如2÷2÷2，（﹣3）÷（﹣3）÷（﹣3）÷（﹣3）等．类比有理数的乘方，我们把2÷2÷2记作，读作“2的圈3次方”，（﹣3）÷（﹣3）÷（﹣3）÷（﹣3）记作，读作“﹣3的圈4次方”，一般地，把（a≠0）记作，读作“a的圈n次方”． 初步探究 （1）直接写出计算结果： = ，= ； （2）关于除方，下列说法错误的是 A．任何非零数的圈2次方都等于1；    B．对于任何正整数n，1的圈n次方都等于1；    C．       D．负数的圈奇数次方结果是负数，负数的圈偶数次方结果是正数． 深入思考： 我们知道，有理数的减法运算可以转化为加法运算，除法运算可以转化为乘法运算，有理数的除方运算如何转化为乘方运算呢？ （1）试一试：仿照上面的算式，将下列运算结果直接写成幂的形式． 的圈4次方＝　 　；5的圈5次方＝　 　；的圈6次方＝　 　． （2）想一想：将一个非零有理数a的圈n次方写成幂的形式等于________； （3）算一算：． 题型二、有理数的乘方运算 4．（25-26七年级上·全国·课后作业）下列各组数中，相等的一组是（   ） A．和 B．和 C．和 D．和 5．（2025七年级上·全国·专题练习）计算： ； ； ； ． 6．（25-26七年级上·全国·课后作业）计算： (1)． (2)． 题型三、有理数乘方逆运算 7．（2023七年级上·江苏·专题练习）计算：（    ） A． B．1 C．0 D．2023 8．如果一个数的平方等于，那么这个数是 ，如果一个数的立方等于，那么这个数是 ． 题型四、乘方运算的符号规律 9．（22-23七年级上·江苏扬州·阶段练习）下列各组的两个数中，运算后结果相等的是（　　） A．与 B．与 C．与 D．与 10．（2025七年级上·全国·专题练习）如果n是正整数，计算：． 题型五、乘方的应用 11．（2024七年级上·全国·专题练习）一根长的铜丝，第一次剪去铜丝的，第二次剪去剩下铜丝的，如此剪下去，第次剪完后剩下铜丝的长度是（   ） A． B． C． D． 12．（2024七年级上·全国·专题练习）我国著名数学家华罗庚曾说过：“数形结合百般好，隔离分家万事非”．如图，将一个边长为1的正方形纸片依次分割为若干部分，部分①的面积是，部分②的面积是，部分③的面积是，以此类推，第部分的面积是（是大于1的整数）．请你用“数形结合”的思想计算 ． 13．（24-25七年级上·广东佛山·阶段练习）【概念学习】现规定：求若干个相同的有理数（均不等于0）的除法运算叫做除方，比如，等，类比有理数的乘方，我们把写作，读作“2的圈3次方”，写作，读作“的圈4次方” 【初步探究】（1）直接写出计算结果：_____，_____； 【深入思考】我们知道，有理数的减法运算可以转化为加法运算，除法运算可以转化为乘法运算，则有理数的除方运算也可以如下所示转化为乘方运算． 【探究应用】（2）试一试：仿照上面的算式，将下列运算结果直接写成乘方的形式 _____；_____，_____ （3）请利用（2）中结论计算： 题型六、程序流程图与有理数计算 14．（24-25七年级上·广东深圳·期中）如图是一个数值转换机，若输入a的值为3，则输出的结果应是（　　） A． B． C． D． 15．（25-26七年级上·全国·课后作业）如图所示的是一个简单的数值运算程序，当输入的数值为时，其输出的结果为 ． 16．（24-25七年级上·河南商丘·期中）仔细观察下图的操作步骤，然后回答问题．（写出计算过程） 求当输入的数分别是和4时，输出的数分别是多少？ 题型七、算“24”点 17．（23-24七年级上·河南郑州·开学考试）你会玩“24点”游戏吗？从一副扑克牌（去掉大、小王）中任意抽取4张，根据牌面上的数字，添加“”和括号等符号进行运算，每张牌只能用一次，使得运算结果为24，其中A，J，Q，K分别代表1，11，12，13，小明抽到的是如下4张牌，你凑成24的算式是 （写出一个即可） 18．（24-25七年级上·江苏连云港·期中）已知五个数分别为：，，，，． (1)在数轴上表示下列各数，并按从小到大的顺序用“”把这些数连接起来； (2)将前四个数通过有理数的混合运算（每个数只能算一次），得到运算结果“24”，请写出算式． 题型八、含乘方的有理数混合运算 19．（24-25七年级上·河北唐山·阶段练习）下列计算中，正确的个数有（   ）个 ①；②；③；④；⑤ A．1个 B．3个 C．4个 D．5个 20．（25-26七年级上·全国·课后作业）对任意的非零有理数定义一种运算：．例如，的结果是 ． 21．（25-26七年级上·全国·周测）计算：． 题型九、计算器——有理数 22．下面科学计算器的按键顺序： 对应的计算任务是（    ） A． B． C． D． 23．用计算器计算： （1）； （2）． 题型十、用科学记数法表示绝对值大于1的数 24．（24-25七年级上·吉林长春·期末）2024年10月30日，“神舟十九号”载人飞船发射取得圆满成功．在发射过程中，飞船的飞行速度约为460800米/分，请将数据“460800”用科学记数法表示为（    ） A． B． C． D． 25．（24-25七年级上·重庆·阶段练习）金秋十月．各大电商平台为了稳定消费吸引更多新客户。特推出“百亿补贴”活动．某知名品牌10月的销售量达到了4573万元左右，获得同类品牌销售冠军，数据“4573万元”用科学记数法表示为 元． 26．（2024七年级上·全国·专题练习）已知的氢气质量约为，请用科学记数法表示下列计算结果： (1)求一个容积为的氢气球所充氢气的质量； (2)一块橡皮重，这块橡皮的质量是的氢气质量的多少倍？ 题型十一、将用科学记数法表示的数变回原数 27．（2024七年级上·全国·专题练习）若，则a为（　　） A． B． C． D． 28．（24-25七年级上·宁夏石嘴山·期中）已知：，则a表示的数为 ． 29．（24-25七年级上·全国·课后作业）已知光速为，太阳光到达地球的时间约是，试计算太阳与地球之间的距离大约是多少千米．（结果用原数表示） 题型十二、求一个数的近似数 30．（24-25七年级上·湖北武汉·阶段练习）2024年12月27日，伴随着11号线全线贯通，武汉地铁（轨道交通）开通运营总里程已达518.38公里，这个数据精确到十分位的近似值为（   ）公里． A．518.4 B．518 C．518.3 D．520 31．（24-25七年级上·全国·课后作业）用四舍五入法对下列各数取近似数： （1）（精确到个位） ； （2）（精确到十分位） ； （3）（精确到） ． 32．（24-25七年级上·河北沧州·期中）用四舍五入法按括号里的要求对下列各数取近似值： (1)（精确到）； (2)（精确到个位）； (3)（精确到千分位）． 题型十三、求近似数的精确度 33．（24-25七年级上·湖北黄冈·阶段练习）下列说法中错误的是（    ） A．近似数万精确到万位 B．近似数 精确到十位 C．精确到百位的近似数为 D．精确到 34．（24-25七年级上·全国·阶段练习）近似数精确到 ． 35．下列由四舍五入法得到的近似数各精确到哪一位？ （1）5.67； （2）0.003010； （3）111万； （4）1.200亿 题型十四、近似数推断取值范围 36．（24-25七年级上·广西梧州·期中）若将数四舍五入后得到的近似值为，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 37．（23-24七年级上·湖北黄石·阶段练习）近似数的准确值a的取值范围是 ． 38．老师黑板上写了十三个自然数，让小明计算平均数（保留两位小数），小明计算出的答数是，老师说最后一位数字错了，其它的数字都对，正确答案应该是什么？ 强化训练 一、单选题 1．盘锦市高级中学在校师生约为0.35万人，近似数0.35万精确到（    ） A．十分位 B．百分位 C．千位 D．百位 2．世界文化遗产长城总长约为6700000米，将6700000用科学记数法可表示为（   ） A． B． C． D． 3．下列说法：①有理数是指整数和分数；②没有最大的有理数，最小的有理数是0；③有理数的绝对值都是非负数；④几个数相乘，当负因数的个数为奇数时，积为负；⑤3.14159精确到千分位是3.14，其中正确的有（    ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 4．下列说法正确的是（    ） A．近似数18.0与近似数18的精确度相同 B．我国领土960万平方千米中的960万是准确数 C．近似数7百与近似数700的精确度相同 D．近似数2.1万与近似数的精确度相同 5．把一张正方形的纸连续对折次，折后的每一小份占这张正方形纸的（　　） A． B． C． 6．按如图所示的程序计算，当输入x的值为时，输出的值为（   ） A．63 B．8 C．64 D．80 7．已知为正整数，则的值是（   ） A． B． C． D． 8．在数学课上，老师让甲、乙、丙、丁四位同学分别做了一道有理数运算题，你认为做对的同学是（   ） 甲： 乙： 丙： 丁： A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 二、填空题 9．（新闻资料）根据乌克兰武装部队总参谋部的消息，自2022年2月24日至今，俄军在俄乌冲突中因战斗伤亡人数已经达到765000人，将765000用科学记数法表示为 ． 10．计算： （1） ． （2） ． 11．淇淇计算时，步骤如下： 解：原式① ② ．③ （1）在淇淇的计算过程中，开始出现错误的步骤是 （填序号）． （2）正确的答案是 ． 12．下列对1598000取近似数，其中描述正确的是 ．（填序号） ①取近似数是精确到万位； ②取近似数是精确到个位； ③精确到十万位得到的近似数为； ④精确到百位得到的近似数为． 13．定义如下运算程序，则输入，时，输出的结果为 ． 14．若规定，例如，则 ． 三、解答题 15．用科学记数法表示下列各数： ． 16．用四舍五入法，按括号中的要求，对下列各数取近似数： (1)（精确到千分位）； (2)（精确到个位）； (3)（精确到）； (4)130542（精确到千位）． 17．计算． (1)； (2)． 18．计算： 19．计算 (1) (2) 20．在一次综合实践活动课上，张老师给每位同学各发了一张正方形纸片，请同学们思考如何通过折纸的方法求出的值． 【操作探究】“乘风”小组的同学经过一番思考和讨论交流后，进行了如下操作：如图1，将一个边长为1的正方形纸片分割成7个部分，第①部分是边长为1的正方形纸片面积的一半，第②部分是第①部分面积的一半，第③部分是第②部分面积的一半，，依次类推，则图1中空白部分的面积为． “破浪”小组是这样思考的：设， 将等式两边同时乘以得：， 将上式减去下式得，即，即． 【过程思考】 (1)图1中阴影部分的面积是 ，= ． (2)请你利用图2，再设计能求的值的几何图形．（只画出图形即可） (3)根据以上规律， ① ．（为正整数） ② ．（为正整数） 21．数学问题：计算（其中，都是正整数，且，）． 探究问题：为解决上面的数学问题，我们运用数形结合的思想方法，通过不断地分割一个面积为 的正方形，把数量关系和几何图形巧妙地结合起来，并采取一般问题特殊化的策略来进行探究． 探究一：计算． 第次分割，把正方形的面积二等分，其中阴影部分的面积为． 第次分割，把上次分割图中空白部分的面积继续二等分，阴影部分的面积之和为． 第次分割，把上次分割图中空白部分的面积继续二等分，． 第次分割，把上次分割图中空白部分的面积最后二等分，所有阴影部分的面积之和，最后空白部分的面积是． 第次分割图可得等式：．          探究二：计算． 第次分割，把正方形的面积三等分，其中阴影部分的面积为． 第次分割，把上次分割图中空白部分的面积继续三等分，阴影部分的面积之和为． 第次分割，把上次分割图中空白部分的面积继续三等分，． 第次分割，把上次分割图中空白部分的面积最后三等分，所有阴影部分的面积之和为，最后空白部分的面积是． 根据第次分割图可得等式：， 两边同除以，得．         探究三：计算． （仿照上述方法，只画出第次分割图，在图上标注阴影部分面积，并写出探究过程）    解决问题：根据前面探究结果： __________． __________．（只填空，其中，都是正整数，且，） 拓广应用：计算. 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第05讲 有理数的乘方（知识点+题型+强化训练） 目录 知识梳理 1.有理数乘方的意义 2.乘方的运算法则 3.有理数的混合运算 4.用科学记数法表示数 5.还原科学记数法表示的数 6.近似数 题型巩固 一、有理数幂的概念理解 二、有理数的乘方运算 三、有理数乘方逆运算 四、乘方运算的符号规律 五、乘方的应用 六、程序流程图与有理数计算 七、算“24”点 八、含乘方的有理数混合运算 九、计算器——有理数 十、用科学记数法表示绝对值大于1的数 十一、将用科学记数法表示的数变回原数 十二、求一个数的近似数 十三、求近似数的精确度 十四、近似数推断取值范围 强化训练 单选题（8） 填空题（6） 解答题（7） 知识梳理 知识点1.有理数乘方的意义 概念 示例 乘方 求n 个相同乘数的积的运算，叫作乘方 读作“ 的n 次方” 幂 乘方的结果叫作幂 底数和指数 n 中， 叫作底数，n叫作指数 指数n 是正整数，底数a可以是任意有理数. 知识拓展：(1)一个数可以看作这个数本身的1 次方. 例如，5 就是51， 就是，指数1 通常省略不写. 指数是2 时读作平方，指数是3 时读作立方. 例如，² 读作“ 的平方”，读作“ 的立方”. (2)乘方与幂不同，乘方是一种运算，幂是乘方的结果，乘方与幂的关系就如同乘法与积的关系. 知识点2.乘方的运算法则 1. 有理数乘方的运算法则 (1)负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数； (2)正数的任何次幂都是正数； (3)0 的任何正整数次幂都是0 . 2. 有理数的乘方运算 计算一个有理数的乘方时，应将乘方运算转化为乘法运算，先确定幂的符号，再计算幂的绝对值. 3., 和 的联系与区别： 区别 底数为，表示n个相乘的积 表示n 个 相乘的积的相反数 底数为-， 表示n个- 相乘的积 联系 当n 为奇数时，=，它们分别与 互为相反数； 当n 为偶数时，=，它们分别与- 互为相反数 4. 用计算器计算乘方 不同类型计算器的操作方法可能有所不同，使用教材中所示类型的计算器时，平方按 键，立方按 键，其他次方按键和指数的数字键. 知识点3.有理数的混合运算 1. 有理数运算的种类 有理数的混合运算包括加、减、乘、除、乘方与开方(将在以后学习到). 通常把六种基本的代数运算分为三级： 加与减是第一级运算； 乘与除是第二级运算； 乘方与开方是第三级运算. 2. 有理数混合运算的顺序 (1)先乘方，再乘除，最后加减； (2)同级运算，从左到右进行； (3)如有括号，先做括号内的运算，按小括号、中括号、大括号依次进行. 知识点4.用科学记数法表示数 1.科学记数法：把一个大于10的数表示成× 的形式(其中 大于或等于1，且小于10，n 是正整数)，使用的是科学记数法，对于小于－10的数也可以类似表示. 2. 科学记数法表示数的步骤 知识点5.还原科学记数法表示的数 特别警示：还原后原数的位数易出错，误认为10的n 次方，后面就有n 个0. 知识点6.近似数 1. 准确数：与实际完全符合的数，称为准确数. 2. 近似数：在许多情况下，较难取得准确数，或者不必使用准确数，把接近准确数但不等于准确数的数称为近似数. 3. 近似数的精确度：近似数的精确度是指近似数与准确数的接近程度. 一般地，一个近似数四舍五入到哪一位，就说这个近似数精确到哪一位. 近似数的精确度的表述方法： (1)用数位表示，如精确到千位，精确到千分位等； (2)用小数表示，如精确到0 .1，精确到0 .0 1 等； (3) 对带有单位的数用单位表示，如精确到1 kg，精确到1 m等. 4. 取近似数的方法：通常用四舍五入法；特殊情况下使用去尾法、进一法. 题型巩固 题型一、有理数幂的概念理解 1．（2025·河北邯郸·三模）代数式可以表示成（    ） A．3个相乘 B．个3相乘 C．3个相加 D．个3相加 【答案】A 【知识点】有理数幂的概念理解 【分析】本题主要考查了乘方运算的概念．将化为，即可进行解答． 【详解】解：∵， ∴可以表示成3个相乘， 故选：A． 2．（24-25七年级上·全国·课后作业）把写成乘方的形式为 ，把写成乘方的形式为 ． 【答案】 【知识点】有理数幂的概念理解 【分析】根据乘方的定义，个相同因数相乘可表示为，分别分析两个式子中相同因数及个数来转化为乘方形式．本题主要考查了乘方的定义，熟练掌握乘方是个相同因数相乘的简便表示形式是解题的关键． 【详解】解：， ． 故答案为：， ． 3．概念学习 规定：求若干个相同的有理数（均不等于0）的除法运算叫做除方，如2÷2÷2，（﹣3）÷（﹣3）÷（﹣3）÷（﹣3）等．类比有理数的乘方，我们把2÷2÷2记作，读作“2的圈3次方”，（﹣3）÷（﹣3）÷（﹣3）÷（﹣3）记作，读作“﹣3的圈4次方”，一般地，把（a≠0）记作，读作“a的圈n次方”． 初步探究 （1）直接写出计算结果： = ，= ； （2）关于除方，下列说法错误的是 A．任何非零数的圈2次方都等于1；    B．对于任何正整数n，1的圈n次方都等于1；    C．       D．负数的圈奇数次方结果是负数，负数的圈偶数次方结果是正数． 深入思考： 我们知道，有理数的减法运算可以转化为加法运算，除法运算可以转化为乘法运算，有理数的除方运算如何转化为乘方运算呢？ （1）试一试：仿照上面的算式，将下列运算结果直接写成幂的形式． 的圈4次方＝　 　；5的圈5次方＝　 　；的圈6次方＝　 　． （2）想一想：将一个非零有理数a的圈n次方写成幂的形式等于________； （3）算一算：． 【答案】初步探究（1）；；（2）C；深入思考（1），，；（2）；（3）． 【知识点】有理数幂的概念理解 【分析】理解除方运算，利用除方运算的法则和意义解决初步探究，通过除方的法则，把深入思考的除方写成幂的形式解决（1），总结（1）得到通项（2）．根据法则计算出（3）的结果． 【详解】初步探究 解：初步探究 （1）， 故答案为：，； （2）A、任何非零数的圈2次方就是两个相同数相除，所以都等于1； 所以选项A正确； B、因为多少个1相除都是1，所以对于任何正整数，都等于1； 所以选项B正确； C、，，则； 所以选项C错误； D、负数的圈奇数次方，相当于奇数个负数相除，则结果是负数，负数的圈偶数次方，相当于偶数个负数相除，则结果是正数．所以选项D正确； 本题选择说法错误的，故选C； 深入思考 （1）； ； ； 故答案为：，，． （2）． 故答案为：． （3） ． 【点睛】本题考查了新运算，幂的运算．解决问题的关键是掌握新运算的法则，理解新运算的意义． 题型二、有理数的乘方运算 4．（25-26七年级上·全国·课后作业）下列各组数中，相等的一组是（   ） A．和 B．和 C．和 D．和 【答案】C 【知识点】有理数的乘方运算 【分析】本题主要考查有理数的乘方运算，特别是负号的位置对结果的影响，以及运算顺序的理解. 分别计算各选项中两个数的值，比较是否相等. 【详解】选项A：；,，故A不相等. 选项B：；。，故B不相等. 选项C：；。，故C相等. 选项D：；。，故D不相等. 故选：C. 5．（2025七年级上·全国·专题练习）计算： ； ； ； ． 【答案】 【知识点】有理数的乘方运算 【分析】本题主要考查有理数的乘方，熟练掌握乘方的运算法则是解题的关键． 根据乘方的定义计算即可； 【详解】解：； ； ； ． 故答案为；；；． 6．（25-26七年级上·全国·课后作业）计算： (1)． (2)． 【答案】(1) (2) 【知识点】有理数的乘方运算 【分析】本题主要考查了有理数的乘方，解题关键在于计算时符号的确定与理解乘方的意义，从而简便运算. （1）先算乘方，再算乘法. （2）由乘方的意义拆分第一项，再简便运算即可. 【详解】（1）解： （2）解： 题型三、有理数乘方逆运算 7．（2023七年级上·江苏·专题练习）计算：（    ） A． B．1 C．0 D．2023 【答案】B 【知识点】有理数乘方逆运算 【分析】根据有理数乘方的逆运算法则计算即可得． 【详解】解：原式 ． 故选：B． 【点睛】本题考查了有理数乘方的逆运算，熟练掌握有理数乘方的逆运算法则是解题关键． 8．如果一个数的平方等于，那么这个数是 ，如果一个数的立方等于，那么这个数是 ． 【答案】 【知识点】有理数乘方逆运算 【分析】根据平方与立方的运算即可求解． 【详解】∵（）2=，（）3= 故答案为：；． 【点睛】此题主要考查乘方与立方的运算，解题的关键是熟知乘方的运算法则． 题型四、乘方运算的符号规律 9．（22-23七年级上·江苏扬州·阶段练习）下列各组的两个数中，运算后结果相等的是（　　） A．与 B．与 C．与 D．与 【答案】C 【知识点】有理数的乘方运算、乘方运算的符号规律 【分析】根据有理数的乘方的定义对各选项分析判断利用排除法求解． 【详解】A、，，不相等，故A选项错误； B、，，不相等，故B选项错误； C、，，相等，故C选项正确； D、，，不相等，故D选项错误． 故选：C． 【点睛】此题考查有理数的乘方，解题的关键在于掌握运算法则． 10．（2025七年级上·全国·专题练习）如果n是正整数，计算：． 【答案】0 【知识点】有理数的乘方运算、乘方运算的符号规律、含乘方的有理数混合运算 【分析】本题考查了有理数的混合运算，幂的乘方，同底数幂的乘法，指数奇偶的性质等知识，解题的关键在于正确处理负号与指数的奇偶性关系．先进行幂的乘方运算，再同底数幂运算，最后合并同类项即可． 【详解】解： ． 题型五、乘方的应用 11．（2024七年级上·全国·专题练习）一根长的铜丝，第一次剪去铜丝的，第二次剪去剩下铜丝的，如此剪下去，第次剪完后剩下铜丝的长度是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】乘方的应用 【分析】本题主要考查了有理数的乘方，明确题意，准确得到规律是解题的关键．根据题意可得第一次剪去铜丝的，剩下铜丝的长度是m，第二次剪去剩下铜丝的，剩下铜丝的长度是m，……，由此发现规律，即可求解． 【详解】解：第一次剪去铜丝的，剩下铜丝的长度是m， 第二次剪去剩下铜丝的，剩下铜丝的长度是m， ……， 第次剪完后剩下铜丝的长度是m． 故答案为：C． 12．（2024七年级上·全国·专题练习）我国著名数学家华罗庚曾说过：“数形结合百般好，隔离分家万事非”．如图，将一个边长为1的正方形纸片依次分割为若干部分，部分①的面积是，部分②的面积是，部分③的面积是，以此类推，第部分的面积是（是大于1的整数）．请你用“数形结合”的思想计算 ． 【答案】 【知识点】乘方的应用 【分析】本题考查了有理数的乘方的应用．观察图形可知：阴影的部分的面积为，那么所求的式子其实就是正方形的面积减去阴影部分的面积． 【详解】解：观察图形，可得阴影部分的面积=． 故答案为：． 13．（24-25七年级上·广东佛山·阶段练习）【概念学习】现规定：求若干个相同的有理数（均不等于0）的除法运算叫做除方，比如，等，类比有理数的乘方，我们把写作，读作“2的圈3次方”，写作，读作“的圈4次方” 【初步探究】（1）直接写出计算结果：_____，_____； 【深入思考】我们知道，有理数的减法运算可以转化为加法运算，除法运算可以转化为乘法运算，则有理数的除方运算也可以如下所示转化为乘方运算． 【探究应用】（2）试一试：仿照上面的算式，将下列运算结果直接写成乘方的形式 _____；_____，_____ （3）请利用（2）中结论计算： 【答案】（1）1；；（2），；（3） 【知识点】乘方的应用、含乘方的有理数混合运算 【分析】本题考查有理数的乘方，新定义，熟练掌握运算法则是解答本题的关键． （1）根据题意，可以计算出所求式子的值； （2）根据题意，可以计算出所求式子的值； （3）先算乘方和除方，再算乘除法，然后算加减法即可． 【详解】解：（1）由题意得：， ， 故答案为：1；． （2）； ； ； 故答案为：，； （3） ． 题型六、程序流程图与有理数计算 14．（24-25七年级上·广东深圳·期中）如图是一个数值转换机，若输入a的值为3，则输出的结果应是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】程序流程图与有理数计算 【分析】本题考查代数式求值及有理数的混合运算，熟练掌握相关运算法则是解题的关键． 根据题意列式计算即可． 【详解】解：若输入a的值为3， 则， 故选：B． 15．（25-26七年级上·全国·课后作业）如图所示的是一个简单的数值运算程序，当输入的数值为时，其输出的结果为 ． 【答案】 【知识点】程序流程图与有理数计算 【分析】本题考查了有理数的乘法运算，解题的关键是按照运算程序逐步进行乘法计算． 根据数值运算程序，将代入，依次进行乘法运算． 【详解】解：输入，运算程序为． 原式 ， 所以当输入时，输出结果为． 故答案为：． 16．（24-25七年级上·河南商丘·期中）仔细观察下图的操作步骤，然后回答问题．（写出计算过程） 求当输入的数分别是和4时，输出的数分别是多少？ 【答案】； 【知识点】程序流程图与有理数计算、含乘方的有理数混合运算 【分析】本题主要考查有理数的混合运算，根据题意列出相应的算式，计算即可． 【详解】解：当输入的数是时，，相反数是， ； 当输入的数是时， ， ． 题型七、算“24”点 17．（23-24七年级上·河南郑州·开学考试）你会玩“24点”游戏吗？从一副扑克牌（去掉大、小王）中任意抽取4张，根据牌面上的数字，添加“”和括号等符号进行运算，每张牌只能用一次，使得运算结果为24，其中A，J，Q，K分别代表1，11，12，13，小明抽到的是如下4张牌，你凑成24的算式是 （写出一个即可） 【答案】（答案不唯一） 【知识点】算“24”点 【分析】本题考查有理数运算在实际生活中的应用，“二十四”点的游戏要注意运算顺序与运算符号，以及题目的要求． 【详解】解：根据题意可知答案不唯一： 如：； 或； 或； 或等； ∴凑成24的算式是， 故答案为：． 18．（24-25七年级上·江苏连云港·期中）已知五个数分别为：，，，，． (1)在数轴上表示下列各数，并按从小到大的顺序用“”把这些数连接起来； (2)将前四个数通过有理数的混合运算（每个数只能算一次），得到运算结果“24”，请写出算式． 【答案】(1)在数轴上表示各数见解析， (2)（答案不唯一） 【知识点】用数轴上的点表示有理数、利用数轴比较有理数的大小、算“24”点 【分析】本题考查绝对值的化简与有理数的运算，熟练掌握有理数的混合运算是解题的关键， （1）先把各点在数轴上表示出来，从左到右用“”连接起来即可； （2）根据有理数混合运算，列式计算即可． 【详解】（1）解：， 如图， 由图可知，； （2）解：由题可得： ． 题型八、含乘方的有理数混合运算 19．（24-25七年级上·河北唐山·阶段练习）下列计算中，正确的个数有（   ）个 ①；②；③；④；⑤ A．1个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】A 【知识点】含乘方的有理数混合运算 【分析】本题考查了含乘方的有理数混合运算，掌握相关运算法则是解题关键．根据有理数混合运算逐项计算检验即可． 【详解】解：①，计算错误； ②，计算错误； ③，计算错误； ④，计算错误； ⑤，计算正确， 故选：A 20．（25-26七年级上·全国·课后作业）对任意的非零有理数定义一种运算：．例如，的结果是 ． 【答案】 【知识点】含乘方的有理数混合运算 【分析】本题考查了有理数的混合运算，弄清题目中的新定义是解题的关键.根据所给的运算规则，将代入进行计算. 【详解】解： 故答案为：. 21．（25-26七年级上·全国·周测）计算：． 【答案】 【知识点】含乘方的有理数混合运算 【分析】本题考查有理数的混合运算，先运算乘方，然后运算乘除，最后运算加减即可． 【详解】解：原式 ． 题型九、计算器——有理数 22．下面科学计算器的按键顺序： 对应的计算任务是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】计算器——有理数 【分析】本题考查了用科学计算器进行计算，根据计算器的按键顺序和按键功能即可得出答案，熟练计算器各个按键的功能是解题的关键． 【详解】解：表示，表示， 故对应的计算任务是， 故选：． 23．用计算器计算： （1）； （2）． 【答案】（1）；（2） 【知识点】计算器——有理数 【分析】（1）依据数值依次按键输入即可计算得到答案； （2）依据数值依次按键输入即可计算得到答案． 【详解】解：（1）按键顺序为 计算器显示结果为，可以按键切换为小数格式，所以． （2）按键顺序为 计算器显示结果为． 【点睛】此题考查计算器输入方法，利用计算器计算的输入顺序，正确掌握输入计算器的顺序及各键的功能是解题的关键． 题型十、用科学记数法表示绝对值大于1的数 24．（24-25七年级上·吉林长春·期末）2024年10月30日，“神舟十九号”载人飞船发射取得圆满成功．在发射过程中，飞船的飞行速度约为460800米/分，请将数据“460800”用科学记数法表示为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】用科学记数法表示绝对值大于1的数 【分析】本题主要考查了科学记数法，科学记数法的形式为，其中，为整数，熟练掌握科学记数法是解题的关键． 根据科学记数法的定义进行变形即可． 【详解】解：将460800的小数点向左移动5位，得到（满足），移动的位数对应，因此表示为， 故选：C． 25．（24-25七年级上·重庆·阶段练习）金秋十月．各大电商平台为了稳定消费吸引更多新客户。特推出“百亿补贴”活动．某知名品牌10月的销售量达到了4573万元左右，获得同类品牌销售冠军，数据“4573万元”用科学记数法表示为 元． 【答案】 【知识点】用科学记数法表示绝对值大于1的数 【分析】本题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，n是正数；当原数的绝对值时，n是负数，据此解答即可． 【详解】解：4573万． 故答案为：． 26．（2024七年级上·全国·专题练习）已知的氢气质量约为，请用科学记数法表示下列计算结果： (1)求一个容积为的氢气球所充氢气的质量； (2)一块橡皮重，这块橡皮的质量是的氢气质量的多少倍？ 【答案】(1) (2)倍 【知识点】用科学记数法表示绝对值大于1的数 【分析】本题考查了有理数的混合运算的应用； （1）先用乘法求出氢气球所充氢气的质量, 再用科学记数法表示最终结果； （2）先用除法计算出这块橡皮的质量是的氢气质量的多少倍，再用科学记数法表示最终结果. 【详解】（1）解：． （2）． 故这块橡皮的质量是的氢气质量的倍． 题型十一、将用科学记数法表示的数变回原数 27．（2024七年级上·全国·专题练习）若，则a为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】将用科学记数法表示的数变回原数 【分析】本题考查了把用科学记数法表示的数写成原数，用科学记数法表示的数还原成原数时，时，n是几，小数点就向右移几位． 【详解】解：， 故选：C． 28．（24-25七年级上·宁夏石嘴山·期中）已知：，则a表示的数为 ． 【答案】 【知识点】将用科学记数法表示的数变回原数 【分析】本题考查科学记数法，利用有理数的乘方运算，把科学记数法表示的数还原即可． 【详解】解：； 故答案为： 29．（24-25七年级上·全国·课后作业）已知光速为，太阳光到达地球的时间约是，试计算太阳与地球之间的距离大约是多少千米．（结果用原数表示） 【答案】千米 【知识点】将用科学记数法表示的数变回原数 【分析】本题考查了有理数的乘方运算，掌握运算法则是关键；根据距离等于速度乘时间计算，最后化为以千米为单位即可． 【详解】解：． 答：太阳与地球之间的距离大约是千米． 题型十二、求一个数的近似数 30．（24-25七年级上·湖北武汉·阶段练习）2024年12月27日，伴随着11号线全线贯通，武汉地铁（轨道交通）开通运营总里程已达518.38公里，这个数据精确到十分位的近似值为（   ）公里． A．518.4 B．518 C．518.3 D．520 【答案】A 【知识点】求一个数的近似数 【分析】本题考查了近似数和有效数字，近似数与精确数的接近程度，可以用精确度表示．一般有，精确到哪一位，保留几个有效数字等说法．精确到哪一位，就是对它后边的一位进行四舍五入． 【详解】解：518.38公里精确到十分位的近似值为518.4公里， 故选：A． 31．（24-25七年级上·全国·课后作业）用四舍五入法对下列各数取近似数： （1）（精确到个位） ； （2）（精确到十分位） ； （3）（精确到） ． 【答案】 0 【知识点】求一个数的近似数 【分析】本题主要考查近似数的求法，掌握最后一位所在的位置就是精确度，注意保留数位上的0不能去掉． （1）精确到个位，就看小数点后面第一位，利用“四舍五入”法解答即可； （2）精确到十分位，即保留小数点后面第一位，看小数点后面第二位，利用“四舍五入”法解答即可； （3）精确到，就看千分位，利用“四舍五入”法解答即可． 【详解】解：（1）（精确到个位）； 故答案为：0； （2）（精确到十分位）； 故答案为：； （3）（精确到）； 故答案为：． 32．（24-25七年级上·河北沧州·期中）用四舍五入法按括号里的要求对下列各数取近似值： (1)（精确到）； (2)（精确到个位）； (3)（精确到千分位）． 【答案】(1) (2) (3) 【知识点】求一个数的近似数 【分析】本题主要考查了求一个数的近似数： （1）对万分位上的数字4进行四舍五入即可得到答案； （2）对十分位上的数字5进行四舍五入即可得到答案； （3）对万分位上的数字4进行四舍五入即可得到答案． 【详解】（1）解：（精确到）； （2）解：（精确到个位）； （3）解：（精确到千分位）． 题型十三、求近似数的精确度 33．（24-25七年级上·湖北黄冈·阶段练习）下列说法中错误的是（    ） A．近似数万精确到万位 B．近似数 精确到十位 C．精确到百位的近似数为 D．精确到 【答案】D 【知识点】求近似数的精确度 【分析】本题考查的近似数的精确度． 解答本题的关键是先将其化为一般形式，看该近似数的最后一位数字所在的数位是否与所要求精确到的数位对应． 【详解】A：近似数万，数字7在万位上，所以该选项正确； B：，数字6在十位上，所以该选项正确； C：精确到百位，就看十位上的数字，十位上是7，根据四舍五入向前一位进1，即，该选项正确； D：最后一位数字0在千分位上，所以是精确到，该选项说法错误． 故选D． 34．（24-25七年级上·全国·阶段练习）近似数精确到 ． 【答案】个位 【知识点】求近似数的精确度 【分析】本题主要考查了近似数的精确度，用科学记数法表示的数，要确定精确到哪位，首先要把这个数还原成一般的数，然后看其中的最后一个数字在还原的数中是什么位，则用科学记数法表示的数就精确到哪位． 先把近似数还原成，最后一个数在个位上，据此即可解答． 【详解】解：近似数精确到个位． 故答案为：个位． 35．下列由四舍五入法得到的近似数各精确到哪一位？ （1）5.67； （2）0.003010； （3）111万； （4）1.200亿 【答案】（1）百分位；（2）百万分位；（3）万位．（4）十万位． 【知识点】求近似数的精确度 【分析】根据近似数的定义，一个数最后一位所在的数位就是这个数的精确度，即可得出答案. 【详解】（1）5.67精确到百分位． （2）0.003010精确到百万分位． （3）111万精确到万位． （4）1.200亿精确到十万位． 【点睛】本题考查近似数，熟练掌握近似数的精确度是本题解题关键，注意小数的数位. 题型十四、近似数推断取值范围 36．（24-25七年级上·广西梧州·期中）若将数四舍五入后得到的近似值为，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】近似数推断取值范围 【分析】近似值是通过四舍五入得到的：精确到哪一位时，若下一位大于或等于，则应进；若下一位小于，则应舍去． 本题考查了近似数和有效数字，注意：取近似数的时候，精确到哪一位，只需对下一位数字进行四舍五入． 【详解】解：根据取近似数的方法，则的取值范围是． 故选：． 37．（23-24七年级上·湖北黄石·阶段练习）近似数的准确值a的取值范围是 ． 【答案】 【知识点】近似数推断取值范围 【分析】根据近似数的定义判断即可． 【详解】解：由题可知时，近似数是． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了近似数的知识点，准确理解四舍五入是解题的关键． 38．老师黑板上写了十三个自然数，让小明计算平均数（保留两位小数），小明计算出的答数是，老师说最后一位数字错了，其它的数字都对，正确答案应该是什么？ 【答案】 【知识点】近似数推断取值范围 【分析】因为自然数都是整数，所以这个自然数的和一定是一个整数；因为小明计算出的答数是．老师说最后一位数字错了，其它的数字都对，因此正确的答案应在和之间；又因为，，所以可以知道这个自然数的和是在和之间，由此可以确定一定是；用除以，结果是约等于；所以正确的答案是． 【详解】解：自然数都是整数，所以这个自然数的和一定是一个整数； 又因为，，所以可以知道这个自然数的和一定是， ； 答：正确答案应该是． 【点睛】本题考查了近似数，解题的关键是先结合题意，推导出这13个数的和，进而根据平均数、数量和总数三者之间的关系，求出正确的答案． 强化训练 一、单选题 1．盘锦市高级中学在校师生约为0.35万人，近似数0.35万精确到（    ） A．十分位 B．百分位 C．千位 D．百位 【答案】D 【知识点】求近似数的精确度 【分析】本题考查了近似数和有效数字，近似数与精确数的接近程度，可以用精确度表示，精确到哪一位，保留几个有效数字，进而得出精确度． 【详解】解：近似数0.35万是精确到百位． 故选：D． 2．世界文化遗产长城总长约为6700000米，将6700000用科学记数法可表示为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】用科学记数法表示绝对值大于1的数 【分析】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值． 【详解】解：将6700000用科学记数法表示为 故选B． 3．下列说法：①有理数是指整数和分数；②没有最大的有理数，最小的有理数是0；③有理数的绝对值都是非负数；④几个数相乘，当负因数的个数为奇数时，积为负；⑤3.14159精确到千分位是3.14，其中正确的有（    ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】A 【知识点】多个有理数的乘法运算、求近似数的精确度、绝对值的几何意义、有理数的分类 【分析】根据有理数的分类判断①②；根据绝对值的性质判断③；根据几个有理数相乘的法则判断⑤；根据近似数的定义判断⑤；本题考查了有理数，有理数的乘法，绝对值，近似数等内容，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 【详解】解：①有理数是指整数和分数，说法正确，故①正确； ②没有最大的有理数，也没有最小的有理数，故②错误； ③有理数的绝对值都是非负数，说法正确，故③正确； ④几个非0数相乘，当负因数的个数为奇数时，积为负，故④错误； ⑤3.14159精确到千分位是3.142，故⑤错误； 综上，正确的2个， 故选：A． 4．下列说法正确的是（    ） A．近似数18.0与近似数18的精确度相同 B．我国领土960万平方千米中的960万是准确数 C．近似数7百与近似数700的精确度相同 D．近似数2.1万与近似数的精确度相同 【答案】D 【知识点】求近似数的精确度 【分析】此题考查了近似数与精确数的接近程度，可以用精确度表示，熟练掌握近似数与精确度的概念是解题的关键．根据近似数的精确度对各选项进行判断． 【详解】解：、近似数精确到十分位，的精确到个位，此选项错误； 、我国领土960万平方千米中的960万是近似数，此选项错误； 、近似数百精确到百位，近似数精确到个位，此选项错误； 、近似数万和都精确到千位，此选项正确； 故选：． 5．把一张正方形的纸连续对折次，折后的每一小份占这张正方形纸的（　　） A． B． C． 【答案】B 【知识点】乘方的应用 【分析】本题考查了有理数乘方的应用，根据题意得出即可，掌握有理数乘方的运算法则是解题的关键． 【详解】解：由题意得，折后的每一小部分占这张正方形纸的， 故选：． 6．按如图所示的程序计算，当输入x的值为时，输出的值为（   ） A．63 B．8 C．64 D．80 【答案】A 【知识点】程序流程图与有理数计算、含乘方的有理数混合运算 【分析】本题考查了有理数的混合运算，读懂图表运算方法，准确列出算式是解题的关键．根据运算程序，把代入进行计算，然后和10比较逐步求解即可． 【详解】当输入x的值为时，， ∴， ∴ ∴输出的值为63． 故选：A． 7．已知为正整数，则的值是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】含乘方的有理数混合运算 【分析】本题考查了有理数的混合运算，根据为正整数，则有两种情况奇数和偶数．若为奇数，则根据负数的奇次幂为负，负数的偶次幂为正，据此分类讨论，即可求解． 【详解】解：当为奇数时，， 当为偶数时，． 故选：D． 8．在数学课上，老师让甲、乙、丙、丁四位同学分别做了一道有理数运算题，你认为做对的同学是（   ） 甲： 乙： 丙： 丁： A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 【答案】C 【知识点】含乘方的有理数混合运算 【分析】本题考查了有理数的混合运算，需按照运算顺序，先乘方，再乘除，最后加减，有括号先算括号内，逐一验证各选项的正确性，熟练掌握运算法则是解题的关键． 【详解】解：甲： 正确步骤：先算乘方，再算除法，最后减法，甲错误， 乙： 正确步骤：括号内先算乘方，再算乘法，最后减法，乙错误， 丙： 正确步骤：先把除法变成乘法，再用乘法分配律得，丙正确， 丁： 正确步骤：先算乘方，再从左到右依次运算：，接着，丁错误， 综上，只有丙的计算正确， 故选：． 二、填空题 9．（新闻资料）根据乌克兰武装部队总参谋部的消息，自2022年2月24日至今，俄军在俄乌冲突中因战斗伤亡人数已经达到765000人，将765000用科学记数法表示为 ． 【答案】 【知识点】用科学记数法表示绝对值大于1的数 【分析】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，是正数；当原数的绝对值时，是负整数． 【详解】解：将765000用科学记数法表示为． 故答案为：． 10．计算： （1） ． （2） ． 【答案】 125 【知识点】含乘方的有理数混合运算 【分析】本题考查了有理数的乘方运算，关键在于理解乘方的意义. （1）题中底数为4，再进行立方计算，最后确定符号； （2）题中底数为，再进行立方计算，最后确定符号. 【详解】详解片段 （1）解： 故答案为：． （2）解： 故答案为：． 11．淇淇计算时，步骤如下： 解：原式① ② ．③ （1）在淇淇的计算过程中，开始出现错误的步骤是 （填序号）． （2）正确的答案是 ． 【答案】 ；. 【知识点】含乘方的有理数混合运算 【分析】本题考查了有理数的混合运算，解题的关键是熟练掌握“乘方的运算法则”. 【详解】（1）： 所以出现错误的步骤为 （2）原式 故答案为： （1）；（2）． 12．下列对1598000取近似数，其中描述正确的是 ．（填序号） ①取近似数是精确到万位； ②取近似数是精确到个位； ③精确到十万位得到的近似数为； ④精确到百位得到的近似数为． 【答案】① 【知识点】求近似数的精确度、求一个数的近似数 【分析】本题主要考查近似数，根据近似数的概念求解即可． 【详解】解：①取近似数是精确到万位，正确； ②取近似数是精确到亿位，且该数不是的近似数，原说法错误； ③精确到十万位得到的近似数为，错误； ④精确到百位得到的近似数为．错误； 所以，描述正确的是①． 故答案为：①． 13．定义如下运算程序，则输入，时，输出的结果为 ． 【答案】8 【知识点】程序流程图与有理数计算 【分析】此题考查了代数式的求值与有理数的运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 由程序框图将，代入计算可得答案． 【详解】解：，，， 输出结果为． 故答案为：． 14．若规定，例如，则 ． 【答案】0 【知识点】含乘方的有理数混合运算 【分析】此题考查了有理数的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 根据，即可计算出所求式子的值． 【详解】解：∵， ∴， 故答案为：0． 三、解答题 15．用科学记数法表示下列各数： ． 【答案】；；；． 【知识点】用科学记数法表示绝对值大于1的数 【分析】本题考查了科学记数法的表示，解题的关键是确定（）和（整数位数减的值． 确定每个数的整数位数，将小数点移到第一位非零数字后得整数位数减1得写出形式． 【详解】解：； ； ； ． 16．用四舍五入法，按括号中的要求，对下列各数取近似数： (1)（精确到千分位）； (2)（精确到个位）； (3)（精确到）； (4)130542（精确到千位）． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【知识点】求近似数的精确度、求一个数的近似数 【分析】本题考查了近似数，近似数精确到哪一位，应当看后一位的数字与5的大小比较，利用四舍五入法解答．熟练掌握四舍五入法是解题关键． （1）根据万分位的数字，利用四舍五入法解答即可． （2）根据十分位的数字，利用四舍五入法解答即可． （3）根据千分位的数字，利用四舍五入法解答即可． （4）根据百位的数字，利用四舍五入法解答即可． 【详解】（1）解：（精确到千分位）； （2）解：（精确到个位）； （3）解：（精确到）； （4）解：（精确到千位）． 17．计算． (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【知识点】有理数四则混合运算、含乘方的有理数混合运算 【分析】本题考查了有理数的混合运算，熟练掌握运算法则是解题的关键． （1）先将除法化为乘法，再利用乘法分配律计算即可； （2）按照有理数的混合运算法则计算即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 18．计算： 【答案】 【知识点】求一个数的绝对值、含乘方的有理数混合运算 【分析】本题考查了有理数的混合运算，先进行乘方运算，再进行除法运算，最后进行加法运算即可，掌握有理数的运算法则是解题的关键． 【详解】解：原式 ． 19．计算 (1) (2) 【答案】(1)； (2)． 【知识点】含乘方的有理数混合运算 【分析】本题主要考查了运算的优先级以及基本的四则运算，同时涉及到乘方和括号内的运算．熟练掌握运算的优先级，即先乘方、再括号、然后乘除、最后加减，是解题的关键． （1）先进行乘方运算，然后进行括号内的运算，接着进行乘除运算，最后进行加减运算即可． （2）先进行括号内的运算，注意括号内还有乘法和减法，应先进行乘法运算，再进行减法运算，然后进行除法运算，最后进行加减运算． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 20．在一次综合实践活动课上，张老师给每位同学各发了一张正方形纸片，请同学们思考如何通过折纸的方法求出的值． 【操作探究】“乘风”小组的同学经过一番思考和讨论交流后，进行了如下操作：如图1，将一个边长为1的正方形纸片分割成7个部分，第①部分是边长为1的正方形纸片面积的一半，第②部分是第①部分面积的一半，第③部分是第②部分面积的一半，，依次类推，则图1中空白部分的面积为． “破浪”小组是这样思考的：设， 将等式两边同时乘以得：， 将上式减去下式得，即，即． 【过程思考】 (1)图1中阴影部分的面积是 ，= ． (2)请你利用图2，再设计能求的值的几何图形．（只画出图形即可） (3)根据以上规律， ① ．（为正整数） ② ．（为正整数） 【答案】(1)， (2)如图所示（标序号部分）即为所求： (3)①；② 【知识点】图形类规律探索、乘方的应用 【分析】（1）阴影部分的面积等于部分⑥的面积； （2）依照题目的示范作图即可； （3）①利用数形结合的思想，用整个正方形的面积减去阴影部分的面积即可确定答案；②利用整体思想，令将等式两边同时乘以得：，两式子相减，即可得出答案． 【详解】（1）由题知， 正方形每次被分割的部分是前一部分面积的一半， 所以图中阴影部分的面积与部分⑥的面积相等． 又因为部分①的面积为：， 部分②的面积为：， 部分③的面积为：， …， 依次类图，部分n的面积为． 当时， ． 所以阴影部分的面积为． ∵， ∴． 故答案为：；． （2）如图所示（标序号部分）即为：求的值的几何图形 （3）①根据（2）中的发现可知， ． 故答案为：． ②令 将等式两边同时乘以得：， 将②式减去①式得，即． 故答案为：． 【点睛】本题考查图形变化的规律，数形结合思想以及整体思想的巧妙运用是解题的关键． 21．数学问题：计算（其中，都是正整数，且，）． 探究问题：为解决上面的数学问题，我们运用数形结合的思想方法，通过不断地分割一个面积为 的正方形，把数量关系和几何图形巧妙地结合起来，并采取一般问题特殊化的策略来进行探究． 探究一：计算． 第次分割，把正方形的面积二等分，其中阴影部分的面积为． 第次分割，把上次分割图中空白部分的面积继续二等分，阴影部分的面积之和为． 第次分割，把上次分割图中空白部分的面积继续二等分，． 第次分割，把上次分割图中空白部分的面积最后二等分，所有阴影部分的面积之和，最后空白部分的面积是． 第次分割图可得等式：．          探究二：计算． 第次分割，把正方形的面积三等分，其中阴影部分的面积为． 第次分割，把上次分割图中空白部分的面积继续三等分，阴影部分的面积之和为． 第次分割，把上次分割图中空白部分的面积继续三等分，． 第次分割，把上次分割图中空白部分的面积最后三等分，所有阴影部分的面积之和为，最后空白部分的面积是． 根据第次分割图可得等式：， 两边同除以，得．         探究三：计算． （仿照上述方法，只画出第次分割图，在图上标注阴影部分面积，并写出探究过程）    解决问题：根据前面探究结果： __________． __________．（只填空，其中，都是正整数，且，） 拓广应用：计算． 【答案】探究三：见解析；解决问题：，；拓广应用： 【知识点】图形类规律探索、含乘方的有理数混合运算 【分析】探究三：模仿例题，画出图形即可，根据正方形面积为1，构建关系式，可得结论． 解决问题：利用规律解决问题即可． 拓广应用：用转化的思想解决问题即可． 【详解】解：探究三 第次分割图如图所示：    所有阴影部分的面积之和为1； 最后的空白部分的面积是； 根据第次分割图可得等式； 两边同除以3，得； 解决问题 根据前面探究结果： ， ， ． 根据第次分割图可得等式，， 所以． 拓广应用 ． 【点睛】本题考查规律型图形变化类，有理数的混合运算，正方形的性质等知识，解题的关键是学会利用数形结合的思想解决问题，属于中考填空题中的压轴题． 学科网（北京）股份有限公司 $$