1.2 空间向量基本定理 专项训练-2025-2026学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

§1.2 空间向量基本定理 考法1：基底的概念与判断 【例1.1.】 （多选）给出下列命题，其中正确的有（   ） A．若非零空间向量，，满足，，则有 B．若三个非零向量，，不能构成空间的一个基底，则，，必定共面 C．若两个非零向量，与任何一个向量都不能构成空间的一个基底，则，共线 D．已知是空间向量的一个基底，则也是空间向量的一个基底 【例1.2.】 （多选）给出下列命题，其中正确命题有（    ） A．空间任意三个不共面的向量都可以作为一个基底 B．已知，则与任何向量都不构成空间的一个基底 C．已知向量，则与任何向量都不能构成空间的一个基底 D．是空间四点，若不能构成空间的一个基底，则共面 【例1.3.】 （多选）设构成空间的一个基底，下列说法正确的是（    ） A．，，两两不共线，但两两共面 B．对空间任一向量，总存在有序实数组，使得 C．，，能构成空间另一个基底 D．若，则实数，，全为零 【例1.4.】 已知为空间的一组基底，则下列向量也能构成空间的一组基底的是（    ） A．、、 B．、、 C．、、 D．、、 【例1.5.】 在四棱台中，一定能作为空间向量的一个基底的是（   ） A． B． C． D． 【例1.6.】 已知为空间的一组基底，则下列向量也能构成空间的一组基底的是（    ） A．、、 B．、、 C．、、 D．、、 【例1.7.】 已知是空间一个基底，，一定可以与向量构成空间另一个基底的是（   ） A． B． C． D． 考法2： 用基向量表示空间某一向量 【例2.1.】 在空间四边形中，，，，且，，则（   ） A． B． C． D． 【例2.2.】 平行六面体中，为与的交点，设，用表示，则（    ） A． B． C． D． 【例2.3.】 在三棱锥中，为的中点，若，则（    ） A． B． C． D．   【例2.4.】 如图，OABC是四面体，G是的重心，是OG上一点，且，则（    ） A． B．= C．= D．= 【例2.5.】 在四面体中，为的重心，在上，且，则（    ） A． B． C． D． 考法3： 利用基本定理求参数和模长 【例3.1.】 如图，正四面体中，分别为中点，为线段上一动点，设，则（   ） A．1 B． C． D． 【例3.2.】 正方体中，点E是上底面的中心，若，则 . 【例3.3.】 已知三棱锥，如图所示，为重心，点，为，中点，点，分别在，上，，，若四点共面，则 ． 【例3.4.】 如图，分别是四面体的棱的中点，是的三等分点（点靠近点），若. (1)以为基底表示； (2)若，求的值. 【例3.5.】 如图，在直三棱柱中，，分别为，，的中点，分别记，，为，，. (1)用，，表示，； (2)若，，求. 【例3.6.】 在平行六面体中，点是线段上的一点，且. (1)设，则用表示； (2)若，且则求线段的长. 考法4：应用空间向量的基底表示解决平行和垂直问题 【例4.1.】 如图，在四棱台中，底面是一个正方形，平面，用向量法证明：． 【例4.2.】 如图，已知四面体的所有棱长都等于2，分别是棱的中点，用向量法证明：. 【例4.3.】 如图，在棱长都相等的平行六面体中，，，两两夹角均为60°. (1)求的值； (2)求证：平面. 【例4.4.】 如图，在正方体中，，，，点M，N分别是，的中点．    (1)试用，，表示． (2)求证：平面． 考法5：用向量法求异面直线所成角 【例5.1.】 如图，在棱长为2的平行六面体中，.    (1)求线段的长度； (2)求直线与直线的夹角的余弦值. 【例5.2.】 如图，正四面体ABCD(所有棱长均相等)的棱长为1，E，F，G，H分别是正四面体ABCD中各棱的中点，设，，. (1)用表示，并求EF的长； (2)求与夹角的大小． 【例5.3.】 ． (1)用向量表示向量，并求； (2)求． ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $$ §1.2 空间向量基本定理 考法1：基底的概念与判断 【例1.1.】 （多选）给出下列命题，其中正确的有（   ） A．若非零空间向量，，满足，，则有 B．若三个非零向量，，不能构成空间的一个基底，则，，必定共面 C．若两个非零向量，与任何一个向量都不能构成空间的一个基底，则，共线 D．已知是空间向量的一个基底，则也是空间向量的一个基底 【答案】BCD 【难度】0.94 【知识点】空间向量基底概念及辨析 【分析】举反例否定选项A；利用空间向量基底定义判断选项B，C，D. 【详解】当非零空间向量，，时， 满足，，但与不平行，A错误； 三个非零向量，，不能构成空间的一个基底，则它们必共面，B正确； 能构成空间的一个基底的向量必须是不共面的三个向量， 由于非零向量，与任何一个向量都不能构成空间的一个基底， 即向量，与任何一个向量均共面，则，必共线，C正确； 若，，共面，则， 可知，，共面，与为空间向量的一个基底相矛盾， 故可以构成空间向量的一个基底，D正确， 故选：BCD． 【例1.2.】 （多选）给出下列命题，其中正确命题有（    ） A．空间任意三个不共面的向量都可以作为一个基底 B．已知，则与任何向量都不构成空间的一个基底 C．已知向量，则与任何向量都不能构成空间的一个基底 D．是空间四点，若不能构成空间的一个基底，则共面 【答案】ACD 【难度】0.94 【知识点】空间向量基底概念及辨析 【分析】根据空间向量的概念，逐项分析即可. 【详解】选项中，根据空间基底的概念，可得任意三个不共面的向量都可以作为一个空间基底，所以正确； 选项中，根据空间基底的概念，可得不正确； 选项中，因为所以与任何向量都共面，故不能构成一个空间基底，所以正确； 选项中，由不能构成空间的一个基底，可得共面，又由过相同点，可得四点共面，所以正确. 故选：ACD. 【例1.3.】 （多选）设构成空间的一个基底，下列说法正确的是（    ） A．，，两两不共线，但两两共面 B．对空间任一向量，总存在有序实数组，使得 C．，，能构成空间另一个基底 D．若，则实数，，全为零 【答案】ABD 【难度】0.85 【知识点】空间向量基底概念及辨析、空间向量基本定理及其应用、用空间基底表示向量 【分析】根据空间向量基本定理一一判断即可. 【详解】因为构成空间的一个基底，所以，，两两不共线，但两两共面，故A正确； 对空间任一向量，总存在有序实数组，使得，故B正确； 因为， 所以，，共面，故不能构成空间的一个基底，故C错误； 根据空间向量基本定理可知，若，则实数，，全为零，故D正确； 故选：ABD 【例1.4.】 已知为空间的一组基底，则下列向量也能构成空间的一组基底的是（    ） A．、、 B．、、 C．、、 D．、、 【答案】A 【难度】0.85 【知识点】空间向量基底概念及辨析 【分析】利用空间向量基底的概念逐项判断即可. 【详解】对于A选项，假设、、共面， 则存在、使得 ，所以，，无解， 所以，、、不共面，可以作为空间的一组基底； 对于B选项，因为，则、、共面， 则、、不能作为空间的一组基底； 对于C，因为，所以，、、共面， 则、、不能作为空间的一组基底； 对于D，，则、、共面， 则、、不能作为空间的一组基底. 故选：A. 【例1.5.】 在四棱台中，一定能作为空间向量的一个基底的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.94 【知识点】空间向量基底概念及辨析 【分析】利用不共面的三个向量能作为一组基底一一判断. 【详解】 对A，因为,所以中三个向量共面， 不能作为空间向量的基底，A错误； 对B，因为在正四棱台中，，所以中三个向量共面， 不能作为空间向量的基底，B错误； 对C，，且不共面， 所以中三个向量不共面，能作为一组基底，C正确； 对D，因为三个向量均在平面内， 所以不能作为作为空间向量的基底，D错误； 故选:C. 【例1.6.】 已知为空间的一组基底，则下列向量也能构成空间的一组基底的是（    ） A．、、 B．、、 C．、、 D．、、 【答案】D 【难度】0.65 【知识点】空间向量基底概念及辨析 【分析】根据空间向量基底的概念逐项判断即可. 【详解】对于A选项，因为，则、、共面， 所以，、、不能构成空间的一组基底； 对于B选项，因为，则、、共面， 所以，、、不能作为空间的一组基底； 对于C选项，因为，则、、共面， 所以，、、不能作为空间的一组基底； 对于D选项，假设、、共面， 则存在、使得， 由于为空间的一组基底，则，该方程组无解， 故假设不成立，即、、不共面， 所以，、、可以作为空间的一组基底. 故选：D. 【例1.7.】 已知是空间一个基底，，一定可以与向量构成空间另一个基底的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.94 【知识点】判定空间向量共面 【分析】根据空间向量基底的定义，任意两个不共线且不为零向量，三个向量不共面，即可判断. 【详解】向量，得与是共面向量, 不能构成空间的一个基底，A错误； 同理，得与是共面向量，不能构成空间的一个基底，B错误； 又与和不共面，所以与可以构成空间的一个基底，C正确； 与是共面向量，不能构成空间的一个基底，D错误. 故选：C. 考法2： 用基向量表示空间某一向量 【例2.1.】 在空间四边形中，，，，且，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.85 【知识点】空间向量基本定理及其应用 【分析】借助空间向量的线性运算法则计算即可. 【详解】 . 故选：B. 【例2.2.】 平行六面体中，为与的交点，设，用表示，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.85 【知识点】用空间基底表示向量 【分析】利用空间向量的基底表示以及线性运算即可求得结果. 【详解】如下图所示： 易知. 故选：D 【例2.3.】 在三棱锥中，为的中点，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.65 【知识点】空间向量基本定理及其应用 【分析】根据空间向量基本定理求出答案. 【详解】由题意得为中点，所以， 又因为，所以， 所以，故A项正确. 故选：A.    【例2.4.】 如图，OABC是四面体，G是的重心，是OG上一点，且，则（    ） A． B．= C．= D．= 【答案】B 【难度】0.65 【知识点】用空间基底表示向量 【分析】利用向量加法减法的几何意义并依据空间向量基本定理去求向量 【详解】连接AG并延长交BC于N，连接ON， 由G是的重心，可得， 则 则 故选：B 【例2.5.】 在四面体中，为的重心，在上，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.85 【知识点】空间向量基本定理及其应用、用空间基底表示向量 【分析】作出辅助线，根据重心性质得到，再根据为的中点，求出. 【详解】取的中点，连接， 因为为的重心，所以， 又， 则， 因为，所以为的中点， 故. 故选：B 考法3： 利用基本定理求参数和模长 【例3.1.】 如图，正四面体中，分别为中点，为线段上一动点，设，则（   ） A．1 B． C． D． 【答案】B 【难度】0.85 【知识点】用空间基底表示向量 【分析】设，再利用向量的加法法则与减法法则即可求得结果. 【详解】设, 则 故, 故选：B 【例3.2.】 正方体中，点E是上底面的中心，若，则 . 【答案】 【难度】0.85 【知识点】空间向量加减运算的几何表示 【分析】由图结合空间向量加法可得答案. 【详解】如图，连接，，则其交点为E.又连接AC. 如图，可得，又. 则，，则. 故答案为： 【例3.3.】 已知三棱锥，如图所示，为重心，点，为，中点，点，分别在，上，，，若四点共面，则 ． 【答案】4 【难度】0.65 【知识点】空间共面向量定理的推论及应用、空间向量共面求参数、空间向量基本定理及其应用 【分析】先得到，进一步有，结合四点共面的充要条件即可求解. 【详解】如图所示：    设中点为，连接，因为点G为重心， 所以点在线段上面， 因为 ， 所以， 所以， 若M，D，E，F四点共面，则，解得， 故答案为：4. 【例3.4.】 如图，分别是四面体的棱的中点，是的三等分点（点靠近点），若. (1)以为基底表示； (2)若，求的值. 【答案】(1) (2) 【难度】0.65 【知识点】空间向量数量积的应用、用空间基底表示向量 【分析】（1）根据空间向量的线性运算结合图形计算即可； （2）根据结合数量积的运算律计算即可. 【详解】（1）（1） （2） ，所以. 【例3.5.】 如图，在直三棱柱中，，分别为，，的中点，分别记，，为，，. (1)用，，表示，； (2)若，，求. 【答案】(1)；. (2). 【难度】0.65 【知识点】空间向量数量积的应用、空间向量的加减运算 【分析】（1）用空间向量的加减运算分别表示，，，，再转化为，，表示即可； （2）先把用，，表示，然后平方，把向量的模和数量积分别代入，计算出结果后再进行开方运算求得. 【详解】（1）连结.在直三棱柱中，，，， 则. . （2）如图，在直三棱柱中，，，，所以，，又， 所以，，. ， 所以. 【例3.6.】 在平行六面体中，点是线段上的一点，且. (1)设，则用表示； (2)若，且则求线段的长. 【答案】(1) (2) 【难度】0.65 【知识点】空间向量数量积的应用、用空间基底表示向量 【分析】（1）结合向量的线性运算，直接找基底表示即可； （2）由题易知，然后求的模长即可. 【详解】（1）由题可知 （2）由题可知 所以 考法4：应用空间向量的基底表示解决平行和垂直问题 【例4.1.】 如图，在四棱台中，底面是一个正方形，平面，用向量法证明：． 【答案】证明见解析 【难度】0.65 【知识点】空间向量基本定理及其应用、空间位置关系的向量证明 【分析】设，以为基底表示和，并计算即可. 【详解】设，由题设易知三个向量两两垂直，且， 则，， 所以， 所以． 【例4.2.】 如图，已知四面体的所有棱长都等于2，分别是棱的中点，用向量法证明：. 【答案】证明见解析 【难度】0.85 【知识点】空间位置关系的向量证明 【分析】由已知可得，，计算可得，可证结论. 【详解】四面体的所有棱长都等于2，所以， 因为分别是棱的中点， 所以，， ， 所以. 【例4.3.】 如图，在棱长都相等的平行六面体中，，，两两夹角均为60°. (1)求的值； (2)求证：平面. 【答案】(1)0 (2)证明见解析 【难度】0.65 【知识点】求空间向量的数量积、空间位置关系的向量证明 【分析】（1）由空间向量数量积的运算法则求解， （2）由数量积为0证明两向量垂直，再由直线与平面垂直的判定定理证明， 【详解】（1）设平行六面体的棱长为1. 令，，， 则，. 则有， 故. 故， . （2）， . 故， . 故，即. 又由（1）知，，平面， 所以平面. 【例4.4.】 如图，在正方体中，，，，点M，N分别是，的中点．    (1)试用，，表示． (2)求证：平面． 【答案】(1) (2)证明见解析 【难度】0.94 【知识点】空间位置关系的向量证明、用空间基底表示向量 【分析】（1）根据点M，N的位置用基底表示向量； （2）证明向量与平面中的向量共线，即可证明平面． 【详解】（1）    因为，所以， 同理，， 所以； （2）证明：因为，所以，即， 因为平面，平面，所以平面． 考法5：用向量法求异面直线所成角 【例5.1.】 如图，在棱长为2的平行六面体中，.    (1)求线段的长度； (2)求直线与直线的夹角的余弦值. 【答案】(1) (2) 【难度】0.65 【知识点】异面直线夹角的向量求法、求空间向量的数量积、用空间基底表示向量 【分析】（1）由题意将分解成的线性组合，由模长公式结合已知条件即可求解. （2）先把向量分解成的线性组合，此时结合已知条件可以求出的值，再由模长公式求出，最终代入向量夹角公式即可求解. 【详解】（1）如图所示：    由图可知， 因此由题意有 . （2）如图所示：    所以， 由（1）可知， 所以由题意有 ， ， 又， 且（1）可知， 不妨设直线与直线的夹角为， 所以， 故直线与直线的夹角的余弦值为. 【例5.2.】 如图，正四面体ABCD(所有棱长均相等)的棱长为1，E，F，G，H分别是正四面体ABCD中各棱的中点，设，，. (1)用表示，并求EF的长； (2)求与夹角的大小． 【答案】(1)， (2) 【难度】0.65 【知识点】空间向量数量积的应用、用空间基底表示向量 【分析】（1）根据题意结合空间向量的线性运算求，再根据向量的数量积运算求即可； （2）根据题意结合空间向量的线性运算求，再根据向量的数量积运算可得，即可得结果. 【详解】（1）因为E，F分别为棱BC，AD的中点，且，，， 可得 ， 因为正四面体ABCD的棱长为1，则，且， 可得 ， 即，所以EF的长为. （2）由题意得 ， 因此 ， 即，即与的夹角为. 【例5.3.】 ． (1)用向量表示向量，并求； (2)求． 【答案】(1)， (2) 【难度】0.65 【知识点】空间向量数量积的应用、用空间基底表示向量 【分析】（1）借助空间向量的线性运算与模长与数量积的关系计算即可得； （2）结合题意，借助空间向量的线性运算与夹角公式计算即可得. 【详解】（1）， 则 ， 所以. （2）由空间向量的运算法则，可得， 因为且， 所以 ， ， 则. ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $$