1.2 空间向量基本定理讲义-2025-2026学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

§1.2 空间向量基本定理 目录 考法1：基底的概念与判断 2 考法2： 用基向量表示空间某一向量 8 考法3： 利用基本定理求参数和模长 13 考法4：应用空间向量的基底表示解决平行和垂直问题 20 考法5：用向量法求异面直线所成角 25 1. 空间向量基本定理 如果三个向量不共面，那么对空间任一向量，存在唯一的有序实数组(x，y，z)，使． 2. 基底和基向量 如果三个向量不共面，那么所有空间向量组成的集合就是 .这个集合可以看作由向量生成的，我们把叫做空间的一个基底，都叫做基向量．空间任意三个不共面的向量都可以构成空间的一个基底． 3. 空间向量的正交分解 特别地，如果空间的一个基底中的三个基向量两两垂直，且长度都为1，那么这个基底叫做单位正交基底，常用表示． 由空间向量基本定理可知，对空间中的任意向量，均可以分解为三个向量，使.像这样，把一个空间向最分解为三个两两垂直的向量，叫做把空间向量进行正交分解. 考法1：基底的概念与判断 方法提炼 三个向量构成基底的判断： (1) 基本思路：判断三个空间向量是否共面，若共面，则不能构成基底，若不共面，则能构成基底. (2) 方法：①若向量中存在零向量，则不能作为基底；如果存在一个向量可以用另外的向量线性表示，则不能构成基底；②已知三个向量，可假设（），运用空间向量基本定理建立的方程组，若有解，则共面，不能作为基底；若无解，则不共面，能作为基底． 【例1.1.】 在以下命题中： ①三个非零向量，，不能构成空间的一个基底，则，，共面； ②若两个非零向量，与任何一个向量都不能构成空间的一个基底，则，共线； ③对空间任意一点和不共线的三点，，，若，则，，，四点共面 ④若，是两个不共线的向量，且，则构成空间的一个基底 ⑤若为空间的一个基底，则构成空间的另一个基底；其中真命题的个数是（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】C 【难度】0.65 【知识点】空间向量基底概念及辨析、空间向量基本定理及其应用 【分析】 直接利用空间基底，共面向量，共线向量的基础知识的应用求出结果． 【详解】空间任意三个不共面的向量都可以作为空间的一个基底. ①根据空间基底的定义，三个非零向量，，不能构成空间的一个基底，则，，共面；故命题①正确． ②由空间基底的定义，若两个非零向量，与任何一个向量都不能构成空间的一个基底，则，共线，若，不共线，则，共面，一定有向量与，不共面；故命题②正确． ③对空间任意一点和不共线的三点，，，当时，若，，，四点共面，则，，，，方程组无解，故，，，四点不共面；故命题③错误． ④若，是两个不共线的向量，且，则向量与，构成共面向量，不能构成空间的一个基底；故命题④错误． ⑤因为，所以向量共面， 不能够成空间的一个基底，故命题⑤错误． 真命题有2个. 故选：C 【例1.2.】 设，，是空间一个基底，下列选项中错误的是（   ） A．若，，则 B．则，，两两共面，但，，不可能共面 C．对空间任一向量，总存在有序实数组，使 D．则，，一定能构成空间的一个基底 【答案】A 【难度】0.65 【知识点】判定空间向量共面、空间向量基底概念及辨析 【分析】利用，，是空间一个基底的性质直接求解. 【详解】，，是空间一个基底， 若，，则与不一定垂直，故错误； ，，两两共面，但，，不可能共面，故正确； 对空间任一向量，总存在有序实数组，使，故正确； 设，，共面， 则存在唯一的实数使， 则，方程组无解， 故，，不共面， 则，，一定能构成空间的一个基底，故正确； 故选：. 【例1.3.】 下列说法正确的是（   ） A．任何三个不共线的向量可构成空间向量的一个基底 B．空间的基底有且仅有一个 C．两两垂直的三个非零向量可构成空间的一个基底 D．任一个向量在基底下的分解式与在基底下的分解式相同 【答案】C 【难度】0.85 【知识点】空间向量基底概念及辨析 【分析】借助空间向量基底定义与性质逐项判断即可得. 