精品解析：安徽省合肥市庐江中学2025-2026学年高三上学期调研考试（二）数学试卷

庐江中学高三年级调研考试（二） 数学试卷 命题人 时间：120分钟 分值：150分 一、单选题（每题5分，共40分） 1. 不等式的解集为（ ） A. 或 B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意结合绝对值性质可得，再结合分式不等式运算求解. 【详解】因为，即，可得， 等价于，解得， 所以不等式的解集为． 故选：D． 2. 的内角，，的对边分别为，，，且，则为（    ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用已知及余弦定理化简计算即可得出结果. 【详解】由，则，所以， 由余弦定理，可得， 因为，所以. 故选：B. 3. 定义运算，已知复数，其中i为虚数单位，则下列说法正确的是（ ） A. 若复数满足条件，则复数对应点的轨迹方程为 B. 若复数满足条件，则复数对应点的轨迹方程为 C. 若复数满足条件，则复数对应点的轨迹方程为 D. 若复数满足条件，则复数对应点的轨迹方程为 【答案】B 【解析】 【分析】对于A根据定义得，求复数的模即可判断，对于B根据定义和求复数的模即可判断，对于C根据定义得，求复数的模得，化简即可判断，对于D根据定义得，利用复数的模得，化简即可判断. 【详解】对于A：由新运算法则可知，故复数对应点的轨迹方程为，故A错误； 对于B：由新运算法则可知，，故复数对应的点的轨迹方程为，故B正确； 对于C：由新运算法则可知，则复数对应点的轨迹方程为，故C错误； 对于D：由新运算法则可知，则复数对应点的轨迹方程为，故D错误. 故选：B. 4. 法国数学家加斯帕尔•蒙日发现与椭圆相切的两条垂直切线的交点的轨迹是以椭圆中心为圆心的圆．我们通常把这个圆称为该椭圆的蒙日圆．已知椭圆的蒙日圆方程为，，分别为椭圆C的左、右焦点．离心率为，M为蒙日圆上一个动点，过点M作椭圆C的两条切线，与蒙日圆分别交于P，Q两点，若面积的最大值为10，则椭圆C的长轴长为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用椭圆的离心率可得，分析可知为蒙日圆的直径，利用勾股定理可得，再利用基本（均值）不等式即可求解． 【详解】根据题意作图如下， 因为椭圆C的离心率，所以．因为，则， 所以，所以椭圆C的蒙日圆的半径为． 因为，所以为蒙日圆的直径，所以， 所以． 因为，当时，等号成立， 所以面积的最大值为．由面积的最大值为10， 得，得，进而有，故椭圆C的长轴长为． 故选：B． 5. ““是“函数为奇函数”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】先由为奇函数得到，再判断函数的定义域是否关于原点对称，从而得到函数为奇函数的充要条件，即可得是函数为奇函数的充分不必要条件. 【详解】若为奇函数，则， 即，整理得， 即，解得. 当时，函数的定义域为关于原点对称，且，所以为奇函数； 当时，函数的定义域为关于原点对称，且，所以为奇函数. 所以函数为奇函数的充要条件是或. 所以“”是“函数为奇函数”的充分不必要条件． 故选：A. 6. 已知，，，则的值为（ ） A. B. C. D. 或 【答案】A 【解析】 【分析】由同角的三角函数的关系及两角差的正弦、余弦公式、二倍角公式计算求解即可. 【详解】，则，， ， 则 ， ， 又，， ， 则， ， 又 且，则， . 故选：A. 7. 袋子里有大小相同的3个红球和2个白球，每次从袋子里随机取出一个球，若取出的是红球则放回袋子，若取出的是白球则不放回袋子.记为取了次后白球恰好全部取出的概率，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意，利用独立事件的概率乘法公式求出的表达式，根据选项作差计算，逐项判断即可. 【详解】设事件为第一个白球在次取出，且第二个白球在第次取出，其中， 则， 所以. 故，又， 故时，，即，， 时，，即，，故A错误，B正确； ，又， 故时，，即，， 时，，即，，故C，D错误. 故选：B. 8. 已知函数，记为从小到大的第个极值点，数列满足，其前项和为，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由求得的极值点，则是以为首项、为公差的等差数列，又和时，分别构成等比数列，故分组求和可得. 【详解】由题意， 令，则， 所以，解得． 由函数图象可知，是的极值点， 又，所以是以为首项、为公差的等差数列， 所以， 当时，设， 当，时，设， 从而． 故选：C． 二、多选题（每题6分，共18分） 9. 已知函数是定义在R上的奇函数，当时，，则下列命题正确的是（ ） A. 当时， B. 函数有3个零点 C. 的解集为 D. ，都有 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据函数奇偶性求解析判断A；解方程求零点判断B；解不等式可判断C；利用导数求出函数的极值，可得函数值域，即可判断D. 【详解】对于A，函数是定义在R上的奇函数，当时，， 则当时，，故，A错误； 对于B，函数是定义在R上的奇函数，故； 当时，令，解得； 当时，令，解得； 故函数有3个零点，B正确； 对于C，当时，令，解得； 当时，令，解得，则， 故的解集为，C正确； 对于D，当时，，所以时，，单调递减， 时，，单调递增，所以时，取最小值为， 且时，，所以，即， 当时，，当时，，单调递增， 当时，，单调递减， 所以时，取极大值为，且时，，时，， 所以，所以， 综合以上，的值域为， 所以，都有，故D正确； 故选：BCD 10. （多选）如图，在正四面体中，在平面内，点是线段的中点，在该四面体绕旋转的过程中，直线与平面所成角的余弦值可能是（ ） A. B. C. D. 1 【答案】BD 【解析】 【分析】取中点，连接，则，等价于平面绕着旋转，首先求得，再将问题抽象为平面的垂线视为圆锥的底面半径，绕着圆锥的轴旋转，从而得到，应用直观想象及线面角定义求余弦值. 【详解】考虑相对运动，让四面体保持静止，平面绕着旋转，其垂线也绕着旋转， 如图，取中点，连接，则，等价于平面绕着旋转， 设正四面体中棱长为2， 在中，，，， 如图所示，将问题抽象为如下几何模型，平面的垂线可视为圆锥的底面半径，绕着圆锥的轴旋转， 显然，注意在同侧共面取左侧等号，在异侧共面取右侧等号，则， 设与平面所成的角为，则可得， 故选：BD 11. 已知双曲线的左、右焦点分别为，．过的直线交双曲线的右支于两点，其中点在第一象限．的内心为，与轴的交点为，记的内切圆的半径为，的内切圆的半径为，则下列说法正确的有（ ） A. 若双曲线渐近线的夹角为，则双曲线的离心率为 B. 若，且，则双曲线的离心率为 C. 若，，则的取值范围是 D. 若直线的斜率为，，则双曲线的离心率为 【答案】BD 【解析】 【分析】根据渐近线斜率与夹角的关系可判断A错误；根据双曲线定义以及勾股定理计算可判断B正确；由内切圆性质可得所在直线方程为，根据直线的倾斜角范围与渐近线关系可得，即C错误；利用三角形相似以及余弦定理计算可得D正确. 【详解】对于A，若双曲线渐近线的夹角为，则或， 故可得或，即A错误； 对于B，设，则由以及双曲线定义可得， 故，则 又，即可得， 因此，解得， 又，即， 可得，即， 故双曲线的离心率为，即B正确； 对于C，如下图所示： 令的内切圆切分别为， 则， 所以， 令点，而，因此，解得； 又，则点的横坐标为， 同理可得的横坐标也为，即所在直线方程为； 设直线的倾斜角为，则， 在中，， 在中，， 又，可得渐近线斜率为，且， 因为均在右支上，故，即， 因此，可知C错误； 对于D，由可得, 故，而，可得， 又直线的斜率为，所以， 由余弦定理可得，解得， 即则双曲线的离心率为，可得D正确. 故选：BD 【点睛】关键点点睛：在求解焦点三角形内切圆问题时，要利用双曲线定义以及切线长性质得出内切圆圆心的横坐标为双曲线的顶点坐标，再利用内心性质可求出半径. 三、填空题（每题5分，共15分） 12. 已知 和 分别是函数 的极大值点和极小值点. 若 ，则 的取值范围是______________. 【答案】 【解析】 【分析】求导，根据导函数与原函数的极值间的关系，即可结合二次函数的性质求解. 【详解】已知，函数定义域为R， 可得， 因为 和 分别是函数的极大值点和极小值点， 所以是方程的两个不等实根， 所以，解得， 又，所以为开口向下的二次函数，故， 而当时，原函数只有一个极值点，矛盾， 当时，在单调递增，在单调递减，在单调递增，这与题干矛盾； 故所求范围是. 故答案为：. 13. 设点是的外心，，，，则的取值范围为______． 【答案】 【解析】 【分析】通过作出辅助线，将向量进行转化，利用中点性质将向量用已知边向量表示，再根据数量积的几何意义最后结合已知条件求出取值范围. 【详解】如图，过点作、，垂足分别为、， 点是的外心，、分别是、的中心, ， 由得，从而， 的取值范围为 故答案为：. 14. 有一个儿童玩具，外部是一个透明的塑料大球，内部是8个半径均为1的小球（球壁厚度均忽略不计），其中两两相切，两两相切，两两相切，两两相切，两两相切，且，均与球相切，则球的半径为___________. 【答案】 【解析】 【分析】找到球心的位置，得到球半径的表达式，求正四面体的高与内切球半径，即可得解. 【详解】连接，，，，，， 由题可得三棱锥是棱长为2的正四面体， 连接，，，，，，，，，，，， 因为两两相切，两两相切，两两相切， 两两相切，所以三棱锥､三棱锥､ 三棱锥､三棱锥分别是以三棱锥的四个面为底面， 且棱长均为2的正四面体，又均与球相切， 所以三棱锥的外接球球心就是大球的球心. 作出三棱锥和三棱锥的示意图如图所示， 连接，则球的半径为. 易得正四面体的高， 到平面的距离即三棱锥内切球的半径， 易得，得，则，所以球的半径为. 【点睛】关键点点睛：设正四面体的棱长为，高为，其外接球半径为，内切球半径为，则，，，. 15. 如图1，在等腰梯形中，，点在以为直径的半圆上，且，将半圆沿翻折如图2. （1）求证：平面； （2）当多面体的体积为32时，求平面与平面夹角的余弦值. 【答案】（1） 设是的中点，连， 依题意，在等腰梯形中，， 点在以为直径的半圆上，且， 由等边三角形可知分布在同一个圆周上， 且， 则六边形为正六边形， 面面. （2） 【解析】 【分析】（1）根据线面平行的判定定理来求得正确答案. （2）利用几何法，或建立空间直角坐标系，利用向量法来求得平面与平面夹角的余弦值. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 在图1中连交于，则，连交于，则， 故在图2中，平面， 所以平面，同理可证得平面， 记面与面所成角为，则， ， 故，即面面. 法一（几何法）：延长交于延长交于 则为面与面交线且，取中点， 连接，则，则即为面与面所成角. 在中，， 故， 故面与面所成角的余弦值为. 法二（坐标法）：以为坐标原点，所在的直线为轴， 建立空间直角坐标系，则 ， ，有， 令得， 同理可得面法向量，设面与面所成角为， 故. 16. 设数列满足，． （1）证明：为等差数列并求； （2）设，求． 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）通过给定的递推公式进行变形，得到相邻两项的差为常数，从而证明为等差数列，再求出的通项公式进而得到； （2）根据第一问得到的表达式，然后利用求导公式对进行求导，再构造一个式子，两式相减化简即可. 【小问1详解】 由题意证明如下，，在数列中，，， ，即， 数列是以为首项，1为公差的等差数列， ，即 【小问2详解】 由（1）可知， 在中，， ①， ②， 当且时，，得， ； 当时，； 当时，； 综上，. 17. 无人驾驶被视为推动社会进步和改善生活质量的重要工具，但其安全性和对劳动就业的影响也受到人们的质疑．为了解某大学的学生对无人驾驶的态度，随机调查了该校120名大学生（男女各60人），调查结果如下表所示： 对无人驾驶的态度 性别 支持 中立 反对 男 36 18 6 女 24 21 15 用样本的频率分布估计该校每名学生对无人驾驶态度的概率分布，且学生的态度相互独立．为衡量学生对无人驾驶的支持程度，每名支持者得5分，每名中立者得3分，每名反对者得1分． （1）为判断性别对无人驾驶的支持态度是否存在关联，对上面数据重新整理形成下表，请补齐数据，并作出检验判断：能否有的把握认为性别与对无人驾驶的支持态度有关联？ 对无人驾驶的态度 性别 支持 不支持 男 女 附：， 0.050 0.010 0.001 3.841 6.635 10.828 （2）从抽样调查的60名男大学生中，按分层抽样选10名学生进行深度追踪访谈，求选出的3名男大学生对无人驾驶的支持态度各异的概率； （3）从该校任选名学生，其中得分为5的学生人数为，若，利用下面所给的两个结论，求正整数的最小值． 结论一：若随机变量，则随机变量近似服从正态分布； 结论二：若随机变量，则，． 【答案】（1） 对无人驾驶的态度 支持 不支持 男 36 24 女 24 36 有 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）由列联表中的数据，根据独立性检验的计算以及解题步骤，可得答案； （2）由列联表中的数据，可得各部分的占比，结合古典概型，可得答案； （3）由题意，建立随机变量之间的等量关系，结合二项分布以及正态分布的概率，可得答案. 【小问1详解】 如表，，，， 对无人驾驶的态度 支持 不支持 男 36 24 女 24 36 ， 有的把握认为性别与对无人驾驶的支持态度有关联． 【小问2详解】 按分层抽样从60名男生中选10名，其中支持、中立、反对的人数分别为：6、3、1， 故从中选出3人态度各异的概率为； 【小问3详解】 由题可知从该校随机选一名学生得5分的概率为，易知， 设，根据结论一，知． 再根据结论二，知． 由条件知， 所以，解得，所以正整数的最小值为11． 18. 圆心在轴上移动的圆经过点，且与轴，轴分别交于，两个动点. （1）求点的轨迹的方程； （2）过点作互相垂直的两条直线与曲线相交于两点，与曲线相交于两点，线段的中点分别为M，N． （ⅰ）试问直线MN是否经过定点？若是，请求出该定点的坐标，若不是，请说明理由； （ⅱ）求面积的最小值. 【答案】（1）； （2）（i）是，定点为；（ii）. 【解析】 【分析】（1）设圆心为，则半径为，得圆的方程，令得，令得，消去参数即可求解； （2）（ⅰ）设直线的方程为，则直线的方程为，与抛物线方程联立得点的坐标，进而得直线的方程，即可得直线的定点； （ⅱ）利用两点间的距离公式求，求点到直线的距离公式，代入，最后利用均值不等式即可求解. 【小问1详解】 设圆心为，则半径为，所以圆的方程为：， 令得，令得或（舍去）， 所以，所以的方程为； 【小问2详解】 （ⅰ）由题意有直线的斜率存在，设直线的方程为，则直线的方程为， 所以，所以， 设，所以，， 又，所以，同理得， 所以， 所以直线的方程为：， 化简整理有：，令，得，即， 所以直线过定点； （ⅱ）由（ⅰ）有，，直线的方程为， 所以， 点到直线的距离为， 所以面积为， 当且仅当，即时，等号成立， 所以面积的最小值为. 19. 数学与音乐有着紧密的关联，每一个音都是由纯音合成，纯音的数学模型是函数．我们平时听到的音乐不只是一个音在响，而是许多个纯音的结合，称为复合音．复合音的产生是由于发音体不仅全段在振动，它的各部分如二分之一、三分之一、四分之一等也同时在振动．已知刻画某声音的函数为． （1）求函数在处的切线方程； （2）求函数在上的单调区间； （3）函数，若在上有三个不同的极值点，证明：为定值． 【答案】（1） （2）的增区间为：和，减区间为：和， （3）证明见解析 【解析】 【分析】（1）分别求出和，即可求出切线方程； （2）由，可得，分别令，，，解出不等式即可求出单调区间； （3）由，可得，将在上有三个不同的极值点转化为在上有三个不同的根，令（时，且，因为），方程转化为， 设方程的根为，，，由三次方程根与系数关系即可求解. 【小问1详解】 由题可得，所以， 所以切线的斜率为0，由于， 则函数在处的切线方程为：. 【小问2详解】 由于， 所以， 当，令，解得，，， 则令，解得：，或， 令，解得：，或， 所以的增区间为：和，减区间为：和； 【小问3详解】 证明：由于， 所以 由于 ， 所以， 因为在上有三个不同的极值点， 所以在上有三个不同的根，即在上有三个不同的根， 令（时，且，因为），方程转化为，设方程的根为，，， 则，化简可得：， 则，即， ，即， ，即， 所以. 所以为定值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 庐江中学高三年级调研考试（二） 数学试卷 命题人 时间：120分钟 分值：150分 一、单选题（每题5分，共40分） 1. 不等式的解集为（ ） A. 或 B. C. D. 2. 的内角，，的对边分别为，，，且，则为（    ） A. B. C. D. 3. 定义运算，已知复数，其中i为虚数单位，则下列说法正确的是（ ） A. 若复数满足条件，则复数对应点的轨迹方程为 B. 若复数满足条件，则复数对应点的轨迹方程为 C. 若复数满足条件，则复数对应点的轨迹方程为 D. 若复数满足条件，则复数对应点的轨迹方程为 4. 法国数学家加斯帕尔•蒙日发现与椭圆相切的两条垂直切线的交点的轨迹是以椭圆中心为圆心的圆．我们通常把这个圆称为该椭圆的蒙日圆．已知椭圆的蒙日圆方程为，，分别为椭圆C的左、右焦点．离心率为，M为蒙日圆上一个动点，过点M作椭圆C的两条切线，与蒙日圆分别交于P，Q两点，若面积的最大值为10，则椭圆C的长轴长为（ ） A. B. C. D. 5. ““是“函数为奇函数”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 6. 已知，，，则的值为（ ） A. B. C. D. 或 7. 袋子里有大小相同的3个红球和2个白球，每次从袋子里随机取出一个球，若取出的是红球则放回袋子，若取出的是白球则不放回袋子.记为取了次后白球恰好全部取出的概率，则（ ） A. B. C. D. 8. 已知函数，记为从小到大的第个极值点，数列满足，其前项和为，则（ ） A. B. C. D. 二、多选题（每题6分，共18分） 9. 已知函数是定义在R上的奇函数，当时，，则下列命题正确的是（ ） A. 当时， B. 函数有3个零点 C. 的解集为 D. ，都有 10. （多选）如图，在正四面体中，在平面内，点是线段的中点，在该四面体绕旋转的过程中，直线与平面所成角的余弦值可能是（ ） A. B. C. D. 1 11. 已知双曲线的左、右焦点分别为，．过的直线交双曲线的右支于两点，其中点在第一象限．的内心为，与轴的交点为，记的内切圆的半径为，的内切圆的半径为，则下列说法正确的有（ ） A. 若双曲线渐近线的夹角为，则双曲线的离心率为 B. 若，且，则双曲线的离心率为 C. 若，，则的取值范围是 D. 若直线的斜率为，，则双曲线的离心率为 三、填空题（每题5分，共15分） 12. 已知 和 分别是函数 的极大值点和极小值点. 若 ，则 的取值范围是______________. 13. 设点是的外心，，，，则的取值范围为______． 14. 有一个儿童玩具，外部是一个透明的塑料大球，内部是8个半径均为1的小球（球壁厚度均忽略不计），其中两两相切，两两相切，两两相切，两两相切，两两相切，且，均与球相切，则球的半径为___________. 15. 如图1，在等腰梯形中，，点在以为直径的半圆上，且，将半圆沿翻折如图2. （1）求证：平面； （2）当多面体的体积为32时，求平面与平面夹角的余弦值. 16. 设数列满足，． （1）证明：为等差数列并求； （2）设，求． 17. 无人驾驶被视为推动社会进步和改善生活质量的重要工具，但其安全性和对劳动就业的影响也受到人们的质疑．为了解某大学的学生对无人驾驶的态度，随机调查了该校120名大学生（男女各60人），调查结果如下表所示： 对无人驾驶的态度 性别 支持 中立 反对 男 36 18 6 女 24 21 15 用样本的频率分布估计该校每名学生对无人驾驶态度的概率分布，且学生的态度相互独立．为衡量学生对无人驾驶的支持程度，每名支持者得5分，每名中立者得3分，每名反对者得1分． （1）为判断性别对无人驾驶的支持态度是否存在关联，对上面数据重新整理形成下表，请补齐数据，并作出检验判断：能否有的把握认为性别与对无人驾驶的支持态度有关联？ 对无人驾驶的态度 性别 支持 不支持 男 女 附：， 0.050 0.010 0.001 3.841 6.635 10.828 （2）从抽样调查的60名男大学生中，按分层抽样选10名学生进行深度追踪访谈，求选出的3名男大学生对无人驾驶的支持态度各异的概率； （3）从该校任选名学生，其中得分为5的学生人数为，若，利用下面所给的两个结论，求正整数的最小值． 结论一：若随机变量，则随机变量近似服从正态分布； 结论二：若随机变量，则，． 18. 圆心在轴上移动的圆经过点，且与轴，轴分别交于，两个动点. （1）求点的轨迹的方程； （2）过点作互相垂直的两条直线与曲线相交于两点，与曲线相交于两点，线段的中点分别为M，N． （ⅰ）试问直线MN是否经过定点？若是，请求出该定点的坐标，若不是，请说明理由； （ⅱ）求面积的最小值. 19. 数学与音乐有着紧密的关联，每一个音都是由纯音合成，纯音的数学模型是函数．我们平时听到的音乐不只是一个音在响，而是许多个纯音的结合，称为复合音．复合音的产生是由于发音体不仅全段在振动，它的各部分如二分之一、三分之一、四分之一等也同时在振动．已知刻画某声音的函数为． （1）求函数在处的切线方程； （2）求函数在上的单调区间； （3）函数，若在上有三个不同的极值点，证明：为定值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $