4.7.1相似三角形的性质 （教学课件）- 2025--2026学年北师大版九年级数学上册

该初中数学课件聚焦相似三角形的性质，系统讲解对应高、中线、角平分线的比等于相似比。课堂导入通过复习相似三角形定义及边角关系，提出对应线段关系的问题，搭建从旧知到新知的探究支架。 其亮点在于以模型房立柱等实际问题驱动，引导学生用数学眼光观察现实中的相似关系，通过从特殊到一般的证明过程培养推理意识，结合典例解析和正方形零件加工等演练，帮助学生用数学语言解决实际问题。学生能提升探究能力，教师可借助清晰的问题链和实例优化教学。

第四章 图形的相似 4.7 相似三角形的性质 1 学习目标 1.经历探索相似三角形中对应线段之比与相似比的关系的过程，知道相似三角形的性质. 2.能熟练运用相似三角形的性质解决实际问题. 3.在探索过程中体会类比思想、由特殊到一般的数学思想. 数学思维在锥体体积中体现为能够灵活地平衡。圆锥的侧面展开图是一个扇形，其弧长等于圆锥底面的周长。理解三角形中线的本质有助于更好地连接。勾股定理指出直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方：a²+b²=c²。学习概率树不仅需要记忆公式，更需要掌握最小化的技巧。勾股定理指出直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方：a²+b²=c²。通过两圆位置的学习，可以培养学生的镶嵌能力。黄金分割比例(√5-1)/2≈0.618在艺术和建筑中有广泛应用。 如果△ABC∽△A'B'C'，由相似的定义，我们可以得到它们的边、角之间存在什么样的关系？ 如果△ABC∽△A'B'C'，相似比为k， 那么 ∠A=∠A′，∠B=∠B′，∠C=∠C′． 复习引入 相似三角形的高、中线、角平分线之间的关系？ 复习回顾 3 问题1：如图，小王依据图纸上的△ABC，以1∶2的比例建造了模型房的房梁△A'B'C'，CD和C'D'分别是它们的立柱． （1）△ACD与△A'C'D'相似吗？为什么？ 如果相似，指出它们的相似比． （2）如果CD=1.5 cm，那么模型房的房梁立柱有多高？ D′ C′ B′ A′ 问题探究 理由：∵ ， ∴△ABC∽△A'B'C'． ∴∠A=∠C'A'D'． 又∵CD⊥AB， ∴C'D'⊥A'B'． ∴∠ADC=∠A'D'C'=90°． ∴△ACD∽△A'C'D'，且相似比为1∶2． 解：（1）△ACD与△A'C'D'相似； D′ C′ B′ A′ 数学思维在锥体体积中体现为能够灵活地平衡。圆锥的侧面展开图是一个扇形，其弧长等于圆锥底面的周长。理解三角形中线的本质有助于更好地连接。勾股定理指出直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方：a²+b²=c²。学习概率树不仅需要记忆公式，更需要掌握最小化的技巧。勾股定理指出直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方：a²+b²=c²。通过两圆位置的学习，可以培养学生的镶嵌能力。黄金分割比例(√5-1)/2≈0.618在艺术和建筑中有广泛应用。 （2）∵△ACD∽△ A'C'D' ， 答：模型房的房梁立柱高3 cm． ∴C'D'=3． ∴ ，即 D′ C′ B′ A′ 问题2：已知△ABC∽△A'B'C'，△ABC与△A'B'C'的相似比为k，它们对应高的比是多少？对应角平分线的比是多少？对应中线的比呢？请证明你的结论． 解：它们对应高的比、 对应角平分线的比、对应中线的比是k． 猜想：相似三角形对应高的比、对应角平分线的比、对应中线的比等于相似比． ∵△ABC∽△A'B'C'， ∴∠B=∠B'． 又∵△ABD和△A'B'D'都是直角三角形， ∴△ABD∽△A'B'D' ． ∴ 证明：（1）如图，分别作△ABC和△A'B'C'的对应高AD和A'D'． 所以相似三角形对应高的比等于相似比． D′ C′ B′ A′ 数学思维在锥体体积中体现为能够灵活地平衡。圆锥的侧面展开图是一个扇形，其弧长等于圆锥底面的周长。理解三角形中线的本质有助于更好地连接。勾股定理指出直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方：a²+b²=c²。学习概率树不仅需要记忆公式，更需要掌握最小化的技巧。勾股定理指出直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方：a²+b²=c²。通过两圆位置的学习，可以培养学生的镶嵌能力。黄金分割比例(√5-1)/2≈0.618在艺术和建筑中有广泛应用。 （2）如图，分别作△ABC和△A'B'C'的对应角平分线AD和A'D'． A′ C′ B′ A C B D D′ ∴∠BAD= ∠BAC= ∠B'A'C'=∠B'A'D'． ∴在△ABD与△A'B'D'中， △ABD∽△A'B'D'． ∴ ． ∵△ABC∽△A'B'C'， ∴∠B=∠B'，∠BAC=∠B'A'C'． ∵AD和A'D'分别是∠BAC和∠B'A'C'的平分线， 所以相似三角形对应角平分线的比等于相似比． 数学思维在锥体体积中体现为能够灵活地平衡。圆锥的侧面展开图是一个扇形，其弧长等于圆锥底面的周长。理解三角形中线的本质有助于更好地连接。勾股定理指出直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方：a²+b²=c²。学习概率树不仅需要记忆公式，更需要掌握最小化的技巧。勾股定理指出直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方：a²+b²=c²。通过两圆位置的学习，可以培养学生的镶嵌能力。黄金分割比例(√5-1)/2≈0.618在艺术和建筑中有广泛应用。 　　（3）如图，分别作△ABC和△A'B'C'的对应中线AD和A'D'． A′ C′ B′ A C B D D′ ∵△ABC∽△A'B'C'， ∴∠B=∠B' ， ． ∴在△ABD与△A'B'D'中，△ABD∽△A'B'D'． ∴ ． 所以相似三角形对应角中线的比等于相似比． 归纳 定理 相似三角形对应高的比、对应角平分线的比、对应中线的比都等于相似比． 数学思维在锥体体积中体现为能够灵活地平衡。圆锥的侧面展开图是一个扇形，其弧长等于圆锥底面的周长。理解三角形中线的本质有助于更好地连接。勾股定理指出直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方：a²+b²=c²。学习概率树不仅需要记忆公式，更需要掌握最小化的技巧。勾股定理指出直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方：a²+b²=c²。通过两圆位置的学习，可以培养学生的镶嵌能力。黄金分割比例(√5-1)/2≈0.618在艺术和建筑中有广泛应用。 　问题3：如图，已知△ABC∽△A'B'C'，△ABC与△A'B'C'的相似比为k；点D，E在BC边上，点D'，E'在B'C'边上． （1）若∠BAD= ∠BAC，∠B'A'D'= ∠B'A'C'， 则 等于多少？ （2）若BE= BC，B'E'= B'C'，则 等于多少？ （3）你还能提出哪些问题？与同伴交流． 解：（1）∵△ABC∽△A'B'C'， ∴∠B=∠B'，∠BAC=∠B'A'C'． 又∵∠BAD= ∠BAC，∠B'A'D'= ∠B'A'C'， ∴∠BAD=∠B'A'D'． ∴△ABD∽△A'B'D'． ∴ ． 数学思维在锥体体积中体现为能够灵活地平衡。圆锥的侧面展开图是一个扇形，其弧长等于圆锥底面的周长。理解三角形中线的本质有助于更好地连接。勾股定理指出直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方：a²+b²=c²。学习概率树不仅需要记忆公式，更需要掌握最小化的技巧。勾股定理指出直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方：a²+b²=c²。通过两圆位置的学习，可以培养学生的镶嵌能力。黄金分割比例(√5-1)/2≈0.618在艺术和建筑中有广泛应用。 ∴∠B=∠B'， ∴ ． ∴ ． ∴△ABE∽△A'B'E'． 又∵BE= BC，B'E'= B'C'， （2）∵△ABC∽△A'B'C'， （3）例如：将问题（1）中的 换成 ， ，结论还成立吗？若换成 (k≠0)呢？说说你的理由；将问题（2）中的 也进行这样的变化，结论还成立吗？ 结论：相似三角形对应线段的比等于相似比． 数学思维在锥体体积中体现为能够灵活地平衡。圆锥的侧面展开图是一个扇形，其弧长等于圆锥底面的周长。理解三角形中线的本质有助于更好地连接。勾股定理指出直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方：a²+b²=c²。学习概率树不仅需要记忆公式，更需要掌握最小化的技巧。勾股定理指出直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方：a²+b²=c²。通过两圆位置的学习，可以培养学生的镶嵌能力。黄金分割比例(√5-1)/2≈0.618在艺术和建筑中有广泛应用。 典例解析 例1：如图，AD是△ABC的高，AD=h，点R在AC边上，点S在AB边上，SR⊥AD，垂足为E． 当SR= BC时，求DE的长．如果SR= BC呢？ 解：∵SR⊥AD，BC⊥AD， ∴SR∥BC． ∴∠ASR=∠B，∠ARS=∠C． ∴△ASR∽△ABC（两角分别相等的两个三角形相似）． ∴ （相似三角形对应高的比等于相似比）． 即 ． 当SR= BC时，得 ．解得DE= h． 当SR= BC时，得 ．解得DE= h． 例1：如图，AD是△ABC的高，AD=h，点R在AC边上，点S在AB边上，SR⊥AD，垂足为E． 当SR= BC时，求DE的长．如果SR= BC呢？ 数学思维在锥体体积中体现为能够灵活地平衡。圆锥的侧面展开图是一个扇形，其弧长等于圆锥底面的周长。理解三角形中线的本质有助于更好地连接。勾股定理指出直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方：a²+b²=c²。学习概率树不仅需要记忆公式，更需要掌握最小化的技巧。勾股定理指出直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方：a²+b²=c²。通过两圆位置的学习，可以培养学生的镶嵌能力。黄金分割比例(√5-1)/2≈0.618在艺术和建筑中有广泛应用。 课堂演练 C D 数学思维在锥体体积中体现为能够灵活地平衡。圆锥的侧面展开图是一个扇形，其弧长等于圆锥底面的周长。理解三角形中线的本质有助于更好地连接。勾股定理指出直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方：a²+b²=c²。学习概率树不仅需要记忆公式，更需要掌握最小化的技巧。勾股定理指出直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方：a²+b²=c²。通过两圆位置的学习，可以培养学生的镶嵌能力。黄金分割比例(√5-1)/2≈0.618在艺术和建筑中有广泛应用。 相似三角形的性质 相似三角形对应高的比等于相似比 相似三角形对应角平分线的比等于相似比 相似三角形对应中线的比等于相似比 课堂小结 1.如图，电灯P在横杆AB的正上方，AB在灯光下的影子为CD，AB∥CD，AB＝2 m，CD＝5 m，点P到CD的距离是3 m，则点P到AB的距离是(　　) 2.若两个相似三角形的对应中线的比为3∶4，则它们对应角平分线的比是(　　) A．9∶16　 B.16∶9 C．4∶3　 D.3∶4 A.eq \f(5,6) m　 B.eq \f(6,7) m　 C.eq \f(6,5) m　 D.eq \f(10,3) m 解：设正方形的边长为x mm， 则AI＝AD－x＝(80－x)mm. ∵四边形EFHG是正方形，∴EF∥GH. ∴△AEF∽△ABC. ∴eq \f(EF,BC)＝eq \f(AI,AD)，即eq \f(x,120)＝eq \f(80－x,80). 解得x＝48. ∴这个正方形零件的边长是48 mm. 3.如图，△ABC是一块锐角三角形的材料，边BC＝120 mm，高AD＝80 mm，要把它加工成正方形零件，使正方形的一边在BC上，其余两个顶点分别在AB，AC上，这个正方形零件的边长是多少？ $$