【详解】对A：任何三个不共面的向量可构成空间向量的一个基底，故A错误； 对B：空间的基底有且无数个，故B错误； 对C：两两垂直的三个非零向量不共面，故可构成空间的一个基底，故C正确； 对D：由于基底不唯一，故不一定相等，故D错误. 故选：C. 【例1.4.】 （多选）若是空间的一个基底，则下列各组中能构成空间一个基底的有（    ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【难度】0.94 【知识点】判定空间向量共面、空间向量基底概念及辨析、用空间基底表示向量 【分析】根据空间向量基底的概念可得解. 【详解】由已知，，不共面，则，，不共面，A选项正确； 设，即方程无解， 所以，，不共面，B选项正确； 设，即，解得： ， 即，所以，，共面，C选项错误； 设，因为是空间的一个基底，所以方程无解，这表明三个向量不共面，D选项正确； 故选：ABD. 【例1.5.】 （多选）若为空间的一个基底，则下列各组向量一定能构成空间的一个基底的是（    ） A． B． C． D． 【答案】BCD 【难度】0.65 【知识点】空间向量基底概念及辨析 【分析】由基底的概念逐项判断即可. 【详解】对于A：因为，共面，不能构成基底； 对于B：设，所以，无解， 所以是不共面的向量，能构成空间的一个基底，故B正确； 对于C：设，显然无解，所以能构成空间的一个基底，C正确； 对于D：设，则， 所以，无解， 所以是不共面的向量，能构成空间的一个基底，故D正确； 故选：BCD 【例1.6.】 若是空间的一个基底，且向量不能构成空间的一个基底，则（   ） A． B． C． D．0 【答案】A 【难度】0.85 【知识点】空间向量基本定理及其应用 【分析】由基底概念可知，不共线，再由不能构成基底可得，，共面，由共面向量基本定理待定系数求解t. 【详解】由题意，是空间的一个基底，设，， 所以，不共线， 因为，，不能构成空间的一个基底，则，，共面， 所以存在x，使得， 即， 所以，解得，，. 故选：A. 【例1.7.】 已知是空间的一个基底，则可以和，构成空间的另一个基底的向量为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.85 【知识点】判定空间向量共面、空间向量基底概念及辨析 【分析】根据基底向量的定义以及向量共面的判定定理逐项分析判断即可. 【详解】因为是空间的一个基底，可知，，不为共面向量， 对于A：因为，可知，，为共面向量，不能作为基底，故A错误； 对于B：因为，可知，，为共面向量，不能作为基底，故B错误； 对于C：因为，可知，，为共面向量，不能作为基底，故C错误； 对于D：假设，，共面， 则， 可得，方程组无解， 可知，，不为共面向量，可以作为基底，故D正确； 故选：D. 考法2： 用基向量表示空间某一向量 方法提炼 用基底表示向量的步骤 (1) 定基底：根据已知条件，选定不共面的三个向量作基向量； (2) 找目标：用确定的基底（或已知基底）表示目标向量，需要根据三角形法则及平行四边形法则，结合相等向量的代换、向量的运算进行变形、化简； (3) 下结论：利用空间向量的一个基底可以表示出空间所有向量，表示要彻底，结果中只能含有，不能含有其他形式的向量． 【例2.1.】 在三棱台中，，设，以为空间的一个基底，求直线的一个方向向量． 【答案】直线的一个方向向量是；直线的一个方向向量为 【难度】0.85 【知识点】用空间基底表示向量 【分析】根据向量的线性运算分别计算即可． 【详解】    ． 所以直线的一个方向向量是． ， 所以直线的一个方向向量为． 【例2.2.】 如图，空间四边形中，，点为中点，点在侧棱上，且，则（    ）    A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.85 【知识点】空间向量数乘运算的几何表示、空间向量加减运算的几何表示、用空间基底表示向量 【分析】由图形中线段关系，应用向量加减、数乘的几何意义用表示出. 【详解】. 故选：C 【例2.3.】 在三棱锥中，、分别是、的中点，是的重心，用基向量、、表示，则下列表示正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.65 【知识点】用空间基底表示向量 【分析】利用空间向量的线性运算可得出关于基向量、、的表达式 【详解】连接，因为为的重心，则，如下图所示： 因为为的中点，则， 所以，， 所以， . 故选：D. 【例2.4.】 （多选）如图，在平行六面体中，设，若为与的交点，则下列等式正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】BD 【难度】0.85 【知识点】用空间基底表示向量 【分析】利用向量加法的三角形法则，平行四边形法则即可求答案. 【详解】，故A错误； ，故B正确； ，故C错误； ，故D正确； 故选：BD 【例2.5.】 在正方体中，已知，，，为底面的的中心，为的重心，则 .（用，，表示） 【答案】 【难度】0.65 【知识点】空间向量加减运算的几何表示、用空间基底表示向量 【分析】根据向量的三角形法则和平行四边形法则化简计算即可． 【详解】解：在正方体中， ，为底面的中心，为△的重心， ． 故答案为：． 【例2.6.】 如图，已知空间四边形，，分别是边，的中点，点在上，且，设，，，则向量 .（用，，表示） 【答案】 【难度】0.85 【知识点】用空间基底表示向量 【分析】由已知，，根据向量线性运算法则，结合图形运算可得结论. 【详解】因为，故， 所以， 因为，分别是边，的中点， 所以，， 所以， 因为，，， 所以. 故答案为：. 考法3： 利用基本定理求参数和模长 【例3.1.】 我国古代数学名著《九章算术》中，将底面为矩形且一侧棱垂直于底面的四棱锥称为阳马．如图，四棱锥为阳马，平面，点是边上一点,且，若，则（   ） A．1 B．2 C． D． 【答案】A 【难度】0.65 【知识点】空间向量基本定理及其应用、用空间基底表示向量 【分析】利用空间向量基本定理将用，和表示出来，对照各项系数计算即得. 【详解】∵，∴， ∴ ， 则，，，故． 故选:A. 【例3.2.】 如图，在四面体OABC中，，，，点在OA上，且，点为BC的中点，设，则 . 【答案】1 【难度】0.85 【知识点】空间向量基本定理及其应用、空间向量加减运算的几何表示、用空间基底表示向量 【分析】根据空间向量的线性运算结合空间向量的基本定理运算求解. 【详解】在四面体OABC中， ，而， 所以，. 故答案为：1 【例3.3.】 如图，已知四棱柱的底面为平行四边形，为棱的中点，，，与平面交于点，则 . 【答案】 【难度】0.65 【知识点】空间向量共面求参数、空间向量基本定理及其应用 【分析】设，其中，用、、表示向量、、，利用共面向量的基本定理可知存在、使得，由空间向量基本定理可得出关于、、的方程组，即可解得实数的方程组，即可解得实数的值. 【详解】设，其中， ， ，， 因为、、、四点共线，则向量、、共面， 由共面向量定理可知，存在、使得， 即 ， 所以，，解得. 故答案为：. 【例3.4.】 如图，、、分别是正方体的棱、、的中点，是上的点，平面.若，则 . 【答案】 【难度】0.65 【知识点】空间向量共面求参数、空间向量基本定理及其应用、由线面平行的性质判断线段比例或点所在的位置 【分析】设，其中，将、、用基底表示，分析可知、、共面，则存在、，使得，根据空间向量的基本定理可得出关于、、的方程组，解出的值，即可得出的长度. 【详解】设，其中，， ， ， 因为平面，则、、共面，显然、不共线， 所以，存在、，使得， 即 ， 因为为空间中的一组基底，所以，，解得， 因此，. 故答案为：. 【例3.5.】 如图，在正四面体中，为棱的中点，为棱（靠近点）的三等分点，设. (1)用表示； (2)求的长. 【答案】(1) (2) 【难度】0.65 【知识点】空间向量数量积的应用、空间向量的加减运算、用空间基底表示向量 【分析】（1）用向量减法的三角形法表示，根据空间昂立基本定理用基底表示出来； （2）根据（1）中的结果，代入正四面体的长度和角度，根据数量积的运算律可以求得. 【详解】（1）连接， ，， 则； （2）由（1）可得，所以 ， 因为是正四面体，，故夹角均为， 所以， ，所以，即的长为. 【例3.6.】 如图，在三棱锥中，点为的重心，点在上，且，过点任意作一个平面分别交线段，，于点，，，若，，，求证：为定值，并求出该定值. 【答案】为定值4；证明见解析； 【难度】0.65 【知识点】空间向量共面求参数、空间向量的加减运算 【分析】联结AG并延长交BC于H，由题意，令为空间向量的一组基底，表示出. 然后根据点，，，M共面，故存在实数，满足，再表示出一组的表达式，因此其系数相同，从而证得结论. 【详解】联结AG并延长交BC于H，由题意，令为空间向量的一组基底， 则 . 联结DM，点，，，M共面，故存在实数， 满足，即， 因此， 由空间向量基本定理知， ， 故，为定值. 【例3.7.】 三棱柱中，为中点，点在线段上，．设，， (1)试用，，表示向量； (2)若，，求的长． 【答案】(1)； (2). 【难度】0.65 【知识点】空间向量数量积的应用、空间向量的加减运算、用空间基底表示向量 【分析】（1）根据给定条件，结合几何图形，利用空间向量的线性运算求解即得. （2）由（1）的结论，利用空间向量的数量积运算计算即得. 【详解】（1）三棱柱中，为中点，点在线段上，， 则，， 因此 . （2），， 则，同理得， 所以 . 考法4：应用空间向量的基底表示解决平行和垂直问题 方法提炼 (1) 要证明两直线垂直,只需选取三个不共线的已知向量(通常它们的模及两两夹角已知)为基底,将两直线的方向向量表示出来,随后计算两个方向向量的数量积为0即可。 (2) 要证明两直线平行,只需选取三个不共线的已知向量(通常它们的模及两两夹角已知)为基底,将两直线的方向向量表示出来,随后作相应的运算证明它们共线即可。 【例4.1.】 平行六面体的底面是菱形，且.当的值为 时，能使平面 【答案】1 【难度】0.65 【知识点】空间向量数量积的应用、空间向量与立体几何综合 【分析】设，，则，由平面，可得，所以，即，根据向量的数量积得，求解即可. 【详解】解：如图所示： 设，，则， 因为平面， 平面，所以， ，， 由，得， 即， 又因为， 则有，即， 解得或(舍去)， 因此当时，能使平面. 故答案为：1 【例4.2.】 如图所示，已知空间四面体的每条棱长都等于1，点，，分别是，，的中点，求证：． 【答案】证明见解析 【难度】0.65 【知识点】空间位置关系的向量证明 【分析】利用空间向量的线性运算表示，根据即可证明结论. 【详解】设，则. 由题意得，， ∴，则， ∴． 【例4.3.】 如图，在三棱柱中，、分别是、的中点，求证：平面. 【答案】证明见解析 【难度】0.65 【知识点】空间位置关系的向量证明 【分析】设，，，证明出、、为共面向量，结合平面，可得出平面. 【详解】设，，，则， ，， 设存在实数对，使成立， 即， 所以，解得， 于是有，即向量、、共面. 又平面，因此，平面. 【例4.4.】 如图，正四面体的高的中点为，的中点为.    (1)求证：，，两两垂直； (2)求. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【难度】0.65 【知识点】空间向量数量积的应用、求空间向量的数量积、用空间基底表示向量 【分析】（1）首先以为基底表示向量，再表示向量，再利用数量积公式证明垂直关系； （2）首先利用基底表示向量，再代入向量夹角的余弦公式，即可求解. 【详解】（1）设，，，正四面体的棱长为1， 因为 ， ， ， ， 所以 ，所以，即. 同理，，，所以，，两两垂直. （2）， 所以， 又， ， 所以， 又，所以. 【例4.5.】 如图，在平行六面体中，，， （1）求的长； （2）求证：直线平面． 【答案】（1）；（2）证明见解析 【难度】0.65 【知识点】空间向量数量积的应用、空间位置关系的向量证明 【分析】（1）首先设，，，得到，再平方即可得到答案。 （2）首先根据题意得到，，计算，，从而得到，，再利用线面垂直的判定即可证明。 【详解】（1）设，，，则。 因为，，， 所以， 所以 ， 所以 （2）由（1）知：，， 所以， ， 即，，又， 所以平面。 考法5：用向量法求异面直线所成角 【例5.1.】 如图所示的四棱锥中，底面为正方形，且各棱长均相等，是的中点，则异面直线与所成角的余弦值为（    ） A．1 B． C． D． 【答案】D 【难度】0.65 【知识点】空间向量数量积的应用、异面直线夹角的向量求法、用空间基底表示向量 【分析】根据给定条件，以为空间向量的一个基底，再利用空间向量夹角公式求解即得. 【详解】令四棱锥的各条棱长均为2，则，由是的中点，得, 显然不共面，，又， ， 因此， 所以则异面直线与所成角的余弦值为. 故选：D 【例5.2.】 在直三棱柱中，，，若中所有的点构成的几何体的体积为3，则与夹角的大小为 ． 【答案】 【难度】0.65 【知识点】空间向量基本定理及其应用、柱体体积的有关计算 【分析】由条件确定区域与三棱柱的体积关系，结合柱体体积公式列方程可求与夹角的正弦值，由此可得夹角大小. 【详解】因为， 所以中所有的点构成的几何体的体积是直三棱柱体积的倍， 则，又，所以，因为，所以， 所以与夹角的大小为． 故答案为：. 【例5.3.】 如图，已知平行六面体中，底面ABCD是边长为1的正方形，，．    (1)求线段的长度； (2)求异面直线与所成角的余弦值． 【答案】(1)； (2). 【难度】0.65 【知识点】空间向量数量积的应用、空间向量加减运算的几何表示、用空间基底表示向量 【分析】（1）利用向量对应线段位置关系，应用向量加减法几何意义用，，表示出，再应用向量数量积的运算律求模长即可； （2）应用向量加减几何意义和数量积的运算律求、，再利用夹角公式求异面直线与所成角的余弦值． 【详解】（1）设，，，则，，， 又，则. （2）由，则， 则. ， 故异面直线与所成角的余弦值为． ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $$ §1.2 空间向量基本定理 目录 考法1：基底的概念与判断 2 考法2： 用基向量表示空间某一向量 4 考法3： 利用基本定理求参数和模长 6 考法4：应用空间向量的基底表示解决平行和垂直问题 8 考法5：用向量法求异面直线所成角 9 1. 空间向量基本定理 如果三个向量不共面，那么对空间任一向量，存在唯一的有序实数组(x，y，z)，使． 2. 基底和基向量 如果三个向量不共面，那么所有空间向量组成的集合就是 .这个集合可以看作由向量生成的，我们把叫做空间的一个基底，都叫做基向量．空间任意三个不共面的向量都可以构成空间的一个基底． 3. 空间向量的正交分解 特别地，如果空间的一个基底中的三个基向量两两垂直，且长度都为1，那么这个基底叫做单位正交基底，常用表示． 由空间向量基本定理可知，对空间中的任意向量，均可以分解为三个向量，使.像这样，把一个空间向最分解为三个两两垂直的向量，叫做把空间向量进行正交分解. 考法1：基底的概念与判断 方法提炼 三个向量构成基底的判断： (1) 基本思路：判断三个空间向量是否共面，若共面，则不能构成基底，若不共面，则能构成基底. (2) 方法：①若向量中存在零向量，则不能作为基底；如果存在一个向量可以用另外的向量线性表示，则不能构成基底；②已知三个向量，可假设（），运用空间向量基本定理建立的方程组，若有解，则共面，不能作为基底；若无解，则不共面，能作为基底． 【例1.1.】 在以下命题中： ①三个非零向量，，不能构成空间的一个基底，则，，共面； ②若两个非零向量，与任何一个向量都不能构成空间的一个基底，则，共线； ③对空间任意一点和不共线的三点，，，若，则，，，四点共面 ④若，是两个不共线的向量，且，则构成空间的一个基底 ⑤若为空间的一个基底，则构成空间的另一个基底；其中真命题的个数是（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【例1.2.】 设，，是空间一个基底，下列选项中错误的是（   ） A．若，，则 B．则，，两两共面，但，，不可能共面 C．对空间任一向量，总存在有序实数组，使 D．则，，一定能构成空间的一个基底 【例1.3.】 下列说法正确的是（   ） A．任何三个不共线的向量可构成空间向量的一个基底 B．空间的基底有且仅有一个 C．两两垂直的三个非零向量可构成空间的一个基底 D．任一个向量在基底下的分解式与在基底下的分解式相同 【例1.4.】 （多选）若是空间的一个基底，则下列各组中能构成空间一个基底的有（    ） A． B． C． D． 【例1.5.】 （多选）若为空间的一个基底，则下列各组向量一定能构成空间的一个基底的是（    ） A． B． C． D． 【例1.6.】 若是空间的一个基底，且向量不能构成空间的一个基底，则（   ） A． B． C． D．0 【例1.7.】 已知是空间的一个基底，则可以和，构成空间的另一个基底的向量为（    ） A． B． C． D． 考法2： 用基向量表示空间某一向量 方法提炼 用基底表示向量的步骤 (1) 定基底：根据已知条件，选定不共面的三个向量作基向量； (2) 找目标：用确定的基底（或已知基底）表示目标向量，需要根据三角形法则及平行四边形法则，结合相等向量的代换、向量的运算进行变形、化简； (3) 下结论：利用空间向量的一个基底可以表示出空间所有向量，表示要彻底，结果中只能含有，不能含有其他形式的向量． 【例2.1.】 在三棱台中，，设，以为空间的一个基底，求直线的一个方向向量． 【例2.2.】 如图，空间四边形中，，点为中点，点在侧棱上，且，则（    ）    A． B． C． D． 【例2.3.】 在三棱锥中，、分别是、的中点，是的重心，用基向量、、表示，则下列表示正确的是（   ） A． B． C． D． 【例2.4.】 （多选）如图，在平行六面体中，设，若为与的交点，则下列等式正确的是（    ） A． B． C． D． 【例2.5.】 在正方体中，已知，，，为底面的的中心，为的重心，则 .（用，，表示） 【例2.6.】 如图，已知空间四边形，，分别是边，的中点，点在上，且，设，，，则向量 .（用，，表示） 考法3： 利用基本定理求参数和模长 【例3.1.】 我国古代数学名著《九章算术》中，将底面为矩形且一侧棱垂直于底面的四棱锥称为阳马．如图，四棱锥为阳马，平面，点是边上一点,且，若，则（   ） A．1 B．2 C． D． 【例3.2.】 如图，在四面体OABC中，，，，点在OA上，且，点为BC的中点，设，则 . 【例3.3.】 如图，已知四棱柱的底面为平行四边形，为棱的中点，，，与平面交于点，则 . 【例3.4.】 如图，、、分别是正方体的棱、、的中点，是上的点，平面.若，则 . 【例3.5.】 如图，在正四面体中，为棱的中点，为棱（靠近点）的三等分点，设. (1)用表示； (2)求的长. 【例3.6.】 如图，在三棱锥中，点为的重心，点在上，且，过点任意作一个平面分别交线段，，于点，，，若，，，求证：为定值，并求出该定值. 【例3.7.】 三棱柱中，为中点，点在线段上，．设，， (1)试用，，表示向量； (2)若，，求的长． 考法4：应用空间向量的基底表示解决平行和垂直问题 方法提炼 (1) 要证明两直线垂直,只需选取三个不共线的已知向量(通常它们的模及两两夹角已知)为基底,将两直线的方向向量表示出来,随后计算两个方向向量的数量积为0即可。 (2) 要证明两直线平行,只需选取三个不共线的已知向量(通常它们的模及两两夹角已知)为基底,将两直线的方向向量表示出来,随后作相应的运算证明它们共线即可。 【例4.1.】 平行六面体的底面是菱形，且.当的值为 时，能使平面 【例4.2.】 如图所示，已知空间四面体的每条棱长都等于1，点，，分别是，，的中点，求证：． 【例4.3.】 如图，在三棱柱中，、分别是、的中点，求证：平面. 【例4.4.】 如图，正四面体的高的中点为，的中点为.    (1)求证：，，两两垂直； (2)求. 【例4.5.】 如图，在平行六面体中，，， （1）求的长； （2）求证：直线平面． 考法5：用向量法求异面直线所成角 【例5.1.】 如图所示的四棱锥中，底面为正方形，且各棱长均相等，是的中点，则异面直线与所成角的余弦值为（    ） A．1 B． C． D． 【例5.2.】 在直三棱柱中，，，若中所有的点构成的几何体的体积为3，则与夹角的大小为 ． 【例5.3.】 如图，已知平行六面体中，底面ABCD是边长为1的正方形，，．    (1)求线段的长度； (2)求异面直线与所成角的余弦值． ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $$