（总集篇）第三单元分数除法·总集篇·工程问题【二十大考点】-2025-2026学年六年级数学上册典型例题系列（原卷版+解析版）人教版

第 1 页 共 28 页 篇首寄语 我们每一位老师都希望为学生提供最优质的教学资料，在日常教学中，能够迅速找到一份 高质量、高效率、高标准的资料显得尤为关键。过去，编者常常在各学习网站间奔波，寻找所 需的资料，但它们总是存在各种问题，难以令人满意，每次搜寻都要耗费大量时间和精力，才 能找到心仪的资料，这种费时费力的过程实在令人苦恼。因此，在每次的寻找过程中，编者不 禁思考：如果由我自己来创作一份资料，情况会如何呢？这份资料首先应满足我自身的教学需 求，达到我设定的高标准，然后再为他人提供参考。基于这一理念，结合自身教学需求和学生 实际情况，最终精心打造出了一个既适合课堂教学，又适应课后作业，还便于阶段复习的大综 合系列。 《2025-2026学年典型例题系列》，是基于教材知识和历年真题精心总结与编辑而成的。 该系列主要包括四个篇章：典型例题篇、三阶练习篇、单元复习篇和素养测评篇。 1. 典型例题篇：按照单元顺序编排，涵盖计算和应用两大板块。其优点在于例题典型、考点 丰富，变式多样。 2. 三阶练习篇：从高频考题和期末真题中精选练习题，分为课时练、专项练和综合练三部分。 其优点在于选题经典、题型多样，题量适中。 3. 单元复习篇：汇集系列精华，高效辅助单元复习。其优势在于内容综合全面、精练高效， 实用性强。 4. 素养测评篇：依据试题难度和综合水平，分为 A卷·基础达标卷和 B卷·综合素养卷。其 优点在于考点覆盖广泛、层次分明，适应性强。 时光荏苒，《典型例题系列》正在更新至第 5版，在过去，它扬长补短，去粗取精，日臻 完善；展望未来，它将承前启后，不断发展，未有竟时。 黄金无足色，白璧有微瑕，如果您在使用资料的过程中有任何宝贵意见，请留言于我，欢 迎您的使用，感谢您的支持！ 101 数学创作社 2025 年 8 月 2 日晚 第 2 页 共 28 页 2025-2026 学年六年级数学上册典型例题系列「2025 秋」 第三单元分数除法·总集篇·工程问题【二十大考点】 专题名称 第三单元分数除法·总集篇·工程问题 专题内容 本专题以工程问题为主，其中包括工程问题的基本题型、合作问题、请假问题 以及其他复杂的工程问题，考点划分众多，内容量极大。 评价体系 基础： ；迁移： ；综合： ；多维度： ；重难点： 讲解建议 “总集篇”是对热点、重点、难点内容的阶段性总结，适用于系统复习和综合 训练，考点内容丰富，考查难度较大，考题形式多样，建议根据学生实际掌握 情况和总体水平，选择性进行讲解。 考点数量 二十大考点 【知识总览】 ................................................................................................................................................................ 4 【考点一】工程问题基本数量关系 ..................................................................................................................... 5 【考点二】合作效率问题 ......................................................................................................................................6 【考点三】合作时间问题其一：单位“1”作工作总量 ................................................................................... 8 【考点四】合作时间问题其二：已知工作总量 ................................................................................................. 9 【考点五】合作时间问题其三：先求工作效率，再求合作时间 ...................................................................10 【考点六】合作时间问题其四：多人合作问题 ............................................................................................... 11 【考点七】合作时间问题其五：已知合作时间，求单独完成时间 ...............................................................12 【考点八】合作完成问题其一：先由一人单独完成，再由另一人单独完成 ...............................................13 第 3 页 共 28 页 【考点九】合作完成问题其二：先合作完成，再单独完成 ...........................................................................14 【考点十】合作完成问题其三：先单独完成，再合作完成 ...........................................................................16 【考点十一】请假问题其一 ............................................................................................................................... 17 【考点十二】请假问题其二 ............................................................................................................................... 19 【考点十三】请假问题其三 ............................................................................................................................... 20 【考点十四】复杂的工程问题其一：量率对应问题 ....................................................................................... 21 【考点十五】复杂的工程问题其二：多人合作问题 ....................................................................................... 23 【考点十六】复杂的工程问题其三：剩余工作总量问题 ...............................................................................24 【考点十七】复杂的工程问题其四：同时工作问题 ....................................................................................... 25 【考点十八】复杂的工程问题其五：工效变化问题 ....................................................................................... 26 【考点十九】复杂的工程问题其六：水管注水问题 ....................................................................................... 27 【考点二十】复杂的工程问题其七：交替工作问题 ....................................................................................... 28 第 4 页 共 28 页 【知识总览】 1. 工程问题的意义。 工程问题指的与工程建造有关的数学问题，在小学数学中，常见的有修路、建筑、工作等， 有时也包括行路、水管注水等。 2. 工程问题的特征。 （1）工作总量： 工作总量指的是工作的多少，但在工程问题中，我们通常把工作总量看作单位“1”，因为 在已知条件中，常常不会给出工作量的具体数量，只提出“一项工程”、“一块土地”、“一条水 渠”、“一件工作”等，所以，在解题时，常常用单位“1”表示工作总量。 （2）工作效率： 工作效率表示单位时间内工作量的多少，通俗来说就是工作的快慢，其中单位时间可以是 天、也可以是时、分、秒等，其中合作效率，多队合作时，总效率为各队效率之和。 3. 工程问题的关键解法和基本步骤。 （1）关键解法 解答工程问题的关键是把工作总量看作“1”，这样，工作效率就是工作时间的倒数（它表 示单位时间内完成工作总量的几分之几），进而就可以根据工作量、工作效率、工作时间三者 之间的关系列出算式。 （2）基本步骤 步骤 1：明确工作总量为单位“1”； 步骤 2：根据单独完成时间表示效率； 步骤 3：合作时效率和相加； 步骤 4：1÷效率和求合作时间。 4. 工程问题的基本数量关系。 ①工作效率×工作时间=工作总量； ②工作效率=工作总量÷工作时间； ③工作时间=工作总量÷工作效率。 第 5 页 共 28 页 【考点一】工程问题基本数量关系 方法点拨 工程问题基本数量关系。 ①工作效率×工作时间=工作总量； ②工作效率=工作总量÷工作时间； ③工作时间=工作总量÷工作效率。 考察形式 填空、选择、应用 动态评价 【典型例题 1】关于工作效率 一项工程，甲队需要 20天完成，甲队每天完成这项工程的几分之几？ 【对应练习】 乙队完成一项工程的 3 2 需要 12天，求乙队的工作效率。 【典型例题 2】关于工作时间 一项工程，甲队的工作效率是 10 1 ，甲队完成这项工程需要几天？ 【对应练习】 乙队的工作效率是 15 1 ，乙队完成这项工程的 5 4 需要多少天？ 第 6 页 共 28 页 【典型例题 3】关于工作总量 一项工程，甲队的工作效率是 12 1 ，甲队工作 5天可以完成这项工程的几分之几？工作 9天可 以完成这项工程的几分之几？ 【对应练习】 某建筑队承包一项工程，8天完成它的 27，每天完成这项工程的几分之几？14天一共完成这项 工程的几分之几？ 【考点二】合作效率问题 方法点拨 合作效率=工作效率 1+工作效率 2。 考察形式 填空、选择、应用 动态评价 【典型例题 1】 一项工作，甲单独做 12天完成，乙单独做 20天完成。 （1）甲的工作效率是几分之几？乙的工作效率是几分之几？ （2）甲、乙合做 1天完成全工程的几分之几？ （3）甲、乙合作 3天完成完成全工程的几分之几？还剩几分之几没完成？ 第 7 页 共 28 页 【对应练习 1】 一项工程，甲队单独做 10天完成，乙队单独做 15天完成。 （1）甲队每天完成这项工程的     ，乙队每天完成这项工程的     。 （2）甲乙两队合作，每天完成这项工程的     。 （3）甲乙合作 4天后，还剩下这项工程的     没有完成。 【对应练习 2】 一项工程，甲单独做完需要 20天，乙单独做完需要 10天。问： （1）甲的工作效率是几分之几？ （2）乙的工作效率是几分之几？ （3）甲、乙的工作效率和是几分之几？ 【对应练习 3】 一项工程，甲乙合作需要 12天完成，甲单独做需要 36天完成，那么： （1）甲的工作效率是多少？ （2）甲乙合作的工作效率是多少？ （3）乙的工作效率是多少？ 第 8 页 共 28 页 【考点三】合作时间问题其一：单位“1”作工作总量 方法点拨 1. 合作效率=合作效率=工作效率 1+工作效率 2。 2. 合作时间=工作总量÷合作效率。 考察形式 应用 动态评价 【典型例题 1】 修一条路，甲队单独修要 15天，乙队单独修要 12天，如果两队合修，几天后可以完成这条路？ 【对应练习 1】 修一条隧道，甲队单独修 8个月完成，乙队单独修 10个月完成。甲、乙两队合修，几个月修 完这条隧道？ 【对应练习 2】 修一条路，甲工程队单独修 10天可以修完，乙工程队单独修 15天可以修完，两队合作，需要 多少天能修完？ 【对应练习 3】 学校开展劳动基地实践活动，六（1）中队每天能翻整块菜地的 1 12 ，六（2）中队每天能翻整 块菜地的 1 18 ，两个中队合作，几天能翻好整块菜地？ 第 9 页 共 28 页 【考点四】合作时间问题其二：已知工作总量 方法点拨 1. 合作效率=合作效率=工作效率 1+工作效率 2。 2. 合作时间=工作总量÷合作效率。 考察形式 应用 动态评价 【典型例题】 一批货物，如果单独用大卡车运，10次运完，如果单独用小卡车运，15次运完，如果两车一 起运，几次能运完这批货物的 2 3 ？ 【对应练习 1】 修一条路，甲队单独修，需要 9天完成，乙队单独修，需要 18天完成，现在两队合修，几天 能完成全部任务的 2 3 ？ 【对应练习 2】 生产一批零件，师傅单独做要 10小时完成，徒弟单独做要 12小时完成，现在师徒两人合做， 需要多少小时完成这份零件的 3 4 ？ 【对应练习 3】 加工一批零件，甲单独做要 6天完成，乙单独做要 8天完成。现在甲、乙两人合作，多少天能 完成这批零件的 7 8 ？ 第 10 页 共 28 页 【考点五】合作时间问题其三：先求工作效率，再求合作时间 方法点拨 1. 合作效率=合作效率=工作效率 1+工作效率 2。 2. 合作时间=工作总量÷合作效率。 考察形式 应用 动态评价 【典型例题】 一项工程，甲队单独做要 12天完成，乙队单独做 10天可以完成全部工程的 23 ，如果甲乙两队 合作，多少天才能完成这项工程？ 【对应练习 1】 生产一批零件，甲单独做需要 20小时完工，乙单独 25小时只能做这批零件的 56。甲、乙合作 完成这批零件，几小时可以完成？ 【对应练习 2】 一件工程，甲单独做要 12天完成，乙单独做 3天完成这件工程的 1 5。如果甲、乙两队合做， 多少天可以完成这项工程的 60%？ 【对应练习 3】 一项工程，甲队单独做 12天完成，乙队单独做 5天完成工程的 13，如果两队合做多少天可完 成这项工程？ 第 11 页 共 28 页 【考点六】合作时间问题其四：多人合作问题 方法点拨 1. 合作效率=合作效率=工作效率 1+工作效率 2。 2. 合作时间=工作总量÷合作效率。 考察形式 应用 动态评价 【典型例题】 一项工程，甲、乙合作需要 6天可以完成，乙、丙合作需 9天完成，甲、丙合作需 15天完成。 现在甲、乙、丙三人合作需要多少天完成？ 【对应练习 1】 甲、乙、丙承包一项工程，共发工资 14400元。三人完成工程的情况是：甲、乙合作 6天完成 工程的 1 3，乙、丙合作 2天完成余下工程的 1 4，最后甲、乙、丙三人又合作 5天完成工程。按 各人完成的工作量来付酬金，问：每人各应得多少元？ 【对应练习 2】 如果用甲、乙、丙三根水管同时在一个空水池里灌水，1小时可以灌满；如果用甲、乙两管， 1小时 20分钟可以灌满；如果用乙、丙两根水管，1小时 15分钟可以灌满。那么，用乙管单 独灌水的话，灌满这一池需要多少小时？ 第 12 页 共 28 页 【对应练习 3】 甲乙丙三队合做一项工程。甲乙合做要 10天完成，乙丙合做 12天完成，甲丙合做 15天完成。 现在先由甲乙丙三队合做 3天后，余下的由甲队单独完成，甲队还要多少天？ 【考点七】合作时间问题其五：已知合作时间，求单独完成时间 方法点拨 1. 合作效率=合作效率=工作效率 1+工作效率 2。 2. 合作时间=工作总量÷合作效率。 考察形式 应用 动态评价 【典型例题】 一项工程，甲乙两队一起做需要 10天，乙队单独做需要 15天，如果甲队单独做，多少天可以 完成这项工程？ 【对应练习 1】 加工一批零件，师徒两人一起加工要 10天完成，由师傅一个人单独加工要 15天完成，若由徒 弟单独加工几天完成？ 【对应练习 2】 一袋米，甲、乙、丙三人一起吃，8天可以吃完；甲一人吃，24天可以吃完；乙一人吃，36 天可以吃完，丙一人吃，多少天可以吃完？ 第 13 页 共 28 页 【对应练习 3】 某工程甲、乙、丙三个队合做 4天完成，甲队单独做 8天完成，乙队单独做 12天完成，丙队 单独做需要多少天？ 【考点八】合作完成问题其一：先由一人单独完成，再由另一人单独完成 方法点拨 1. 合作效率=合作效率=工作效率 1+工作效率 2。 2. 合作时间=工作总量÷合作效率。 考察形式 应用 动态评价 【典型例题 1】完成剩余工作量 一项工程，甲 3天可以完成工程总量的 12 ，乙完成工程总量的 1 3要 3天，现由甲先单独做 2天， 剩下的由乙单独做，乙还要做几天才能完成任务？ 【典型例题 2】完成全部工作量 一项工程，甲队单独做 15天可以完成，甲队做了 10天后，由于另有任务，剩下的工作由乙队 单独做完需要 6天完成。问：乙队单独完成这项工作需多少天？ 【对应练习 1】 一项工程，甲单独做需要 15天完成。