4.3.1 一元线性回归模型(Word练习)-【精讲精练】2025-2026学年高中数学选择性必修第二册(人教B版)

[必备知识·基础巩固] 1．(多选题)设某大学的女生体重y(单位：kg)与身高x(单位：cm)具有线性相关关系．根据一组样本数据(xi，yi)(i＝1，2，…，n)，用最小二乘法建立的回归直线方程为＝0.85x－85.71，则下列结论正确的是(　　) A．若该大学某女生身高为170 cm，则可断定其体重必为58.79 kg B．回归直线过样本点的中心(，) C.若该大学某女生身高增加1 cm，则其体重约增加0.85 kg D．y与x具有正的线性相关关系 解析　用所给的回归直线方程对总体进行估计不能得到肯定的结论，故A不正确；由最小二乘法的计算公式可知，B显然正确；依据回归直线方程中的含义可知，x每变化1个单位，y相应变化约0.85个单位，C正确；回归直线方程中x的系数为0.85，0.85>0，因此y与x具有正的线性相关关系，D正确．故选BCD. 答案　BCD 2．已知变量x和y满足关系＝－0.1x＋1，变量y与z正相关．下列结论正确的是(　　) A．x与y正相关，x与z负相关 B．x与y正相关，x与z正相关 C．x与y负相关，x与z负相关 D．x与y负相关，x与z正相关 解析　因为＝－0.1x＋1，x的系数为负，故x与y负相关；又y与z正相关，故x与z负相关．C正确，故选C. 答案　C 3．陕西关中的秦腔表演朴实、粗犷、细腻、深刻，深得观众喜爱．戏曲相关部门特意进行了“喜爱看秦腔”调查，发现年龄段与爱看秦腔的人数比存在较好的线性相关关系，年龄在[40，44]，[45，49]，[50，54]，[55，59]的爱看人数比分别是0.10，0.18，0.20，0.30.现用各年龄段的中间值代表年龄段，如42代表[40，44].由此求得爱看人数比y关于年龄段x的回归直线方程为＝kx－0.418 8.那么，年龄在[60，64]的爱看人数比为(　　) A．0.42　　　　　　 B．0.39 C．0.37 D．0.35 解析　由题意，可得各年龄段的值为42，47，52，57，则＝＝49.5， 爱看人数的平均值 ＝＝0.195， 代入＝kx－0.418 8，得 0．195＝49.5k－0.418 8，即k＝0.012 4. ∴＝0.012 4x－0.418 8. 取x＝62，得＝0.012 4×62－0.418 8＝0.35. ∴年龄在[60，64]的爱看人数比为0.35. 故选D. 答案　D 4．根据如下样本数据得到的回归方程为＝bx＋a，则(　　) x 3 4 5 6 7 8 y 4.0 2.5 －0.5 0.5 －2.0 －3.0 A．a>0，b<0 B．a>0，b>0 C．a<0，b<0 D．a<0，b>0 解析　作出散点图，如图所示，由图可知b<0，a>0. 答案　A 5．若对甲、乙、丙3组不同的数据作线性相关性检验，得到这3组数据的线性相关系数依次为0.83，0.72，－0.90，则线性相关性最强的一组是________(填甲、乙、丙中的一个). 解析　两个变量y与x的回归模型中，它们的相关系数|r|越接近于1， 这个模型的两个变量线性相关性就越强，在甲、乙、丙中，所给的数值中－0.90的绝对值最接近1， 所以丙的线性相关性最强． 故答案为丙． 答案　丙 6．蟋蟀鸣叫的频率P(每分钟鸣叫的次数)与气温T(单位：℃)有着很大的关系．某观测人员根据下表中的观测数据计算出P关于T的回归直线方程＝5.2T－168，则下表中k的值为________． T(℃) 38 41 42 39 P(次数/分钟) 29 44 k 36 解析　计算＝×(38＋41＋42＋39)＝40， ＝×(29＋44＋k＋36)＝， 将点的坐标代入P与T的回归直线方程＝5.2T－168中，得＝5.2×40－168，解得k＝51. 答案　51 7．一般来说，一个人脚越长，他的身高就越高．现对10名成年人的脚长x与身高y进行测量，得如下数据(单位：cm)： x 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 y 141 146 154 160 169 176 181 188 197 203 作出散点图后，发现散点在一条直线附近．经计算得到一些数据：＝24.5，＝171.5，xiyi＝42 595，x＝6085，10　＝42 017.5，102＝6002.5.某刑侦人员在某案发现场发现一对脚印，量得每个脚印长26.5 cm，请你估计案发嫌疑人的身高为________ cm. 解析　由已知＝＝＝7，＝－＝0，故＝7x. 当x＝26.5时，＝185.5(cm). 答案　185.5 8．商业车险中，上一年的出险次数决定了下一年的保费倍率，具体关系如下表： 上一年出险次数 0 1 2 3 4 5次以上(含5次) 下一年保费倍率 85% 100% 125% 150% 175% 200% 连续两年没出险打7折，连续三年没出险打6折 经验表明新车商业车险保费与购车价格有较强的线性相关关系，下面是随机采集的8组数据(x，y)(其中x(单位：万元)表示购车价格，y(单位：元)表示商业车险保费)：(8，2150)，(11，2400)，(18，3140)，(25，3750)，(25，4000)，(31，4560)，(37，5500)，(45，6500). 设由这8组数据得到的回归直线方程为＝x＋1055. (1)求； (2)李先生在2023年1月购买了一辆价值20万元的新车， ①估计李先生购车时的商业车险保费； ②若该车今年2月已出过一次险，现在又被刮花了，李先生到4S店询价，预计修车费用为800元，保险专员建议李先生自费(即不出险)，你认为李先生是否应该接受建议？说明理由．(假设车辆下一年与上一年都购买相同的商业车险产品进行续保) 解析　(1)由所给8组数据(x，y)可得＝×(8＋11＋18＋25＋25＋31＋37＋45)＝＝25(万元)， ＝×(2150＋2400＋3140＋3750＋4000＋4560＋5500＋6500)＝＝4000(元). 由直线＝x＋1055经过样本点的中心(，)即(25，4000)， 可得＝＝＝117.8. (2)①价值为20万元的新车的商业车险保费预报值为117.8×20＋1055＝3411(元). ②由于该车已出险一次，若再出险一次，则保费要增加25%， 即增加3411×25%＝852.75(元). 因为852.75>800，即若出险，明年增加的保费已超800元，故应接受建议． [关键能力·综合提升] 9．(多选题)小明同学在做市场调查时得到如下样本数据： x 1 3 6 10 y 8 a 4 2 他由此得到回归直线的方程为＝－2.1x＋15.5，则下列说法正确的是(　　) A．变量x与y线性负相关 B．当x＝2时可以估计y＝11.3 C．a＝6 D．变量x与y之间是函数关系 解析　由回归直线方程为＝－2.1x＋15.5， 可知变量x与y线性负相关，故A正确； 当x＝2时，＝－2.1×2＋15.5＝11.3，故B正确； ∵＝＝5， ＝＝， ∴回归直线方程过点， 代入＝－2.1x＋15.5，得＝－2.1×5＋15.5，解得a＝6，故C正确； 变量x与y之间具有线性负相关关系，不是函数关系，故D错误． 答案　ABC 10．已知x与y之间的几组数据如下表： x 1 2 3 4 5 6 y 0 2 1 3 3 4 假设根据上表数据所得线性回归直线方程为＝x＋.若某同学根据上表中的前两组数据(1，0)和(2，2)求得的直线方程为y＝b′x＋a′，则以下结论正确的是(　　) A．>b′，>a′　　　 B．>b′，<a′ C．<b′，>a′ D．<b′，<a′ 解析　由两组数据(1，0)和(2，2)可求得直线方程为y＝2x－2，b′＝2，a′＝－2.而利用线性回归方程的公式与已知表格中的数据，可求得 ＝＝＝， ＝－＝－×＝－， 所以＜b′，＞a′. 答案　C 11．面对竞争日益激烈的消费市场，众多商家不断扩大自己的销售市场，以降低生产成本．某白酒酿造企业市场部对该企业9月份的产品销量(单位：千箱)与单位成本(单位：元)的资料进行线性回归分析，结果如下：＝，＝71，x＝79，xiyi＝1481.若销量每增加1000箱，单位成本下降________元． 解析　由题意知，＝≈－1.818 2， 销量每增加1千箱，则单位成本下降1.818 2元． 答案　1.818 2 12．如表提供了某工厂节能降耗技术改造后，一种产品的产量x(单位：吨)与相应的生产能耗y(单位：吨)的几组对应数据： x/吨 3 4 5 6 y/吨 2.5 t 4 4.5 根据上表提供的数据，求得y关于x的回归直线方程为＝0.7x＋0.35，那么表格中t的值为________． 解析　＝＝4.5， ＝＝， ∴回归直线过点， 代入回归直线方程＝0.7x＋0.35， 得＝0.7×4.5＋0.35， 解得t＝3. 答案　3 13．(2024·陕西西安高二月考)近年来，国家积极发展新能源汽车，某品牌的新能源汽车在某区域2024年11月至2025年3月这5个月的销售量y(单位：百辆)的数据如下表． 月份 2024年11月 2024年12月 2025年1月 2025年2月 2025年3月 月份代码x 1 2 3 4 5 月销量y/百辆 45 56 64 68 72 (1)依据表中的统计数据，求月销售量y与月份代码x间的样本相关系数r(精确到0.01)，并判断y与x是否具有较高的线性相关程度？(附：若0.30<|r|<0.75，则线性相关程度一般，若|r|≥0.75，则线性相关程度较高) (2)求月销售量y与月份代码x的回归直线方程＝x＋.并预测2025年12月份该区域的销售量(单位：百辆). 参考数据： (yi－)2＝460， (xi－)(yi－)＝66，≈6.78. 参考公式： 样本相关系数r＝， ＝，＝－， 其中，为样本平均值． 解析　(1)由表中数据可得＝＝3，＝＝61， ∴ (xi－)2＝10，又 (yi－)2＝460， (xi－)(yi－)＝66， ∴r＝＝≈0.97＞0.75， ∴y与x具有较高的线性相关程度． (2)由已知及(1)知，＝＝＝6.6，则＝－＝61－6.6×3＝41.2， 故月销售量y与月份代码x的回归直线方程为＝6.6x＋41.2，令x＝14，可得＝6.6×14＋41.2＝133.6(百辆)， 故可预测2025年12月该区域的销售量为133.6百辆． [核心价值·探索创新] 14．(2024·河北邯郸高二月考)某商场为一种商品进行合理定价，将该商品按事先拟定的价格进行试销，得到如下数据． 单价x/元 8 8.2 8.4 8.6 8.8 9 销量y/件 90 84 83 80 75 68 (1)按照上述数据，则y关于x的回归直线方程为________． (2)预计在今后的销售中，销量与单价仍然满足(1)中的关系，若该商品的成本是每件7.5元，为使商场获得最大利润，该商品的单价应定为________元．(利润＝销售收入－成本) 解析　(1)设回归直线方程为＝x＋， 由题意知，＝×(8＋8.2＋8.4＋8.6＋8.8＋9)＝8.5，＝×(90＋84＋83＋80＋75＋68)＝80， (xi－)(yi－)＝－14， (xi－)2＝0.7， 所以＝＝－20， ＝－＝80＋20×8.5＝250， 所以回归直线方程为＝－20x＋250. (2)设商场获得的利润为W元，依题意得， W＝x(－20x＋250)－7.5(－20x＋250)＝－20x2＋400x－1875＝－20(x－10)2＋125，当且仅当x＝10时，W取得最大值，故当单价定为10元时，商场可获得最大利润． 答案　(1)＝－20x＋250　(2)10 15．下图是某地区2006年至2022年环境基础设施投资额y(单位：亿元)的折线图． 为了预测该地区2024年的环境基础设施投资额，建立了y与时间变量t的两个一元线性回归模型．根据2006年至2022年的数据(时间变量t的值依次为1，2，…，17)建立模型①：＝－30.4＋13.5t；根据2016年至2022年的数据(时间变量t的值依次为1，2，…，7)建立模型②：＝99＋17.5t. (1)分别利用这两个模型，求该地区2024年的环境基础设施投资额的预测值． (2)你认为用哪个模型得到的预测值更可靠？并说明理由． 解析　(1)利用模型①，该地区2024年的环境基础设施投资额的预测值为＝－30.4＋13.5×19＝226.1(亿元). 利用模型②，该地区2024年的环境基础设施投资额的预测值为＝99＋17.5×9＝256.5(亿元). (2)利用模型②得到的预测值更可靠． 理由如下： 法一　从折线图可以看出，2006年至2022年的数据对应的点没有随机散布在直线y＝－30.4＋13.5t上下，这说明利用2006年至2022年的数据建立的一元线性回归模型①不能很好地描述环境基础设施投资额的变化趋势.2016年相对2015年的环境基础设施投资额有明显增加，2016年至2022年的数据对应的点位于一条直线的附近，这说明从2016年开始环境基础设施投资额的变化规律呈线性增长趋势，利用2016年至2022年的数据建立的一元线性回归模型＝99＋17.5t可以较好地描述2016年以后的环境基础设施投资额的变化趋势，因此利用模型②得到的预测值更可靠． 法二　从计算结果看，相对于2022年的环境基础设施投资额220亿元，由模型①得到的预测值226.1亿元的增幅明显偏低，而利用模型②得到的预测值的增幅比较合理，说明利用模型②得到的预测值更可靠． 学科网（北京）股份有限公司 $$