（篇五）第三单元分数除法·实际应用篇拓展·单位“1”转化问题【八大考点】-2025-2026学年六年级数学上册典型例题系列（原卷版+解析版）人教版

第 1 页 共 17 页 篇首寄语 我们每一位老师都希望为学生提供最优质的教学资料，在日常教学中，能够迅速找到一份 高质量、高效率、高标准的资料显得尤为关键。过去，编者常常在各学习网站间奔波，寻找所 需的资料，但它们总是存在各种问题，难以令人满意，每次搜寻都要耗费大量时间和精力，才 能找到心仪的资料，这种费时费力的过程实在令人苦恼。因此，在每次的寻找过程中，编者不 禁思考：如果由我自己来创作一份资料，情况会如何呢？这份资料首先应满足我自身的教学需 求，达到我设定的高标准，然后再为他人提供参考。基于这一理念，结合自身教学需求和学生 实际情况，最终精心打造出了一个既适合课堂教学，又适应课后作业，还便于阶段复习的大综 合系列。 《2025-2026学年典型例题系列》，是基于教材知识和历年真题精心总结与编辑而成的。 该系列主要包括四个篇章：典型例题篇、三阶练习篇、单元复习篇和素养测评篇。 1. 典型例题篇：按照单元顺序编排，涵盖计算和应用两大板块。其优点在于例题典型、考点 丰富，变式多样。 2. 三阶练习篇：从高频考题和期末真题中精选练习题，分为课时练、专项练和综合练三部分。 其优点在于选题经典、题型多样，题量适中。 3. 单元复习篇：汇集系列精华，高效辅助单元复习。其优势在于内容综合全面、精练高效， 实用性强。 4. 素养测评篇：依据试题难度和综合水平，分为 A 卷·基础达标卷和 B 卷·综合素养卷。其 优点在于考点覆盖广泛、层次分明，适应性强。 时光荏苒，《典型例题系列》正在更新至第 5 版，在过去，它扬长补短，去粗取精，日臻 完善；展望未来，它将承前启后，不断发展，未有竟时。 黄金无足色，白璧有微瑕，如果您在使用资料的过程中有任何宝贵意见，请留言于我，欢 迎您的使用，感谢您的支持！ 101 数学创作社 2025 年 8 月 2 日晚 第 2 页 共 17 页 2025-2026 学年六年级数学上册典型例题系列「2025 秋」 第三单元分数除法·实际应用篇拓展·单位“1”转化问题【八大考点】 专题名称 第三单元分数除法·实际应用篇拓展·单位“1”转化问题 专题内容 本专题以分数除法中的单位“1”转化问题为主，本专题仍专注于使用算术法 解决问题，因此，量率对应法成为解决分数除法单位“1”转化问题的基础。 评价体系 基础： ；迁移： ；综合： ；多维度： ；重难点： 讲解建议 本专题是分数除法应用题的拓展性内容，考查难度大，综合性强，理解较为抽 象，题型多以填空、应用等题型为主，建议根据学生实际情况和总体水平，选 择部分考点进行讲解。 考点数量 八大考点 【知识总览】 ................................................................................................................................................................ 3 【考点一】常见的单位“1”转化问题 ...............................................................................................................3 【考点二】单位“1”转化问题其一：已知剩余数量，转化单位“1” ........................................................ 5 【考点三】单位“1”转化问题其二：已知数量差，转化单位“1” ............................................................ 8 【考点四】单位“1”转化问题其三：已知数量和，转化单位“1” ............................................................ 9 【考点五】单位“1”转化问题其四：任选单位“1”进行转化 .................................................................. 10 【考点六】单位“1”转化问题其五：多个单量的统一 .................................................................................12 【考点七】单位“1”转化问题其六：以总量统一单位“1” ...................................................................... 14 【考点八】单位“1”转化问题其七：以单量统一单位“1” ...................................................................... 15 第 3 页 共 17 页 【知识总览】 1. 关于单位“1”转化问题。 单位“1”作为一个抽象表示概念，在分数问题中作为基准量，如果出现动态变化时，是 不能够直接使用量率对应法解决问题的，这时候，就需要根据条件动态调整单位“1”，确保 分量与分率严格对应，这样的一类需要动态调整单位“1”的问题，我们把它叫做单位“1”转 化问题。 2. 解题方法。 单位“1”转化问题，本质上是在量率对应问题的进基础上调整了单位“1”，因此，在分 析分率条件时，比较抽象，难以理解，但是核心解题思路仍然是量率对应法，在实际解决问题 时，可以多采用数形结合的方式进行理解，另外，注意抓取关键词，以作为区别普通量率对应 问题的特征。 【考点一】常见的单位“1”转化问题 方法点拨 一般的单位“1”转化问题以填空、选择题型为主，我们需要找准单位“1”， 再明确求一个数比另一个数多或少几分之几，用两者的差值除以另一个数， 即“作差除比后”。 考察形式 填空、选择 动态评价 【典型例题 1】问题一 六年级一班的男生占全班人数的 3 5 ，女生比男生少( )，男生比女生多( )。 【对应练习 1】 甲数是乙数的 4 5 ，则甲数比乙数少     ，乙数比甲数多     。 【对应练习 2】 六（1）班女生人数是男生人数的 45 ，男生比女生多 ( ) ( ) 。 第 4 页 共 17 页 【对应练习 3】 某班女生人数是男生人数的 2 3 ，女生人数占全班的    ，男生人数比女生多    。 【典型例题 2】问题二 女生人数比男生人数多 1 7 ，女生人数是男生人数的( )。 【对应练习 1】 六（1）班男生人数比女生人数多 18 ，女生人数是男生人数的( )。 【对应练习 2】 在“一个班男生人数比女生多 15 ”中，把( )看作单位“1”，男生人数是女生的 ( ) ( ) ，女 生人数是男生人数的 ( ) ( ) ，男生人数是全班人数的 ( ) ( ) 。 【对应练习 3】 男生人数比女生人数少 1 5 ，男生人数是女生人数的( )，女生人数是男生人数的 ( )，男生人数占男、女生总人数的( )。 【典型例题 3】问题三 桃树的棵数比苹果树多 2 5 ，是把( )看作单位“1”，那么苹果树棵数比桃树少( )。 【对应练习 1】 松树的棵数比柏树多 1 5 ，则柏树棵树比松树少( )。 【对应练习 2】 女生人数比男生人数少 1 4 ，画图：( )，则男生人数比女生人数多( )。 【对应练习 3】 哥哥走的路程比妹妹多 1 4 ，而妹妹所用的时间比哥哥多 1 9 ，那么哥哥的速度是妹妹的( )。 第 5 页 共 17 页 【考点二】单位“1”转化问题其一：已知剩余数量，转化单位“1” 方法点拨 解决单位“1”转化问题，首先需要统一单位“1”，然后再用对应分量÷对应 分率=单位“1”解决问题。 考察形式 应用 动态评价 【典型例题 1】一般问题 某水果店购进一批水果，第一天卖掉 6 5 吨，第二天卖掉了剩下的 7 12 ，还剩下 2 吨，这批水果一 共多少吨？ 【对应练习 1】 一段公路需要施工，第一天完成了总量的 1 5，第二天完成了剩下部分的 1 4 ，这时还剩下 220 米 未施工，需要施工的这段公路有多少米？（建议你先画画线段图，再解决这个问题） 【对应练习 2】 一段路，第一周修了全长的 1 5，第二周修了余下的 1 4 ，这时还剩下 300 米没有修，这段路全长 多少米？ 第 6 页 共 17 页 【对应练习 3】 阳阳家买钛镁合金门。第一次付了全款的 1 5 ，第二次付了余下的 1 2 ，这时还剩下 800 元没有付。 请问门的价格是多少？ 【典型例题 2】进阶问题 一本文艺书，小明第一天看了全书的 1 2 ，第二天看了余下的 1 3 ，第三天看了再余下的 1 5 ，还剩 下 80 页。这本书共有多少页？ 【对应练习 1】 风采大赛之后，老师拿了一箱奖品发给获奖的同学们。将其中的 1 3 发给一等奖的同学，剩下的 1 3 发给二等奖的同学，一、二等奖发完后剩下 1 4 的发给三等奖的同学，这时箱子里还剩下 15 份奖品，问箱子里原来有多少份奖品？ 【对应练习 2】 《九章算术》中有一道题：“今有人持米出三关，外关三而取一，中关五而取一，内关七而取 一，余米五斗。问持米几何？”题意：有人背米过关卡，经过外关时，用全部米的 13 纳税，过 中关时用所余米的 1 5 纳税，经过内关时再用余米的 1 7 纳税，最后还剩下 5 斗米。这个人原来背 多少斗米出关？ 第 7 页 共 17 页 【对应练习 3】 一只猴子摘了一堆桃子，第一天吃了这堆桃子的七分之一，第二天吃了余下桃子的六分之一， 第三天吃了余下桃子的五分之一，第四天吃了余下桃子的四分之一，第五天吃了余下桃子的三 分之一，第六天吃了余下桃子的二分之一，这时还剩下 12 个桃子，那么这堆桃子共有多少个? 【典型例题 3】拓展问题 小华读一本故事书，第一天读了全书的 ，第二天读了余下页数的 还多 8 页，这时还有 52 页没有读．这本故事书有多少页？ 【对应练习 1】 一批水泥，第一天用去了 1 2 多 1 吨，第二天用去了余下 1 3 少 2 吨，还剩下 16 吨，原来这批水 泥有多少吨？ 【对应练习 2】 修一段路，第一天修了 300 米，第二天修了余下的一半少 200 米，第三天修了余下的 3 4 多 100 米，这时还余下 500 米没有修。这段路全长多少米？ 第 8 页 共 17 页 【对应练习 3】 有一根铁丝，第一次用去它的一半多 1 米，第二次用去余下的 13 少 1 米，这时还剩下 15 米。 求这根铁丝原来长多少米？ 【考点三】单位“1”转化问题其二：已知数量差，转化单位“1” 方法点拨 解决单位“1”转化问题，首先需要统一单位“1”，然后再用对应分量÷对应 分率=单位“1”解决问题。 考察形式 应用 动态评价 【典型例题】 耀华印刷公司某打字员打一份稿件，第一天打了这份稿件的 1 3 ，第二天打了余下稿件的 2 3 ，这 时已打好的比余下的多 4500 字，求第一、二天各打了多少字？ 【对应练习 1】 一工人加工一批零件，第一天完成任务的 1 5 ，第二天完成剩下部分的 1 3 ，第二天比第一天多完 成 20 个，问这批零件共有多少个？ 【对应练习 2】 修一条路，第一天修了全长的 1 4 ，第二天修了剩下的 1 4 ，第一天比第二天多修 200 米。这条路 长多少米？ 第 9 页 共 17 页 【对应练习 3】 小明假期做作业，第一天完成了全部的 1 3 ，第二天完成了剩余部分的 1 3 ，第一天比第二天多做 了 1 页，小明还有多少页作业没做？ 【考点四】单位“1”转化问题其三：已知数量和，转化单位“1” 方法点拨 解决单位“1”转化问题，首先需要统一单位“1”，然后再用对应分量÷对应 分率=单位“1”解决问题。 考察形式 应用 动态评价 【典型例题】 甲乙两人生产一批零件，甲生产了这批零件的 1 3 后，乙生产了剩下零件的 4 5 ，这时，甲乙两人 一共生产了 26 个零件。这批零件原来共有多少个？ 【对应练习 1】 看一本书，第一天看了全书的 10 1 ，第二天看了余下的 10 1 ，两天一共看了 38 页，这本书一共 有多少页？ 【对应练习 2】 一块布第一次用去 4 3 ，第二次用去余下的 4 3 ，两次共用去 6 米，这块布原有多少米长？ 第 10 页 共 17 页 【对应练习 3】 甲、乙、丙三人要做一批服装，甲先做了这批服装的 2 5 ，接着乙做了余下服装的 4 9 ，剩下的工 作由丙完成，已知甲、乙共做服装 1500 件，甲比乙多做服装多少件？ 【考点五】单位“1”转化问题其四：任选单位“1”进行转化 方法点拨 解决单位“1”转化问题，首先需要统一单位“1”，然后再用对应分量÷对应 分率=单位“1”解决问题。 考察形式 应用 动态评价 【典型例题 1】问题一 甲的 3 4 和乙的 2 5 相等（甲、乙都不为 0），甲是乙的( )，乙是甲的( )。 【对应练习 1】 甲数的 1 4 等于乙数的 1 5 ，甲数是乙数的( )，乙数是甲数的( )。 【对应练习 2】 甲数的 4 5 等于乙数的 2 3 ，甲数比乙数少( )。 【对应练习 3】 果园里梨树棵树的 2 3 等于杏树的 3 4 ，杏树棵树是梨树的几分之几？梨树棵树比杏树多几分之 几？ 第 11 页 共 17 页 【典型例题 2】问题二 靖安拼团新进了沙田柚和黄金蜜柚共 140 斤，沙田柚重量的 38 等于黄金蜜柚重量的 1 2 ，两种柚 子各多少斤？ 【对应练习 1】 六年级两个班共有 98 人，六（1）班人数的 13 等于六（2）班人数的 1 4 。六（1）班、六（2） 班各有多少人？ 【对应练习 2】 六年级学生有 320 人，已知六年级学生的人数的 38 等于五年级学生的人数的 2 5 ，五年级有学生 多少人？ 【对应练习 3】 美术社团共有学生 58 人，已知女生人数的 47 等于男生人数的 8 15 。美术社团男、女生各有多少 人？ 【典型例题 3】问题三 大数比小数多 45，大数的 5 1 等于小数的一半，求两数各是多少？ 第 12 页 共 17 页 【对应练习 1】 图书馆有两个图书室，第一图书室图书本数的 1 4 等于第二图书室图书本数的 2 5 ，第一图书室的 图书比第二图书室多 2700 本。两图书室各有图书多少本？ 【对应练习 2】 有甲乙丙三个学校，甲校人数的 1 2 等于乙校人数的 1 3 ，等于丙校人数的 3 7 ，已知丙校比甲校多 120 人，求三校共有多少人？ 【对应练习 3】 有甲、乙两桶油，甲桶油比乙桶油多 3.2 千克，从甲、乙两桶油中各取 2 千克，甲桶油剩下的 1 8 等于乙桶油剩下的 1 6 ，求乙桶原来有多少千克的油？ 【考点六】单位“1”转化问题其五：多个单量的统一 方法点拨 解决单位“1”转化问题，首先需要统一单位“1”，然后再用对应分量÷对应 分率=单位“1”解决问题。 考察形式 应用 动态评价 【典型例题 1】基础型问题 第 13 页 共 17 页 希希、望望、贝贝三人合资开了一家公司，希希出资的金额是望望、贝贝两人出资之和的 1 2 ， 望望出资的金额是希希、贝贝两人出资之和的 1 3 ，若贝贝出资的金额比望望出资的金额多 4 万 元，则他们三人出资的金额一共是多少钱？ 【对应练习 1】 甲、乙、丙、丁合修一条路，甲修的是其他三队的 1 3 ，乙修的是其他三队的 1 4 ，丙修的是其他 三队的 1 5 ，丁修了 68米，这条路全长多少米？ 【对应练习 2】 甲、乙、丙、丁做小红花，甲做的朵数是其他三人做的总数的 3 17 ，乙做的朵数是其他三人做 的总数的 1 4 ，丙做的朵数是其他三人做的总数的 9 11 ，丁做了 40 朵，甲做了多少朵？ 【对应练习 3】 甲、乙、丙、丁四人合买一部数码相机，甲出的钱是其余三人出钱总数的 1 2 ，乙出的钱是另外 三人出钱总数的 1 3 ，丙出的钱是其余三人出钱总数的 1 4 ，丁出 169 元。这部数码相机的价格是 多少元？ 第 14 页 共 17 页 【考点七】单位“1”转化问题其六：以总量统一单位“1” 方法点拨 解决单位“1”转化问题，首先需要统一单位“1”，然后再用对应分量÷对应 分率=单位“1”解决问题。 考察形式 应用 动态评价 【典型例题】 1. 橘子的千克数是苹果的 3 2 ，香蕉的千克数是橘子的 2 1 ，香蕉和苹果共 220 千克，橘子有多 少千克？ 2. 一盆金鱼，红鱼是总数的 4 1 ， 黑鱼是红鱼的 5 3 ，其余的是 24 条花鱼，红鱼有多少条？ 3. 甲存款是乙存款 10 9 ，乙存款是丙存款的 5 4 ，甲比丙少存 70 元，求三人各存款多少元？ 【对应练习 1】 甲数是乙数的 3 2 ，乙数是丙数的 4 3 ，甲、乙、丙的和是 216，甲、乙、丙各是多少？ 【对应练习 2】 甲校人数是乙校人数的 5 4 ，乙校人数是丙校人数的 7 5 ，甲校比丙校少 450 人，求三校各有多少 人？ 第 15 页 共 17 页 【对应练习 3】 甲、乙、丙三人共有 92 本图书。已知甲的图书是乙的 45 ，又知丙的图书相当于乙的 1 2 ，求丙 有多少本图书？ 【考点八】单位“1”转化问题其七：以单量统一单位“1” 方法点拨 解决单位“1”转化问题，首先需要统一单位“1”，然后再用对应分量÷对应 分率=单位“1”解决问题。 考察形式 应用 动态评价 【典型例题 1】问题一 今年希望小学六年级毕业生人数占全校总人数的 1 5 ，毕业生走后，又招进新生 220 人，这时全 校总人数是原来总人数的 8 9 ，原来学校共有多少人？ 【对应练习 1】 幸福里小学上学期六年级女生人数是男生的 5 6 ，下学期转来 3 名女生，这时女生人数是男生人 数的 6 7 。阳光小学下学期六年级男生比女生多多少人？ 第 16 页 共 17 页 【对应练习 2】 某校六年级有甲、乙两个班，甲班人数是乙班的 5 7 ．如果从乙班调 3 人到甲班，甲班人数是乙 班人数的 4 5 。甲、乙两班原来各有多少人？ 【对应练习 3】 有甲乙两个粮库，原来甲粮库存粮的质量是乙粮库的 7 5 ，如果从乙粮库运 12 吨到甲粮库，那 么甲粮库存粮的质量就是乙粮库的 5 4 ，甲、乙粮库原来各存粮多少吨？ 【典型例题 2】问题二 某校派出 100 名学生参加竞赛，其中女生占 1 5 ，后来有几名女生因故退出，这样参赛女生占参 赛人数的 3 19，正式参赛的女生有多少名？ 【对应练习 1】 东风小学有学生 480 人，其中女生占 7 12，后来又转来几名女生，这时女生占总人数的 3 5 ，转来 几名女生？ 第 17 页 共 17 页 【对应练习 2】 果园里有苹果树、梨树共 800 棵，其中苹果树占 5 3 ，后来又载了一些苹果树，这样，苹果树占 总棵树的 25 17 ，后来又载了多少棵苹果树？ 篇首寄语 我们每一位老师都希望为学生提供最优质的教学资料，在日常教学中，能够迅速找到一份高质量、高效率、高标准的资料显得尤为关键。过去，编者常常在各学习网站间奔波，寻找所需的资料，但它们总是存在各种问题，难以令人满意，每次搜寻都要耗费大量时间和精力，才能找到心仪的资料，这种费时费力的过程实在令人苦恼。因此，在每次的寻找过程中，编者不禁思考：如果由我自己来创作一份资料，情况会如何呢？这份资料首先应满足我自身的教学需求，达到我设定的高标准，然后再为他人提供参考。基于这一理念，结合自身教学需求和学生实际情况，最终精心打造出了一个既适合课堂教学，又适应课后作业，还便于阶段复习的大综合系列。 《2025-2026学年典型例题系列》，是基于教材知识和历年真题精心总结与编辑而成的。该系列主要包括四个篇章：典型例题篇、三阶练习篇、单元复习篇和素养测评篇。 1. 典型例题篇：按照单元顺序编排，涵盖计算和应用两大板块。其优点在于例题典型、考点丰富，变式多样。 2. 三阶练习篇：从高频考题和期末真题中精选练习题，分为课时练、专项练和综合练三部分。其优点在于选题经典、题型多样，题量适中。 3. 单元复习篇：汇集系列精华，高效辅助单元复习。其优势在于内容综合全面、精练高效，实用性强。 4. 素养测评篇：依据试题难度和综合水平，分为A卷·基础达标卷和B卷·综合素养卷。其优点在于考点覆盖广泛、层次分明，适应性强。 时光荏苒，《典型例题系列》正在更新至第5版，在过去，它扬长补短，去粗取精，日臻完善；展望未来，它将承前启后，不断发展，未有竟时。 黄金无足色，白璧有微瑕，如果您在使用资料的过程中有任何宝贵意见，请留言于我，欢迎您的使用，感谢您的支持！ 101数学创作社 2025年8月2日晚 2025-2026学年六年级数学上册典型例题系列「2025秋」 第三单元分数除法·实际应用篇拓展·单位“1”转化问题【八大考点】 专题名称 第三单元分数除法·实际应用篇拓展·单位“1”转化问题 专题内容 本专题以分数除法中的单位“1”转化问题为主，本专题仍专注于使用算术法解决问题，因此，量率对应法成为解决分数除法单位“1”转化问题的基础。 评价体系 基础：；迁移：；综合：；多维度：；重难点： 讲解建议 本专题是分数除法应用题的拓展性内容，考查难度大，综合性强，理解较为抽象，题型多以填空、应用等题型为主，建议根据学生实际情况和总体水平，选择部分考点进行讲解。 考点数量 八大考点 【知识总览】 3 【考点一】常见的单位“1”转化问题 3 【考点二】单位“1”转化问题其一：已知剩余数量，转化单位“1” 5 【考点三】单位“1”转化问题其二：已知数量差，转化单位“1” 8 【考点四】单位“1”转化问题其三：已知数量和，转化单位“1” 9 【考点五】单位“1”转化问题其四：任选单位“1”进行转化 10 【考点六】单位“1”转化问题其五：多个单量的统一 12 【考点七】单位“1”转化问题其六：以总量统一单位“1” 14 【考点八】单位“1”转化问题其七：以单量统一单位“1” 15 【知识总览】 1. 关于单位“1”转化问题。 单位“1”作为一个抽象表示概念，在分数问题中作为基准量，如果出现动态变化时，是不能够直接使用量率对应法解决问题的，这时候，就需要根据条件动态调整单位“1”，确保分量与分率严格对应，这样的一类需要动态调整单位“1”的问题，我们把它叫做单位“1”转化问题。 2. 解题方法。 单位“1”转化问题，本质上是在量率对应问题的进基础上调整了单位“1”，因此，在分析分率条件时，比较抽象，难以理解，但是核心解题思路仍然是量率对应法，在实际解决问题时，可以多采用数形结合的方式进行理解，另外，注意抓取关键词，以作为区别普通量率对应问题的特征。 【考点一】常见的单位“1”转化问题 方法点拨 一般的单位“1”转化问题以填空、选择题型为主，我们需要找准单位“1”，再明确求一个数比另一个数多或少几分之几，用两者的差值除以另一个数，即“作差除比后”。 考察形式 填空、选择 动态评价 【典型例题1】问题一 六年级一班的男生占全班人数的，女生比男生少( )，男生比女生多( )。 【对应练习1】 甲数是乙数的，则甲数比乙数少，乙数比甲数多。 【对应练习2】 六（1）班女生人数是男生人数的，男生比女生多。 【对应练习3】 某班女生人数是男生人数的，女生人数占全班的，男生人数比女生多。 【典型例题2】问题二 女生人数比男生人数多，女生人数是男生人数的( )。 【对应练习1】 六（1）班男生人数比女生人数多，女生人数是男生人数的( )。 【对应练习2】 在“一个班男生人数比女生多”中，把( )看作单位“1”，男生人数是女生的，女生人数是男生人数的，男生人数是全班人数的。 【对应练习3】 男生人数比女生人数少，男生人数是女生人数的( )，女生人数是男生人数的( )，男生人数占男、女生总人数的( )。 【典型例题3】问题三 桃树的棵数比苹果树多，是把( )看作单位“1”，那么苹果树棵数比桃树少( )。 【对应练习1】 松树的棵数比柏树多，则柏树棵树比松树少( )。 【对应练习2】 女生人数比男生人数少，画图：( )，则男生人数比女生人数多( )。 【对应练习3】 哥哥走的路程比妹妹多，而妹妹所用的时间比哥哥多，那么哥哥的速度是妹妹的( )。 【考点二】单位“1”转化问题其一：已知剩余数量，转化单位“1” 方法点拨 解决单位“1”转化问题，首先需要统一单位“1”，然后再用对应分量÷对应分率=单位“1”解决问题。 考察形式 应用 动态评价 【典型例题1】一般问题 某水果店购进一批水果，第一天卖掉吨，第二天卖掉了剩下的，还剩下2吨，这批水果一共多少吨？ 【对应练习1】 一段公路需要施工，第一天完成了总量的，第二天完成了剩下部分的，这时还剩下220米未施工，需要施工的这段公路有多少米？（建议你先画画线段图，再解决这个问题） 【对应练习2】 一段路，第一周修了全长的，第二周修了余下的，这时还剩下300米没有修，这段路全长多少米？ 【对应练习3】 阳阳家买钛镁合金门。第一次付了全款的，第二次付了余下的，这时还剩下800元没有付。请问门的价格是多少？ 【典型例题2】进阶问题 一本文艺书，小明第一天看了全书的，第二天看了余下的，第三天看了再余下的，还剩下80页。这本书共有多少页？ 【对应练习1】 风采大赛之后，老师拿了一箱奖品发给获奖的同学们。将其中的发给一等奖的同学，剩下的发给二等奖的同学，一、二等奖发完后剩下的发给三等奖的同学，这时箱子里还剩下15份奖品，问箱子里原来有多少份奖品？ 【对应练习2】 《九章算术》中有一道题：“今有人持米出三关，外关三而取一，中关五而取一，内关七而取一，余米五斗。问持米几何？”题意：有人背米过关卡，经过外关时，用全部米的纳税，过中关时用所余米的纳税，经过内关时再用余米的纳税，最后还剩下5斗米。这个人原来背多少斗米出关？ 【对应练习3】 一只猴子摘了一堆桃子，第一天吃了这堆桃子的七分之一，第二天吃了余下桃子的六分之一，第三天吃了余下桃子的五分之一，第四天吃了余下桃子的四分之一，第五天吃了余下桃子的三分之一，第六天吃了余下桃子的二分之一，这时还剩下 12 个桃子，那么这堆桃子共有多少个? 【典型例题3】拓展问题 小华读一本故事书，第一天读了全书的，第二天读了余下页数的还多8页，这时还有52页没有读．这本故事书有多少页？ 【对应练习1】 一批水泥，第一天用去了多1吨，第二天用去了余下少2吨，还剩下16吨，原来这批水泥有多少吨？ 【对应练习2】 修一段路，第一天修了300米，第二天修了余下的一半少200米，第三天修了余下的多100米，这时还余下500米没有修。这段路全长多少米？ 【对应练习3】 有一根铁丝，第一次用去它的一半多1米，第二次用去余下的少1米，这时还剩下15米。求这根铁丝原来长多少米？ 【考点三】单位“1”转化问题其二：已知数量差，转化单位“1” 方法点拨 解决单位“1”转化问题，首先需要统一单位“1”，然后再用对应分量÷对应分率=单位“1”解决问题。 考察形式 应用 动态评价 【典型例题】 耀华印刷公司某打字员打一份稿件，第一天打了这份稿件的，第二天打了余下稿件的，这时已打好的比余下的多4500字，求第一、二天各打了多少字？ 【对应练习1】 一工人加工一批零件，第一天完成任务的，第二天完成剩下部分的，第二天比第一天多完成20个，问这批零件共有多少个？ 【对应练习2】 修一条路，第一天修了全长的，第二天修了剩下的，第一天比第二天多修200米。这条路长多少米？ 【对应练习3】 小明假期做作业，第一天完成了全部的，第二天完成了剩余部分的，第一天比第二天多做了1页，小明还有多少页作业没做？ 【考点四】单位“1”转化问题其三：已知数量和，转化单位“1” 方法点拨 解决单位“1”转化问题，首先需要统一单位“1”，然后再用对应分量÷对应分率=单位“1”解决问题。 考察形式 应用 动态评价 【典型例题】 甲乙两人生产一批零件，甲生产了这批零件的后，乙生产了剩下零件的，这时，甲乙两人一共生产了26个零件。这批零件原来共有多少个？ 【对应练习1】 看一本书，第一天看了全书的，第二天看了余下的，两天一共看了38页，这本书一共有多少页？ 【对应练习2】 一块布第一次用去，第二次用去余下的，两次共用去6米，这块布原有多少米长？ 【对应练习3】 甲、乙、丙三人要做一批服装，甲先做了这批服装的，接着乙做了余下服装的，剩下的工作由丙完成，已知甲、乙共做服装1500件，甲比乙多做服装多少件？ 【考点五】单位“1”转化问题其四：任选单位“1”进行转化 方法点拨 解决单位“1”转化问题，首先需要统一单位“1”，然后再用对应分量÷对应分率=单位“1”解决问题。 考察形式 应用 动态评价 【典型例题1】问题一 甲的和乙的相等（甲、乙都不为0），甲是乙的( )，乙是甲的( )。 【对应练习1】 甲数的等于乙数的，甲数是乙数的( )，乙数是甲数的( )。 【对应练习2】 甲数的等于乙数的，甲数比乙数少( )。 【对应练习3】 果园里梨树棵树的等于杏树的，杏树棵树是梨树的几分之几？梨树棵树比杏树多几分之几？ 【典型例题2】问题二 靖安拼团新进了沙田柚和黄金蜜柚共140斤，沙田柚重量的等于黄金蜜柚重量的，两种柚子各多少斤？ 【对应练习1】 六年级两个班共有98人，六（1）班人数的等于六（2）班人数的。六（1）班、六（2）班各有多少人？ 【对应练习2】 六年级学生有320人，已知六年级学生的人数的等于五年级学生的人数的，五年级有学生多少人？ 【对应练习3】 美术社团共有学生58人，已知女生人数的等于男生人数的。美术社团男、女生各有多少人？ 【典型例题3】问题三 大数比小数多45，大数的等于小数的一半，求两数各是多少？ 【对应练习1】 图书馆有两个图书室，第一图书室图书本数的等于第二图书室图书本数的，第一图书室的图书比第二图书室多2700本。两图书室各有图书多少本？ 【对应练习2】 有甲乙丙三个学校，甲校人数的等于乙校人数的，等于丙校人数的，已知丙校比甲校多120人，求三校共有多少人？ 【对应练习3】 有甲、乙两桶油，甲桶油比乙桶油多3.2千克，从甲、乙两桶油中各取2千克，甲桶油剩下的等于乙桶油剩下的，求乙桶原来有多少千克的油？ 【考点六】单位“1”转化问题其五：多个单量的统一 方法点拨 解决单位“1”转化问题，首先需要统一单位“1”，然后再用对应分量÷对应分率=单位“1”解决问题。 考察形式 应用 动态评价 【典型例题1】基础型问题 希希、望望、贝贝三人合资开了一家公司，希希出资的金额是望望、贝贝两人出资之和的，望望出资的金额是希希、贝贝两人出资之和的，若贝贝出资的金额比望望出资的金额多4万元，则他们三人出资的金额一共是多少钱？ 【对应练习1】 甲、乙、丙、丁合修一条路，甲修的是其他三队的，乙修的是其他三队的，丙修的是其他三队的，丁修了米，这条路全长多少米？ 【对应练习2】 甲、乙、丙、丁做小红花，甲做的朵数是其他三人做的总数的，乙做的朵数是其他三人做的总数的，丙做的朵数是其他三人做的总数的，丁做了40朵，甲做了多少朵？ 【对应练习3】 甲、乙、丙、丁四人合买一部数码相机，甲出的钱是其余三人出钱总数的，乙出的钱是另外三人出钱总数的，丙出的钱是其余三人出钱总数的，丁出169元。这部数码相机的价格是多少元？ 【考点七】单位“1”转化问题其六：以总量统一单位“1” 方法点拨 解决单位“1”转化问题，首先需要统一单位“1”，然后再用对应分量÷对应分率=单位“1”解决问题。 考察形式 应用 动态评价 【典型例题】 1. 橘子的千克数是苹果的 ，香蕉的千克数是橘子的，香蕉和苹果共220千克，橘子有多少千克？ 2. 一盆金鱼，红鱼是总数的， 黑鱼是红鱼的，其余的是24条花鱼，红鱼有多少条？ 3. 甲存款是乙存款，乙存款是丙存款的，甲比丙少存70元，求三人各存款多少元？ 【对应练习1】 甲数是乙数的，乙数是丙数的，甲、乙、丙的和是216，甲、乙、丙各是多少？ 【对应练习2】 甲校人数是乙校人数的，乙校人数是丙校人数的，甲校比丙校少450人，求三校各有多少人？ 【对应练习3】 甲、乙、丙三人共有92本图书。已知甲的图书是乙的，又知丙的图书相当于乙的，求丙有多少本图书？ 【考点八】单位“1”转化问题其七：以单量统一单位“1” 方法点拨 解决单位“1”转化问题，首先需要统一单位“1”，然后再用对应分量÷对应分率=单位“1”解决问题。 考察形式 应用 动态评价 【典型例题1】问题一 今年希望小学六年级毕业生人数占全校总人数的，毕业生走后，又招进新生220人，这时全校总人数是原来总人数的，原来学校共有多少人？ 【对应练习1】 幸福里小学上学期六年级女生人数是男生的，下学期转来3名女生，这时女生人数是男生人数的。阳光小学下学期六年级男生比女生多多少人？ 【对应练习2】 某校六年级有甲、乙两个班，甲班人数是乙班的．如果从乙班调3人到甲班，甲班人数是乙班人数的。甲、乙两班原来各有多少人？ 【对应练习3】 有甲乙两个粮库，原来甲粮库存粮的质量是乙粮库的，如果从乙粮库运12吨到甲粮库，那么甲粮库存粮的质量就是乙粮库的，甲、乙粮库原来各存粮多少吨？ 【典型例题2】问题二 某校派出100名学生参加竞赛，其中女生占，后来有几名女生因故退出，这样参赛女生占参赛人数的，正式参赛的女生有多少名？ 【对应练习1】 东风小学有学生480人，其中女生占，后来又转来几名女生，这时女生占总人数的，转来几名女生？ 【对应练习2】 果园里有苹果树、梨树共800棵，其中苹果树占，后来又载了一些苹果树，这样，苹果树占总棵树的，后来又载了多少棵苹果树？ 第 1 页 共 6 页 学科网（北京）股份有限公司 $$第 1 页 共 42 页 篇首寄语 我们每一位老师都希望为学生提供最优质的教学资料，在日常教学中，能够迅速找到一份 高质量、高效率、高标准的资料显得尤为关键。过去，编者常常在各学习网站间奔波，寻找所 需的资料，但它们总是存在各种问题，难以令人满意，每次搜寻都要耗费大量时间和精力，才 能找到心仪的资料，这种费时费力的过程实在令人苦恼。因此，在每次的寻找过程中，编者不 禁思考：如果由我自己来创作一份资料，情况会如何呢？这份资料首先应满足我自身的教学需 求，达到我设定的高标准，然后再为他人提供参考。基于这一理念，结合自身教学需求和学生 实际情况，最终精心打造出了一个既适合课堂教学，又适应课后作业，还便于阶段复习的大综 合系列。 《2025-2026学年典型例题系列》，是基于教材知识和历年真题精心总结与编辑而成的。 该系列主要包括四个篇章：典型例题篇、三阶练习篇、单元复习篇和素养测评篇。 1. 典型例题篇：按照单元顺序编排，涵盖计算和应用两大板块。其优点在于例题典型、考点 丰富，变式多样。 2. 三阶练习篇：从高频考题和期末真题中精选练习题，分为课时练、专项练和综合练三部分。 其优点在于选题经典、题型多样，题量适中。 3. 单元复习篇：汇集系列精华，高效辅助单元复习。其优势在于内容综合全面、精练高效， 实用性强。 4. 素养测评篇：依据试题难度和综合水平，分为 A 卷·基础达标卷和 B 卷·综合素养卷。其 优点在于考点覆盖广泛、层次分明，适应性强。 时光荏苒，《典型例题系列》正在更新至第 5 版，在过去，它扬长补短，去粗取精，日臻 完善；展望未来，它将承前启后，不断发展，未有竟时。 黄金无足色，白璧有微瑕，如果您在使用资料的过程中有任何宝贵意见，请留言于我，欢 迎您的使用，感谢您的支持！ 101 数学创作社 2025 年 8 月 2 日晚 第 2 页 共 42 页 2025-2026 学年六年级数学上册典型例题系列「2025 秋」 第三单元分数除法·实际应用篇拓展·单位“1”转化问题【八大考点】 专题名称 第三单元分数除法·实际应用篇拓展·单位“1”转化问题 专题内容 本专题以分数除法中的单位“1”转化问题为主，本专题仍专注于使用算术法 解决问题，因此，量率对应法成为解决分数除法单位“1”转化问题的基础。 评价体系 基础： ；迁移： ；综合： ；多维度： ；重难点： 讲解建议 本专题是分数除法应用题的拓展性内容，考查难度大，综合性强，理解较为抽 象，题型多以填空、应用等题型为主，建议根据学生实际情况和总体水平，选 择部分考点进行讲解。 考点数量 八大考点 【知识总览】 ................................................................................................................................................................ 3 【考点一】常见的单位“1”转化问题 ...............................................................................................................3 【考点二】单位“1”转化问题其一：已知剩余数量，转化单位“1” ...................................................... 11 【考点三】单位“1”转化问题其二：已知数量差，转化单位“1” .......................................................... 21 【考点四】单位“1”转化问题其三：已知数量和，转化单位“1” .......................................................... 24 【考点五】单位“1”转化问题其四：任选单位“1”进行转化 .................................................................. 26 【考点六】单位“1”转化问题其五：多个单量的统一 .................................................................................34 【考点七】单位“1”转化问题其六：以总量统一单位“1” ...................................................................... 36 【考点八】单位“1”转化问题其七：以单量统一单位“1” ...................................................................... 39 第 3 页 共 42 页 【知识总览】 1. 关于单位“1”转化问题。 单位“1”作为一个抽象表示概念，在分数问题中作为基准量，如果出现动态变化时，是 不能够直接使用量率对应法解决问题的，这时候，就需要根据条件动态调整单位“1”，确保 分量与分率严格对应，这样的一类需要动态调整单位“1”的问题，我们把它叫做单位“1”转 化问题。 2. 解题方法。 单位“1”转化问题，本质上是在量率对应问题的进基础上调整了单位“1”，因此，在分 析分率条件时，比较抽象，难以理解，但是核心解题思路仍然是量率对应法，在实际解决问题 时，可以多采用数形结合的方式进行理解，另外，注意抓取关键词，以作为区别普通量率对应 问题的特征。 【考点一】常见的单位“1”转化问题 方法点拨 一般的单位“1”转化问题以填空、选择题型为主，我们需要找准单位“1”， 再明确求一个数比另一个数多或少几分之几，用两者的差值除以另一个数， 即“作差除比后”。 考察形式 填空、选择 动态评价 【典型例题 1】问题一 六年级一班的男生占全班人数的 3 5 ，女生比男生少( )，男生比女生多( )。 【答案】 1 3 1 2 【分析】把全班人数看作单位“1”，男生占全班人数的 35 ，女生占全班人数的 2 5 ，女生比男生少 几分之几＝（男生占全班人数的分率－女生占全班人数的分率）÷男生占全班人数的分率，男 生比女生多几分之几＝（男生占全班人数的分率－女生占全班人数的分率）÷女生占全班人数 的分率。 第 4 页 共 42 页 【详解】1－ 35 ＝ 2 5 3 2 3 5 5 5       ＝ 1 3 ÷ 5 5 ＝ 1 5 5 3  ＝ 1 3 3 2 2 5 5 5       ＝ 1 2 5 5  ＝ 1 5 5 2  ＝ 1 2 所以，女生比男生少 1 3 ，男生比女生多 1 2 。 【点睛】本题考查求一个数比另一个数多或少几分之几的问题，重点是掌握求这类问题的计算 公式。 【对应练习 1】 甲数是乙数的 4 5 ，则甲数比乙数少     ，乙数比甲数多     。 【答案】 1 5 ； 1 4 【分析】甲数是乙数的 4 5 ，是将乙数看作单位“1”，甲数比乙数少几分之几，先用减法求出甲 数比乙数少的部分，再除以乙数即可； 乙数比甲数多几分之几是求乙数比甲数多的数占甲数的几分之几，用乙数减去甲数的差，除以 甲数即可。 【详解】由分析可得： （1－ 45 ）÷1 ＝ 1 5 ÷1 ＝ 1 5 第 5 页 共 42 页 （1－ 45 ）÷ 4 5 ＝ 1 5 ÷ 4 5 ＝ 1 5 × 5 4 ＝ 1 4 综上所述：甲数是乙数的 4 5 ，则甲数比乙数少 1 5 ，乙数比甲数多 1 4 。 【点睛】本题考查了分数除法的应用，解题的关键是找准单位“1”，求一个数比另外一个数多 或少多少，用两个数的差除以另外一个数即可。 【对应练习 2】 六（1）班女生人数是男生人数的 45 ，男生比女生多 ( ) ( ) 。 【答案】 1 4 【分析】把男生人数看作单位“1”，女生人数是男生人数的 45 ，求男生比女生多几分之几，先 用减法求出多的部分，再除以女生人数即可。 【详解】（1－ 45 ）÷ 4 5 ＝ 1 5 ÷ 4 5 ＝ 1 5 × 5 4 ＝ 1 4 男生比女生多 1 4 。 【点睛】明确求一个数比另一个数多或少几分之几，用两数的差值除以另一个数。 【对应练习 3】 某班女生人数是男生人数的 2 3 ，女生人数占全班的    ，男生人数比女生多    。 【答案】 2 5 ； 1 2 【分析】将男生人数看作单位“1”，全班人数是男生人数的（1＋ 23 ），女生对应分率÷全班对 应分率＝女生人数占全班的几分之几；男女生对应分率差÷女生对应分率＝男生人数比女生多 第 6 页 共 42 页 几分之几，据此列式计算。 【详解】 2 3 ÷（1＋ 2 3 ） ＝ 2 3 ÷ 5 3 ＝ 2 3 × 3 5 ＝ 2 5 （1－ 23 ）÷ 2 3 ＝ 1 3 ÷ 2 3 ＝ 1 3 × 3 2 ＝ 1 2 某班女生人数是男生人数的 2 3 ，女生人数占全班的 2 5 ，男生人数比女生多 1 2 。 【典型例题 2】问题二 女生人数比男生人数多 1 7 ，女生人数是男生人数的( )。 【答案】 8 7 【分析】把男生的人数看作单位“1”，则女生的人数为 1×（1＋ 1 7 ），然后用女生人数除以男生 人数即可。 【详解】假设男生人数为 1 1×（1＋ 1 7 ） ＝1× 87 ＝ 8 7 8 7 ÷1＝ 8 7 则女生人数是男生人数的 8 7 。 【点睛】本题考查求一个数是另一个数的几分之几，明确用除法是解题的关键。 【对应练习 1】 第 7 页 共 42 页 六（1）班男生人数比女生人数多 18 ，女生人数是男生人数的( )。 【答案】 8 9 【分析】将女生人数看作单位“1”，男生比女生多 18 ，那么男生人数是女生人数的（1＋ 1 8 ）。 将女生人数单位“1”除以男生的分率，求出女生人数是男生人数的几分之几。 【详解】1÷（1＋ 18 ） ＝1÷ 9 8 ＝1× 8 9 ＝ 8 9 六（1）班男生人数比女生人数多 18 ，女生人数是男生人数的 8 9 。 【对应练习 2】 在“一个班男生人数比女生多 15 ”中，把( )看作单位“1”，男生人数是女生的 ( ) ( ) ，女 生人数是男生人数的 ( ) ( ) ，男生人数是全班人数的 ( ) ( ) 。 【答案】女生人数； 6 5 ； 5 6 ； 6 11 【分析】根据判断单位“1”的方法，一般是把分率“的”字前面的量看作单位“1”，或把“是、占、 比”后面的量看作单位“1”。即：在“一个班男生人数比女生多 15 ”中，把女生人数看作单位“1”， 那么男生人数是女生的（1＋ 15 ＝ 6 5 ），女生人数是男生人数的 1÷ 6 5 ＝ 5 6 ，全班人数是女生的 （1＋1＋ 15 ＝ 11 5 ），男生人数是全班人数的（ 6 5 ÷ 11 5 ＝ 6 11 ）。 【详解】根据分析，把女生人数看作单位“1”，可得： 1＋ 15 ＝ 6 5 1÷ 65 ＝ 5 6 6 5 ÷（1＋1＋ 1 5 ） ＝ 6 5 ÷ 11 5 ＝ 6 11 第 8 页 共 42 页 所以，在“一个班男生人数比女生多 15 ”中，把女生人数看作单位“1”，男生人数是女生的 6 5 ，女 生人数是男生人数的 5 6 ，男生人数是全班人数的 6 11 。 【对应练习 3】 男生人数比女生人数少 1 5 ，男生人数是女生人数的( )，女生人数是男生人数的 ( )，男生人数占男、女生总人数的( )。 【答案】 4 5 5 4 4 9 【分析】把女生人数看作单位“1”， 男生人数比女生人数少 15 ，即男生人数是女生人数的 1− 1 5 ＝ 4 5 ；求女生人数是男生人数的，用女生人数÷男生人数即可；再求出男女生总人数和，再用 男生人数÷总人数即可，据此解答。 【详解】1− 15 ＝ 4 5 1÷ 45 ＝ 5 4 4 5 ÷（1＋ 4 5 ） ＝ 4 5 ÷ 9 5 4 9  男生人数是女生人数的（ 4 5 ），女生人数是男生人数的（ 5 4 ），男生人数占男、女生总人数的 （ 4 9 ） 【典型例题 3】问题三 桃树的棵数比苹果树多 2 5 ，是把( )看作单位“1”，那么苹果树棵数比桃树少( )。 【答案】 苹果树棵数 2 7 【分析】一般“比”字之后为单位“1”或者说平均分的是谁谁就是单位“1”；若苹果树的棵数为 1， 则桃树的棵数是 1×（1＋ 25 ），先求出苹果树棵数比桃树少多少，再除以桃树的棵数即可。 【详解】桃树的棵数比苹果树多 2 5 ，是把苹果树棵数看作单位“1”。 1×（1＋ 25 ） 第 9 页 共 42 页 ＝1× 7 5 ＝ 7 5 （ 7 5 －1）÷ 7 5 ＝ 2 5 ÷ 7 5 ＝ 2 5 × 5 7 ＝ 2 7 那么苹果树棵数比桃树少 2 7 。 【点睛】本题考查求一个数比另一个数少几分之几，明确用除法是解题的关键。 【对应练习 1】 松树的棵数比柏树多 1 5 ，则柏树棵树比松树少( )。 【答案】 1 6 【分析】柏树的棵数为单位“1”，松树的棵数为 1＋ 1 5 ＝ 6 5 ，再用柏树与松树的棵数差除以松树 的棵数即可。 【详解】 1 5 ÷（1＋ 1 5 ） ＝ 1 5 ÷ 65 ＝ 1 6 【点睛】明确前后两个信息对应的单位“1”不同是解答本题的关键。 【对应练习 2】 女生人数比男生人数少 1 4 ，画图：( )，则男生人数比女生人数多( )。 【答案】 1 3 【分析】把男生人数看作单位“1”，把它平均分成 4 份，每份是它的 1 4 ，女生比男生少 1 4 ，少 第 10 页 共 42 页 这样的 1 份，即女生人数相当于这样的 3 份。求男生人数比女生人数多几分之几，把男生人数 看作单位“1”，则女生人数就是 1(1 ) 4  ，用男生比女生多的人数除以女生人数。 【详解】把男生人数看作单位“1”，把它平均分成 4 份，每份是它的 1 4 ，女生比男生少 1 4 ，少 这样的 1 份，即女生人数相当于这样的 3 份（画图如下）。 则男生比女生多： 1 1[1 (1 )] (1 ) 4 4     3 1[1 ] (1 ) 4 4     1 3 4 4   1 3  【点睛】求一个数比另一个数多或少几分之几，用这两数之差除以另一个数。画线段图分析题， 是常用的方法。 【对应练习 3】 哥哥走的路程比妹妹多 1 4 ，而妹妹所用的时间比哥哥多 1 9 ，那么哥哥的速度是妹妹的( )。 【答案】 25 18 【分析】把妹妹走的路程看作和“1”，则哥哥走的路程就是“（1＋ 1 4 ）” ，把哥哥用的时间看 作 “1”，则妹妹用的时间就是“（1 ＋ 19 ）”，根据“速度＝路程÷时间”，分别求出哥哥的速度、 妹妹的速度，再用哥哥的速度除以妹妹的速度。 【详解】 1 1[(1 ) 1] [1 (1 )] 4 9      5 101 1 4 9               ＝ 5 9 4 10  ＝ 5 10 4 9  第 11 页 共 42 页 25 18  【点睛】求一个数是另一个数的几分之几，用这个数除以另一个数。关键是根据路程、速度、 时间三者之间的关系，求出哥哥、妹妹的速度。 【考点二】单位“1”转化问题其一：已知剩余数量，转化单位“1” 方法点拨 解决单位“1”转化问题，首先需要统一单位“1”，然后再用对应分量÷对应 分率=单位“1”解决问题。 考察形式 应用 动态评价 【典型例题 1】一般问题 某水果店购进一批水果，第一天卖掉 6 5 吨，第二天卖掉了剩下的 7 12 ，还剩下 2 吨，这批水果一 共多少吨？ 【答案】6 吨 【分析】方法 1：把这批水果的总吨数设为未知数，等量关系式：这批水果的总吨数－第一天 卖出的吨数－第二天卖出的吨数＝剩下的水果吨数； 方法 2：把第一天卖完之后剩下的水果吨数看作单位“1”，第二天卖掉第一天剩下的 7 12 ，那么 第二天卖完之后剩下的吨数占第一天剩下的（1－ 7 12 ），第二天卖完之后剩下 2 吨，根据量÷ 对应的分率＝单位“1”求出第一天卖完之后剩下的水果吨数，最后加上第一天卖出的水果吨数 求出这批水果的总吨数，据此解答。 【详解】方法 1：解：设这批水果一共 x 吨。 x－ 65 －（x－ 6 5 ）× 7 12 ＝2 x－ 65 － 7 12 x＋ 65 × 7 12 ＝2 x－ 7 12 x－ 65 ＋ 6 5 × 7 12 ＝2 5 12 x－ 65 ＋ 7 10 ＝2 5 12 x－（ 65 － 7 10 ）＝2 5 12 x－ 12 ＝2 第 12 页 共 42 页 5 12 x＝2＋ 1 2 5 12 x＝ 5 2 x＝ 52 ÷ 5 12 x＝ 52 × 12 5 x＝6 答：这批水果一共 6 吨。 方法 2：2÷（1－ 7 12）＋ 6 5 ＝2÷ 5 12＋ 6 5 ＝2× 12 5 ＋ 6 5 ＝ 24 5 ＋ 6 5 ＝6（吨） 答：这批水果一共 6 吨。 【点睛】分析题意找出题目中隐含的等量关系或者确定题目中的单位“1”并找出量和对应的分 率是解答题目的关键。 【对应练习 1】 一段公路需要施工，第一天完成了总量的 1 5 ，第二天完成了剩下部分的 1 4 ，这时还剩下 220 米 未施工，需要施工的这段公路有多少米？（建议你先画画线段图，再解决这个问题） 【答案】 1100 3 米 【分析】把这段公路的总长看作单位“1”，第一天完成了总长的 1 5 ，则还剩下总长的（1－ 1 5 ）； 第二天完成了剩下部分的 1 4 ，根据分数乘法的意义可知，第二天完成了总长的（1－ 1 5 ）× 1 4 ； 用“1”减去这两天完成的分率，就是剩下的 220 米占总长的分率，单位“1”未知，用除法计算， 即可求出这段公路的总长。 【详解】如图： 第 13 页 共 42 页 （1－ 1 5 ）× 1 4 ＝ 4 5 × 1 4 ＝ 1 5 220÷（1－ 1 5 － 1 5 ） ＝220÷ 3 5 ＝220× 53 ＝ 1100 3 （米） 答：需要施工的这段公路有 1100 3 米。 【点睛】本题考查分数乘除法的应用，找出单位“1”，单位“1”已知，根据分数乘法的意义列式 计算；单位“1”未知，根据分数除法的意义列式计算。 【对应练习 2】 一段路，第一周修了全长的 1 5 ，第二周修了余下的 1 4 ，这时还剩下 300 米没有修，这段路全长 多少米？ 【答案】500 米 【分析】这段路的全长＝还剩下没修的米数÷[1－第一天修了全长的几分之几－第二天修了全 长的几分之几]，第二天修了全长的几分之几＝（1－第一天修了全长的几分之几）×第二天修 了余下的几分之几，代入数值计算即可。 【详解】300÷[1－ 1 5 －（1－ 1 5 ）× 1 4 ] ＝300÷[1－ 1 5 － 4 5 × 1 4 ] ＝300÷[1－ 1 5 － 1 5 ] ＝300÷ 3 5 第 14 页 共 42 页 ＝500（米） 答：这段路全长 500 米。 【点睛】找到单位“1”，根据分数除法的意义进行解答即可。 【对应练习 3】 阳阳家买钛镁合金门。第一次付了全款的 1 5 ，第二次付了余下的 1 2 ，这时还剩下 800 元没有付。 请问门的价格是多少？ 【答案】2000 元 【分析】首先把第一次付款后剩下的钱数看作单位“1”，第二次付了余下的 12 ，这时还剩下 800 元没有付，由此可知，800 元占第一次付款后剩下的钱数的 1(1 ) 2  ，根据已知一个数的几分之 几是多少，求这个数，用除法求出可以求出第一次付款后剩下的钱数，又知第一次付了全款的 1 5 ，再把门的全款看作单位“1”，第一次付款后剩下的钱数占全款的 1(1 ) 5  ，再根据已知一个数 的几分之几是多少，求这个数，用除法解答。 【详解】 1 1800 1 1 2 5               1 4800 2 5    5800 2 4    2000 （元） 答：门的价格是 2000 元。 【点睛】此题所以稍复杂的分数除法应用题，关键是确定单位“1”，根据已知一个数的几分之 几是多少，求这个数，用除法解答。 【典型例题 2】进阶问题 一本文艺书，小明第一天看了全书的 1 2 ，第二天看了余下的 1 3 ，第三天看了再余下的 1 5 ，还剩 下 80 页。这本书共有多少页？ 【答案】300 页 【分析】把全书看成“1”，那么第一天看后剩下（1 一 1 2 ）。再把第一天看后余下的部分看成“1”， 求出第二天看后余下的部分是全书的 1 11 1 2 3              。最后把第二天看后余下的部分看成“1”， 第 15 页 共 42 页 就可以求出第三天看后余下的部分占全书的 1 1 11 1 1 2 3 5                      ，正好是 80 页，再根据分数 除法的意义解答即可。 【详解】 1 1 11 1 1 2 3 5                      1 2 4 2 3 5    4 15  ； 480 300 15   （页）； 答：这本书共有 300 页。 【点睛】解答本题的关键是明确每天看的页数所占的分率中单位“1”不同，据此求出余下的部 分占全书的分率，再根据分数除法的意义解答即可。 【对应练习 1】 风采大赛之后，老师拿了一箱奖品发给获奖的同学们。将其中的 1 3 发给一等奖的同学，剩下的 1 3 发给二等奖的同学，一、二等奖发完后剩下 1 4 的发给三等奖的同学，这时箱子里还剩下 15 份奖品，问箱子里原来有多少份奖品？ 【答案】45 份 【分析】先把一、二等奖发完后剩下奖品的份数看作单位“1”，那么箱子里还剩下 15 份奖品占 它的 1(1 ) 4  ，单位“1”未知，用除法计算，求出一、二等奖发完后剩下奖品的份数； 再把一等奖发完后剩下奖品的份数看作单位“1”，那么一、二等奖发完后剩下奖品的份数占它 的 (1 ) 1 3  ，单位“1”未知，用除法计算，求出一等奖发完后剩下奖品的份数； 最后把箱子里原来有奖品的总数看作单位“1”，那么一等奖发完后剩下奖品的份数占它的 (1 )13  ， 单位“1”未知，用除法计算，求出箱子里原来有奖品的总数。 【详解】一、二等奖发完后剩下： 115 (1 ) 4   315 4   415 3   20 （份） 第 16 页 共 42 页 一等奖发完后剩下： 120 (1 ) 3   220 3   320 2   30 （份） 原来的奖品总数： 130 (1 ) 3   230 3   330 2   45 （份） 答：箱子里原来有 45 份奖品。 【点睛】本题考查复杂的分数除法的应用，找出单位“1”，单位“1”未知，根据分数除法的意义 列式计算；注意三个单位“1”的不同，采用倒推法解答。 【对应练习 2】 《九章算术》中有一道题：“今有人持米出三关，外关三而取一，中关五而取一，内关七而取 一，余米五斗。问持米几何？”题意：有人背米过关卡，经过外关时，用全部米的 13 纳税，过 中关时用所余米的 1 5 纳税，经过内关时再用余米的 1 7 纳税，最后还剩下 5 斗米。这个人原来背 多少斗米出关？ 【答案】 1510 16 斗 【分析】将过内关时剩余米的斗数看作单位“1”，最后剩的米的斗数是过内关时剩余米的（1 － 1 7 ），最后剩的米的斗数÷对应分率＝过内关时剩余米的斗数；再将过中关时剩余米的斗数 看作单位“1”，过内关时剩余米的斗数是过中关时剩余米的（1－ 15 ），过中关时剩余米的斗数 ÷对应分率＝过中关时剩余米的斗数；最后将背的米的总斗数看作单位“1”，过中关时剩余米的 斗数是背的米的总斗数的（1－ 13 ），过中关时剩余米的斗数÷对应分率＝背的米的总斗数，据 此列式解答。 第 17 页 共 42 页 【详解】 1 1 15 1 1 1 7 5 3                       ＝ 3 6 4 7 25 5    ＝ 7 5 3 6 4 2 5   ＝ 35 5 3 6 4 2   ＝ 175 3 24 2  ＝ 1510 16 （斗） 答：这个人原来背 1510 16 斗米出关。 【点睛】关键是确定单位“1”，理解分数除法的意义，根据部分数量÷对应分率＝整体数量，列 式解答。 【对应练习 3】 一只猴子摘了一堆桃子，第一天吃了这堆桃子的七分之一，第二天吃了余下桃子的六分之一， 第三天吃了余下桃子的五分之一，第四天吃了余下桃子的四分之一，第五天吃了余下桃子的三 分之一，第六天吃了余下桃子的二分之一，这时还剩下 12 个桃子，那么这堆桃子共有多少个? 解析：此题可用两种方法： 方法一：逆推法 第六天：12×2=24（个） 第五天：24× 2 3 =36（个） 第四天：36× 3 4 =48（个） 第三天：48× 4 5 =60（个） 第二天：60× 5 6 =72（个） 第一天：72× 6 7 =84（个） 答：略。 方法二：量率对应 第一天吃了： 7 1 第 18 页 共 42 页 第二天吃了：（1- 7 1 ）× 6 1 = 7 1 第三天吃了：（1- 7 1 - 7 1 ）× 5 1 = 7 1 第四天吃了：（1- 7 1 - 7 1 - 7 1 ）× 4 1 = 7 1 第五天吃了：（1- 7 1 - 7 1 - 7 1 - 7 1 ）× 3 1 = 7 1 第六天吃了：（1- 7 1 - 7 1 - 7 1 - 7 1 - 7 1 ）× 2 1 = 7 1 还剩：1- 7 1 - 7 1 - 7 1 - 7 1 - 7 1 - 7 1 = 7 1 一共有：12÷ 7 1 =84（个） 答：略。 【典型例题 3】拓展问题 小华读一本故事书，第一天读了全书的 ，第二天读了余下页数的 还多 8 页，这时还有 52 页没有读．这本故事书有多少页？ 【答案】120 页 【详解】（52+8）÷（1﹣ ）÷（1﹣ ） ＝60÷ ÷ ＝120（页） 答：这本故事书有 120 页。 【对应练习 1】 一批水泥，第一天用去了 1 2 多 1 吨，第二天用去了余下 1 3 少 2 吨，还剩下 16 吨，原来这批水 泥有多少吨？ 【答案】44 吨 【分析】如果第二天用去的正好是余下的 1 3 ，则还剩下 16－2＝14（吨），那么第一天用后剩 下 14÷（1－ 13 ）＝21（吨）。同理，如果第一天用去的也正好是 1 2 ，那么（21＋1）÷（1－ 1 2 ） ＝44（吨）。据此解题。 【详解】（16－2）÷（1－ 13 ） 第 19 页 共 42 页 ＝14÷ 23 ＝21（吨） （21＋1）÷（1－ 12 ） ＝22÷ 12 ＝44（吨） 答：原来这批水泥有 44 吨。 【点睛】本题考查了分数除法的应用，能根据题意正确列式是解题的关键。 【对应练习 2】 修一段路，第一天修了 300 米，第二天修了余下的一半少 200 米，第三天修了余下的 3 4 多 100 米，这时还余下 500 米没有修。这段路全长多少米？ 【答案】4700 米 【分析】先把第二天修完后余下的长度看作单位“1”，则（500＋100）米占它的（1－ 3 4 ），单 位“1”未知，用除法求出第二天修完后余下的长度； 再把第一天修完后余下的长度看作单位“1”，则第二天修完后余下长度减去 200 米的长度占它 的（1－ 12 ），单位“1”未知，用除法求出第一天修完后余下的长度； 最后用第一天修的长度加上第一天修完后余下的长度，即是这段路的全长。 【详解】第二天修完后余下的长度： （500＋100）÷（1－ 3 4 ） ＝600÷ 1 4 ＝600×4 ＝2400（米） 第一天修完后余下的长度： （2400－200）÷（1－ 12 ） ＝2200÷ 12 ＝2200×2 ＝4400（米） 第 20 页 共 42 页 全长：4400＋300＝4700（米） 答：这段路全长 4700 米。 【点睛】本题考查分数除法的应用，利用“倒推法”解题，找出单位“1”，区分单位“1”的不同， 单位“1”未知，根据分数除法的意义解答。 【对应练习 3】 有一根铁丝，第一次用去它的一半多 1 米，第二次用去余下的 13 少 1 米，这时还剩下 15 米。 求这根铁丝原来长多少米？ 【答案】44 米 【分析】如图 ，先将第一次用后余下 长度看作单位“1”，剩下的 15 米减去 1 米刚好是第一次用后余下长度的（1－ 13 ），根据部分 数量÷对应分率＝整体数量，求出第一次用后余下长度；再将铁丝原来长度看作单位“1”，第一 次用后余下长度加上 1 米，刚好是铁丝原来长度的（1－ 12 ），再根据部分数量÷对应分率＝整 体数量，即可求出铁丝原来长度。 【详解】（15－1）÷（1－ 13 ） ＝14÷ 23 ＝14× 3 2 ＝21（米） （21＋1）÷（1－ 12 ） ＝22÷ 12 ＝22×2 ＝44（米） 答：这根铁丝原来长 44 米。 【点睛】关键是确定单位“1”，理解分数除法的意义。 第 21 页 共 42 页 【考点三】单位“1”转化问题其二：已知数量差，转化单位“1” 方法点拨 解决单位“1”转化问题，首先需要统一单位“1”，然后再用对应分量÷对应 分率=单位“1”解决问题。 考察形式 应用 动态评价 【典型例题】 耀华印刷公司某打字员打一份稿件，第一天打了这份稿件的 1 3 ，第二天打了余下稿件的 2 3 ，这 时已打好的比余下的多 4500 字，求第一、二天各打了多少字？ 【答案】第一天 2700 字；第二天 3600 字 【详解】 1 3 ＋（1－ 1 3 ）× 2 3 ＝ 1 3 ＋ 2 3 × 2 3 ＝ 1 3 ＋ 4 9 ＝ 7 9 4500÷[ 79 －（1－ 7 9 ）] ＝4500÷[ 79 － 2 9 ] ＝4500÷ 59 ＝8100（字） 8100× 13 ＝2700（字） （8100－2700）× 2 3 ＝5400× 2 3 ＝3600（字） 答：第一天打了 2700 字，第二天打了 3600 字。 【对应练习 1】 一工人加工一批零件，第一天完成任务的 1 5 ，第二天完成剩下部分的 1 3 ，第二天比第一天多完 第 22 页 共 42 页 成 20 个，问这批零件共有多少个？ 【答案】300 个 【分析】将总任务看作单位“1”，将题目中的分率全部转化为相对总任务的分率，第一天完成 任务的 1 5 ，还剩下 1－ 1 5 ＝ 4 5 ，那么第二天完成总任务的 1 4= 5 3 15 4  ，第二天比第一天多完成 4 1 1 15 5 15   ，即 20 所对应的分率为 1 15，求总量，用除法。 【详解】 1 1 120 1 5 3 5 4 1 120 5 3 5 4 120 15 5 120 15                          ＝300（个） 答：这批零件共有 300 个。 【点睛】本题考查分数应用，明确单位“1”，找对数量与对应分率是解题关键。 【对应练习 2】 修一条路，第一天修了全长的 1 4 ，第二天修了剩下的 1 4 ，第一天比第二天多修 200 米。这条路 长多少米？ 【答案】3200 米 【分析】把一条路总长看作单位“1”，第一天完成 14 ，第二天完成 1 1 31 4 4 16       ＝ ，多出的 200 米对应 1 3 4 16      。根据分数除法的意义，用 200 除以 1 34 16  的差可以求出单位“1”，也就是路的 总长度。 【详解】 1 11 4 4       ＝ 3 1 4 4  ＝ 3 16 1 3200 4 16       ＝ 1200 16  第 23 页 共 42 页 ＝200×16 ＝3200（米） 答：这条路长 3200 米。 【对应练习 3】 小明假期做作业，第一天完成了全部的 1 3 ，第二天完成了剩余部分的 1 3 ，第一天比第二天多做 了 1 页，小明还有多少页作业没做？ 【答案】4 页 【分析】把全部作业作为单位“1”，第一天完成 13 ，第二天完成 2 1 2 3 3 9   ，多出的 1 页对应 1 23 9  ， 用 1 除以 1 23 9  的差可以求出单位“1”，再求有多少作业没做。 【详解】第二天： 1 11 3 3  （ ） ＝ 2 1 3 3  ＝ 2 9 总页数： 1 21 3 9  （ ） ＝ 11 9  ＝1×9 ＝9（页） 剩下的页数： 9×（1－ 1 23 9  ） ＝ 2 29 3 9       ＝ 49 9  ＝4（页） 答：小明还剩 4 页作业没做。 第 24 页 共 42 页 【考点四】单位“1”转化问题其三：已知数量和，转化单位“1” 方法点拨 解决单位“1”转化问题，首先需要统一单位“1”，然后再用对应分量÷对应 分率=单位“1”解决问题。 考察形式 应用 动态评价 【典型例题】 甲乙两人生产一批零件，甲生产了这批零件的 1 3 后，乙生产了剩下零件的 4 5 ，这时，甲乙两人 一共生产了 26 个零件。这批零件原来共有多少个？ 解析： （1－ 13 ）× 4 5 ＝ 2 3 × 4 5 ＝ 8 15 26÷（ 13 ＋ 8 15 ） ＝26÷13 15 ＝30（个） 答：这批零件原来共有 30 个。 【对应练习 1】 看一本书，第一天看了全书的 10 1 ，第二天看了余下的 10 1 ，两天一共看了 38 页，这本书一共 有多少页？ 解析： 第一天看了： 10 1 第二天看了：（1- 10 1 ）× 10 1 = 100 9 这本书一共：38÷（ 10 1 + 100 9 ）=200（页） 答：略。 【对应练习 2】 第 25 页 共 42 页 一块布第一次用去 4 3 ，第二次用去余下的 4 3 ，两次共用去 6 米，这块布原有多少米长？ 解析： 第一次用去： 4 3 第二次用去：（1- 4 3 ）× 4 3 = 16 3 这块布原有：6÷（ 4 3 + 16 3 ）= 5 32 （米） 答：略。 【对应练习 3】 甲、乙、丙三人要做一批服装，甲先做了这批服装的 2 5 ，接着乙做了余下服装的 4 9 ，剩下的工 作由丙完成，已知甲、乙共做服装 1500 件，甲比乙多做服装多少件？ 【答案】300 件 【分析】把这批服装看作单位“1”，已知甲先做了这批服装的 25 ，则余下的服装占这批服装的 （1－ 25 ），又已知乙做了余下服装的 4 9 ，把余下的服装看作单位“1”，根据分数乘法的意义， 则乙做的占这批服装的（1－ 25 ）× 4 9 ，所以甲和乙做的共占这批服装的 2 5 ＋（1－ 2 5 ）× 4 9 ，又 已知甲、乙共做服装 1500 件，则根据分数除法的意义，用 1500÷[ 25 ＋（1－ 2 5 ）× 4 9 ]即可求出 这批服装的总量，然后根据分数乘法的意义，用这批服装的总量乘 2 5 即可求出甲做的数量，再 用 1500 减去甲做的数量即可求出乙做的数量，最后用甲做的数量减去乙做的数量，即可求出 甲比乙多做服装多少件。 【详解】1500÷[ 25 ＋（1－ 2 5 ）× 4 9 ] ＝1500÷[ 25 ＋ 3 5 × 4 9 ] ＝1500÷[ 25 ＋ 4 15 ] ＝1500÷ 2 3 ＝2250（件） 2250× 25 ＝900（件） 1500－900＝600（件） 第 26 页 共 42 页 900－600＝300（件） 答：甲比乙多做服装 300 件。 【点睛】本题考查了分数乘除法的混合运算，关键是判断每个分率对应的单位“1”，以及具体 数量对应的分率。 【考点五】单位“1”转化问题其四：任选单位“1”进行转化 方法点拨 解决单位“1”转化问题，首先需要统一单位“1”，然后再用对应分量÷对应 分率=单位“1”解决问题。 考察形式 应用 动态评价 【典型例题 1】问题一 甲的 3 4 和乙的 2 5 相等（甲、乙都不为 0），甲是乙的( )，乙是甲的( )。 【答案】 8 15 15 8 【分析】甲的 3 4 和乙的 2 5 相等，即甲× 3 4 ＝乙× 25 ，设甲× 3 4 ＝乙× 25 ＝1，分别求出甲和乙，再用 甲除以乙，求出甲是乙的几分之几；用乙除以甲，求出乙是甲的几分之几，据此解答。 【详解】设甲× 3 4 ＝乙× 25 ＝1 甲× 3 4 ＝1 甲＝1÷ 3 4 甲＝1× 4 3 甲＝ 4 3 乙× 25 ＝1 乙＝1÷ 25 乙＝1× 5 2 乙＝ 5 2 4 3 ÷ 5 2 第 27 页 共 42 页 ＝ 4 3 × 25 ＝ 8 15 5 2 ÷ 4 3 ＝ 5 2 × 3 4 ＝ 15 8 甲的 3 4 和乙的 2 5 相等（甲、乙都不为 0），甲是乙的 8 15 ，乙是甲的 15 8 。 【对应练习 1】 甲数的 1 4 等于乙数的 1 5 ，甲数是乙数的( )，乙数是甲数的( )。 【答案】 4 5 5 4 【分析】求一个数的几分之几是多少用乘法，假设甲数的 1 4 等于乙数的 1 5 等于 1，根据积÷因数 ＝另一个因数，分别求出甲数和乙数，甲数÷乙数＝甲数是乙数的几分之几；乙数÷甲数＝乙 数是甲数的几分之几，据此分析。 【详解】假设 1 4 甲数＝ 1 5 乙数＝1 甲数＝1÷ 14 ＝4 乙数＝1÷ 15 ＝5 4÷5＝ 45 5÷4＝ 54 甲数的 1 4 等于乙数的 1 5 ，甲数是乙数的 4 5 ，乙数是甲数的 5 4 。 【点睛】关键是理解乘法各部分之间的关系，掌握分数除法的计算方法。 【对应练习 2】 甲数的 4 5 等于乙数的 2 3 ，甲数比乙数少( )。 【答案】 1 6 【分析】设甲数是 1，先把甲数看成单位“1”，用乘法求出它的 45 ；再把乙数看成单位“1”，它 第 28 页 共 42 页 的对应的数量是甲数的 4 5 ，由此用除法求出乙数；求出甲乙两数的差，用差除以乙数就是甲数 比乙数少几分之几。 【详解】设甲数是 1，则乙数是：1× 45 ÷ 2 3 ＝ 4 5 × 3 2 ＝ 6 5 （ 6 5 －1）÷ 6 5 ＝ 1 5 × 5 6 ＝ 1 6 【点睛】解答此题的关键是分清两个单位“1”的区别，找清各自以谁为标准，再把数据设出， 根据基本的数量关系求解。 【对应练习 3】 果园里梨树棵树的 2 3 等于杏树的 3 4 ，杏树棵树是梨树的几分之几？梨树棵树比杏树多几分之 几？ 【答案】 9 8 ； 1 8 【分析】由题意可知：梨树棵数× 2 3 ＝梨树棵数× 3 4 ，据此求出梨树和杏树的比，然后根据求一 个数是另一个数的几分之几，用除法解答。求出杏树棵树是梨树的几分之几；求出梨树的棵数 比杏树多的，再根据求一个数比另一个数多几分之几进行解答。 【详解】因为梨树棵数× 2 3 ＝梨树棵数× 3 4 所以梨树∶杏树 ＝ 3 4 ∶ 2 3 ＝ 3 4 ÷ 2 3 ＝ 3 4 × 3 2 ＝ 9 8 梨树∶杏树＝9∶8 （9－8）÷8 ＝1÷8 第 29 页 共 42 页 ＝ 1 8 答：杏树棵树是梨树的 8 9 ，梨树棵树比杏树多 1 8 。 【点睛】此题考查的目的是理分数除法的意义，掌握分数除法的计算法则及应用。 【典型例题 2】问题二 靖安拼团新进了沙田柚和黄金蜜柚共 140 斤，沙田柚重量的 38 等于黄金蜜柚重量的 1 2 ，两种柚 子各多少斤？ 【答案】沙田柚：80 斤；黄金蜜柚：60 斤 【分析】由题意可知：沙田柚的重量× 38 ＝黄金蜜柚的重量× 1 2 ，根据等式的性质 2，在等式的 两边同时除以 1 2 ，则有沙田柚重量× 3 8 ÷ 1 2 ＝黄金蜜柚重量× 1 2 ÷ 1 2 ，即沙田柚重量× 3 8 ×2＝黄金蜜 柚重量，也就是黄金蜜柚重量是沙田柚重量的 6 8 。把沙田柚的重量看作单位“1”，140 斤所对应 的分率是（1＋ 68 ）。已知一个数的几分之几是多少，求这个数的问题的解法：已知量÷已知量 占单位“1”的几分之几＝单位“1”的量。据此用 140÷（1＋ 68 ）可求出沙田柚的重量，再用 140 减去沙田柚的重量，可求出黄金蜜柚的重量。 【详解】140÷（1＋ 38 ÷ 1 2 ） ＝140÷（1＋ 38 ×2） ＝140÷（1＋ 68 ） ＝140÷（1＋ 3 4 ） ＝140÷ 74 ＝140× 47 ＝80（斤） 140－80＝60（斤） 答：沙田柚有 80 斤，黄金蜜柚有 60 斤。 【对应练习 1】 六年级两个班共有 98 人，六（1）班人数的 13 等于六（2）班人数的 1 4 。六（1）班、六（2） 第 30 页 共 42 页 班各有多少人？ 【答案】六（1）班 42 人；六（2）班 56 人 【分析】根据六（1）班的人数的 13 等于六（2）班的人数的 1 4 ，可得：六（1）班的人数× 1 3 ＝ 六（2）班的人数× 14 ，即六（1）班的人数＝六（2）班的人数× 1 4 ÷ 1 3 ＝六（2）班的人数× 1 4 ×3 ＝六（2）班的人数× 3 4 ，由此可知六（1）班的人数是六（2）班的人数的 3 4 ，把六（2）班的 人数看作单位“1”， 那么六年级两个班人数是六（2）班的人数的（1＋ 3 4 ），两个班共有 98 人，根据已知一个数的几分之几是多少，求这个数，用除法计算，即可求出六（2）班的人数， 再用 98 减去六（2）班的人数，可求得六（1）班的人数，据此解答。 【详解】 1 1 4 3  ＝ 1 3 4  ＝ 3 4 六（2）班的人数： 98÷（1＋ 3 4 ） ＝98÷ 74 ＝98× 47 ＝56（人） 六（1）班的人数： 98－56＝42（人） 答：六（1）班有 42 人，六（2）班有 56 人。 【对应练习 2】 六年级学生有 320 人，已知六年级学生的人数的 38 等于五年级学生的人数的 2 5 ，五年级有学生 多少人？ 【答案】300 人 【分析】根据求一个数的几分之几是多少，用乘法计算，即用 320 乘 38 即可得到五年级学生的 人数的 2 5 ，再根据已知一个数的几分之几是多少，求这个数，用除法计算即可求出五年级有学 生多少人。 【详解】320× 38 ＝120（人） 篇首寄语 我们每一位老师都希望为学生提供最优质的教学资料，在日常教学中，能够迅速找到一份高质量、高效率、高标准的资料显得尤为关键。过去，编者常常在各学习网站间奔波，寻找所需的资料，但它们总是存在各种问题，难以令人满意，每次搜寻都要耗费大量时间和精力，才能找到心仪的资料，这种费时费力的过程实在令人苦恼。因此，在每次的寻找过程中，编者不禁思考：如果由我自己来创作一份资料，情况会如何呢？这份资料首先应满足我自身的教学需求，达到我设定的高标准，然后再为他人提供参考。基于这一理念，结合自身教学需求和学生实际情况，最终精心打造出了一个既适合课堂教学，又适应课后作业，还便于阶段复习的大综合系列。 《2025-2026学年典型例题系列》，是基于教材知识和历年真题精心总结与编辑而成的。该系列主要包括四个篇章：典型例题篇、三阶练习篇、单元复习篇和素养测评篇。 1. 典型例题篇：按照单元顺序编排，涵盖计算和应用两大板块。其优点在于例题典型、考点丰富，变式多样。 2. 三阶练习篇：从高频考题和期末真题中精选练习题，分为课时练、专项练和综合练三部分。其优点在于选题经典、题型多样，题量适中。 3. 单元复习篇：汇集系列精华，高效辅助单元复习。其优势在于内容综合全面、精练高效，实用性强。 4. 素养测评篇：依据试题难度和综合水平，分为A卷·基础达标卷和B卷·综合素养卷。其优点在于考点覆盖广泛、层次分明，适应性强。 时光荏苒，《典型例题系列》正在更新至第5版，在过去，它扬长补短，去粗取精，日臻完善；展望未来，它将承前启后，不断发展，未有竟时。 黄金无足色，白璧有微瑕，如果您在使用资料的过程中有任何宝贵意见，请留言于我，欢迎您的使用，感谢您的支持！ 101数学创作社 2025年8月2日晚 2025-2026学年六年级数学上册典型例题系列「2025秋」 第三单元分数除法·实际应用篇拓展·单位“1”转化问题【八大考点】 专题名称 第三单元分数除法·实际应用篇拓展·单位“1”转化问题 专题内容 本专题以分数除法中的单位“1”转化问题为主，本专题仍专注于使用算术法解决问题，因此，量率对应法成为解决分数除法单位“1”转化问题的基础。 评价体系 基础：；迁移：；综合：；多维度：；重难点： 讲解建议 本专题是分数除法应用题的拓展性内容，考查难度大，综合性强，理解较为抽象，题型多以填空、应用等题型为主，建议根据学生实际情况和总体水平，选择部分考点进行讲解。 考点数量 八大考点 【知识总览】 3 【考点一】常见的单位“1”转化问题 3 【考点二】单位“1”转化问题其一：已知剩余数量，转化单位“1” 11 【考点三】单位“1”转化问题其二：已知数量差，转化单位“1” 21 【考点四】单位“1”转化问题其三：已知数量和，转化单位“1” 24 【考点五】单位“1”转化问题其四：任选单位“1”进行转化 26 【考点六】单位“1”转化问题其五：多个单量的统一 34 【考点七】单位“1”转化问题其六：以总量统一单位“1” 36 【考点八】单位“1”转化问题其七：以单量统一单位“1” 39 【知识总览】 1. 关于单位“1”转化问题。 单位“1”作为一个抽象表示概念，在分数问题中作为基准量，如果出现动态变化时，是不能够直接使用量率对应法解决问题的，这时候，就需要根据条件动态调整单位“1”，确保分量与分率严格对应，这样的一类需要动态调整单位“1”的问题，我们把它叫做单位“1”转化问题。 2. 解题方法。 单位“1”转化问题，本质上是在量率对应问题的进基础上调整了单位“1”，因此，在分析分率条件时，比较抽象，难以理解，但是核心解题思路仍然是量率对应法，在实际解决问题时，可以多采用数形结合的方式进行理解，另外，注意抓取关键词，以作为区别普通量率对应问题的特征。 【考点一】常见的单位“1”转化问题 方法点拨 一般的单位“1”转化问题以填空、选择题型为主，我们需要找准单位“1”，再明确求一个数比另一个数多或少几分之几，用两者的差值除以另一个数，即“作差除比后”。 考察形式 填空、选择 动态评价 【典型例题1】问题一 六年级一班的男生占全班人数的，女生比男生少( )，男生比女生多( )。 【答案】 【分析】把全班人数看作单位“1”，男生占全班人数的，女生占全班人数的，女生比男生少几分之几＝（男生占全班人数的分率－女生占全班人数的分率）÷男生占全班人数的分率，男生比女生多几分之几＝（男生占全班人数的分率－女生占全班人数的分率）÷女生占全班人数的分率。 【详解】1－＝ ＝ ＝ ＝ ＝ ＝ ＝ 所以，女生比男生少，男生比女生多。 【点睛】本题考查求一个数比另一个数多或少几分之几的问题，重点是掌握求这类问题的计算公式。 【对应练习1】 甲数是乙数的，则甲数比乙数少，乙数比甲数多。 【答案】； 【分析】甲数是乙数的，是将乙数看作单位“1”，甲数比乙数少几分之几，先用减法求出甲数比乙数少的部分，再除以乙数即可； 乙数比甲数多几分之几是求乙数比甲数多的数占甲数的几分之几，用乙数减去甲数的差，除以甲数即可。 【详解】由分析可得： （1－）÷1 ＝÷1 ＝ （1－）÷ ＝÷ ＝× ＝ 综上所述：甲数是乙数的，则甲数比乙数少，乙数比甲数多。 【点睛】本题考查了分数除法的应用，解题的关键是找准单位“1”，求一个数比另外一个数多或少多少，用两个数的差除以另外一个数即可。 【对应练习2】 六（1）班女生人数是男生人数的，男生比女生多。 【答案】 【分析】把男生人数看作单位“1”，女生人数是男生人数的，求男生比女生多几分之几，先用减法求出多的部分，再除以女生人数即可。 【详解】（1－）÷ ＝÷ ＝× ＝ 男生比女生多。 【点睛】明确求一个数比另一个数多或少几分之几，用两数的差值除以另一个数。 【对应练习3】 某班女生人数是男生人数的，女生人数占全班的，男生人数比女生多。 【答案】； 【分析】将男生人数看作单位“1”，全班人数是男生人数的（1＋），女生对应分率÷全班对应分率＝女生人数占全班的几分之几；男女生对应分率差÷女生对应分率＝男生人数比女生多几分之几，据此列式计算。 【详解】÷（1＋） ＝÷ ＝× ＝ （1－）÷ ＝÷ ＝× ＝ 某班女生人数是男生人数的，女生人数占全班的，男生人数比女生多。 【典型例题2】问题二 女生人数比男生人数多，女生人数是男生人数的( )。 【答案】 【分析】把男生的人数看作单位“1”，则女生的人数为1×（1＋），然后用女生人数除以男生人数即可。 【详解】假设男生人数为1 1×（1＋） ＝1× ＝ ÷1＝ 则女生人数是男生人数的。 【点睛】本题考查求一个数是另一个数的几分之几，明确用除法是解题的关键。 【对应练习1】 六（1）班男生人数比女生人数多，女生人数是男生人数的( )。 【答案】 【分析】将女生人数看作单位“1”，男生比女生多，那么男生人数是女生人数的（1＋）。将女生人数单位“1”除以男生的分率，求出女生人数是男生人数的几分之几。 【详解】1÷（1＋） ＝1÷ ＝1× ＝ 六（1）班男生人数比女生人数多，女生人数是男生人数的。 【对应练习2】 在“一个班男生人数比女生多”中，把( )看作单位“1”，男生人数是女生的，女生人数是男生人数的，男生人数是全班人数的。 【答案】女生人数；；； 【分析】根据判断单位“1”的方法，一般是把分率“的”字前面的量看作单位“1”，或把“是、占、比”后面的量看作单位“1”。即：在“一个班男生人数比女生多”中，把女生人数看作单位“1”，那么男生人数是女生的（1＋＝），女生人数是男生人数的1÷＝，全班人数是女生的（1＋1＋＝），男生人数是全班人数的（÷＝）。 【详解】根据分析，把女生人数看作单位“1”，可得： 1＋＝ 1÷＝ ÷（1＋1＋） ＝÷ ＝ 所以，在“一个班男生人数比女生多”中，把女生人数看作单位“1”，男生人数是女生的，女生人数是男生人数的，男生人数是全班人数的。 【对应练习3】 男生人数比女生人数少，男生人数是女生人数的( )，女生人数是男生人数的( )，男生人数占男、女生总人数的( )。 【答案】 【分析】把女生人数看作单位“1”， 男生人数比女生人数少，即男生人数是女生人数的1−＝；求女生人数是男生人数的，用女生人数÷男生人数即可；再求出男女生总人数和，再用男生人数÷总人数即可，据此解答。 【详解】1−＝ 1÷＝ ÷（1＋） ＝÷ 男生人数是女生人数的（），女生人数是男生人数的（），男生人数占男、女生总人数的（） 【典型例题3】问题三 桃树的棵数比苹果树多，是把( )看作单位“1”，那么苹果树棵数比桃树少( )。 【答案】 苹果树棵数 【分析】一般“比”字之后为单位“1”或者说平均分的是谁谁就是单位“1”；若苹果树的棵数为1，则桃树的棵数是1×（1＋），先求出苹果树棵数比桃树少多少，再除以桃树的棵数即可。 【详解】桃树的棵数比苹果树多，是把苹果树棵数看作单位“1”。 1×（1＋） ＝1× ＝ （－1）÷ ＝÷ ＝× ＝ 那么苹果树棵数比桃树少。 【点睛】本题考查求一个数比另一个数少几分之几，明确用除法是解题的关键。 【对应练习1】 松树的棵数比柏树多，则柏树棵树比松树少( )。 【答案】 【分析】柏树的棵数为单位“1”，松树的棵数为1＋＝，再用柏树与松树的棵数差除以松树的棵数即可。 【详解】÷（1＋） ＝÷ ＝ 【点睛】明确前后两个信息对应的单位“1”不同是解答本题的关键。 【对应练习2】 女生人数比男生人数少，画图：( )，则男生人数比女生人数多( )。 【答案】 【分析】把男生人数看作单位“1”，把它平均分成4份，每份是它的，女生比男生少，少这样的1份，即女生人数相当于这样的3份。求男生人数比女生人数多几分之几，把男生人数看作单位“1”，则女生人数就是，用男生比女生多的人数除以女生人数。 【详解】把男生人数看作单位“1”，把它平均分成4份，每份是它的，女生比男生少，少这样的1份，即女生人数相当于这样的3份（画图如下）。 则男生比女生多： 【点睛】求一个数比另一个数多或少几分之几，用这两数之差除以另一个数。画线段图分析题，是常用的方法。 【对应练习3】 哥哥走的路程比妹妹多，而妹妹所用的时间比哥哥多，那么哥哥的速度是妹妹的( )。 【答案】 【分析】把妹妹走的路程看作和“1”，则哥哥走的路程就是“（1＋）” ，把哥哥用的时间看作 “1”，则妹妹用的时间就是“（1 ＋）”，根据“速度＝路程÷时间”，分别求出哥哥的速度、妹妹的速度，再用哥哥的速度除以妹妹的速度。 【详解】 ＝ ＝ 【点睛】求一个数是另一个数的几分之几，用这个数除以另一个数。关键是根据路程、速度、时间三者之间的关系，求出哥哥、妹妹的速度。 【考点二】单位“1”转化问题其一：已知剩余数量，转化单位“1” 方法点拨 解决单位“1”转化问题，首先需要统一单位“1”，然后再用对应分量÷对应分率=单位“1”解决问题。 考察形式 应用 动态评价 【典型例题1】一般问题 某水果店购进一批水果，第一天卖掉吨，第二天卖掉了剩下的，还剩下2吨，这批水果一共多少吨？ 【答案】6吨 【分析】方法1：把这批水果的总吨数设为未知数，等量关系式：这批水果的总吨数－第一天卖出的吨数－第二天卖出的吨数＝剩下的水果吨数； 方法2：把第一天卖完之后剩下的水果吨数看作单位“1”，第二天卖掉第一天剩下的，那么第二天卖完之后剩下的吨数占第一天剩下的（1－），第二天卖完之后剩下2吨，根据量÷对应的分率＝单位“1”求出第一天卖完之后剩下的水果吨数，最后加上第一天卖出的水果吨数求出这批水果的总吨数，据此解答。 【详解】方法1：解：设这批水果一共x吨。 x－－（x－）×＝2 x－－x＋×＝2 x－x－＋×＝2 x－＋＝2 x－（－）＝2 x－＝2 x＝2＋ x＝ x＝÷ x＝× x＝6 答：这批水果一共6吨。 方法2：2÷（1－）＋ ＝2÷＋ ＝2×＋ ＝＋ ＝6（吨） 答：这批水果一共6吨。 【点睛】分析题意找出题目中隐含的等量关系或者确定题目中的单位“1”并找出量和对应的分率是解答题目的关键。 【对应练习1】 一段公路需要施工，第一天完成了总量的，第二天完成了剩下部分的，这时还剩下220米未施工，需要施工的这段公路有多少米？（建议你先画画线段图，再解决这个问题） 【答案】米 【分析】把这段公路的总长看作单位“1”，第一天完成了总长的，则还剩下总长的（1－）；第二天完成了剩下部分的，根据分数乘法的意义可知，第二天完成了总长的（1－）×；用“1”减去这两天完成的分率，就是剩下的220米占总长的分率，单位“1”未知，用除法计算，即可求出这段公路的总长。 【详解】如图： （1－）× ＝× ＝ 220÷（1－－） ＝220÷ ＝220× ＝（米） 答：需要施工的这段公路有米。 【点睛】本题考查分数乘除法的应用，找出单位“1”，单位“1”已知，根据分数乘法的意义列式计算；单位“1”未知，根据分数除法的意义列式计算。 【对应练习2】 一段路，第一周修了全长的，第二周修了余下的，这时还剩下300米没有修，这段路全长多少米？ 【答案】500米 【分析】这段路的全长＝还剩下没修的米数÷[1－第一天修了全长的几分之几－第二天修了全长的几分之几]，第二天修了全长的几分之几＝（1－第一天修了全长的几分之几）×第二天修了余下的几分之几，代入数值计算即可。 【详解】300÷[1－－（1－）×] ＝300÷[1－－×] ＝300÷[1－－] ＝300÷ ＝500（米） 答：这段路全长500米。 【点睛】找到单位“1”，根据分数除法的意义进行解答即可。 【对应练习3】 阳阳家买钛镁合金门。第一次付了全款的，第二次付了余下的，这时还剩下800元没有付。请问门的价格是多少？ 【答案】2000元 【分析】首先把第一次付款后剩下的钱数看作单位“1”，第二次付了余下的，这时还剩下800元没有付，由此可知，800元占第一次付款后剩下的钱数的，根据已知一个数的几分之几是多少，求这个数，用除法求出可以求出第一次付款后剩下的钱数，又知第一次付了全款的，再把门的全款看作单位“1”，第一次付款后剩下的钱数占全款的，再根据已知一个数的几分之几是多少，求这个数，用除法解答。 【详解】 （元） 答：门的价格是2000元。 【点睛】此题所以稍复杂的分数除法应用题，关键是确定单位“1”，根据已知一个数的几分之几是多少，求这个数，用除法解答。 【典型例题2】进阶问题 一本文艺书，小明第一天看了全书的，第二天看了余下的，第三天看了再余下的，还剩下80页。这本书共有多少页？ 【答案】300页 【分析】把全书看成“1”，那么第一天看后剩下（1一）。再把第一天看后余下的部分看成“1”，求出第二天看后余下的部分是全书的。最后把第二天看后余下的部分看成“1”，就可以求出第三天看后余下的部分占全书的，正好是80页，再根据分数除法的意义解答即可。 【详解】 ； （页）； 答：这本书共有300页。 【点睛】解答本题的关键是明确每天看的页数所占的分率中单位“1”不同，据此求出余下的部分占全书的分率，再根据分数除法的意义解答即可。 【对应练习1】 风采大赛之后，老师拿了一箱奖品发给获奖的同学们。将其中的发给一等奖的同学，剩下的发给二等奖的同学，一、二等奖发完后剩下的发给三等奖的同学，这时箱子里还剩下15份奖品，问箱子里原来有多少份奖品？ 【答案】45份 【分析】先把一、二等奖发完后剩下奖品的份数看作单位“1”，那么箱子里还剩下15份奖品占它的，单位“1”未知，用除法计算，求出一、二等奖发完后剩下奖品的份数； 再把一等奖发完后剩下奖品的份数看作单位“1”，那么一、二等奖发完后剩下奖品的份数占它的，单位“1”未知，用除法计算，求出一等奖发完后剩下奖品的份数； 最后把箱子里原来有奖品的总数看作单位“1”，那么一等奖发完后剩下奖品的份数占它的，单位“1”未知，用除法计算，求出箱子里原来有奖品的总数。 【详解】一、二等奖发完后剩下： （份） 一等奖发完后剩下： （份） 原来的奖品总数： （份） 答：箱子里原来有45份奖品。 【点睛】本题考查复杂的分数除法的应用，找出单位“1”，单位“1”未知，根据分数除法的意义列式计算；注意三个单位“1”的不同，采用倒推法解答。 【对应练习2】 《九章算术》中有一道题：“今有人持米出三关，外关三而取一，中关五而取一，内关七而取一，余米五斗。问持米几何？”题意：有人背米过关卡，经过外关时，用全部米的纳税，过中关时用所余米的纳税，经过内关时再用余米的纳税，最后还剩下5斗米。这个人原来背多少斗米出关？ 【答案】斗 【分析】将过内关时剩余米的斗数看作单位“1”，最后剩的米的斗数是过内关时剩余米的（1－），最后剩的米的斗数÷对应分率＝过内关时剩余米的斗数；再将过中关时剩余米的斗数看作单位“1”，过内关时剩余米的斗数是过中关时剩余米的（1－），过中关时剩余米的斗数÷对应分率＝过中关时剩余米的斗数；最后将背的米的总斗数看作单位“1”，过中关时剩余米的斗数是背的米的总斗数的（1－），过中关时剩余米的斗数÷对应分率＝背的米的总斗数，据此列式解答。 【详解】 ＝ ＝ ＝ ＝ ＝（斗） 答：这个人原来背斗米出关。 【点睛】关键是确定单位“1”，理解分数除法的意义，根据部分数量÷对应分率＝整体数量，列式解答。 【对应练习3】 一只猴子摘了一堆桃子，第一天吃了这堆桃子的七分之一，第二天吃了余下桃子的六分之一，第三天吃了余下桃子的五分之一，第四天吃了余下桃子的四分之一，第五天吃了余下桃子的三分之一，第六天吃了余下桃子的二分之一，这时还剩下 12 个桃子，那么这堆桃子共有多少个? 解析：此题可用两种方法： 方法一：逆推法 第六天：12×2=24（个） 第五天：24×=36（个） 第四天：36×=48（个） 第三天：48×=60（个） 第二天：60×=72（个） 第一天：72×=84（个） 答：略。 方法二：量率对应 第一天吃了： 第二天吃了：（1-）×= 第三天吃了：（1--）×= 第四天吃了：（1---）×= 第五天吃了：（1----）×= 第六天吃了：（1-----）×= 还剩：1------= 一共有：12÷=84（个） 答：略。 【典型例题3】拓展问题 小华读一本故事书，第一天读了全书的，第二天读了余下页数的还多8页，这时还有52页没有读．这本故事书有多少页？ 【答案】120页 【详解】（52+8）÷（1﹣）÷（1﹣） ＝60÷÷ ＝120（页） 答：这本故事书有120页。 【对应练习1】 一批水泥，第一天用去了多1吨，第二天用去了余下少2吨，还剩下16吨，原来这批水泥有多少吨？ 【答案】44吨 【分析】如果第二天用去的正好是余下的，则还剩下16－2＝14（吨），那么第一天用后剩下14÷（1－）＝21（吨）。同理，如果第一天用去的也正好是，那么（21＋1）÷（1－）＝44（吨）。据此解题。 【详解】（16－2）÷（1－） ＝14÷ ＝21（吨） （21＋1）÷（1－） ＝22÷ ＝44（吨） 答：原来这批水泥有44吨。 【点睛】本题考查了分数除法的应用，能根据题意正确列式是解题的关键。 【对应练习2】 修一段路，第一天修了300米，第二天修了余下的一半少200米，第三天修了余下的多100米，这时还余下500米没有修。这段路全长多少米？ 【答案】4700米 【分析】先把第二天修完后余下的长度看作单位“1”，则（500＋100）米占它的（1－），单位“1”未知，用除法求出第二天修完后余下的长度； 再把第一天修完后余下的长度看作单位“1”，则第二天修完后余下长度减去200米的长度占它的（1－），单位“1”未知，用除法求出第一天修完后余下的长度； 最后用第一天修的长度加上第一天修完后余下的长度，即是这段路的全长。 【详解】第二天修完后余下的长度： （500＋100）÷（1－） ＝600÷ ＝600×4 ＝2400（米） 第一天修完后余下的长度： （2400－200）÷（1－） ＝2200÷ ＝2200×2 ＝4400（米） 全长：4400＋300＝4700（米） 答：这段路全长4700米。 【点睛】本题考查分数除法的应用，利用“倒推法”解题，找出单位“1”，区分单位“1”的不同，单位“1”未知，根据分数除法的意义解答。 【对应练习3】 有一根铁丝，第一次用去它的一半多1米，第二次用去余下的少1米，这时还剩下15米。求这根铁丝原来长多少米？ 【答案】44米 【分析】如图，先将第一次用后余下长度看作单位“1”，剩下的15米减去1米刚好是第一次用后余下长度的（1－），根据部分数量÷对应分率＝整体数量，求出第一次用后余下长度；再将铁丝原来长度看作单位“1”，第一次用后余下长度加上1米，刚好是铁丝原来长度的（1－），再根据部分数量÷对应分率＝整体数量，即可求出铁丝原来长度。 【详解】（15－1）÷（1－） ＝14÷ ＝14× ＝21（米） （21＋1）÷（1－） ＝22÷ ＝22×2 ＝44（米） 答：这根铁丝原来长44米。 【点睛】关键是确定单位“1”，理解分数除法的意义。 【考点三】单位“1”转化问题其二：已知数量差，转化单位“1” 方法点拨 解决单位“1”转化问题，首先需要统一单位“1”，然后再用对应分量÷对应分率=单位“1”解决问题。 考察形式 应用 动态评价 【典型例题】 耀华印刷公司某打字员打一份稿件，第一天打了这份稿件的，第二天打了余下稿件的，这时已打好的比余下的多4500字，求第一、二天各打了多少字？ 【答案】第一天2700字；第二天3600字 【详解】＋（1－）× ＝＋× ＝＋ ＝ 4500÷[－（1－）] ＝4500÷[－] ＝4500÷ ＝8100（字） 8100×＝2700（字） （8100－2700）× ＝5400× ＝3600（字） 答：第一天打了2700字，第二天打了3600字。 【对应练习1】 一工人加工一批零件，第一天完成任务的，第二天完成剩下部分的，第二天比第一天多完成20个，问这批零件共有多少个？ 【答案】300个 【分析】将总任务看作单位“1”，将题目中的分率全部转化为相对总任务的分率，第一天完成任务的，还剩下1－＝，那么第二天完成总任务的，第二天比第一天多完成，即20所对应的分率为，求总量，用除法。 【详解】 ＝300（个） 答：这批零件共有300个。 【点睛】本题考查分数应用，明确单位“1”，找对数量与对应分率是解题关键。 【对应练习2】 修一条路，第一天修了全长的，第二天修了剩下的，第一天比第二天多修200米。这条路长多少米？ 【答案】3200米 【分析】把一条路总长看作单位“1”，第一天完成，第二天完成，多出的200米对应。根据分数除法的意义，用200除以的差可以求出单位“1”，也就是路的总长度。 【详解】 ＝ ＝ ＝ ＝200×16 ＝3200（米） 答：这条路长3200米。 【对应练习3】 小明假期做作业，第一天完成了全部的，第二天完成了剩余部分的，第一天比第二天多做了1页，小明还有多少页作业没做？ 【答案】4页 【分析】把全部作业作为单位“1”，第一天完成，第二天完成，多出的1页对应，用1除以的差可以求出单位“1”，再求有多少作业没做。 【详解】第二天： ＝ ＝ 总页数： ＝ ＝1×9 ＝9（页） 剩下的页数： 9×（1－） ＝ ＝ ＝4（页） 答：小明还剩4页作业没做。 【考点四】单位“1”转化问题其三：已知数量和，转化单位“1” 方法点拨 解决单位“1”转化问题，首先需要统一单位“1”，然后再用对应分量÷对应分率=单位“1”解决问题。 考察形式 应用 动态评价 【典型例题】 甲乙两人生产一批零件，甲生产了这批零件的后，乙生产了剩下零件的，这时，甲乙两人一共生产了26个零件。这批零件原来共有多少个？ 解析： （1－）× ＝× ＝ 26÷（＋） ＝26÷ ＝30（个） 答：这批零件原来共有30个。 【对应练习1】 看一本书，第一天看了全书的，第二天看了余下的，两天一共看了38页，这本书一共有多少页？ 解析： 第一天看了： 第二天看了：（1-）×= 这本书一共：38÷（+）=200（页） 答：略。 【对应练习2】 一块布第一次用去，第二次用去余下的，两次共用去6米，这块布原有多少米长？ 解析： 第一次用去： 第二次用去：（1-）×= 这块布原有：6÷（+）=（米） 答：略。 【对应练习3】 甲、乙、丙三人要做一批服装，甲先做了这批服装的，接着乙做了余下服装的，剩下的工作由丙完成，已知甲、乙共做服装1500件，甲比乙多做服装多少件？ 【答案】300件 【分析】把这批服装看作单位“1”，已知甲先做了这批服装的，则余下的服装占这批服装的（1－），又已知乙做了余下服装的，把余下的服装看作单位“1”，根据分数乘法的意义，则乙做的占这批服装的（1－）×，所以甲和乙做的共占这批服装的＋（1－）×，又已知甲、乙共做服装1500件，则根据分数除法的意义，用1500÷[＋（1－）×]即可求出这批服装的总量，然后根据分数乘法的意义，用这批服装的总量乘即可求出甲做的数量，再用1500减去甲做的数量即可求出乙做的数量，最后用甲做的数量减去乙做的数量，即可求出甲比乙多做服装多少件。 【详解】1500÷[＋（1－）×] ＝1500÷[＋×] ＝1500÷[＋] ＝1500÷ ＝2250（件） 2250×＝900（件） 1500－900＝600（件） 900－600＝300（件） 答：甲比乙多做服装300件。 【点睛】本题考查了分数乘除法的混合运算，关键是判断每个分率对应的单位“1”，以及具体数量对应的分率。 【考点五】单位“1”转化问题其四：任选单位“1”进行转化 方法点拨 解决单位“1”转化问题，首先需要统一单位“1”，然后再用对应分量÷对应分率=单位“1”解决问题。 考察形式 应用 动态评价 【典型例题1】问题一 甲的和乙的相等（甲、乙都不为0），甲是乙的( )，乙是甲的( )。 【答案】 【分析】甲的和乙的相等，即甲×＝乙×，设甲×＝乙×＝1，分别求出甲和乙，再用甲除以乙，求出甲是乙的几分之几；用乙除以甲，求出乙是甲的几分之几，据此解答。 【详解】设甲×＝乙×＝1 甲×＝1 甲＝1÷ 甲＝1× 甲＝ 乙×＝1 乙＝1÷ 乙＝1× 乙＝ ÷ ＝× ＝ ÷ ＝× ＝ 甲的和乙的相等（甲、乙都不为0），甲是乙的，乙是甲的。 【对应练习1】 甲数的等于乙数的，甲数是乙数的( )，乙数是甲数的( )。 【答案】 【分析】求一个数的几分之几是多少用乘法，假设甲数的等于乙数的等于1，根据积÷因数＝另一个因数，分别求出甲数和乙数，甲数÷乙数＝甲数是乙数的几分之几；乙数÷甲数＝乙数是甲数的几分之几，据此分析。 【详解】假设甲数＝乙数＝1 甲数＝1÷＝4 乙数＝1÷＝5 4÷5＝ 5÷4＝ 甲数的等于乙数的，甲数是乙数的，乙数是甲数的。 【点睛】关键是理解乘法各部分之间的关系，掌握分数除法的计算方法。 【对应练习2】 甲数的等于乙数的，甲数比乙数少( )。 【答案】 【分析】设甲数是1，先把甲数看成单位“1”，用乘法求出它的；再把乙数看成单位“1”，它的对应的数量是甲数的，由此用除法求出乙数；求出甲乙两数的差，用差除以乙数就是甲数比乙数少几分之几。 【详解】设甲数是1，则乙数是：1×÷＝×＝ （－1）÷ ＝× ＝ 【点睛】解答此题的关键是分清两个单位“1”的区别，找清各自以谁为标准，再把数据设出，根据基本的数量关系求解。 【对应练习3】 果园里梨树棵树的等于杏树的，杏树棵树是梨树的几分之几？梨树棵树比杏树多几分之几？ 【答案】； 【分析】由题意可知：梨树棵数×＝梨树棵数×，据此求出梨树和杏树的比，然后根据求一个数是另一个数的几分之几，用除法解答。求出杏树棵树是梨树的几分之几；求出梨树的棵数比杏树多的，再根据求一个数比另一个数多几分之几进行解答。 【详解】因为梨树棵数×＝梨树棵数× 所以梨树∶杏树 ＝∶ ＝÷ ＝× ＝ 梨树∶杏树＝9∶8 （9－8）÷8 ＝1÷8 ＝ 答：杏树棵树是梨树的，梨树棵树比杏树多。 【点睛】此题考查的目的是理分数除法的意义，掌握分数除法的计算法则及应用。 【典型例题2】问题二 靖安拼团新进了沙田柚和黄金蜜柚共140斤，沙田柚重量的等于黄金蜜柚重量的，两种柚子各多少斤？ 【答案】沙田柚：80斤；黄金蜜柚：60斤 【分析】由题意可知：沙田柚的重量×＝黄金蜜柚的重量×，根据等式的性质2，在等式的两边同时除以，则有沙田柚重量×÷＝黄金蜜柚重量×÷，即沙田柚重量××2＝黄金蜜柚重量，也就是黄金蜜柚重量是沙田柚重量的。把沙田柚的重量看作单位“1”，140斤所对应的分率是（1＋）。已知一个数的几分之几是多少，求这个数的问题的解法：已知量÷已知量占单位“1”的几分之几＝单位“1”的量。据此用140÷（1＋）可求出沙田柚的重量，再用140减去沙田柚的重量，可求出黄金蜜柚的重量。 【详解】140÷（1＋÷） ＝140÷（1＋×2） ＝140÷（1＋） ＝140÷（1＋） ＝140÷ ＝140× ＝80（斤） 140－80＝60（斤） 答：沙田柚有80斤，黄金蜜柚有60斤。 【对应练习1】 六年级两个班共有98人，六（1）班人数的等于六（2）班人数的。六（1）班、六（2）班各有多少人？ 【答案】六（1）班42人；六（2）班56人 【分析】根据六（1）班的人数的等于六（2）班的人数的，可得：六（1）班的人数×＝六（2）班的人数×，即六（1）班的人数＝六（2）班的人数×÷＝六（2）班的人数××3＝六（2）班的人数×，由此可知六（1）班的人数是六（2）班的人数的，把六（2）班的人数看作单位“1”， 那么六年级两个班人数是六（2）班的人数的（1＋），两个班共有98人，根据已知一个数的几分之几是多少，求这个数，用除法计算，即可求出六（2）班的人数，再用98减去六（2）班的人数，可求得六（1）班的人数，据此解答。 【详解】＝＝ 六（2）班的人数： 98÷（1＋） ＝98÷ ＝98× ＝56（人） 六（1）班的人数： 98－56＝42（人） 答：六（1）班有42人，六（2）班有56人。 【对应练习2】 六年级学生有320人，已知六年级学生的人数的等于五年级学生的人数的，五年级有学生多少人？ 【答案】300人 【分析】根据求一个数的几分之几是多少，用乘法计算，即用320乘即可得到五年级学生的人数的，再根据已知一个数的几分之几是多少，求这个数，用除法计算即可求出五年级有学生多少人。 【详解】320×＝120（人） 120÷＝120×＝300（人） 答：五年级有学生300人。 【点睛】本题考查求一个数的几分之几是多少，明确用乘法是解题的关键。 【对应练习3】 美术社团共有学生58人，已知女生人数的等于男生人数的。美术社团男、女生各有多少人？ 【答案】男生30人；女生 28人 【分析】已知女生人数的等于男生人数的，那么女生人数是男生人数的÷＝。 把男生人数看作单位“1”，则美术社团的总人数58人是男生人数的（1＋），根据已知一个数的几分之几是多少，用除法计算，即可求出男生人数；再用美术社团的总人数减去男生人数，即是女生人数。 【详解】女生人数是男生人数的： ÷ ＝× ＝ 男生人数： 58÷（1＋） ＝58÷ ＝58× ＝30（人） 女生人数：58－30＝28（人） 答：美术社团男生有30人，女生有28人。 【点睛】本题考查分数除法的应用，也可以先求出男生人数是女生人数的几分之几，把女生人数看作单位“1”，分析出总人数是女生人数的几分之几，根据分数除法的意义求出女生人数，进而求出男生人数。 【典型例题3】问题三 大数比小数多45，大数的等于小数的一半，求两数各是多少？ 解析：把大数看作5份，小数看作2份。 每一份：45÷（5-2）=15 大数：15×5=75 小数：15×2=30 答：略。 【对应练习1】 图书馆有两个图书室，第一图书室图书本数的等于第二图书室图书本数的，第一图书室的图书比第二图书室多2700本。两图书室各有图书多少本？ 【答案】 第一图书室7200本，第二图书室4500本。 【分析】由题可知，第二图书室的图书本数＝第一图书室的图书本数×÷，把第一图书室的图书本数看作单位“1”据此计算。 【详解】第一图书室：2700÷（1－÷） ＝2700÷（1－） ＝2700÷ ＝7200（本） 第二图书室：7200－2700＝4500（本） 答：第一图书室有图书7200本，第二图书室有4500本。 【对应练习2】 有甲乙丙三个学校，甲校人数的等于乙校人数的，等于丙校人数的，已知丙校比甲校多120人，求三校共有多少人？ 【答案】2640人 【分析】把甲校人数看作单位“1”，则乙校人数是甲校的÷＝，丙校人数是甲校的÷＝，则丙校比甲校多－1＝，已知丙校比甲校多120人，那么甲校有学生120÷＝720（人），然后再分别求出乙校和丙校的人数，解决问题。 【详解】甲校人数：120÷（÷－1） ＝120÷（－1） ＝120÷ ＝720（人）； 乙校人数：720×（÷） ＝720× ＝1080（人）； 丙校人数：720＋120＝840（人）； 三校共有学生：720＋840＋1080＝2640（人） 答：三校共有2640人。 【对应练习3】 有甲、乙两桶油，甲桶油比乙桶油多3.2千克，从甲、乙两桶油中各取2千克，甲桶油剩下的等于乙桶油剩下的，求乙桶原来有多少千克的油？ 【答案】11.6千克 【分析】设乙桶有油x千克，则甲桶就有x＋3.2千克，从两桶中各取出2千克后，乙桶就剩余x－2千克，甲桶就剩余x＋3.2－2千克，根据甲桶油剩下的等于乙桶油剩下的可列方程，依据等式的性质即可求解。 【详解】解：设乙桶原来有x千克的油，则甲桶有千克的油，根据题意可列方程： 答：乙桶原来有11.6千克的油。 【点睛】此题考查的是分数混合运算的应用，明确数量关系是解题关键。 【考点六】单位“1”转化问题其五：多个单量的统一 方法点拨 解决单位“1”转化问题，首先需要统一单位“1”，然后再用对应分量÷对应分率=单位“1”解决问题。 考察形式 应用 动态评价 【典型例题1】基础型问题 希希、望望、贝贝三人合资开了一家公司，希希出资的金额是望望、贝贝两人出资之和的，望望出资的金额是希希、贝贝两人出资之和的，若贝贝出资的金额比望望出资的金额多4万元，则他们三人出资的金额一共是多少钱？ 【答案】24万元 【分析】根据分数的意义，可知希希出资的金额占三人出资的总金额的，望望出资的金额占三人出资的总金额的，贝贝出资的金额占三人出资的总金额的，则贝贝出资的金额比望望出资的金额多的部分占三人出资的总金额的，根据分数除法的意义，用即可求出三人出资的总金额。 【详解】 （万元） 答：他们三人出资的数额一共是24万元。 【点睛】本题考查了分数除法的灵活应用，明确分数的意义以及找到对应的单位“1”是解答本题的关键。 【对应练习1】 甲、乙、丙、丁合修一条路，甲修的是其他三队的，乙修的是其他三队的，丙修的是其他三队的，丁修了米，这条路全长多少米？ 【答案】米 【分析】甲修的是其他三队的，所以甲修了全部的÷（1＋）＝；乙修的是其他三队的，所以乙修了全部的；丙修的是其他三队的，所以丙修了全部的；丁修了1－－－＝，为68米，据此可求得全长多少米。 【详解】甲修了全部的÷（1＋）＝ 乙修了全部的； 丙修了全部的； 丁修了全部的：1－－－＝； 全长：68÷＝（米） 答：这条路全长米。 【点睛】此题是考查分数除法的意义及应用，关键，也就是难点是求丁修了全长的几分之几。 【对应练习2】 甲、乙、丙、丁做小红花，甲做的朵数是其他三人做的总数的，乙做的朵数是其他三人做的总数的，丙做的朵数是其他三人做的总数的，丁做了40朵，甲做了多少朵？ 【答案】30朵 【分析】把甲、乙、丙、丁做的小红花总数量看作单位“1”，甲做的小红花数量占总数量的，乙做的小红花数量占总数量的，丙做的小红花数量占总数量的，用减法求出丁做的小红花数量占总数量的分率，丁做了40朵，根据“量÷对应的分率”求出四人做的小红花总数量，最后用分数乘法求出甲做的小红花数量，据此解答。 【详解】40÷（1－－－）× ＝40÷（1－－－）× ＝40÷× ＝200× ＝30（朵） 答：甲做了30朵。 【点睛】本题主要考查分数乘除法的应用，表示出丁做的小红花数量占总数量的分率是解答题目的关键。 【对应练习3】 甲、乙、丙、丁四人合买一部数码相机，甲出的钱是其余三人出钱总数的，乙出的钱是另外三人出钱总数的，丙出的钱是其余三人出钱总数的，丁出169元。这部数码相机的价格是多少元？ 【答案】780元 【分析】甲出的钱是其余三人出钱总数的，可知甲占数码相机价格的，乙出的钱是另外三人出钱总数的，可知乙占数码相机价格的，丙出的钱是其余三人出钱总数的，丙占数码相机价格的，丁占数码相机价格1－－－，用丁出的钱数÷对应分率＝数码相机价格。 【详解】169÷（1－－－） ＝169÷ ＝780（元） 答：这部数码相机的价格是780元。 【点睛】本题考查了分数四则复合应用题，关键是通过题干描述将单位“1”转化为数码相机价格，确定对应分率。 【考点七】单位“1”转化问题其六：以总量统一单位“1” 方法点拨 解决单位“1”转化问题，首先需要统一单位“1”，然后再用对应分量÷对应分率=单位“1”解决问题。 考察形式 应用 动态评价 【典型例题】 1. 橘子的千克数是苹果的 ，香蕉的千克数是橘子的，香蕉和苹果共220千克，橘子有多少千克？ 解析： 方法一：求橘子的数量，把橘子看做单位“1”。 ①橘子是苹果的，则苹果是橘子的 ②香蕉是橘子的 ③苹果和香蕉一共占橘子的+=2 橘子的数量是：220÷2=110（千克） 答：略。 方法二：把苹果看作单位“1”，则橘子是，香蕉是×= 每一份（即苹果）：220÷（1+）=165（千克） 橘子：165×=110（千克） 答：略。 方法三：把橘子看作2份，苹果看作3份，则香蕉是1份。 每一份：220÷（1+3）=55（千克） 橘子：55×2=110（千克） 答：略。 2. 一盆金鱼，红鱼是总数的， 黑鱼是红鱼的，其余的是24条花鱼，红鱼有多少条？ 解析： 红鱼是总数的，则黑鱼是总数的×=，剩下的花鱼是总数的1--= 总数是：24÷=40（条） 红鱼：40×=10（条） 答：略。 3. 甲存款是乙存款，乙存款是丙存款的，甲比丙少存70元，求三人各存款多少元？ 解析： 把甲看作9份，乙看作10份，则丙是12.5份 每一份：70÷（12.5-9）=20（元） 甲：9×20=180（元） 乙：10×20=200（元） 丙：12.5×20=250（元） 答：略。 【对应练习1】 甲数是乙数的，乙数是丙数的，甲、乙、丙的和是216，甲、乙、丙各是多少？ 解析：把甲数看作2份，乙数看作3份，则丙数是4份。 每一份：216÷（2+3+4）=24 甲数：24×2=48 乙数：24×3=72 丙数：24×4=96 答：略。 【对应练习2】 甲校人数是乙校人数的，乙校人数是丙校人数的，甲校比丙校少450人，求三校各有多少人？ 解析： 把甲校人数看作4份，乙校人数看作5份，则丙校人数是7份。 每一份：450÷（7-4）=150（人） 甲校：150×4=600（人） 乙校：150×5=750（人） 丙校：150×7=1050（人） 答：略。 【对应练习3】 甲、乙、丙三人共有92本图书。已知甲的图书是乙的，又知丙的图书相当于乙的，求丙有多少本图书？ 【答案】20本 【分析】由题意可知，设乙的图书有x本，则甲的图书有x本，丙的图书有x本，再根据等量关系：甲的图书＋乙的图书＋丙的图书＝92，据此列方程解答即可。 【详解】解：设乙的图书有x本，则甲的图书有x本，丙的图书有x本。 x＋x＋x＝92 x＋x＝92 x＝92 x÷＝92÷ x＝92× x＝40 40×＝20（本） 答：丙有20本图书。 【点睛】本题考查用方程解决实际问题，明确等量关系是解题的关键。 【考点八】单位“1”转化问题其七：以单量统一单位“1” 方法点拨 解决单位“1”转化问题，首先需要统一单位“1”，然后再用对应分量÷对应分率=单位“1”解决问题。 考察形式 应用 动态评价 【典型例题1】问题一 今年希望小学六年级毕业生人数占全校总人数的，毕业生走后，又招进新生220人，这时全校总人数是原来总人数的，原来学校共有多少人？ 解析： ＝220÷[] ＝220÷ ＝2475（人） 答：原来学校共有2475人。 【对应练习1】 幸福里小学上学期六年级女生人数是男生的，下学期转来3名女生，这时女生人数是男生人数的。阳光小学下学期六年级男生比女生多多少人？ 解析： ＝3÷ ＝126（人） 126 ＝ ＝18（人） 答：阳光小学下学期六年级男生比女生多18人。 【对应练习2】 某校六年级有甲、乙两个班，甲班人数是乙班的．如果从乙班调3人到甲班，甲班人数是乙班人数的。甲、乙两班原来各有多少人？ 解析： 3÷(-)=108(人) 乙班：108÷(l+)=63(人) 甲班：63×=45(人) 【对应练习3】 有甲乙两个粮库，原来甲粮库存粮的质量是乙粮库的，如果从乙粮库运12吨到甲粮库，那么甲粮库存粮的质量就是乙粮库的，甲、乙粮库原来各存粮多少吨？ 解析： 原来乙占全部的，现在乙占全部的 全部存粮：12÷（-）=432（吨） 原来甲存粮：432×=180（吨） 原来乙存粮：432-180=252（吨） 答：略。 【典型例题2】问题二 某校派出100名学生参加竞赛，其中女生占，后来有几名女生因故退出，这样参赛女生占参赛人数的，正式参赛的女生有多少名？ 解析： 100×（1－） ＝100× ＝80（名） 80÷（1－） ＝80 ＝95（名） 95－80＝15（名） 答：正式参赛的女生有15名。 【对应练习1】 东风小学有学生480人，其中女生占，后来又转来几名女生，这时女生占总人数的，转来几名女生？ 解析： 480×（1－） ＝480× ＝200（人） 200÷（1－） ＝200÷ ＝500（人） 500－480＝20（名） 答：转来20名女生。 【对应练习2】 果园里有苹果树、梨树共800棵，其中苹果树占，后来又载了一些苹果树，这样，苹果树占总棵树的，后来又载了多少棵苹果树？ 解析： 梨树有800×（1-）=480（棵） 现在的种棵树：480÷（1-）=1000（棵） 又栽了：1000-800=200（棵） 答：略。 第 1 页 共 6 页 学科网（北京）股份有限公司 $$