若甲先单独做 5天，余下的工程由乙单独做，8天可以 完成。若甲先单独做 10天，余下的工程由乙单独做，则多少天可以完成？ 第 14 页 共 28 页 【对应练习 2】 工程队要给幸福村修一条 3000米的路。如果甲队单独修，需要 8天修完，如果乙队单独修， 需要 10天修完。甲队修了 4天后接到新的任务，剩下的由乙队修，还需要多少天可以修完？ 【对应练习 3】 加工一批零件，甲单独做要 12小时，乙单独做要 10小时，现在甲先做 3小时后，乙来参加一 同做，还需要多少小时才能完成？ 【考点九】合作完成问题其二：先合作完成，再单独完成 方法点拨 1. 合作效率=合作效率=工作效率 1+工作效率 2。 2. 合作时间=工作总量÷合作效率。 考察形式 应用 动态评价 【典型例题 1】完成剩余工作量 一段路，甲单独修需要 8天完成，乙单独修需要 10天完成，甲乙两队合修 2天后，剩下的乙 单独修，还需要修几天？ 【对应练习 1】 修建一条隧道，甲工程队单独修建需要 12个月，乙工程队单独修建需要 10个月。现在甲乙两 队合修 3个月后，剩下的由乙工程队独修，还需要几个月完成？ 第 15 页 共 28 页 【对应练习 2】 一项工程甲队单独做 10天可以完成，乙队单独做 8天可以完成，如果两队合作 2天，剩下的 甲单独做，那么甲队还需要多少天完成任务？ 【典型例题 2】完成全部工作量 甲、乙两个工程队合作一项工程，甲队单独做需要 15天完成，甲、乙合作需要 10天完成。如 果乙队单独做这项工程，需要几天完成？ 【对应练习 1】 一项工程，甲队独做 15天完成，乙队独做 12天完成。现在甲、乙合作 4天后，剩下的工程由 丙队 8 天完成。如果这项工程由丙队独做，需几天完成？ 【对应练习 2】 一项工程，甲乙两队合做 30天完成，现在甲队单独做 24天后乙队加入，两队合做了 12天后， 这时甲队调走，乙队继续做 15天才完成这项工程。甲队单独做这项工程需要多少天？ 【对应练习 3】 一项工程，甲单独做要 20天完成，现在由甲单独做了 4天，以后由甲、乙两人合作 6天就完 成任务。如果这项工程由乙单独做，要做多少天才能完成？ 第 16 页 共 28 页 【考点十】合作完成问题其三：先单独完成，再合作完成 方法点拨 1. 合作效率=合作效率=工作效率 1+工作效率 2。 2. 合作时间=工作总量÷合作效率。 考察形式 应用 动态评价 【典型例题 1】问题一 一项工程，甲队单独做 20天完成，乙队单独做 30天完成，甲队从先做了这项工程的 1 4后，乙 队加入。两队合作完成剩下的工程，还要多少天？ 【典型例题 2】问题二 运一批货物，甲车需要 8小时可以运完，乙车需要 12小时可以运完，甲车先运了 3小时，然 后甲、乙两车同时运，还需几小时才能运完？ 【对应练习 1】 某市政府决定对某老旧小区进行改造。改造工程由甲队单独做 15天完成，乙队单独做 12天完 成。现乙队单独做 3天后，剩下的工程由甲、乙两队合作完成。甲、乙两队还要合作几天可以 完成改造工程？ 第 17 页 共 28 页 【对应练习 2】 修一条路，甲单独修需 16天，乙单独修需 24天。 【对应练习 3】 一项工程，甲单独做 15天完成，乙单独做 12天完成，如果乙先做 3天后，再由两人合作，还 需要多少天完成全部工程？ 【对应练习 4】 修一条公路，甲队单独修需要 10天完成，乙队单独修需要 15天完成。现先由甲队修 2天，余 下的两队合修，修完这条路甲队一共修了多少天？ 【考点十一】请假问题其一 方法点拨 合作效率=各单位量工作效率之和 工效和×合作时间=工作总量 工作总量÷工效和=合作时间 工作总量÷合作时间=工效和 考察形式 应用 动态评价 第 18 页 共 28 页 【典型例题】 一条公路，甲队单独修 24天完成，乙队单独修 30天完成，现在甲乙两队合修若干天后，乙队 因另有任务调离，甲队继续修了 6天才完成任务，求乙队修了几天？ 【对应练习 1】 一项工程，甲队单独做 8天完成，乙队单独完成比甲队多用 4天，现在甲乙合作几天后，乙另 有任务调走，甲又干做 3天才完成任务，求乙队工作了几天？ 【对应练习 2】 一项工程，甲、乙合作 40天可以完成。甲、乙合作 10天后，甲队另有任务抽调到其它工地， 剩下的工程由乙继续做了 45天才完成。如果这项工程由甲单独完成，需要多少天？ 【对应练习 3】 师傅每小时加工 15个零件，徒弟每小时加工 12个零件．师徒俩合作加工 6小时后师傅因事离 开，徒弟又工作了 3小时才完成．完成这次任务一共加工了多少个零件？ 第 19 页 共 28 页 【考点十二】请假问题其二 方法点拨 合作效率=各单位量工作效率之和 工效和×合作时间=工作总量 工作总量÷工效和=合作时间 工作总量÷合作时间=工效和 考察形式 应用 动态评价 【典型例题】 一项工程，单独做甲队用 20天，乙队用 30天。甲乙两队合做若干天后，乙队因事调走，甲队 继续工作，从开工到完成一共用了 14天，求乙队调走了几天？ 【对应练习 1】 一项工程，甲队单独做 40天完成，乙队单独做 60天完成，甲、乙两队合作几天后，甲队另有 任务调走几天，乙继续做，那么从开工到完成任务共用了 27天，问甲队请假多少天？ 【对应练习 2】 甲、乙两队合作一项工程，若由甲队单独做，12天可完成，若由乙队单独做则需 20天完成．现 开始由甲、乙两队合作，中途甲队因另有任务派遣，剩下的任务由乙队单独完成．已知从开工 到结束共用 10天，问：乙队单独做了几天？ 第 20 页 共 28 页 【对应练习 3】 —项工程，甲队独做 20天完成，乙队独做 30天完成。 （1）甲乙两队合作，完成这项工程需（ ）天。 （2）实际施工过程中，两队合作了若干天后，甲队另有任务撤离，这样前后共工作了 18天完 成任务。甲队撤离了几天？ 【对应练习 4】 一项工程甲队单独做 15天可以完成，乙队单独做 10天可以完成。现在开始两队合作，但中间 乙队因另有任务调走，从开始到完成任务，甲队工作了 9天，乙队比甲队少工作了多少天？ 【考点十三】请假问题其三 方法点拨 合作效率=各单位量工作效率之和 工效和×合作时间=工作总量 工作总量÷工效和=合作时间 工作总量÷合作时间=工效和 考察形式 应用 动态评价 【典型例题】 一件工作，甲单独做要 20天完成，乙单独做要 12天完成，这项工作先由甲做了若干天，再由 乙继续做完，从开始到完工共用了 14天，甲做了几天？ 第 21 页 共 28 页 【对应练习 1】 单独完成一件工程，甲需要 24天，乙需要 32天，若甲先单独做若干天后，再有乙单独完成， 则一共用了 26天完成工作。问甲做了多少天？ 【对应练习 2】 一项工程，甲独做 12天完成，乙独做 4天完成。若甲先做若干天后，由乙接着做余下的工程， 直至完成全部任务，这样前后共用了 6天，甲先做了几天？ 【对应练习 3】 修一条公路，甲队单独 10天修完，乙队单独 12天修完，丙队单独 15天修完，现在三队合修， 但中途甲队撤离到其他工地，结果一共用了 6天把这条公路修完，修这条公路甲队工作了几 天？ 【考点十四】复杂的工程问题其一：量率对应问题 方法点拨 合作效率=各单位量工作效率之和 工效和×合作时间=工作总量 工作总量÷工效和=合作时间 工作总量÷合作时间=工效和 考察形式 应用 动态评价 第 22 页 共 28 页 【典型例题】 加工一批玩具，甲单独做需要 7天完成。乙单独做需要 8天完成，现在两人合作，完成任务时 甲比乙多做 20个。这批玩具一共多少个？ 【对应练习 1】 甲、乙两个工程队合修一条水渠，如果甲队单独修 6天完成，乙队单独修 8天完成，已知甲队 每天比乙队多修 30米，这条水渠全长多少米？ 【对应练习 2】 加工一批零件，单独加工，师傅需要 15天，徒弟需要 18天。现在由师徒二人合作完成，完成 任务时，师傅比徒弟多加工 20个。这批零件一共有多少个？ 【对应练习 3】 加工一批零件，甲、乙合作 24天可以完成。现在由甲先做 16天，然后由乙再做 12天，正好 完成这批零件的 3 5。已知甲每天比乙多加工 5个零件。这批零件一共有多少个？ 第 23 页 共 28 页 【考点十五】复杂的工程问题其二：多人合作问题 方法点拨 合作效率=各单位量工作效率之和 工效和×合作时间=工作总量 工作总量÷工效和=合作时间 工作总量÷合作时间=工效和 考察形式 应用 动态评价 【典型例题】 甲、乙、丙三人承包一项任务，发给他们的工资是 180元，三人完成这项任务的情况是：甲、 乙两人合作 6天完成了这项任务的 13；因甲有事，乙、丙合作 2天完成了余下任务的 1 4；以后 3人合作 5天完成了这项任务。按完成工作量的多少付酬，甲、乙、丙各应得多少元？ 【对应练习】 甲、乙、丙三人合修一段围墙，甲、乙合修 6天修好围墙的 13，乙、丙合修 2天修好余下的剩 下的 1 4，三人又合修了 5天才完成，共得报酬 180元。按各人所完成的工作量的多少来合理分 配，每人应得多少元？ 第 24 页 共 28 页 【考点十六】复杂的工程问题其三：剩余工作总量问题 方法点拨 合作效率=各单位量工作效率之和 工效和×合作时间=工作总量 工作总量÷工效和=合作时间 工作总量÷合作时间=工效和 考察形式 应用 动态评价 【典型例题】 甲乙合作完成一件工作，合作 8天后，乙又独做 5天，这时还剩下这件工作的 1 6 。已知乙单独 做这件工作需要 30天，那么甲单独完成这件工作需要多少天？ 【对应练习】 甲乙两人合作完成一项工程要 8小时。若甲先工作 4小时，乙再工作 6小时，还余下这项工程 的 2 5 。甲、乙两人单独完成这项工程各需要几小时？ 第 25 页 共 28 页 【考点十七】复杂的工程问题其四：同时工作问题 方法点拨 合作效率=各单位量工作效率之和 工效和×合作时间=工作总量 工作总量÷工效和=合作时间 工作总量÷合作时间=工效和 考察形式 应用 动态评价 【典型例题】 搬运一个仓库的货物，甲需要 10小时，乙需要 12小时，丙需要 15小时。有同样的仓库 A和 B，甲在 A仓库，乙在 B仓库同时开始搬运，丙帮助两库搬运，最后两个仓库货物同时搬完。 问丙帮助甲、乙各多少时间？ 【对应练习】 有两个同样的仓库 A和 B，搬运一个仓库里的货物，甲需要 10小时，乙需要 12小时，丙需 要 15小时。甲和丙在 A仓库，乙在 B仓库，同时开始搬运。中途丙转向帮助乙搬运。最后， 两个仓库同时搬完，丙帮助甲、乙各多少时间？ 第 26 页 共 28 页 【考点十八】复杂的工程问题其五：工效变化问题 方法点拨 合作效率=各单位量工作效率之和 工效和×合作时间=工作总量 工作总量÷工效和=合作时间 工作总量÷合作时间=工效和 考察形式 应用 动态评价 【典型例题】 甲、乙两人合作完成一项工作，由于配合默契，甲的工效比单独做时提高了 1 5，乙的工效比单 独做时提高了 1 6 ，甲、乙合作 6小时完成此项工作。已知甲单独做需要 12小时，那么乙单独 做需要多少小时？ 【对应练习】 甲乙合作完成一项工作，由于配合得好，甲的工作效率比单独做时提高 ，乙的工作效率比单 独做时提高 ，甲乙合作 6小时完成了这项工作．如果甲单独做需要 11小时，那么乙单独做需 要几小时？ 第 27 页 共 28 页 【考点十九】复杂的工程问题其六：水管注水问题 方法点拨 合作效率=各单位量工作效率之和 工效和×合作时间=工作总量 工作总量÷工效和=合作时间 工作总量÷合作时间=工效和 考察形式 应用 动态评价 【典型例题】 如果用甲、乙、丙三根水管同时在一个空水池里灌水，1小时可以灌满；如果用甲、乙两管， 1小时 20分钟可以灌满；如果用乙、丙两根水管，1小时 15分钟可以灌满。那么，用乙管单 独灌水的话，灌满这一池需要多少小时？ 【对应练习 1】 一个水池需要重新注满水。现有甲、乙、丙三个水管，若甲、乙两管同时打开要用 4小时，若 乙、丙两管同时打开要用 6小时。现在先打开甲、丙两个水管 1小时，然后单独打开乙水管， 9个小时后水刚好注满。如果开始就只用乙水管，需要多少小时注满水？ 第 28 页 共 28 页 【考点二十】复杂的工程问题其七：交替工作问题 方法点拨 合作效率=各单位量工作效率之和 工效和×合作时间=工作总量 工作总量÷工效和=合作时间 工作总量÷合作时间=工效和 考察形式 应用 动态评价 【典型例题】 一项工程，第一天甲做，第二天乙做，第三天甲做，第四天乙做，这样交替轮流做，那么恰好 用整数天完工；如果第一天乙做，第二天甲做，第三天乙做，第四天甲做，这样交替轮流做， 那么完工时间要比前一种多半天。已知乙单独做这项工程需 17天完成，甲单独做这项工程要 多少天完成？ 【对应练习】 搬运一批货物，王师傅单独搬完需要 8小时，李师傅单独搬完需要 6小时。为了确保质量，让 两人有足够的休息时间，打算先让王师傅搬 1小时，然后让李师傅搬 1小时，再由王师傅搬 1 小时……两人如此交替搬运，搬完这批货物一共需要几小时？ 第 1 页 共 51 页 篇首寄语 我们每一位老师都希望为学生提供最优质的教学资料，在日常教学中，能够迅速找到一份 高质量、高效率、高标准的资料显得尤为关键。过去，编者常常在各学习网站间奔波，寻找所 需的资料，但它们总是存在各种问题，难以令人满意，每次搜寻都要耗费大量时间和精力，才 能找到心仪的资料，这种费时费力的过程实在令人苦恼。因此，在每次的寻找过程中，编者不 禁思考：如果由我自己来创作一份资料，情况会如何呢？这份资料首先应满足我自身的教学需 求，达到我设定的高标准，然后再为他人提供参考。基于这一理念，结合自身教学需求和学生 实际情况，最终精心打造出了一个既适合课堂教学，又适应课后作业，还便于阶段复习的大综 合系列。 《2025-2026学年典型例题系列》，是基于教材知识和历年真题精心总结与编辑而成的。 该系列主要包括四个篇章：典型例题篇、三阶练习篇、单元复习篇和素养测评篇。 1. 典型例题篇：按照单元顺序编排，涵盖计算和应用两大板块。其优点在于例题典型、考点 丰富，变式多样。 2. 三阶练习篇：从高频考题和期末真题中精选练习题，分为课时练、专项练和综合练三部分。 其优点在于选题经典、题型多样，题量适中。 3. 单元复习篇：汇集系列精华，高效辅助单元复习。其优势在于内容综合全面、精练高效， 实用性强。 4. 素养测评篇：依据试题难度和综合水平，分为 A卷·基础达标卷和 B卷·综合素养卷。其 优点在于考点覆盖广泛、层次分明，适应性强。 时光荏苒，《典型例题系列》正在更新至第 5版，在过去，它扬长补短，去粗取精，日臻 完善；展望未来，它将承前启后，不断发展，未有竟时。 黄金无足色，白璧有微瑕，如果您在使用资料的过程中有任何宝贵意见，请留言于我，欢 迎您的使用，感谢您的支持！ 101 数学创作社 2025 年 8 月 2 日晚 第 2 页 共 51 页 2025-2026 学年六年级数学上册典型例题系列「2025 秋」 第三单元分数除法·总集篇·工程问题【二十大考点】 专题名称 第三单元分数除法·总集篇·工程问题 专题内容 本专题以工程问题为主，其中包括工程问题的基本题型、合作问题、请假问题 以及其他复杂的工程问题，考点划分众多，内容量极大。 评价体系 基础： ；迁移： ；综合： ；多维度： ；重难点： 讲解建议 “总集篇”是对热点、重点、难点内容的阶段性总结，适用于系统复习和综合 训练，考点内容丰富，考查难度较大，考题形式多样，建议根据学生实际掌握 情况和总体水平，选择性进行讲解。 考点数量 二十大考点 【知识总览】 ................................................................................................................................................................ 4 【考点一】工程问题基本数量关系 ..................................................................................................................... 5 【考点二】合作效率问题 ......................................................................................................................................6 【考点三】合作时间问题其一：单位“1”作工作总量 ................................................................................... 8 【考点四】合作时间问题其二：已知工作总量 ............................................................................................... 10 【考点五】合作时间问题其三：先求工作效率，再求合作时间 ...................................................................13 【考点六】合作时间问题其四：多人合作问题 ............................................................................................... 16 【考点七】合作时间问题其五：已知合作时间，求单独完成时间 ...............................................................18 【考点八】合作完成问题其一：先由一人单独完成，再由另一人单独完成 ...............................................20 第 3 页 共 51 页 【考点九】合作完成问题其二：先合作完成，再单独完成 ...........................................................................23 【考点十】合作完成问题其三：先单独完成，再合作完成 ...........................................................................27 【考点十一】请假问题其一 ............................................................................................................................... 30 【考点十二】请假问题其二 ............................................................................................................................... 32 【考点十三】请假问题其三 ............................................................................................................................... 35 【考点十四】复杂的工程问题其一：量率对应问题 ....................................................................................... 37 【考点十五】复杂的工程问题其二：多人合作问题 ....................................................................................... 39 【考点十六】复杂的工程问题其三：剩余工作总量问题 ...............................................................................42 【考点十七】复杂的工程问题其四：同时工作问题 ....................................................................................... 44 【考点十八】复杂的工程问题其五：工效变化问题 ....................................................................................... 46 【考点十九】复杂的工程问题其六：水管注水问题 ....................................................................................... 48 【考点二十】复杂的工程问题其七：交替工作问题 ....................................................................................... 49 第 4 页 共 51 页 【知识总览】 1. 工程问题的意义。 工程问题指的与工程建造有关的数学问题，在小学数学中，常见的有修路、建筑、工作等， 有时也包括行路、水管注水等。 2. 工程问题的特征。 （1）工作总量： 工作总量指的是工作的多少，但在工程问题中，我们通常把工作总量看作单位“1”，因为 在已知条件中，常常不会给出工作量的具体数量，只提出“一项工程”、“一块土地”、“一条水 渠”、“一件工作”等，所以，在解题时，常常用单位“1”表示工作总量。 （2）工作效率： 工作效率表示单位时间内工作量的多少，通俗来说就是工作的快慢，其中单位时间可以是 天、也可以是时、分、秒等，其中合作效率，多队合作时，总效率为各队效率之和。 3. 工程问题的关键解法和基本步骤。 （1）关键解法 解答工程问题的关键是把工作总量看作“1”，这样，工作效率就是工作时间的倒数（它表 示单位时间内完成工作总量的几分之几），进而就可以根据工作量、工作效率、工作时间三者 之间的关系列出算式。 （2）基本步骤 步骤 1：明确工作总量为单位“1”； 步骤 2：根据单独完成时间表示效率； 步骤 3：合作时效率和相加； 步骤 4：1÷效率和求合作时间。 4. 工程问题的基本数量关系。 ①工作效率×工作时间=工作总量； ②工作效率=工作总量÷工作时间； ③工作时间=工作总量÷工作效率。 第 5 页 共 51 页 【考点一】工程问题基本数量关系 方法点拨 工程问题基本数量关系。 ①工作效率×工作时间=工作总量； ②工作效率=工作总量÷工作时间； ③工作时间=工作总量÷工作效率。 考察形式 填空、选择、应用 动态评价 【典型例题 1】关于工作效率 一项工程，甲队需要 20天完成，甲队每天完成这项工程的几分之几？ 解析：直接利用公式：工作效率=工作总量÷工作时间列式计算。 1÷20= 20 1 答：略。 【对应练习】 乙队完成一项工程的 3 2 需要 12天，求乙队的工作效率。 解析： 3 2 ÷12= 18 1 答：略。 【典型例题 2】关于工作时间 一项工程，甲队的工作效率是 10 1 ，甲队完成这项工程需要几天？ 解析：直接利用公式：工作时间=工作总量÷工作效率列式计算。 1÷ 10 1 =10（天） 答：略。 【对应练习】 乙队的工作效率是 15 1 ，乙队完成这项工程的 5 4 需要多少天？ 解析： 5 4 ÷ 15 1 =12（天） 答：略。 第 6 页 共 51 页 【典型例题 3】关于工作总量 一项工程，甲队的工作效率是 12 1 ，甲队工作 5天可以完成这项工程的几分之几？工作 9天可 以完成这项工程的几分之几？ 解析：① 12 1 ×5= 12 5 ② 12 1 ×9= 12 9 = 4 3 答：略。 【对应练习】 某建筑队承包一项工程，8天完成它的 27，每天完成这项工程的几分之几？14天一共完成这项 工程的几分之几？ 【答案】 1 28； 1 2 【分析】（1）工作效率＝工作总量÷工作时间； （2）工作总量＝工作效率×工作时间，据此解答。 【详解】（1） 27 ÷8 ＝ 2 7 × 1 8 ＝ 1 28 （2） 128 ×14＝ 1 2 答：每天完成这项工程的 1 28，14天一共完成这项工程的 1 2 。 【点睛】掌握工程问题中工作时间、工作效率、工作总量之间的数量关系是解答题目的关键。 【考点二】合作效率问题 方法点拨 合作效率=工作效率 1+工作效率 2。 考察形式 填空、选择、应用 动态评价 【典型例题 1】 一项工作，甲单独做 12天完成，乙单独做 20天完成。 第 7 页 共 51 页 （1）甲的工作效率是几分之几？乙的工作效率是几分之几？ 解析：1÷12= 12 1 ；1÷20= 20 1 答：略。 （2）甲、乙合做 1天完成全工程的几分之几？ 解析： 12 1 + 20 1 = 15 2 答：略。 （3）甲、乙合作 3天完成完成全工程的几分之几？还剩几分之几没完成？ 解析：3× 15 2 = 5 2 ；1- 5 2 = 5 3 答：略。 【对应练习 1】 一项工程，甲队单独做 10天完成，乙队单独做 15天完成。 （1）甲队每天完成这项工程的     ，乙队每天完成这项工程的     。 解析： 10 1 ； 15 1 （2）甲乙两队合作，每天完成这项工程的     。 解析： 10 1 + 15 1 = 6 1 （3）甲乙合作 4天后，还剩下这项工程的     没有完成。 解析：1- 6 1 ×4= 3 1 【对应练习 2】 一项工程，甲单独做完需要 20天，乙单独做完需要 10天。问： （1）甲的工作效率是几分之几？ 解析：1÷20= 20 1 （2）乙的工作效率是几分之几？ 解析：1÷10= 10 1 第 8 页 共 51 页 （3）甲、乙的工作效率和是几分之几？ 解析： 20 1 + 10 1 = 20 3 【对应练习 3】 一项工程，甲乙合作需要 12天完成，甲单独做需要 36天完成，那么： （1）甲的工作效率是多少？ 解析： 甲的工作效率：1÷36= 36 1 （2）甲乙合作的工作效率是多少？ 解析： 合作效率：1÷12= 12 1 （3）乙的工作效率是多少？ 解析： 12 1 - 36 1 = 18 1 【考点三】合作时间问题其一：单位“1”作工作总量 方法点拨 1. 合作效率=合作效率=工作效率 1+工作效率 2。 2. 合作时间=工作总量÷合作效率。 考察形式 应用 动态评价 【典型例题 1】 修一条路，甲队单独修要 15天，乙队单独修要 12天，如果两队合修，几天后可以完成这条路？ 【答案】 20 3 天 【分析】将工作总量看作单位“1”，时间分之一可以看作效率，工作总量÷两队效率和＝合修天 数，据此列式解答。 【详解】 1 11 15 12 （ ＋ ） 31 20   201 3 ＝ 第 9 页 共 51 页 20 3  （天） 答： 20 3 天可以完成这条路。 【点睛】关键是理解工作效率、工作时间、工作总量之间的关系。 【对应练习 1】 修一条隧道，甲队单独修 8个月完成，乙队单独修 10个月完成。甲、乙两队合修，几个月修 完这条隧道？ 【答案】 40 9 个 【分析】把这条隧道的全长看作单位“1”，甲队的工作效率是 1 8，乙队的工作效率是 1 10。根据 工作总量÷工作效率的和＝工作时间，用 1÷（ 1 8＋ 1 10）可求出甲、乙两队合修，几个月修完这 条隧道。 【详解】1÷（ 1 8＋ 1 10） ＝1÷（ 540＋ 4 40） ＝1÷ 940 ＝1× 409 ＝ 40 9 （个） 答：甲、乙两队合修， 40 9 个月修完这条隧道。 【点睛】在用分数解决工程问题时，通常没有具体的工作总量，解题时把工作总量看作单位“1”， 用单位时间内完成工作总量的几分之一表示工作效率。 【对应练习 2】 修一条路，甲工程队单独修 10天可以修完，乙工程队单独修 15天可以修完，两队合作，需要 多少天能修完？ 【答案】6天 【分析】将工作总量看作单位“1”，时间分之一可以看作效率，工作总量÷两队效率和＝合作时 间。 【详解】1÷（ 1 10＋ 1 15） 第 10 页 共 51 页 ＝1÷（ 3 2 30 30  ） ＝1÷ 530 ＝1× 30 5 ＝6（天） 答：需要 6天能修完。 【点睛】关键是理解工作效率、工作时间、工作总量之间的关系。 【对应练习 3】 学校开展劳动基地实践活动，六（1）中队每天能翻整块菜地的 1 12，六（2）中队每天能翻整 块菜地的 1 18，两个中队合作，几天能翻好整块菜地？ 【答案】7.2天 【分析】把翻菜地总量看作单位“1”，根据工作时间＝工作总量÷工作效率和，求得两中队合作 完成这项工作需要的时间。 【详解】1÷（ 1 12＋ 1 18） ＝1÷ 536 ＝1× 365 ＝7.2（天） 答：两个中队合作，7.2天能翻好整块菜地。 【点睛】本题主要考查了工程问题，熟记相关公式是解题的关键。 【考点四】合作时间问题其二：已知工作总量 方法点拨 1. 合作效率=合作效率=工作效率 1+工作效率 2。 2. 合作时间=工作总量÷合作效率。 考察形式 应用 动态评价 【典型例题】 一批货物，如果单独用大卡车运，10次运完，如果单独用小卡车运，15次运完，如果两车一 第 11 页 共 51 页 起运，几次能运完这批货物的 2 3 ？ 【答案】4次 【分析】将这批货物看作单位“1”，1÷次数＝每次运这批货物的几分之几，这批货物的 23 ÷两车 每次一共运这批货物的对应分率和＝次数，据此列式解答。 【详解】1÷10＝ 1 10 1÷15＝ 1 15 2 1 1( ) 3 10 15   2 1 3 6   2 6 3   4 （次） 答：4次能运完这批货物的 23 。 【点睛】关键是确定单位“1”，理解分数除法的意义。 【对应练习 1】 修一条路，甲队单独修，需要 9天完成，乙队单独修，需要 18天完成，现在两队合修，几天 能完成全部任务的 2 3 ？ 【答案】4天 【分析】先根据“工作效率＝工作总量÷工作时间”表示出甲队的工作效率和乙队的工作效率， 两队合修需要的天数＝两队合修的工作总量÷（甲队的工作效率＋乙队的工作效率），据此解 答。 【详解】假设工作总量为 1。 甲队的工作效率：1÷9＝ 19 乙队的工作效率：1÷18＝ 1 18 1× 23 ÷（ 1 9＋ 1 18） ＝1× 23 ÷ 1 6 第 12 页 共 51 页 ＝ 2 3 ×6 ＝4（天） 答：4天能完成全部任务的 23 。 【点睛】本题主要考查分数除法的应用，掌握工作总量、工作时间、工作效率之间的关系是解 答题目的关键。 【对应练习 2】 生产一批零件，师傅单独做要 10小时完成，徒弟单独做要 12小时完成，现在师徒两人合做， 需要多少小时完成这份零件的 3 4 ？ 【答案】 45 11小时 【分析】把这批零件的工作总量看作单位“1”，根据工作效率＝工作总量÷工作时间，用 1÷10 求出师傅的工作效率，用 1÷12求出徒弟的工作效率，再根据工作时间＝工作总量÷工作效率 和，用 3 4 ÷（ 1 1 10 12  ）即可求出师徒两人合做几小时完成这份零件的 3 4 。 【详解】1÷10＝ 1 10 1÷12＝ 1 12 3 1 1( ) 4 10 12   ＝ 3 6 5( ) 4 60 60   ＝ 3 11 4 60  ＝ 3 60 4 11  ＝ 45 11（小时） 答：现在师徒两人合做，需要 45 11小时完成这份零件的 3 4 。 【点睛】本题考查知识点：依据工作时间，工作效率以及工作总量之间数量关系解决问题。 【对应练习 3】 加工一批零件，甲单独做要 6天完成，乙单独做要 8天完成。现在甲、乙两人合作，多少天能 完成这批零件的 7 8 ？ 第 13 页 共 51 页 【答案】3天 【分析】把这项工程总量看作单位“1”，根据工作效率＝工作总量÷工作时间，分别用 1÷6和 1÷8求得甲和乙各自的工作效率，然后根据工作时间＝工作总量÷工作效率和，用 78 除以两人 的工作效率和，即可求出多少天能完成这批零件的 7 8 。 【详解】1÷6＝ 1 6 1÷8＝ 1 8 7 8 ÷（ 1 6 ＋ 1 8） ＝ 7 8 ÷ 7 24 ＝ 7 8 × 24 7 ＝3（天） 答：现在甲、乙两人合作，3天能完成这批零件的 78 。 【点睛】本题主要考查了工程问题，熟记相关公式是解题的关键。 【考点五】合作时间问题其三：先求工作效率，再求合作时间 方法点拨 1. 合作效率=合作效率=工作效率 1+工作效率 2。 2. 合作时间=工作总量÷合作效率。 考察形式 应用 动态评价 【典型例题】 一项工程，甲队单独做要 12天完成，乙队单独做 10天可以完成全部工程的 23 ，如果甲乙两队 合作，多少天才能完成这项工程？ 【答案】 20 3 天 【分析】将工作总量看作单位“1”，时间分之一可以看作效率，先用乙队完成全部工程的 23 ÷对 应天数，求出乙队效率，根据工作总量÷两队效率和＝合作天数，列式解答即可。 【详解】 2 3 ÷10 第 14 页 共 51 页 ＝ 2 3 × 1 10 ＝ 1 15 1÷（ 1 12＋ 1 15） ＝1÷ 960 ＝ 20 3 （天） 答： 20 3 天才能完成这项工程。 【点睛】关键是理解工作效率、工作时间、工作总量之间的关系。 【对应练习 1】 生产一批零件，甲单独做需要 20小时完工，乙单独 25小时只能做这批零件的 56。甲、乙合作 完成这批零件，几小时可以完成？ 【答案】12小时 【分析】把生产这批零件的工作总量看作单位“1”，先根据“工作效率＝工作总量÷工作时间”， 分别求出甲、乙各自的工作效率，两人的工作效率相加即是合作工效；再根据“合作工时＝工 作总量÷合作工效”，即可求出两人合作完成这批零件需要的天数。 【详解】甲的工作效率： 1÷20＝ 120 乙的工作效率： 5 6 ÷25 ＝ 5 6 × 1 25 ＝ 1 30 甲、乙合作完成的时间： 1÷（ 120＋ 1 30） ＝1÷（ 360 ＋ 2 60） ＝1÷ 1 12 第 15 页 共 51 页 ＝12（小时） 答：甲、乙合作完成这批零件，12小时可以完成。 【点睛】本题考查工程问题，掌握工作效率、工作时间、工作总量之间的关系是解题的关键。 【对应练习 2】 一件工程，甲单独做要 12天完成，乙单独做 3天完成这件工程的 1 5 。如果甲、乙两队合做， 多少天可以完成这项工程的 60%？ 【答案】4天 【分析】把这件工程的工作量看作“1”，根据“工作效率＝工作量÷工作时间”，即可求出甲的工 作效率、乙的工作效率。再根据“工作时间＝工作量÷工作效率”，用这件工程的 60%除以甲、 乙的工作效率之和，就是甲、乙两队合做，完成这项工程的 60%所需要的天数。 【详解】1÷12＝ 1 12 （1×60%）÷（ 1 12＋ 1 5 ÷3） ＝0.6÷（ 1 12＋ 1 5 × 13） ＝0.6÷（ 1 12＋ 1 15） ＝0.6÷ 320 ＝0.6× 203 ＝4（天） 答：4天可以完成这项工程的 60%。 【点睛】此题属于简单的工作问题。关键是工作量、工作时间、工作效率三者之间的关系。 【对应练习 3】 一项工程，甲队单独做 12天完成，乙队单独做 5天完成工程的 13，如果两队合做多少天可完 成这项工程？ 【答案】 20 3 天 【分析】把工作总量看作“1”，根据工作量÷工作时间＝工作效率，先求出甲的工作效率，再求 出乙的工作效率，最后用工作总量除以甲、乙合作的工作效率和，就是甲、乙合作的工作时间。 第 16 页 共 51 页 【详解】1÷12＝ 1 12 1 3 ÷5＝ 1 3 × 1 5 ＝ 1 15 1÷（ 1 12＋ 1 15） ＝1÷（ 560＋ 4 60） ＝1÷ 960 ＝1× 609 ＝ 20 3 （天） 答：如果两队合做 20 3 天可完成这项工程。 【点睛】本题主要考查工作时间、工作效率、工作总量三者之间的数量关系，解答时往往把工 作总量看作“1”，再利用它们的数量关系解答。 【考点六】合作时间问题其四：多人合作问题 方法点拨 1. 合作效率=合作效率=工作效率 1+工作效率 2。 2. 合作时间=工作总量÷合作效率。 考察形式 应用 动态评价 【典型例题】 一项工程，甲、乙合作需要 6天可以完成，乙、丙合作需 9天完成，甲、丙合作需 15天完成。 现在甲、乙、丙三人合作需要多少天完成？ 解析： 甲、乙的工作效率：1÷6＝ 1 6 乙、丙的工作效率：1÷9＝ 19 甲、丙的工作效率：1÷15＝ 1 15 1÷[（ 1 1 1 6 9 15   ）÷2] ＝1÷[（ 1 1 1 6 9 15   ）÷2] 第 17 页 共 51 页 ＝1÷[ 31 90 ÷2] ＝1÷ 31 180 ＝ 180 31 （天） 答：现在甲、乙、丙三人合作需要 180 31 天完成。 【对应练习 1】 甲、乙、丙承包一项工程，共发工资 14400元。三人完成工程的情况是：甲、乙合作 6天完成 工程的 1 3，乙、丙合作 2天完成余下工程的 1 4 ，最后甲、乙、丙三人又合作 5天完成工程。按 各人完成的工作量来付酬金，问：每人各应得多少元？ 解析： 甲、乙合作工作效率： 1 3 ÷6＝ 1 18 乙、丙合作工作效率： 1 1 11 2 3 4 12   （－ ） 甲、乙、丙合作工作效率： 1 1 1 1[1 (1 ) ] 5 3 3 4 10       甲的工作效率： 1 1 1 10 12 60   乙的工作效率： 1 1 7 18 60 180 － 丙的工作效率： 1 1 2 10 18 45   甲得工资：14400× 160 ×（6＋5）＝2640（元） 乙得工资：14400× 7180 ×（6＋2＋5）＝7280（元） 丙得工资：14400× 245 ×（2＋5）＝4480（元） 答：甲得工资 2640元，乙得工资 7280元，丙得工资 4480元。 【对应练习 2】 如果用甲、乙、丙三根水管同时在一个空水池里灌水，1小时可以灌满；如果用甲、乙两管， 1小时 20分钟可以灌满；如果用乙、丙两根水管，1小时 15分钟可以灌满。那么，用乙管单 独灌水的话，灌满这一池需要多少小时？ 解析： 第 18 页 共 51 页 1小时 20分钟＝ 43小时； 1小时 15分钟＝ 5 4 小时； 1÷（1÷ 43＋1÷ 5 4 －1） ＝1÷ 1120 ＝ 20 11（小时） 答：用乙管单独灌水的话，灌满这一池需要 20 11小时。 【对应练习 3】 甲乙丙三队合做一项工程。甲乙合做要 10天完成，乙丙合做 12天完成，甲丙合做 15天完成。 现在先由甲乙丙三队合做 3天后，余下的由甲队单独完成，甲队还要多少天？ 解析： （ 1 10＋ 1 12＋ 1 15）÷2＝ 1 8 1 8－ 1 12＝ 1 24 （1－ 1 8 ×3）÷ 1 24 ＝（1－ 38）×24 ＝ 5 8 ×24 ＝15（天） 答：甲队还要 15天。 【考点七】合作时间问题其五：已知合作时间，求单独完成时间 方法点拨 1. 合作效率=合作效率=工作效率 1+工作效率 2。 2. 合作时间=工作总量÷合作效率。 考察形式 应用 动态评价 【典型例题】 一项工程，甲乙两队一起做需要 10天，乙队单独做需要 15天，如果甲队单独做，多少天可以 第 19 页 共 51 页 完成这项工程？ 解析： 1÷（ 1 10－ 1 15） ＝1÷ 130 ＝30（天） 答：30天可以完成这项工程。 【对应练习 1】 加工一批零件，师徒两人一起加工要 10天完成，由师傅一个人单独加工要 15天完成，若由徒 弟单独加工几天完成？ 解析： 1÷（ 1 10－ 1 15） ＝1÷ 130 ＝30（天） 答：徒弟单独加工 30天完成。 【对应练习 2】 一袋米，甲、乙、丙三人一起吃，8天可以吃完；甲一人吃，24天可以吃完；乙一人吃，36 天可以吃完，丙一人吃，多少天可以吃完？ 解析：1÷（ 36 1 24 1 8 1  ）=18（天） 答：略。 【对应练习 3】 某工程甲、乙、丙三个队合做 4天完成，甲队单独做 8天完成，乙队单独做 12天完成，丙队 单独做需要多少天？ 解析：1÷（ 12 1 8 1 4 1  ）=24（天） 答：略。 第 20 页 共 51 页 【考点八】合作完成问题其一：先由一人单独完成，再由另一人单独完成 方法点拨 1. 合作效率=合作效率=工作效率 1+工作效率 2。 2. 合作时间=工作总量÷合作效率。 考察形式 应用 动态评价 【典型例题 1】完成剩余工作量 一项工程，甲 3天可以完成工程总量的 12 ，乙完成工程总量的 1 3要 3天，现由甲先单独做 2天， 剩下的由乙单独做，乙还要做几天才能完成任务？ 【答案】6天 【分析】把工作总量看作单位“1”，根据工作效率＝工作总量÷工作时间，用 12 ÷3即可求出甲 的工作效率，用 1 3 ÷3即可求出乙的工作效率，然后根据工作总量＝工作时间×工作效率，用甲 的工作效率乘 2天，即可求出甲完成的工作量，然后用 1减去甲完成的工作量，即可求出剩下 的工作量，根据工作时间＝工作总量÷工作效率，用剩下的工作量除以乙的工作效率，即可求 出乙完成剩下任务需要的时间。 【详解】 1 2 ÷3 ＝ 1 2 × 1 3 ＝ 1 6 1 3 ÷3 ＝ 1 3 × 1 3 ＝ 1 9 1 6 ×2＝ 13 （1－ 13）÷ 1 9 ＝ 2 3 ÷ 1 9 ＝ 2 3 ×9 第 21 页 共 51 页 ＝6（天） 答：乙还要做 6天才能完成任务。 【点睛】本题主要考查了工程问题，熟记相关公式是解题的关键。 【典型例题 2】完成全部工作量 一项工程，甲队单独做 15天可以完成，甲队做了 10天后，由于另有任务，剩下的工作由乙队 单独做完需要 6天完成。问：乙队单独完成这项工作需多少天？ 解析： （1－ 1 15 ×10）÷6 ＝（1－ 23 ）÷6 ＝ 1 3 × 1 6 ＝ 1 18 1÷ 1 18＝18（天） 答：乙队单独完成这项工作需 18天。 【对应练习 1】 一项工程，甲单独做需要 15天完成。若甲先单独做 5天，余下的工程由乙单独做，8天可以 完成。若甲先单独做 10天，余下的工程由乙单独做，则多少天可以完成？ 【答案】4天 【分析】把这项工程的工作总量看作单位“1”，则甲的工作效率是 1 15，用甲的工作效率乘 5， 计算出甲 5天完成的工作量，再用减法计算余下的工作量，然后用余下的工作量除以 8天，计 算出乙队的工作效率。再用工作总量减去乙队 10天完成的工作量，计算出余下的工作量，最 后用余下的工作量除以乙的工作效率，计算出余下的工程由乙单独做，则多少天可以完成。 【详解】 11 5 8 15        ＝ 11 8 3       ＝ 2 8 3  ＝ 2 1 3 8  第 22 页 共 51 页 ＝ 1 12 1 11 10 15 12        ＝ 21 12 3       ＝ 1 12 3  ＝4（天） 答：4天可以完成。 【点睛】本题考查工程问题的解题方法，解题关键是利用工作总量、工作效率、工作时间之间 的关系，列式计算。 【对应练习 2】 工程队要给幸福村修一条 3000米的路。如果甲队单独修，需要 8天修完，如果乙队单独修， 需要 10天修完。甲队修了 4天后接到新的任务，剩下的由乙队修，还需要多少天可以修完？ 【答案】5天 【分析】把整条路长看作单位“1”，用工作总量除以工作时间，求出两队的工作效率，甲队修 了 4天，求出甲队完成的工作量，再用单位“1”减去甲队完成的，剩下的就是乙队要完成的， 用乙队完成的工作量除以乙队的工作效率，求出剩下的由乙队修，还需要多少天可以修完。 【详解】1÷8＝ 1 8；1÷10＝ 1 10 时间： 1 11 4 8 10        ＝（1－ 12）÷ 1 10 1 1 2 10   ＝ 1 2 ×10 5 （天） 答：还需要 5天可以修完。 【点睛】本题考查工程问题，解答本题的关键是掌握工程问题中的数量关系。 【对应练习 3】 第 23 页 共 51 页 加工一批零件，甲单独做要 12小时，乙单独做要 10小时，现在甲先做 3小时后，乙来参加一 同做，还需要多少小时才能完成？ 【答案】（ 11 3 12   ）÷（ 1 112 10 ＋ ） 【分析】由题意得，这批零件是单位“1”，根据公式：工作效率＝工作总量÷工作时间；工作总 量＝工作效率×工作时间，甲单独做的效率是 1 12，乙单独做的效率是 1 10，用甲单独做 3小时后 剩余的工作量除以两人的效率和进行解答。 【详解】（1− 1 12 ×3）÷（ 1 12＋ 1 10） ＝（1－ 14）÷ 11 60 ＝ 3 4 ÷ 11 60 ＝ 3 4 × 60 11 ＝ 45 11（小时） 答：还需要 45 11小时才能完成。 【点睛】考查分数应用题里面的工程问题，根据“工作量÷工作效率＝工作时间”解答。 【考点九】合作完成问题其二：先合作完成，再单独完成 方法点拨 1. 合作效率=合作效率=工作效率 1+工作效率 2。 2. 合作时间=工作总量÷合作效率。 考察形式 应用 动态评价 【典型例题 1】完成剩余工作量 一段路，甲单独修需要 8天完成，乙单独修需要 10天完成，甲乙两队合修 2天后，剩下的乙 单独修，还需要修几天？ 【答案】5.5天 【分析】由题意可知，甲队的工作效率是 1 8 ，乙队的工作效率是 1 10 ，先用（ 1 8 ＋ 1 10 ）×4，求出 两个队合修 2天的工作总量；再用“1”减去两个队合修 2天的工作总量，求出剩下的工作量； 最后用剩下的工作量除以乙的工作效率即可。 第 24 页 共 51 页 【详解】1÷8＝ 1 8 1÷10＝ 1 10 （ 1 8＋ 1 10）×2 ＝ 9 40 ×2 ＝ 9 20 （1 9 20  ）÷ 1 10 ＝ 11 1 20 10  ＝ 11 10 20  ＝5.5（天） 答：乙队还需要做 5.5天。 【点睛】解答本题需熟练掌握工作量、工作效率和工作时间之间的关系。 【对应练习 1】 修建一条隧道，甲工程队单独修建需要 12个月，乙工程队单独修建需要 10个月。现在甲乙两 队合修 3个月后，剩下的由乙工程队独修，还需要几个月完成？ 【答案】4.5月 【分析】工作时间＝工作总量÷工作效率，将工作总量看做“1”，先求出甲乙合作 3个月之后还 剩下多少工作量，用剩下的工作量除以乙的工作效率即可求解。 【详解】1÷12＝ 1 12 1÷10＝ 1 10 1－3×（ 1 12＋ 1 10） ＝1－3× 11 60 ＝1－ 3360 ＝ 9 20 9 20 ÷ 1 10 第 25 页 共 51 页 ＝ 9 20 ×10 ＝4.5（月） 答：剩下的由乙工程队独修，还需要 4.5个月完成。 【点睛】此题考查工程问题，求出剩余的工作量是解题的关键。 【对应练习 2】 一项工程甲队单独做 10天可以完成，乙队单独做 8天可以完成，如果两队合作 2天，剩下的 甲单独做，那么甲队还需要多少天完成任务？ 【答案】 11 2 天 【分析】把总工程看成单位“1”，那么甲的效率就是 1 10，乙的效率就是 1 8，合作两天的工程量 ＝（甲的效率＋乙的效率）×时间，甲需要的时间＝剩余工程量÷甲的效率。 【详解】 1 1 2 10 8      ＋ ＝ 1 12 2 10 8    ＝ 1 1 5 4 ＋ ＝ 9 20 9 11 20 10       － ＝ 11 1 20 10  ＝ 11 10 20  ＝ 11 2 （天） 答：那么甲队还需要 11 2 天完成任务。 【点睛】考查有关工程的问题，要知道把总工程量看成单位“1”，效率＝总工程量÷时间。 【典型例题 2】完成全部工作量 甲、乙两个工程队合作一项工程，甲队单独做需要 15天完成，甲、乙合作需要 10天完成。如 果乙队单独做这项工程，需要几天完成？ 解析： 第 26 页 共 51 页 甲队的工作效率：1÷15＝ 1 15 甲、乙的工作效率和：1÷10＝ 1 10 乙队单独做这项工程，需要的时间： 1÷（ 1 10－ 1 15） ＝1÷ 130 ＝30（天） 答：如果乙队单独做这项工程，需要 30天完成。 【对应练习 1】 一项工程，甲队独做 15天完成，乙队独做 12天完成。现在甲、乙合作 4天后，剩下的工程由 丙队 8 天完成。如果这项工程由丙队独做，需几天完成？ 解析： 丙效：[1-4×（ 12 1 15 1  ）]÷8= 20 1 时间：1÷ 20 1 =20（天） 答：略。 【对应练习 2】 一项工程，甲乙两队合做 30天完成，现在甲队单独做 24天后乙队加入，两队合做了 12天后， 这时甲队调走，乙队继续做 15天才完成这项工程。甲队单独做这项工程需要多少天？ 解析： 1－ 130 ×（12＋15） ＝1－ 27 30 ＝ 3 30 3 30 ÷（24－15） ＝ 3 30 ÷9 ＝ 1 90 第 27 页 共 51 页 1÷ 190＝90（天） 答：甲队单独做这项工程需要 90天。 【对应练习 3】 一项工程，甲单独做要 20天完成，现在由甲单独做了 4天，以后由甲、乙两人合作 6天就完 成任务。如果这项工程由乙单独做，要做多少天才能完成？ 【答案】12天 【分析】将这项工程看作单位“1”，时间分之一可以看作效率，甲单独做 4天的工作量是 4 20 ， 则剩余工作量是 41 20      ，剩余工作量÷合作天数＝两队效率和，两人效率和－甲的工作效率＝ 乙的工作效率，工作总量÷乙的工作效率＝乙的工作时间，据此列式解答。 【详解】 4 11 1 6 20 20           4 1=1 6 5 20       4 1 1=1 5 6 20       2 1=1 15 20      5=1 60  60=1 5  =12（天） 答：要做 12天才能完成。 【点睛】关键是理解工作效率、工作时间、工作总量之间的关系。 【考点十】合作完成问题其三：先单独完成，再合作完成 方法点拨 1. 合作效率=合作效率=工作效率 1+工作效率 2。 2. 合作时间=工作总量÷合作效率。 考察形式 应用 动态评价 【典型例题 1】问题一 第 28 页 共 51 页 一项工程，甲队单独做 20天完成，乙队单独做 30天完成，甲队从先做了这项工程的 1 4 后，乙 队加入。两队合作完成剩下的工程，还要多少天？ 解析： 1 1 11 4 20 30   （ ）（ ） 3 1 4 12   9 （天） 答：两队合作完成剩下的工程，还要 9天。 【典型例题 2】问题二 运一批货物，甲车需要 8小时可以运完，乙车需要 12小时可以运完，甲车先运了 3小时，然 后甲、乙两车同时运，还需几小时才能运完？ 解析： 甲的工作效率：1÷8＝ 1 8 乙的工作效率：1÷12＝ 1 12 （1－3× 1 8）÷（ 1 8＋ 1 12） ＝ 5 8 ÷ 5 24 ＝3（小时） 答：还需 3小时才能运完。 【对应练习 1】 某市政府决定对某老旧小区进行改造。改造工程由甲队单独做 15天完成，乙队单独做 12天完 成。现乙队单独做 3天后，剩下的工程由甲、乙两队合作完成。甲、乙两队还要合作几天可以 完成改造工程？ 解析： 1 1 11 3 12 15 12               1 11 15 12 1 4              ＝ 0 3 4 3 2 ＝ 第 29 页 共 51 页 ＝5（天） 答：甲、乙两队还要合作 5天可以完成改造工程。 【对应练习 2】 修一条路，甲单独修需 16天，乙单独修需 24天。 解析： 1÷16＝ 116 1÷24＝ 124 1－ 124 ×9 ＝1－ 38 ＝ 5 8 5 8 ÷（ 1 16＋ 1 24） ＝ 5 8 × 48 5 ＝6（天） 答：还要 6天才能完成。 【对应练习 3】 一项工程，甲单独做 15天完成，乙单独做 12天完成，如果乙先做 3天后，再由两人合作，还 需要多少天完成全部工程？ 解析： （1－ 1 12 ×3）÷（ 1 15＋ 1 12） ＝（1－ 1 4 ）÷ 960 ＝ 3 4 ÷ 960 第 30 页 共 51 页 ＝5（天） 答：还需要 5天完成全部工程。 【对应练习 4】 修一条公路，甲队单独修需要 10天完成，乙队单独修需要 15天完成。现先由甲队修 2天，余 下的两队合修，修完这条路甲队一共修了多少天？ 解析： 假设工作总量为 1 （1－ 1 10 ×2）÷（ 1 10＋ 1 15）＋2 ＝（1－ 1 5 ）÷（ 1 10＋ 1 15）＋2 ＝ 4 5 ÷ 1 6 ＋2 ＝ 24 5 ＋2 ＝ 46 5 （天） 答：修完这条路甲队一共修了 46 5 天。 【考点十一】请假问题其一 方法点拨 合作效率=各单位量工作效率之和 工效和×合作时间=工作总量 工作总量÷工效和=合作时间 工作总量÷合作时间=工效和 考察形式 应用 动态评价 【典型例题】 一条公路，甲队单独修 24天完成，乙队单独修 30天完成，现在甲乙两队合修若干天后，乙队 因另有任务调离，甲队继续修了 6天才完成任务，求乙队修了几天？ 解析： （1- 6 24 1  ）÷（ 30 1 24 1  ）=10（天） 答：略。