4.1 数列的概念学案-2025-2026学年高二上学期数学人教A版选择性必修第二册

4.1 数列的概念 一、学习目标 1.通过日常生活和数学中的实例，了解数列的概念、表示方法（列表、图象、通项公式）以及数列的分类. 2.了解数列是一种特殊函数，并能通过函数思想研究数列的性质. 3.理解数列的通项公式的意义，了解数列的递推公式，了解通项公式和递推公式是给出数列的两种方式，并明确它们的异同. 4.理解数列的前n项和，并能用数列的前n项和求出数列的通项公式. 二、重难点 重点：数列的概念和表示方法、数列的通项公式及递推公式的应用、由数列的前n项和求通项公式. 难点：数列通项公式的理解及应用、数列递推公式的认识及应用、由数列的前n项和求通项公式. 三、自主预习 1.数列的相关概念及分类：一般地，把按照确定的顺序排列的 称为数列，数列中的每一个数叫做这个数列的 . 第n个位置上的数叫做这个数列的第n项，用 表示，其中第1项也叫做 . 数列的一般形式是，，…，，…，简记为 . 2.数列的单调性：从第2项起，每一项都大于它的前一项的数列叫做 ；从第2项起，每一项都 它的前一项的数列叫做递减数列.特别地，各项都相等的数列叫做 . 3.数列的通项公式：如果数列的第n项与它的序号n之间的 可以用一个式子来表示，那么这个式子叫做这个数列的通项公式. 4.数列的递推公式：如果一个数列的 两项或多项之间的关系可以用一个式子来表示，那么这个式子叫做这个数列的 . 5.数列的前n项和：数列从第1项起到第项止的 ，称为数列的前n项和，记作，即 . 6.数列的前项和公式：如果数列的 与它的序号之间的对应关系可以用一个式子来表示，那么这个式子叫做这个数列的前项和公式. 显然，而，于是有 . 4、 应用举例 例l 根据下列数列的通项公式，写出数列的前5项，并画出它们的图象. （1）； （2）. 解：（1）当通项公式中的时， 数列的前5项依次为，图象如图所示. （2）当通项公式中的时， 数列的前5项依次为，图象如图所示. 例2 根据下列数列的前4项，写出数列的一个通项公式： （1）； （2）. 解：（1）这个数列的前4项的绝对值都是序号的倒数，并且奇数项为正，偶数项为负，所以它的一个通项公式为. （2）这个数列前4项的奇数项是2，偶数项是0，所以它的一个通项公式为. 例3 如果数列的通项公式为，那么120是不是这个数列的项？如果是，是第几项？ 解：令， 解得（舍去），或. 所以120是数列的项，是第10项. 例4 图中的一系列三角形图案称为谢尔宾斯基三角形.在图中4个大三角形中，着色的三角形的个数依次构成一个数列的前4项，写出这个数列的一个通项公式. 解：在图（1）（2）（3）（4）中，着色三角形的个数依次为1，3，9，27，即所求数列的前4项都是3的指数幂，指数为序号减1. 因此，这个数列的一个通项公式是. 例5 已知数列的首项为，递推公式为，写出这个数列的前5项. 解：由题意可知， ， ， ， ， . 例6 已知数列的前项和公式为，求的通项公式. 解：因为， ， 并且当时，依然成立. 所以的通项公式是. 5、 课堂练习 （一）课本练习 1.写出下列数列的前10项，并作出它们的图象： （1）所有正整数的倒数按从大到小的顺序排列成的数列； （2）当自变量x依次取1，2，3，…时，函数的值构成的数列； （3）数列的通项公式为 2.根据数列的通项公式填表： n 1 2 … 5 … … … n … … 153 … 273 … 3.除数函数（divisor function）的函数值等于n的正因数的个数，例如，，.写出数列，，…，，…的前10项. 4.根据下列数列的前5项，写出数列的一个通项公式： （1）1，，，，，…； （2）1，，，，，…. 5.根据下面的图形及相应的点数.写出点数构成的数列的一个通项公式，并在横线上和括号中分别填上第5项的图形和点数. （1）； （2）； （3）. 6.根据下列条件，写出数列的前5项： （1），； （2），. 7.已知数列满足，，写出它的前5项，并猜想它的通项公式. 8.已知数列的前n项和公式为，求的通项公式. （二）课本习题 1.观察下列数列的特点，用适当的数填空，并写出数列的一个通项公式： （1）( )，-4，9，( )，25，( )，49； （2）1，，( )，，，( )，； （3）1，，( )，2，，( )，； （4），，( )，，，( ). 2.已知数列的第1项是1，第2项是2，以后各项由给出. （1）写出这个数列的前5项； （2）利用数列，通过公式构造一个新的数列，试写出数列的前5项. 3.传说古希腊毕达哥拉斯学派的数学家用沙粒和小石子来研究数.他们根据沙粒或小石子所排列的形状把数分成许多类，如图中第一行的1，3，6，10称为三角形数，第二行的1，4，9，16称为正方形数，第三行的1，5，12，22称为五边形数.请你分别写出三角形数、正方形数和五边形数所构成的数列的第5项和第6项. 4.假设某银行的活期存款年利率为0.35%，某人存入10万元后，既不加进存款也不取款，每年到期利息连同本金自动转存，如果不考虑利息税及利率的变化，用表示第n年到期时的存款余额，求，，及. 六、课后练习 1.下列有关数列的说法正确的是( ) A.同一数列的任意两项均不可能相同 B.数列，0，1与数列1，0，是同一个数列 C.数列1，3，5，7可表示为 D.数列中的每一项都与它的序号有关 2.数列1，，，，，…的一个通项公式是( ) A. B. C. D. 3.已知数列满足，，则( ) A. B. C. D. 4.（多选）下列结论中正确的是( ) A.数列可以看成一个定义在正整数集（或它的有限子集）上的函数 B.数列若用图象表示，从图象上看都是一群孤立的点 C.数列的项数是无限的 D.数列的通项公式是唯一的 5.（多选）数列满足，则( ) A.数列的最大项为 B.数列的最大项为 C.数列的最小项为 D.数列的最小项为 6.（多选）在数列中，，，则( ) A. B. C. D. 7.下列星星图案中星星的个数构成数列，则数列的一个通项公式是___________. 8.已知数列的前n项和为，则的通项公式为___________. 9.根据下列数列的通项公式，写出数列的前5项，并作出它们的图象. （1）； （2）. 10.记数列的前n项和为，对任意正整数n，有，且. （1）求和的值，并猜想的通项公式； （2）证明第（1）问猜想的通项公式； 答案及解析 三、自主预习 1.一列数 项 首项 2.递增数列 小于 常数列 3.对应关系 4.相邻 递推公式 5.各项之和 6.前项和 五、课堂练习 （一）课本练习 1.答案：（1）见解析 （2）见解析 （3）见解析 解析：（1）根据题意，可知数列的前10项为：1，，，，，，，，，.图象如下： （2）根据题意，可知数列的前10项为：3，5，7，9，11，13，15，17，19，21.图象如下： （3）根据题意，可知数列的前10项为：2，3，2，5，2，7，2，9，2，11.图象如下： 2.答案：见解析 解析：当时，； 当时，； 当时，； 当时，，解得； 当时，，解得； 所以列表如下： n 1 2 … 5 … 12 … 22 … n 21 33 … 69 … 153 … 273 … 3.答案：1，2，2，3，2，4，2，4，3，4 解析：由题意可得， 因为，所以， 因为，所以， 因为，所以， 因为，所以， 因为，所以， 因为，所以， 因为，所以， 因为，所以， 因为，所以， 所以前10项分别为1，2，2，3，2，4，2，4，3，4. 故答案为：1，2，2，3，2，4，2，4，3，4. 4.答案：（1） （2） 解析：（1），，，，，…， 所以； （2）由题意，，，，，…， 所以. 5.答案：（1）见解析 （2）见解析 （3）见解析 解析：（1）设第n项的点数为， ，，，， 该数列的第5项为， 数列的一个通项公式为，第5项的图形如下图所示： （2）设第n项的点数为， ，，，， 该数列的第5项为， 数列的一个通项公式为，第5项的图形如下图所示： （3）设第n项的点数为， ，，，， 该数列的第5项为， 数列的一个通项公式为，第5项的图形如下图所示： 6.答案：（1）1，3，7，15，31 （2）3，3，3，3，3 解析：（1）因为，， 所以， ， ， ， 故数列的前5项分别为1，3，7，15，31. （2）因为，， 所以， ， ， ， 故数列的前5项分别为3，3，3，3，3. 7.答案：，，，，通项公式 解析：，，， . 猜想. 8.答案： 解析：当时，； 当时，，满足， 故的通项公式为. （二）习题 1.（1）答案：1、、、通项公式： 解析：(1)，-4，9，()，25，()，49.. （2）答案：、、通项公式： 解析：1，，，，，，.. （3）答案：、、通项公式： 解析：1，，，2，，，.. （4）答案：、、通项公式： 解析：，，，，，.. 2、（1）答案：1，2，3，5，8； （2）答案：2，，，，. 3.答案：见解析 解析：三角形数所构成的数列的第5项和第6项分别为15，21； 正方形数所构成的数列的第5项和第6项分别为25，36； 五边形数所构成的数列的第5项和第6项分别为35，51. 4.答案：见解析 解析：，，，. 六、课后练习 1.答案：D 解析：A是错误的，例如无穷个3构成的常数列3，3，3，的各项都是3；B是错误的，数列，0，1与数列1，0，中项的顺序不同，即表示不同的数列；C是错误的，是一个集合；易知D是正确的. 2.答案：B 解析：由于数列中各项的分母1，3，5，7，…是奇数列，分子1，2，3，4，…是自然数列，故通项公式为.故选B. 3.答案：B 解析：由，得，所以，，，…，，，所以，所以，又，所以，因为满足上式，所以. 4.答案：AB 解析：数列是特殊的函数，其定义域是正整数集或它的有限子集，A，B正确；由于数列有有穷数列与无穷数列之分，即数列的项数可以是有限的，也可以是无限的，C不正确；数列的通项公式可以不唯一，例如，数列1，，1，，…的通项公式可以是，也可以是不正确. 5.答案：BD 解析：令，，由反比例函数的性质得在上单调递减，在上单调递减，所以当时，是递减数列，当时，是递减数列.又当时，，当时，，所以数列的最大项为，最小项为. 6.答案：BD 解析：由得，当时，，，…，，，将各式相加得，则.当时，，满足上式，所以，当时，.故选BD. 7.答案： 解析：由题图可知，，，，，，…，，，则，当时，也成立.. 8.答案： 解析：由已知得当时，，又当时，，所以的通项公式为 9.答案：（1）见解析 （2）见解析 解析：（1）数列的前5项如下表： n 1 2 3 4 5 0 1 图象如图所示. （2）数列的前5项如表： n 1 2 3 4 5 0 1 0 图象如图所示. 10.答案：（1），；猜想： （2）证明见解析 解析：（1）由题意对任意正整数n，有， 令时，，即，可得； 令时，，即，可得. 由，，猜想：. （2）由（1）可知； 当时，由得，则， 即，即， 故时，， 且也适合上式，所以. 学科网（北京）股份有限公司 $$